Số phức và các phép biến đổi đồng dạng

Trong khuôn khổ khoá luận này em xin giới thiệu việc áp dụng số phức nghiên cứu về biến đổi đồng dạng và áp dụng nó để giải quyết một số bài toán hình học.. Phép biến đổi đồng dạng trong

Lời cảm ơn

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán đã tạo cơ hội cho em làm khoá luận này

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Đinh Văn Thuỷ,

người trực tiếp hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc giúp đỡ em hoàn thành khoá luận này

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng do thời gian làm khóa luận hạn chế nên không tránh khỏi thiếu sót, em rất mong được sự giúp đỡ của quí thày cô

và các bạn đọc để khoá luận được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2010 Tác giả

Lời cam đoan

Em xin cam đoan kết quả nghiên cứu trong đề tài này đích thực là của

em Đề tài nghiên cứu của em không trùng với kết quả nghiên cứu của các tác giả khác

Nếu có gì không trung thực, em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2010 Tác giả

Mục lục

Trang Lời nói đầu ……… 1

A Mở đầu……….3

1 Lý do chọn đề tài………3

2 Nhiệm vụ nghiên cứu……… 3

3 Phương pháp nghiên cứu……… … 3

B Nội dung……… 4

Chương 1 Cơ sở lý thuyết……… 4

1 Sơ lược về số phức………4

1.1 Định nghĩa số phức……… 4

1.2 Dạng đại số của số phức……… 6

1.3 Dạng lượng giác của số phức………6

1.4 Đường thẳng trong mặt phẳng phức……… 9

1.5 ánh xạ afin, biến đổi afin……… …….11

2 Phép biến đổi đồng dạng trong mặt phẳng phức………13

2.1 Phép vị tự………13

2.2 Phép đồng dạng……… 16

Chương 2 ứng dụng phép đồng dạng vào giải toán bằng công cụ số phức……… ……… 26

1 Những bài toán áp dụng……….… …….26

2 Bài tập luyện tập……… …….41

3 Hướng dẫn giải bài tập luyện tập……… …… 42

Tài liệu tham khảo……….48

Kết luận……… …… 49

Lời nói đầu

Số phức, từ khi ra đời, đã thúc đẩy toán học tiến lên và giải quyết được một số vấn đề về khoa học và kỹ thuật Chẳng hạn, ứng dụng số phức thể hiện trong đại số là mọi phương trình bậc hai đều có nghiệm, trong hình học, số phức cũng có những ứng dụng quan trọng Nó tỏ ra hữu ích đối với lớp các bài toán về phép biến hình trong mặt phẳng

Trong khuôn khổ khoá luận này em xin giới thiệu việc áp dụng số phức nghiên cứu về biến đổi đồng dạng và áp dụng nó để giải quyết một số bài toán hình học

Nội dung của luận văn này bao gồm hai chương:

Chương 1 Cơ sở lý thuyết

Chương này gồm hai phần nhằm trang bị những kiến thức cơ bản về số phức và phép đồng dạng trong mặt phẳng phức để áp dụng giải toán

1 Sơ lược về số phức

Phần này trình bày về lý thuyết cơ bản về số phức và mối liên hệ giữa

lý thuyết số phức và hình học

2 Phép biến đổi đồng dạng trong mặt phẳng phức

Phần này giới thiệu về phép vị tự, phép biến đổi đồng dạng gồm định nghĩa, tính chất và các kiến thức liên quan, phần này là kiến thức trọng tâm để

áp dụng cho các bài toán trong chương tiếp theo

Chương 2 ứng dụng phép đồng dạng vào giải toán bằng công cụ số phức

Chương này đưa ra các bài toán áp dụng số phức trong phép biến đổi đồng dạng gồm các nhận xét nêu ra được sự hữu ích khi sử dụng số phức, sau

