Số phức, hàm biến phức ứng dụng trong toán học phổ thông

MỤC LỤC Lời nói đầu……………………………………… .………………….…… Chương Một số kiến thức chẩn bị………………………….……… .… Định nghĩa số phức…………………………………… …….6 Các dạng biểu diến số phức…………………………… 2.1 Biểu diễn số phức dƣới dạng cặp…… ……………… .…6 2.2 Biểu diễn số phức dƣới dạng đại số………………… .… 2.3 Dạng lƣợng giác dạng mũ số phức…………… …9 2.4 Biểu diễn số phức mặt cầu Riemann……………… .10 Chương Phương trình hàm với biến đổi phân tuyến tính…… … Một số tính chất hàm phân tuyến tính…………… .… 14 Đẳng cấu phân tuyến tính……………………………… …16 Phƣơng trình hàm sinh phân tuyến tính…………… .….26 Số phức lời giải phƣơng trình sai phân……………… 30 Chương ứng dụng số phức lượng giác…….………………… Tính tốn biểu diễn số biểu thức 35 Chứng minh thức lƣợng giác …… ….… … 40 Kết luận……………………………………………………………… .… Tài liệu tham khảo…… ……………………………….…………… … LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn thầy, giáo khoa Tốn Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Hà Nội dạy dỗ, truyền đạt kiến thức để em hồn thành khóa học thực khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt, em xin bày tỏ biết ơn sâu sắc tới ThS.Phùng Đức Thắng, ngƣời dịnh hƣớng đề tài tận tình bảo, giúp đỡ em hồn thành tốt khóa luận Do thời gian kiến thức có hạn nên khóa luận khơng tránh khỏi hạn chế có thiếu xót định Em xin chân thành cảm ơn tiếp thu ý kiến đóng góp thầy giáo, giáo bạn sinh viên Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên NGUYỄN THỊ PHƢƠNG LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, dƣới hƣớng dẫn ThS.Phùng Đức Thắng, khóa luận tốt nghiệp đại học “Số phức, hàm biến phức ứng dụng tốn phổ thơng” đƣợc hồn thành theo nhận thức vấn đề riêng tôi, không trùng với khóa luận khác Trong q trình thực nghiên cứu khóa luận, tơi kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn! Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên NGUYỄN THỊ PHƢƠNG LỜI NÓI ĐẦU Từ kỉ XVI, giải phƣơng trình bậc hai G.Cardano R.Bombelli đƣa vào xét kí hiệu biểu thức b −1 −1 lời giải hình thức phƣơng trình x + = 0, xét nghiệm hình thức phƣơng trình x2 + b2 = 0.Khi biểu thức tổng quát dạng ( x − a)2 + b2 ≠ Có thể xem nghiệm hình thức phƣơng trình + b2 = ( x − a)2 Về sau biểu thức dạng a + b −1,b ≠ xuất trình giải phƣơng trình bậc hai bậc ba đƣợc gọi đại lƣợng “ảo” sau đƣợc Gauss gọi số phức thƣờng đƣợc kí hiệu a + bi, kí hiệu i :=−1 đƣợc L.Euler gọi đơn vị “ảo” Quy ƣớc: i = −1 Thuật ngữ số phức đƣợc dùng K.Gauss (năm 1831) Vào kỉ XVII – XVIII nhiều nhà toán học khác nghiên cứu tính chất đại lƣợng ảo (số phức) khảo sát ứng dụng chúng Lý thuyết túy số học số phức với tƣ cách cặp số thực có thứ tự (a;b),a ∈ ,b ∈ đƣợc xây dựng nhà toán học Ailen W.Hamilton (1837) Ở đơn vị “ảo” i đơn giản cặp số thực có thứ tự - cặp (0;1), tức đơn vị “ảo” đƣợc lý giải cách thƣc Cho đén kỉ XIX, Gauss thành công việc luận chứng cách vững khái niệm số phức Tên tuổi K.Gauss gắn liền với phép chứng minh xác định lí Đại số khẳng định trƣờng số phức  phƣơng trình đa thức có nghiệm Bản chất đại số số phức thể chỗ số phức phần tử trƣờng mở rộng (đại số)  trƣờng số thực  thu đƣợc phép ghép đại số cho  nghiệm i phƣơng trình x2 + = Số phức xuất vào kỉ XIX nhu cầu phát triển toán học giải