Luận Văn Số phức, hàm biến phức ứng dụng trong toán học phổ thông

MỤC LỤC Lời nói đầu……………………………………… .………………….…… Chương Một số kiến thức chẩn bị………………………….……… .… Định nghĩa số phức…………………………………… …….6 Các dạng biểu diến số phức…………………………… 2.1 Biểu diễn số phức dƣới dạng cặp…… ……………… .…6 2.2 Biểu diễn số phức dƣới dạng đại số………………… .… 2.3 Dạng lƣợng giác dạng mũ số phức…………… …9 2.4 Biểu diễn số phức mặt cầu Riemann……………… .10 Chương Phương trình hàm với biến đổi phân tuyến tính…… … Một số tính chất hàm phân tuyến tính…………… .… 14 Đẳng cấu phân tuyến tính……………………………… …16 Phƣơng trình hàm sinh phân tuyến tính…………… .….26 Số phức lời giải phƣơng trình sai phân……………… 30 Chương ứng dụng số phức lượng giác…….………………… Tính tốn biểu diễn số biểu thức 35 Chứng minh thức lƣợng giác …… ….… … 40 Kết luận……………………………………………………………… .… Tài liệu tham khảo…… ……………………………….…………… … LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn thầy, giáo khoa Tốn Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Hà Nội dạy dỗ, truyền đạt kiến thức để em hồn thành khóa học thực khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt, em xin bày tỏ biết ơn sâu sắc tới ThS.Phùng Đức Thắng, ngƣời dịnh hƣớng đề tài tận tình bảo, giúp đỡ em hồn thành tốt khóa luận Do thời gian kiến thức có hạn nên khóa luận khơng tránh khỏi hạn chế cịn có thiếu xót định Em xin chân thành cảm ơn tiếp thu ý kiến đóng góp thầy giáo, giáo bạn sinh viên Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên NGUYỄN THỊ PHƢƠNG LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, dƣới hƣớng dẫn ThS.Phùng Đức Thắng, khóa luận tốt nghiệp đại học “Số phức, hàm biến phức ứng dụng tốn phổ thơng” đƣợc hồn thành theo nhận thức vấn đề riêng tôi, không trùng với khóa luận khác Trong q trình thực nghiên cứu khóa luận, tơi kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn! Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên NGUYỄN THỊ PHƢƠNG LỜI NÓI ĐẦU Từ kỉ XVI, giải phƣơng trình bậc hai G.Cardano R.Bombelli đƣa vào xét kí hiệu 1 lời giải hình thức phƣơng trình x   0, xét biểu thức b 1 nghiệm hình thức phƣơng trình x  b  Khi biểu thức tổng quát dạng  x  a  b2  Có thể xem nghiệm hình thức phƣơng trình  x  a   b  Về sau biểu thức dạng a  b 1, b  xuất trình giải phƣơng trình bậc hai bậc ba đƣợc gọi đại lƣợng “ảo” sau đƣợc Gauss gọi số phức thƣờng đƣợc kí hiệu a  bi, kí hiệu i : 1 đƣợc L.Euler gọi đơn vị “ảo” Quy ƣớc: i  1 Thuật ngữ số phức đƣợc dùng K.Gauss (năm 1831) Vào kỉ XVII – XVIII nhiều nhà tốn học khác nghiên cứu tính chất đại lƣợng ảo (số phức) khảo sát ứng dụng chúng Lý thuyết túy số học số phức với tƣ cách cặp số thực có thứ tự  a; b  , a   , b   đƣợc xây dựng nhà toán học Ailen W.Hamilton (1837) Ở đơn vị “ảo” i đơn giản cặp số thực có thứ tự - cặp  0;1 , tức đơn vị “ảo” đƣợc lý giải cách thƣc Cho đén kỉ XIX, Gauss thành công việc luận chứng