đó là bài tập luyện tập có hướng dẫn lời giải

Luận văn này được hoàn thành nhờ sự động viên, hướng dẫn, chỉ bảo

tận tình của thầy giáo Đinh Văn Thuỷ và những đóng góp quý báu của các

thầy cô giáo trong tổ Hình học

Qua đây, em gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong tổ

Hình học,đặc biệt là thầy Đinh Văn Thuỷ đã giúp em hoàn thành tốt luận văn

tốt nghiệp này

A Mở ĐầU

1 Lý do chọn đề tài

Trong việc giải toán, sử dụng nhiều phương pháp khác nhau giúp cho việc hiểu bài toán một cách thấu đáo cặn kẽ Sử dụng số phức để giải toán

hình học phẳng là một phương pháp mới và tỏ ra hữu ích

Sử dụng số phức nghiên cứu về phép biến hình trong mặt phẳng là một phương pháp cần thiết, giúp học sinh diễn đạt bài toán theo nhiều hướng khác nhau, thoát li được những ảnh hưởng không có lợi do trực giác.Trong khuôn khổ bài khoá luận này em tiếp cận sâu về lý thuyết và các bài toán về phép

đồng dạng trong mặt phẳng dùng công cụ số phức Đó là lý do mà em chọn đề tài:

3 Đưa ra bài toán áp dụng

3 Phương pháp nghiên cứu

1 Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo và các tài liệu khác có liên quan

2 Suy luận để áp dụng cộng cụ số phức trong biến đổi đồng dạng

3 Đưa ra các bài tâp và giải

b nội dung Chương 1 cơ sở lý thuyết

  x y,   ,   x,y,

  x y,  ,   x.y ,  x y. Vậy số phức z thuộc  là cặp số thực  x y, ; viết z x y,

1.z1z1.1 z1 (tức 1 là phần tử đơn vị của phép nhân )

- Tính chất phân phối của phép cộng và phép nhân

Lấy hệ tọa độ đề các vuông góc Oxy trong mặt phẳng, kí hiệu E thì mỗi

điểm M của E xác định bởi tọa độ  x y, trong hệ tọa độ đó Ngược lại, với mỗi cặp số thực ( , )x y đều tương ứng với một điểm M của E

Ta đồng nhất M x y( , ) với số phức z x iy và gọi z là tọa vị của điểm

M đối với hệ tọa độ đó Viết M z( ) và gọi E (với hệ toa độ Oxy) là mặt phẳng phức, đồng nhất M với tọa vị của nó, tức đồng nhất E với 

 Điểm thuộcOx có tọa vị thực, Oxgọi là trục thực

 Điểm thuộcOy có tọa vị thuàn ảo, Oygọi là trục ảo

 Điểm E(1)thuộc Ox, gọi là điểm đơn vị

 Mỗi điểm ME xác định vectơ OM

gọi là bán kính vectơ của M

Nói M có tọa vị z thì cũng nói OM

có tọa vị z

viết OM z ( )

b) Dạng lượng giác của số phức

Cho số phức z 0, gọi điểm M có tọa vị z trong mặt phẳng phức Điểm M hoàn toàn xác định bởi

+ Độ dài đoạn thẳng OM tức z +Ox OM,  : góc định hướng tạo bởi tia Ox(tia đầu), tia Oy (tia cuối)

Số đo  (đo bằng rađian) của góc Ox OM, 

xác định sai khác một k2 , kZ;

:argumen củaz, kí hiệu arg z

Vậy số phức z 0hoàn toàn xác định bởi

z và arg (z k2 , kZ)

Viếtz x iy thì

y

x O

M

y

x O

P

M'

M(z) E(1)

z zcosisin , : argz

Đó là dạng lượng giác của số phức z 0

c) Nhân số phức dưới dạng lượng giác

Với z zcosisin

Trong E cho số phức w 0 ; Pcó tọa vị w ;

điểm M tựy ý cú tọa vị z

M'

M E(1) P

Ví dụ : Cho hai điểm phân biệt A B, có tọa vị theo thứ tự là  , Tìm tọa

vị điểm C sao cho ABClà một nửa của tam giác đều cạnh AC.