phƣơng trình đại số Từ đời, số phức thúc đẩy toán học tiến lên mạnh mẽ giải đƣợc nhiều vấn đề khoa học kĩ thuật Đối với học sinh bậc trung học phổ thông số phức nội dung mẻ, với thời lƣợng không nhiều, học sinh kiến thức số phức, việc khai thác ứng dụng số phức hạn chế Vì chọn đề tài: “số phức, hàm biến phức ứng dụng tốn phổ thơng” Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Định nghĩa số phức Cho a b hai số thực i đơn vị ảo Khi z = a + bi đƣợc gọi số phức Số thực a gọi phần thực, b gọi phần ảo số phức b Kí hiệu a = Re z,b = Im z Số đƣợc gọi đơn vị ảo, số cho i = −1 Tập hợp số phức đƣợc kí hiệu  Nếu a = z = bi gọi số ảo, b = đƣợc số z = a thực Cho số phức z = a + bi Số phức gọi số phức liên hợp z Kí hiệu z a − bi Các dạng biểu diễn số phức 2.1 Biểu diễn số phức đưới dạng cặp Mỗi số phức a + hoàn toàn đƣợc biểu diễn việc cho hai số thực a bi b thông thƣờng (a,b∈  ) gọi thành phần chúng Định nghĩa 1.1 Một cặp số thực có thứ tự ( a;b) , a ∈ ,b ∈ , đƣợc gọi số phức tập hợp cặp quan hệ nhau, phép cộng phép nhân đƣợc đƣa vào theo định nghĩa (tiên đề) sau đây: i) Quan hệ đồng tập số phức: ( a;b ) = ( c;d ) = c a  ⇔ b = d ii) Phép cộng tập số phức: cặp (a;b) + (c;d ) := (a + c;b + d ) (a + c;b + d) iii) Phép đƣợc gọi tổng cặp ( a;b) (c;d ) nhân tập số phức: (a;b)(c;d ) = (ac − bd;ad + bc) cặp(ac − bd;ad + bc) đƣợc gọi tích cặp ( a;b) (c;d ) iv) Số thực tập số phức: Cặp ( a;0) đƣợc đồng với số a, nghĩa thực ( a;0) : = a ( a;0) ≡ a Tập hợp số phức đƣợc kí hiệu  Vai trò đơn vị tập hợp số phức  cặp (1;0 ) Hai số phức z= (a;−b) đƣợc gọi liên hợp với Ta có zz = ( a;b )( a;−b ) = a + b2 z= (a;b) Với (a;b) ≠ tồn cặp nghịch đảo là: ( a;b )1 ( 0;0) ( a;−b ) = a + b a  a + b2  ;− b  2 a + b   Nhƣ tập hợp số phức lập thành trƣờng 2.2 Biểu diễn số phức dạng đại số Mọi số phức ( a;b ) ∈ biểu diễn dƣới dạng (a;b) + bi, = (a;0) + (0;b) = (a;0) + (b;0)(0;1)a  k =1  2m  Do với x ≠ ta có ±1, m−1  2k + x2m−1 =    ( x −1) x2 −∏ m  2x cos 2m k =1  Chuyển qua giới hạn x 1, ta đƣợc m−1 k 2(m−1) m2 = P2 =2 (m−1) ∏sin k =1 Vậy nên 2m P= m 2m−1 Tổng tích sinh đa thức lượng giác Ví dụ Tính tổng n ∑cos ( kx ) k =0 Lời giải Xét tổng A = cos x + cos 2x + + cos nx, Ta c ó B = sin x + sin 2x + + sin nx + A + iB = + (cos x + i sin x ) + (cos 2x + i sin 2x ) + + (cos nx + i sin nx) = + (cos x + i sin x ) + (cos x + i sin x ) + (cos x + i sin x )n − (cos x − cos( n + 1) x − sin ( n + 1) x + i sin x)n1 = − cos x − i sin x − (cos x + i sin x ) + n+ n+ x − 2i sin n+ x cos x 2 = x 2x 2sin − 2i sin x cos 2sin i n+ n+ x sin x− i n+ cos x 2 = x x x sin sin − icos sin n+ 2 2 2 sin x x x 2x  sin n + x − i cos n + x sin  = + i cos sin 2   2 n+ n   sin xsin x  n+ n+ n sin sin xcos x x =  n x = x sin   cos  n x + i sin   xsin + i 2 sin x 2 Vậy n+ −1 sin n xcos x A = 2 x sin Ví dụ Cho tam giác ABC có a) OH = OIa = R b) R = 2ra ; 2; π A= ,B 2π = ,C 4π = 7 Chứng minh 2 2 c) a + b + c = 7R Lời giải Ta có π a = 2R sin ,b= 4R 2R sin = 2R sin 7 2π ,c Tiếp theo tính OH OH = 9R − ( a +πb + c ) = 9R2 − 4R2 sin2 2 2 + sin 2π  3 2 = 9R − 4R 1 2π − cos  2   3 = 9R π  − 4R + cos 2 + cos 3π + cos 7    8π  + cos + cos 4π  7  5π     ta thu đƣợc + i sin Xét z π = cos , π z+ z z + z = 7 − z = −1 − z = z − z z −1 − z