cách vững khái niệm số phức Tên tuổi K.Gauss gắn liền với phép chứng minh xác định lí Đại số khẳng định trƣờng số phức  phƣơng trình đa thức có nghiệm Bản chất đại số số phức thể chỗ số phức phần tử trƣờng mở rộng (đại số)  trƣờng số thực  thu đƣợc phép ghép đại số cho  nghiệm i phƣơng trình x2   Số phức xuất vào kỉ XIX nhu cầu phát triển toán học giải phƣơng trình đại số Từ đời, số phức thúc đẩy toán học tiến lên mạnh mẽ giải đƣợc nhiều vấn đề khoa học kĩ thuật Đối với học sinh bậc trung học phổ thơng số phức nội dung cịn mẻ, với thời lƣợng không nhiều, học sinh kiến thức số phức, việc khai thác ứng dụng số phức cịn hạn chế Vì chọn đề tài: “số phức, hàm biến phức ứng dụng tốn phổ thơng” Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Định nghĩa số phức Cho a b hai số thực i đơn vị ảo Khi z  a  bi đƣợc gọi số phức Số thực a gọi phần thực, b gọi phần ảo số phức b Kí hiệu a  Re z, b  Im z Số đƣợc gọi đơn vị ảo, số cho i  1 Tập hợp số phức đƣợc kí hiệu  Nếu a  z  bi gọi số ảo, b  đƣợc số thực z  a Cho số phức z  a  bi Số phức a  bi gọi số phức liên hợp z Kí hiệu z Các dạng biểu diễn số phức 2.1 Biểu diễn số phức đưới dạng cặp Mỗi số phức a  bi hoàn toàn đƣợc biểu diễn việc cho hai số thực a b thông thƣờng  a, b  gọi thành phần chúng Định nghĩa 1.1 Một cặp số thực có thứ tự  a; b  , a   , b   , đƣợc gọi số phức tập hợp cặp quan hệ nhau, phép cộng phép nhân đƣợc đƣa vào theo định nghĩa (tiên đề) sau đây: a  c i) Quan hệ đồng tập số phức:  a; b    c; d    b  d ii) Phép cộng tập số phức:  a;b    c; d  :  a  c;b  d  cặp  a  c;b  d  đƣợc gọi tổng cặp  a; b   c; d  iii) Phép nhân tập số phức:  a; b  c; d    ac  bd ; ad  bc  cặp  ac  bd ; ad  bc  đƣợc gọi tích cặp  a; b   c; d  iv) Số thực tập số phức: Cặp  a;0  đƣợc đồng với số thực a, nghĩa  a;0 : a  a;0  a Tập hợp số phức đƣợc kí hiệu  Vai trị đơn vị tập hợp số phức  cặp 1;0  Hai số phức z   a; b  z   a; b  đƣợc gọi liên hợp với Ta có z z   a; b  a; b   a  b Với  a; b    0;0 tồn cặp nghịch đảo  a; b  1 là: b   a a ;  b  ;     2 2 2 a b a b  a b Nhƣ tập hợp số phức lập thành trƣờng 2.2 Biểu diễn số phức dạng đại số Mọi số phức  a; b   biểu diễn dƣới dạng  a; b    a;0   0; b    a;0  b;0 0;1 a  bi, cặp  0;1 đƣợc kí hiệu chữ i Từ tiên đề iii) suy i   0;1 0;1   0.0  1.1;0.1  1.0   1;0  1 Thành phần thứ số phức z  a  bi đƣợc gọi phần thực số đƣợc kí hiệu Re z , thành phần thứ đƣợc gọi phần ảo đƣợc gọi phần ảo đƣợc kí hiêu Im z Phần thực phần ảo số phức số thực Biểu thức  a; b   a  bi đƣợc gọi dạng đại số hay dạng Descartes số phức Các số phức viết dƣới dạng đại số z1 : a1  b1i; z2 : a2  b2i, phép toán (i) – (iii) đƣợc định nghĩa nhƣ sau: (i*) z1  z   a1  b1i    a2  b2i    a1  a2   b1  b2i  z1  z   a1  b1i    a2  b2i    a1  a2   b1  b2i  (ii*) z1z   a1  b1i  a2  b2i    a1a2  b1b2   a1b2  a2b1 i (iii*) z1  a1  b1i  a1a  b1b  a1b  a 2b1 i,   a b2 2 2 a  b2 a  