Đường thẳng qua điểm M0 z0 , vectơ chỉ phương u u ( )

Tỉ số đơn của bộ ba điểm phân biệt M M M0, 1, 2 trong mặt phẳng phức,

có tọa vị theo thứ tự là z z z o, ,1 2 xác định bởi:

 Ba điểm M M M0, 1, 2cùng thuộc một đường thẳng, M M0 2 k M M1 2

 M2thuộc đường thẳng M M0 1và chia M M0 1 theo tỉ số k

Đường thẳng  đi qua M M0, 1và một điểm M( M M0, 1)

Ta có một song ánh :

f1 f2 1z1z 1 2z2z2,  z 

Cho lần lượt z 0,1,i thì có được   1 2; 1 2; 12

Điều ngược lại là hiển nhiên

b) Biến đổi afin

* Định nghĩa

ánh xạ afin là một song ánh khi và chỉ khi    , được gọi là một biến đổi afin

* Tính chất

- ánh xạ ngược của một biến đổi afin là một biến đổi afin

- Biến đổi afin bảo toàn hướng của một tam giác thì bảo tồn hướng của

mọi tam giác, điều này xảy ra khi và chi khi   

- Biến đổi afin đảo hướng của một tam giác thì đảo hướng của mọi tam giác, điều này xảy ra khi và chỉ khi   

Định lý 1.1 (Định lí cơ bản của biến đổi afin của  )

Mọi song ánh f :EE bảo tồn tính chất thẳng hàng của các điểm là

một biến đổi afin

Định lý 1.2 Biến đổi afin f :EE luôn bảo tồn tỉ số đơn của bộ ba điểm

'  

0

Vì k  0 nên là biến đổi afin bảo tồn hướng

Định lý 1.5 Nếu phép vị tự V J k, biến hai điểm A B, lần lượt thành hai điểm

B có tọa vị là k z0z0 ' '    

A B song song hoặc trùng nhau và ' '

 

' ' ' ' ' ' 2 0

* Tích của biến đổi f xác định bởi '

z  kz  với biến đổi g xác định bởi '

z  lz  là biến đổi g f xác định bởi :

'

z klz l     1

,

J k

J k

* Tập hợp các phép vị tự cùng tâm làm thành một nhóm giao hoán

là phép vị tự tâm z0tỉ số k k1 2

+ Tích của V J k, và 1

,

I k

V là một phép tịnh tiến + Tích của V J k, ,k  1 với phép tịnh tiến T u là phép vị tự hệ số vị tự k T u V J k, có công thức '  

0

1

zz kz k z u là phép vị tự tâm có tọa vị V J k, T u có công thức '    

Ngược lại, mọi tích của một phép dời hình với một phép vị tự hệ số k1

(hay tích của một phép vị tự hệ số k1 với một phép dời hình) là một biến đổi afin của  mà độ dài đoạn thẳng ảnh gấp k  k1 lần độ dài đoạn thẳng cho trước Các biến đổi như thế của  gọi là biến đổi đồng dạng hệ số k 0 của mặt phẳng

là biến đổi đẳng cự loại một (bảo tồn hướng)

Biến đổi h2của mặt phẳng phức xác định bởi công thức

Biến đổi đồng dạng là một biến đổi afin nên nó bảo toàn tính chất thẳng

Do đó, phép biến đổi đồng dạng biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng

có độ dài được nhân lên với hệ số (tỉ số) đồng dạng

Biến đổi đồng dạng là một biến đổi bảo giác: biến đổi đồng dạng loại một bảo tồn số đo của góc định hướng, biến đổi đồng dạng loại hai biến góc

Định lý 1.8 Biến đổi đồng dạng loại hai g biến tỉ số đơn của ba điểm phân

biệt tuỳ ý thành số phức liên hợp của tỉ số đơn của ba điểm ảnh

Chứng minh Biến đổi đồng dạng loại hai xác định bởi :

'

zz z  Khi đó :

