Bài tập chủ đề số phức trong giải tích 12 nâng cao

Khúa lun tt nghip i hc GVHD:Th.S Dng Th H LI CM N Trc tiờn, tụi xin by t lũng cm n chõn thnh v bit n sõu sc n cụ giỏo Th.S Dng Th H ngi ó tn tỡnh ch bo, giỳp tụi quỏ trỡnh thc hin ti ny Tụi xin chõn thnh cm n cỏc thy cụ giỏo khoa Toỏn, c bit l cỏc thy cụ t phng phỏp ó truyn t cho tụi nhng kin thc quý bỏu c v lý thuyt ln thc tin l nn tng khoa hc tụi hon thnh khúa lun ny Tụi xin cm n gia ỡnh v bn bố l nhng ngi luụn ng viờn, giỳp tụi quỏ trỡnh lm khúa lun H Ni, thỏng 05 nm 2012 Sinh viờn Hong Th Thu Huyn Hong Th Thu Huyn K34D - Toỏn Khúa lun tt nghip i hc GVHD:Th.S Dng Th H LI CAM OAN Tụi xin cam oan ti Bi ch s phc Gii tớch 12 Nõng cao l tụi thc hin, khụng cú s trựng lp vi ti ca tỏc gi khỏc Nu sai tụi xin chu hon ton trỏch nhim H Ni, thỏng 05 nm 2012 Sinh viờn Hong Th Thu Huyn Hong Th Thu Huyn K34D - Toỏn Khúa lun tt nghip i hc GVHD:Th.S Dng Th H MC LC M U CHNG 1: H THNG HểA Lí THUYT CH S PHC GII TCH 12 NNG CAO CHNG 2: MT S DNG BI TP S PHC TRONG CHNG TRèNH TON NNG CAO THPT 11 2.1 Mt s dng bi v phộp toỏn s phc thng gp 11 2.1.1 Thc hin cỏc phộp toỏn v s phc, tỡm phn thc, phn o, s phc i, s phc liờn hp 11 2.1.2 Gii cỏc phng trỡnh n gin trờn Ê 13 2.1.3 Mt s bi toỏn v biu din hỡnh hc ca s phc 18 2.1.4 Tỡm hp cỏc im mt phng phc 23 2.2 Mt s dng bi v Cn bc hai ca s phc v phng trỡnh bc trờn Ê 27 2.2.1.Tỡm cn bc ca mt s phc 27 2.2.2 Gii phng trỡnh bc hai trờn Ê 33 2.3 Mt s dng bi v dng lng giỏc ca s phc v ng dng 39 2.3.1 Mt s dng bi v dng lng giỏc ca s phc 39 2.3.1.1 Tỡm dng lng giỏc ca mt s phc 39 2.3.1.2 Xỏc nh mụun v mt acgumen ca s phc 43 2.3.1.3 Tỡm dng i s ca s phc 48 2.3.1.4 Cn bc hai, cn bc n ca s phc (dng lng giỏc) 53 2.3.2 Mt s dng bi ng dng s phc 59 2.3.2.1 ng dng s phc vo toỏn t hp, lng giỏc 59 2.3.2.2 Phộp bin hỡnh v s phc 63 KT LUN 68 TI LIU THAM KHO 69 Hong Th Thu Huyn K34D - Toỏn Khúa lun tt nghip i hc GVHD:Th.S Dng Th H M U Lý chn ti H thng s thc ó c xõy dng nhm gii quyt trc ht o c Nh h thng s ny ú thc s ó c gii quyt trn Tt c cỏc i lng vt lớ, húa hc, kinh t, xó hi v.v u biu th c bng nhng s thc Vỡ vy nu ch xột o c thỡ khú thy c vỡ li m rng thờm h thng s thc Song bờn cnh yờu cu gii quyt cỏc thc t nh ong m, o c, vic m rng cỏc h thng s cũn nhm gii quyt thc hin c phộp toỏn ny hay phộp toỏn khỏc m h thng s c cha gii quyt c Chng hn, h thng cỏc s thc, phộp khai cn bc chn ca cỏc s õm khụng th thc hin c Vỡ vy cn phi m rng h thng cỏc s thc thnh h thng cỏc s phc cú th thc hin c phộp khai cn ca bt kỡ s thc no cp THPT, ni dung s phc cú rt nhiu ng dng d dng tip