b2 z a  b 2i Nếu z  a  bi số phức liên hợp z  a  bi, z  z  2Re z, z  z  2Im z , z z  z z  r  z z  a  b 2 Số z  r  z z  a  b đƣợc gọi mô đun số phức z Đối với số phức z1, z2  có z1  z2  z1  z2  z1  z2 2.3 Dạng lượng giác dạng mũ số phức Bằng cách sử dụng tọa dộ cực mặt phẳng chức  (a) Độ dài bán kính vectơ r : z  z z  a  b ; (b) Góc cực   Arg z đƣợc gọi acgumen z , ta thu đƣợc hệ thức z  a  bi  r  cos + i sin  (1.4) Re z  a  r cos ,Im z  b  r sin  Biểu thức (1.4) đƣợc gọi dạng lƣợng giác hay dạng cực số phức z  a  bi Argumen   Arg z hàm thực đa trị biến phức z  z cho, giá trị hàm sai khác bội nguyên 2 Hàm acgumen không xác định z  Thông thƣờng ngƣơi ta sử dụng giá trị acgumen   arg z xác định với điều kiện bổ sung   arg z    arg z  2 Đặt cos   i sin   ei Dạng lƣợng giác (1.4) đƣợc biến đổi thành dạng mũ z  rei (1.5) dạng số mũ số phức z  Phép nâng số phức z  a  bi  r  cos   i sin  lên lũy thừa bậc n số phức đƣợc thực theo công thức Moivre z n  r nein (1.6) Công thức k  z  re n n i  k  n , k  0;1; ; n  (1.7) đƣợc gọi công thức Moivre Nếu r  cơng thức Moivre có dạng đặc biệt  r  cos   i sin      cos n  i sin n  n Từ công thức (1.6) suy bậc n số phức có n giá trị 10 (1.9) có phƣơng trình đặc trƣng   7  16  12     (bội 2)    nên có nghiệm tổng quát y   C  C n  2n  C 3n n với C1, C2 , C3 số tùy ý Ví dụ 2.6 Giải phƣơng trình sai phân tuyến tính x0  a; xn1  qxn  p, p, q   , p  Lời giải Nếu q   xn  cấp số cộng cơng sai p nên xn  a  np Nếu p   xn  cấp số nhân công bội q nên xn  aq n Xét q  1, p  Đặt xn  yn  b với b đƣợc xác định sau, ta có yn1  b  q  yn  b   p Chọn b  p , ta đƣợc 1 q  p  n p yn1  qyn  yn  yo q n  xn   a  q   q  1 q  Vậy nghiệm phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp  p  n p xn   a  q    q  q   38 Chương Ứng dụng số phức lượng giác Tính tốn biểu diến số biểu thức   Ví dụ Tìm Arg   i Lời giải Mối giá trị argument số   i thỏa mãn phƣơng trình tan    Từ suy k     k , k   Vì z    i thuộc góc phần tƣ thứ hai nên k argument k  2n  (số lẻ) Do   Arg         2n  1  5  2n , n   Ví dụ Tính cos Lời giải Đặt z  cos   i sin   z nghiệm phƣơng trình z   39 Ta có z    z  1  z  z  z  z  1 z  nên z nghiệm phƣơng trình z  z  z  z   Vì z  khơng nghiệm nên chia hai vế cho z ta đƣợc 1 1  1  z  z 1     z     z   1  z z z  z  z Để ý z  Vậy cos   1  1   , z  z z   1   2cos  nên ta có cos  z 5 1  Ví dụ Tính giá trị biểu thức sau: Ví dụ Biểu diễn tuyến tính sin  qua hàm lƣợng giác góc bội Lời giải Đặt z  cos   i sin  Khi z 1  cos  i sin  z k  cos k  i sin k z  k  cos k  i sin k Từ suy cos   z  z 1 z  z 1 , sin   2i 40 z k  z  k  2cos k z k  z  k  2i sin k sử dụng hệ thức ta thu đƣợc  z  z 1  z  z  10 z  10 z 1  z 3  z 5 sin      32i  2i  z   z 5    z  z 3   10  z  z 1  32i 2i.sin 5  5.2i.sin 3  10.2i.sin   32i sin 5  5sin 3  10sin   16 V í d ụ Tìm  2i Lời giải Ta c ó  2i   cos 45o  i sin 45o  Từ ta thu