Định lý 1.9 Song ánh của mặt phẳng lên chính nó bảo tồn tỉ số đơn của ba

điểm phân biệt tuỳ ý là một biến đổi đồng dạng loại một

Qua song ánh g của mặt phẳng, tỉ đơn của ba điểm phân biệt tuỳ ý bằng số phức liên hợp của tỉ số đơn của ba điểm ảnh thì g là một biến đổi đồng dạng loại hai

Chứng minh Lấy A z( ), ( )1 B z2 phân biệt cố định và f A z( )( '1), ( )(f B z'2) thì với mọi điểm M z( ) khác A B, , điểm '

Tương tự qua song ánh g thì '

z phải thoả mãn :

Hệ quả 1.2 Phép đồng dạng biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với

Biến đổi f của mặt phẳng phức xác định bởi:

R R

Do đó f là biến đổi đồng dạng loại một hoặc loại hai

Định lý 1.12 Nếu f là một song ánh của mặt phẳng lên chính nó mà biến mọi đường tròn thành đường tròn thì f là một biến đổi đồng dạng

Chứng minh Thật vậy, ta chỉ cần chứng minh rằng:

loại hai g biến A thành A' và biến B thành B'

Hai hình H và H’gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng

Zbiến hình này thành hình kia:Z(H)=H’

e) Điểm bất động và dạng chính tắc của phép biến đổi đồng dạng

Do biến đổi zzz là một biến đổi afin (vì 1 2  0) nên là một song ánh, vậy có điểm M0( )z0 duy nhất mà ảnh là O tức z0z0  0

hay z0 z0và M0( )z0 là điểm bất động duy nhất của g

Định lý 1.15 Tích của một phép vị tự và một phép dời hình nói chung không

giao hoán được

1) Tích của một phép quay Q với một phép vị tự V

( ,Q V Id) giao hoán được (tức V Q Q V ) khi và chỉ khi tâm của phép quay trùng với tâm của phép vị tự

2) Tích của một phép đối xứng trục Đ với một phép vị tự V J k, ,(k  1)

giao hoán được khi và chỉ khi tâm J của V J k, phải thuộc trục  của Đ

nên V J k, Đ và Đ V J k, đều xác định bởi k z

* Dạng chính tắc của biến đổi đồng dạng

Định lý 1.16 (Dạng chính tắc của biến đổi đồng dạng loại một khác dời

*Tồn tại : Để chứng minh tồn tại cách phân tích nói trên, giả sử f xác định bởi : '

zz z   ; gọi z0là tọa vị của điểm bất động (duy nhất) J

Định lý 1.17 (Dạng chính tắc của biến đổi đồng dạng loại hai khác dời hình)

Mỗi biến đổi đồng dạng loại hai khác dời hình là tích giao hoán được của một phép đối xứng trục Đ và một phép vị tự V J k, ,k 0,k 1; cách phân tích

đó là duy nhất

Chứng minh Thật vậy, nếu có V J k,  Đ=Đ V J k, thì J

Từ đó : J là điểm bất động (duy nhất) của biến đổi đồng dạng loại hai f

Chứng minh tồn tại cánh phân tích nói trên:

P Q

K

Từ (1), (2) và (3) ta có m  p n q (4)

Hơn nữa, bằng cách chỉ ra hệ thức liên hệ giữa tâm I cần tìm quỹ tích và tâm hai hình thoi cho trước giúp ta có một hình ảnh rõ ràng về quỹ tích tâm I

của hình thoi

Bài toán 2 Cho tam giác ABC Dựng phía ngoài tam giác các hình vuông

Chứng minh : AQ BR CP, , đồng quy tại trực tâm của tam giác PQR

Lời giải:

Trong mặt phẳng phức, gọi   , , lần lượt là tọa vị của A B C, , , chiều của tam giác ABC là chiều thuận

nên ta có AQ vuông góc vớiPR

Tương tự , ta có kết quả: BR vuông góc với PQ, CP vuông góc với QR

Vậy AQ BR CP, , là các đường thẳng chứa các đường cao của các tam giácPQR nên chúng đồng quy tại trực tâm của tam giác