Tách phần thực hai vế ta đƣợc + sin 4π    cos + cos π 3π + cos 5π = Vậy nên OH = 9R2 − 7R2 hay OH = OI = R a = 2R Tiếp theo, tính OIa Ta c ó ab c OI = R + a = 2R + 4R b+ c − a sin π sin + sin 2π sin 4π Do + sin 2π sin 4π 2sin 4π cos 7 cos 7 2 nên OIa = R + R = 2R 3π Rr = a 4( p − a) = 4sin π sin hay OI a = R abc Tiếp theo, theo câu i) ta có 2π abc R= , S , suy r = a 4S p− a R = = 2(b + c − a ) hay R = 2ra 7 Ta sử dụng công thức abc − 7 π sin  π − 2sin 4π 4π sin 7π   −π sin + sin − sin 3πsin + sin 5π π =  7 2π sin   4π , 2 a + b + cπ 2 = 4R sin   + sin 2π + sin 7 4π    = 4R Ví dụ Chứng minh 22m cos 2m m x= ∑C k =o k cos2 (m − k ) x = 7R Lời giải Ta có cos x = ei x−i+ e x (eix + e−ix ) 22m cos2m x = 2m ∑= C2m (e ) ix 2m 2m −k k Do 2m C 2(k −m)ix =∑e (e ) 2m −ix k =o m−1 = ∑C k =0 m−1 = = k =0 2(k −m)ix k 2m e ∑C ∑C k k =0 2m C e( ∑ k =m +1 k m k −m)ix m +2m C m cos2 ( m − k k ) x + C 2m cos2 ( m − m ) x 2m cos2 ( m − k ) x m 2m k =0 Ví dụ Tính tổng n Sn = q sin (α + ∑ k k =1 k β ), n Tn = q cos(α + ∑ k k =1 k β ), Trong q,α , β số thực cho trƣớc Lời giải Ta có T + = (cosα + i sinα ) + q cos(α + β ) + i iS sin α + β  + + q n cos ( ) (α + nβ ) + i sin (α + n n    n = ( cosα + i sin α ) 1 + q ( cosβ + i sin β ) + + q ( cosnβ + i sin nβ )  = (cosα + i sinα ) 1 + qε + V ới ε = cosβ + i sin β Từ suy + ( qε ) n  , T + = (cosα + i ( qε ) iS sinα ) n n (cosα i sin α ) = + n+1 −1 qε −1 ((qε )n1 −1 ) ( qε −1) (qε −1)( qε −1 ) q cos ( nα + β ) + i sin ( nα + β = cos ( nβ − α ) + i sin ( nβ − α )  − 2q cos β + q n +2 −q + + ) − q {cos ( n + 1) β + α  + i sin ( n 1) β + α } + cosα + i sin α n +1 − 2q cos β + q cosα − q cos ( nβ − α ) − q cos ( n = n +2 + 1) β + α  + q cos ( nα + β ) − 2q cos β + q n +1 sin α − q sin ( nβ − α ) − q sin ( n n +2 + 1) β + α  + q sin ( nα + β ) +i − 2q cos β + q n +1 Vậy Sn = sin α − q sin ( nβ − α ) − q n+1 sin ( n n +2 +1) β + α  + q sin ( nα + β ) 1− 2q cos β + q Tn = 50 cosα − q cos ( nβ − α ) − q n+1cos ( n n +2 +1) β + α  + q cos ( nα + β ) 1− 2q cos β + q 50 KẾT LUẬN Trên toàn khóa luận “số phức, hàm biến phức ứng dụng tốn phổ thơng” Khóa luận trình bày Một số vấn đề số phức dạng trình bày số phức Một số tính chất hàm phân tuyến tính, đăng cấu phân tuyến tính, phƣơng trình hàm sinh phân tuyến tính lời giải phƣơng trình sai phân Một số ứng dụng số phức lƣợng giác nhƣ tính tốn biểu diễn số phức, tổng tích sinh đa thức lƣợng giác 98 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Văn Mậu – Chuyên đề chọn lọc số phức áp dụng – NXBGD Nguyễn Định, Nguyễn Hoàng – Hàm số, biến số phức - NXBGD Nguyễn Thủy Thanh – Cở sở lý thuyết hàm biến phức – NXBĐHQG Hà Nội ... trung học phổ thơng số phức nội dung mẻ, với thời lƣợng không nhiều, học sinh kiến thức số phức, việc khai thác ứng dụng số phức hạn chế Vì tơi chọn đề tài: số phức, hàm biến phức ứng dụng tốn phổ. .. ảo, số cho i = −1 Tập hợp số phức đƣợc kí hiệu  Nếu a = z = bi gọi số ảo, b = đƣợc số z = a thực Cho số phức z = a + bi Số phức gọi số phức liên hợp z Kí hiệu z a − bi Các dạng biểu diễn số phức. .. lí Đại số khẳng định trƣờng số phức  phƣơng trình đa thức có nghiệm Bản chất đại số số phức thể chỗ số phức phần tử trƣờng mở rộng (đại số)  trƣờng số thực  thu đƣợc phép ghép đại số cho 