đƣợc  45o  k 360o 45o  k 360o   cos  i sin  3       cos 15  2i  o   k120o   i sin 15o  k120o  Do vậy, gọi giá trị bậc ba số phức  2i 0 ,1,2 ta đƣợc 0   cos15o  i sin15o  ; 41 1   cos135o  i sin135o    cos 45o  i sin 45o  ; 2   cos 255o  i sin 255o    cos15o  i sin15o  Để ý cos 45o  sin 45o  , Ta có 1  1  i Để tính 0 2 , ta l ƣu ý 15o  450  30o Do cos15o  cos 45o cos30o  sin 45o sin 30o  sin15o   1    2 2 Từ thu đƣợc 1 1 i , 2 1 1 2   i 2 0  Tính chất 3.1 Đối với đa thức lượng giác 42  1    2 2 An  x   a0  a1cos x  b1 sin x   ancos nx  bn sin nx ln tìm đa thức đại số Pn  t  Qn1  t  có bậc khơng q n n  t cho An  x   Pn  cos x   sin xQn1  cos x  Tính chất 3.2 Đối với đa thức lượng giác theo sin bậc n  n  1 dạng Sn  x   b0  b1 sin x  b2 sin x   bn sin nx ln tìm đa thức đại số Qn1  t  cho Sn  x   b0  sin xQn1  cos x  Tinh chất 3.3 Với đa thức lượng giác theo cosin dạng Cn  x   a0  a1cos x  a2cos2 x   ancos nx ln tìm đa thức đại số Pn  t  với hệ số bậc cao 2n1 an cho Cn  x   Pn  cos x  Ngược lại, với đa thức đại số Pn  t  với hệ số bậc cao 1, qua phép đặt ẩn phụ t  cos x biến đổi dạng Cn  x  với an  21n Ví dụ Chứng minh đẳng thức sin 2 2  m  1  m ; m  * sin sin 2m 2m 2m 2m1 43 Lời giải Gọi P vế trái đẳng thức Xét phƣơng trình x m   T a thấy phƣơng trình có hai nghiệm thực x  1  2m  2 nghiệm phức Kí hiệu  k nghiệm phức phƣơng trình với k  0,1,2, ,2m  1, ta có  k  cos k k  i sin 2m 2m Khi  2m  k    2m  k    i sin 2m 2m 2k  2k     cos  2    i sin  2   2m  2m    2k 2k  cos  i sin   k 2m 2m  mk  cos Vậy      x m1   x  1  x  1  x    x   m1  x   m1     x  1  x  1   x  1  x    m 1 2km     x  1   x  x cos  1 2m  k 1  m 1 m 1 x m1 2km    x  x cos  1   2 m x      k 1 44    m1 x  1  Do với x  1, ta có Chuyển qua giới hạn x  1, ta đƣợc  m2 2 m 1 m 1  sin k 1 Vậy nên P  m m 1 k m 1 2   P 2m Tổng tích sinh đa thức lượng giác Ví dụ Tính tổng n  cos  kx  k 0 Lời giải Xét tổng A  cos x  cos x   cos nx, B  sin x  sin x   sin nx Ta c ó 45  A  iB    cos x  i sin x    cos x  i sin x     cos nx  i sin nx     cos x  i sin x    cos x  i sin x     cos x  i sin x  n   cos x  i sin x   cos  n  1 x  i sin  n  1 x    cos x  i sin x   cos x  i sin x n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 x  2i sin x cos x sin x sin x  i cos x 2 2 2   x x x x x x 2sin  2i sin cos sin sin  icos 2 2 2 n 1 sin x n   x x  n 1  sin x  i cos x  sin  i cos   x  2  2 sin n 1 n 1 n n 1 n sin x sin xc os x sin x sin x n n   2 2  cos x  i sin x   i x  x x 2  sin sin sin 2 2sin Vậy A sin n 1 n xcos x 2  x sin Ví dụ Cho tam giác ABC có A   ,B a) OH  OI a  R 2; b) R  2ra ; 46 2 4 ,C Chứng minh 7 c) a  b  c  R Lời giải Ta có a  R sin  , b  R sin 2 4R , c  R sin 7 Tiếp theo tính OH  2 4   OH  R   a  b  c   R  R  sin  sin  sin  7   3  2 4 8    R  R    cos  cos  cos   7  2 2 3   3 5  R  R    cos  cos  cos 7 2 2 Xét z  cos   i sin     , ta thu đƣợc z  