* Nhận xét:

Bằng cách dùng số phức ta tính được ngay tọa vị của P Q R, , nhờ việc áp dụng phép đồng dạng tâm tại các đỉnh tam giácABC Lưu ý, ta chỉ cần tính được tọa vị của một đỉnh P, hoán vị đi ta có được tọa vị các đỉnh còn lại và

do đó các vectơ nhanh chóng tìm được tọa vị, sau đó chứng minh các cặp đường thẳng vuông góc với nhau, giúp cho bài toán trở nên đơn giản hơn

Bài toán 3 Cho tam giác ABC đều, tâm O Quay tam giác đó quanh O

một góc   (  k2 ) được ảnh là tam giác ' ' '

A B C Các giao điểm của đường thẳng AB và ' '

Gọa tọa vị của I J K, , lần lượt là trung điểm của BC CA AB, ,

Coi A B C, , có tọa vị lần lượt là z z z0, ,1 2, O: là gốc tọa độ

K

I

J

A' C'

B'

z cos 2isinz z z0 2 cosisinz0 z2

'' 1

( ) ( )

Do là tam giác IJK đều nên tam giác '' '' ''

*Nhận xét:

Theo trên việc coi đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đơn vị ta

có thể lập được phương trình đường thẳng qua hai điểm bất kỳ trên đường tròn có tọa vị là  , theo một công thức z z   Từ đó tính được tọa vị của các giao điểm và nhận thấy tồn tại một phép đồng dạng biến tam giác IJK thành tam giác '' '' ''

A B C Qua đây, ta thấy cách dùng số phức cho bài toán trên là một phương pháp tốt và có thể áp dụng cách lập phương trình đường thẳng như trên cho

những bài toán tương tự

Bài toán 4 Cho tam giác ABC Dựng bên ngoài tam giác các tam giác vuông tại A ,cạnh AB và AC , tam giác '

30

AC B AB C Gọi P là trung điểm của ' '

B C Chứng minh AP vuông góc với BC

*Nhận xét: Theo cách dùng số phức, bài toán trên trở nên đơn giản hơn Bài

toán trên cũng là một trong những dạng toán cơ bản cho cách dùng số phức

khi chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau

Bài toán 5 Cho tứ giác ABCD .Dựng bên ngoài tứ giác các tam giác

vuông cân cạnh huyền là AB BC CD DA, , , , các tam giác

C'

B' D'

i i

áp dụng tương tự như bài toán 4 ta có kết quả của bài toán này, dùng cách số phức lời giải trở nên ngắn gọn và sáng sủa hơn

Qua đây, ta có thể áp dụng để mở rộng cho các bài toán khác

Bài toán 6 Cho tam giác ABC Dựng tam giác đều '

ACA Gọi O là tâm tam giác '

ABA và I J, lần lượt là trung điểm của ''

O

Ta có : J là trung điểm của ''

AA nên tọa vị của J là :

Từ (1) và (2) suy ra tam giác OCJ và tam giác ''

OA I đồng dạng Vậy ta có điều phải chứng minh

* Nhận xét:

Bằng cách sử dụng số phức ta có thể chỉ ra được rõ ràng Ochính là tâm

của phép đồng dạng mà trong cách hình học ta chưa thể nhận ra ngay được

Bài toán 7 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi H là trực tâm

tam giác, AH BH CH, , cắt đương tròn (O) lần lượt tại ' ' '

là điểm đối xứng của A thứ tự qua OB OC, ; các điểm I J, là điểm đối xứng

của A thứ tự qua OP OQ, ;các điểm M N, là điểm đối xứng của I J, qua OA ;

,

E F là điểm đối xứng của M N, qua tiếp tuyến cua (O) theo thứ tự tại B C,

Chứng minh rằng tồn tại phép đồng dạng biến '

B thành E , biến '

Q

I

M

N E

F