cn nhng bi toỏn s cp khú, ú cng l mt nhng lớ m nhng nm gn õy, B Giỏo dc ó a vo chng trỡnh ging dy cp ph thụng Trong cỏc kỡ thi tt nghip, cao ng, i hc hin nay, ni dung s phc xut hin ngy cng nhiu v tr thnh mt phn khụng th thiu cỏc thi, nhiờn l kin thc mi c a vo chng trỡnh ph thụng cho nờn m cỏc em hc sinh cũn cm thy lo lng v s gp cỏc bi v s phc H thng húa v phõn loi cỏc bi v s phc l mt vic lm thit thc v cú ý ngha quan trng dy hc toỏn THPT Vỡ vy ti nghiờn cu khoa hc c la chn l Bi ch s phc Gii Tớch 12 Nõng cao Mc ớch nghiờn cu H thng húa cỏc dng bi s phc chng trỡnh toỏn nõng cao THPT Nhim v nghiờn cu - Tỡm hiu ni dung chng trỡnh s phc lp 12 THPT v mt s ng dng ca s phc chng trỡnh toỏn nõng cao THPT Hong Th Thu Huyn K34D - Toỏn Khúa lun tt nghip i hc GVHD:Th.S Dng Th H - Thu thp v gii mt s thi v s phc cỏc kỡ thi cao ng v i hc i tng nghiờn cu Ni dung chng trỡnh dy hc s phc chng trỡnh toỏn nõng cao THPT Phng phỏp nghiờn cu Phng phỏp nghiờn cu lớ lun v phng phỏp tng kt kinh nghim Cu trỳc khúa lun Ngoi phn m u v kt lun, khúa lun gm hai chng: Chng 1: H thng húa lý thuyt ch s phc Gii tớch 12 - Nõng cao Chng 2: Mt s dng bi s phc chng trỡnh toỏn nõng cao THPT Hong Th Thu Huyn K34D - Toỏn Khúa lun tt nghip i hc GVHD:Th.S Dng Th H CHNG H THNG HểA Lí THUYT CH S PHC GII TCH 12 NNG CAO 1.1 S PHC - CC PHẫP TON 1.1.1 nh ngha s phc a) nh ngha * Mt s phc l mt biu thc dng a + bi , ú a v b l nhng s thc v s i tha i = - Kớ hiu s phc ú l z v vit z = a + bi * i c gi l n v o, a c gi l phn thc v b c gi l phn o ca s phc z = a + bi Tp hp cỏc s phc c kớ hiu l Ê Chỳ ý S phc z = a + 0i cú phn o bng c coi l s thc v vit l a + 0i = a ẻ Ă è Ê S phc cú phn thc bng c gi l s o (cũn gi l s thun o): z = + bi (b ẻ Ă ) ; i = + 1i = 1i S = + 0i = 0i va l s thc va l s o b) nh ngha Hai s phc z = a + bi (a, b ẻ Ă ), z ' = a '+ b ' i (a ', b ' ẻ Ă ) gi l bng nu a = a ', b = b ' Khi ú ta vit z = z ' 1.1.2 Phộp cng v phộp tr s phc a) Tng ca hai s phc Tng ca hai s phc z = a + bi, z ' = a ' + b ' i (a, b, a ', b ' ẻ Ă ) l s phc: z + z ' = a + a ' + (b + b ')i b) Tớnh cht ca phộp cng s phc * Tớnh cht kt hp: Hong Th Thu Huyn K34D - Toỏn Khúa lun tt nghip i hc GVHD:Th.S Dng Th H (z + z ') + z " = z + (z '+ z ") , vi mi z , z ', z " ẻ Ê * Tớnh cht giao hoỏn: z + z ' = z ' + z vi mi z , z ' ẻ Ê * Cng vi 0: z + = + z = z vi mi z ẻ Ê * S phc i : - z = - a - bi c gi l s phc i ca z = a + bi (a, b ẻ Ă ) Nh vy, ta cú: z + (- z ) = (- z )+ z = c) Phộp tr hai s phc Hiu ca hai s phc z v z ' l tng ca z vi - z ' , tc l z - z ' = z + (- z ') Nu z = a + bi, z ' = a ' + b ' i (a, b, a ', b ' ẻ Ă ) thỡ z - z ' = a - a ' + (b - b ')i 1.1.3 Phộp nhõn s phc a) Tớch ca hai s phc * Tớch ca hai s phc z = a + bi, z ' = a ' + b ' i (a, b, a ', b ' ẻ Ă ) l s phc ( ) zz' = aa '- bb ' + ab ' + a ' b i * " k ẻ Ă , " z = a + bi (a, b ẻ Ă ) ị kz = ka + kbi * 0z = 0, z = z 1= z , " z ẻ Ê b) Tớnh cht ca phộp nhõn s phc * Tớnh cht giao hoỏn: zz'= z'z , " z , z' ẻ Ê * Tớnh cht kt hp: (zz') z"= z ( z'z"), " z , z ', z " ẻ Ê * Tớnh cht phõn phi (ca phộp nhõn i vi phộp cng): z (z '+ z ") = zz'+ zz" , " z , z', z" ẻ Ê 1.1.4 S phc liờn hp v mụun ca s phc a) S phc liờn hp * S phc liờn hp ca s phc z = a + bi l z = a - bi * Vi mi s phc z v z ' ta u cú : Hong Th Thu Huyn K34D - Toỏn Khúa lun tt nghip i hc GVHD:Th.S Dng Th H z = z; z + z ' = z + z '; zz' = z z '; zz = a + b2 b) Mụ un ca s phc * Mụ un ca s phc z = a + bi l a = * Nu z = a + bi (a, b ẻ Ă ) thỡ z = a + b2 zz = a + b2 z 0; z = z = 1.1.5 Phộp chia cho s phc khỏc * S nghch o ca s phc z khỏc l s phc z - = z z * Nu z thỡ ì z' z' z' z ' z 'z z 'z ổ ỗỗz ' ữ ữ = = ; = ; = ì ỗố z ữ ữ z z z z z ứ z z 1.1.6 Biu din hỡnh hc ca s phc * Trong mt phng Oxy , mi s phc z = a + bi (a, b ẻ Ă ) c biu din bng mt im M (a ; b) y M (z ) b O a x Hỡnh 1.1 * Mt phng ta Gc ta O biu din s Cỏc im trờn trc honh biu din s thc, ú trc Ox gi l trc thc Cỏc im trờn trc tung biu din cỏc s o, ú trc Oy gi l trc o Hong Th Thu Huyn K34D - Toỏn Khúa lun tt nghip i hc GVHD:Th.S Dng Th H * Cho cỏc s phc z = a + bi ; z ' = a '+ b ' i (a, b, a ', b ' ẻ Ă ) c biu din bng cỏc im M (a ; b ), M ' (a ' ; b ') Lỳc ú s phc z + z ' c biu uuur uuur uuuur din bng im P cho OP = OM + OM ' , s phc z - z ' c biu din uuur uuur uuuur bng im Q cho OQ = OM - OM ' * Nu im A, B ln lt biu din s phc z = a + bi, z ' = a '+ b ' i uuur (a, a ', b, b ' ẻ Ă ) thỡ A B = z '- z * Hai s phc liờn hp vi v ch cỏc im biu din ca chỳng i xng qua trc thc Ox * Hai s phc i cỏc im biu din ca chỳng i xng qua gc ta O uuur * Mụ un ca s phc z chớnh thc l di di ca vect OM 1.2 CN BC HAI CA S PHC V PHNG TRèNH BC HAI 1.2.1 Cn bc hai ca s phc nh ngha: Cho s phc w Mi s phc z tha z = w c gi mt cn bc hai ca s phc w l Cỏch tỡm cn bc hai ca s phc w l tỡm nghim ca phng trỡnh z - w = (n z ) a) Khi w l s thc Khi w = ị z - w = z = z = Vy cn bc hai ca l Khi w = a > ị z - w = z - a = (z - a )(z + a) = z = - a z = a Vy s thc a dng cú hai cn bc hai l - a v a Khi w = a < ị z - w = z - a = (z - - )(z + - ) = z = - Vy s thc a õm cú hai cn bc hai l - - z = - - v - Chỳ ý: Hong Th Thu Huyn K34D - Toỏn Khúa lun tt nghip i hc GVHD:Th.S Dng Th H Hai cn bc