z 1  z zz z    z  z z 1 1 z Tách phần thực hai vế ta đƣợc cos   cos 3 5  cos  7 Vậy nên OH  R  R  R hay OH  OI a  R Tiếp theo, tính OI a Ta c ó 47 2 4 sin abc 7 OI a2  R   R2  4R2 4 2  bca sin  sin  sin 7 sin  sin Do 4 2  3 5   7   sin  sin  sin  sin   sin  sin  7 7  7  4  4 3  2 4 2sin cos  2sin cos  4sin sin sin , 7 7 7 sin nên OI a2  R2  R2  2R2 hay OI a  R Ta sử dụng công thức R  Rra  abc S ,  , suy 4S pa abc abc R2    p  a  b  c  a  hay R  2ra Tiếp theo, theo câu i) ta có  2 4  a  b2  c  R  sin  sin  sin 7     4R  R  Ví dụ Chứng minh m cos x   C2kmcos2  m  k  x 2m 2m k o 48 Lời giải Ta có cos x  22 m cos m x   eix  eix  ei x  e  i x Do 2m   C2km  eix   eix  2m k 2m mk   C2kme k o m 1   C2kme k 0 2 k  m ix  2 k  m ix k 0 2m C k  m 1 2 k  m ix k 2m e  C2mm m 1 m   C cos2  m  k  x  C cos2  m  m  x   C2kmcos2  m  k  x k 0 k 2m m 2m k 0 Ví dụ Tính tổng n n Sn   q sin   k  , Tn   q k cos   k  , k k 1 k 1 Trong q, ,  số thực cho trƣớc Lời giải Ta có Tn  iSn   cos  i sin    q cos      i sin        q n cos   n   i sin   n   cos  i sin   1  q  cos  i sin     q n  cosn  i sin n   n   cos  i sin   1  q    q   ,   V ới   cos  i sin  Từ suy 49  q  Tn  iSn   cos  i sin    q     cos  i sin    n 1 1 q  n 1    q   q  1  q  1 q n cos  n     i sin  n      q cos  n     i sin  n       2q cos   q  q n1 cos  n  1      i sin  n  1      cos  i sin    2q cos   q cos  q cos  n     q n1cos  n  1      q n 2cos  n      2q cos   q sin   q sin  n     q n1 sin  n  1      q n sin  n    i  2q cos   q Vậy Sn  sin   q sin  n     q n1 sin  n  1      q n2 sin  n     2q cos   q Tn  cos  q cos  n     q n1cos  n  1      q n2cos  n     2q cos   q 50 KẾT LUẬN Trên tồn khóa luận “số phức, hàm biến phức ứng dụng toán phổ thơng” Khóa luận trình bày Một số vấn đề số phức dạng trình bày số phức Một số tính chất hàm phân tuyến tính, đăng cấu phân tuyến tính, phƣơng trình hàm sinh phân tuyến tính lời giải phƣơng trình sai phân Một số ứng dụng số phức lƣợng giác nhƣ tính tốn biểu diễn số phức, tổng tích sinh đa thức lƣợng giác 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Văn Mậu – Chuyên đề chọn lọc số phức áp dụng – NXBGD Nguyễn Định, Nguyễn Hoàng – Hàm số, biến số phức - NXBGD Nguyễn Thủy Thanh – Cở sở lý thuyết hàm biến phức – NXBĐHQG Hà Nội 52 ... trung học phổ thông số phức nội dung cịn mẻ, với thời lƣợng không nhiều, học sinh kiến thức số phức, việc khai thác ứng dụng số phức cịn hạn chế Vì chọn đề tài: ? ?số phức, hàm biến phức ứng dụng. .. cos   q 50 KẾT LUẬN Trên tồn khóa luận ? ?số phức, hàm biến phức ứng dụng tốn phổ thơng” Khóa luận trình bày Một số vấn đề số phức dạng trình bày số phức Một số tính chất hàm phân tuyến tính,... khóa luận tốt nghiệp đại học ? ?Số phức, hàm biến phức ứng dụng tốn phổ thơng” đƣợc hồn thành theo nhận thức vấn đề riêng tôi, không trùng với khóa luận khác Trong q trình thực nghiên cứu khóa luận,