hai ca - l i v - i Hai cn bc hai ca - a (a 0, a ẻ Ă ) l v - b) Khi w = a + bi (a, b ẻ Ă ), b S phc z = x + yi (x , y ẻ Ă ) l cn bc hai ca w = a + bi v ch z = w (x + yi )2 = a + bi ỡù x - y = a x - y + 2xyi = a + bi ùớ ùù 2xy = b ợ 2 ( ) Gii h trờn ta c nghim l cỏc cp s thc x ; y , mi mt nghim ca h cho ta mt cn bc hai z = x + yi ca s phc w = a + bi Mi mt s phc khỏc cú ỳng hai cn bc hai l hai s i 1.2.2 Phng trỡnh bc hai Gii phng trỡnh bc hai A z + Bz + C = (1) , (A, B, C ẻ Ê , A 0) : Tớnh bit thc D = B - 4AC Nu D = B - 4A C thỡ phng trỡnh (1) cú hai nghim phõn bit z1 = -B+ d -B- d (trong ú d l mt cn bc hai ca D ) , z1 = 2A 2A Nu D = B - 4AC = thỡ phng trỡnh (1) cú hai nghim kộp z1 = z = - B 2A c bit Khi D > , D ẻ Ă thỡ phng trỡnh (1) cú hai nghim phõn bit: z1 = -B+ D -B- D , z2 = 2A 2A Khi D < , D ẻ Ă thỡ phng trỡnh (1) cú hai nghim phõn bit: z1 = - B + - Di - B - - Di , z2 = 2A 2A Chỳ ý Hong Th Thu Huyn K34D - Toỏn Khúa lun tt nghip i hc GVHD:Th.S Dng Th H Gii 3 2 3p 3p +i = 3(+i ) = 3(cos + i sin ) 2 2 4 Ta t z = r (cosj + i sin j ) ( r > 0) l mt cn bc hai ca w thỡ ta cú: w= - z = w r (cos2j + i sin 2j ) = 3(cos ùỡù r = ùớ ùù 2j = 3p + k 2p, k = 0, ùợù 3p 3p + i sin ) 4 ỡù r = ù ùớ ùù j = 3p + k p , k = 0, ùùợ Suy w cú hai cn bc hai l: ộ 3p k 2p ổ3p k 2p ửữự ỳ ữ z = ờờcos( + ) + i sin ỗỗ + ữỳ (k = 0, 1) ỗố ữ 2 ứ ỷ k = 0ị z = 3(cos 3p 3p + i sin ) 8 ộ ự 3p 3p ờcos( + p ) + i sin( + p )ỳ ỳ 8 ỷ ổ 11p 11p ữ ữ ị z = ỗỗcos + i sin ữ ỗố 8 ữ ứ k = 1ị z = Vy w cú hai cn bc hai : z = z2 = 3p 3p + i sin ) v 8 ổ 11p 11p ữ ữ ỗỗcos + i sin ỗố ữ 8 ữ ứ 3(cos Vớ d 22 Tỡm cn bc ba ca s phc sau v vit di dng lng giỏc w= w= 2 - i ì 2 Gii ổ pử ổ p ửữ 2 ỗỗ- ữ ữ - i = cos ỗỗ- ữ + i sin ữ ỗố ữ ữ 2 ứ ốỗ ữ ứ Ta t z = r (cosj + i sin j ) ( r > 0) l mt cn bc ba ca w thỡ ta cú: Hong Th Thu Huyn 55 K34D - Toỏn Khúa lun tt nghip i hc GVHD:Th.S Dng Th H ổ pử ổ p ửữ ỗỗ- ữ ữ z = w r (cos3j + i sin 3j ) = cos ỗỗ- ữ + i sin ữ ữ ỗố ữ ứ ốỗ ứữ ùỡù r = ùớ ùù 3j = - p + k 2p , k = 0, ùùợ ùỡù r = ù ùù j = - p + k 2p , k = 0, ùợ 12 ổ pử ổ ữ ỗỗ- p ữ ữ ữ Suy w cú ba cn bc ba l: z = cos ỗỗ, + i sin ữ ữ ỗố 12 ữ ỗố 12 ữ ứ ứ ổ7p ổ ổ5p ửữ ổ ỗỗ7p ữ ỗỗ ữ+ i sin ỗỗ5p ữ ữ ữ ữ v z = cos ỗỗ ữ + i sin z = c os ữ ữ ữ ữ ỗố 12 ữ ỗố 12 ữ ỗố ứữ ứ ứ ốỗ ứữ b) Bi dng Tỡm cn bc hai ca cỏc s phc sau v vit di dng lng giỏc 5p ; b) + i 2 Tỡm cn bc ba ca cỏc s phc sau v vit di dng lng giỏc a) - i t an a) - + i ; b) i Tỡm cn bc bn ca s phc sau v vit di dng lng giỏc - - i 2 Chn ỏp ỏn ỳng Cn bc hai ca (A) - i vit di dng lng giỏc l ổ p ổ 11p pử 11p ữ ỗỗcos ữ ữ; ỗỗcos + i sin ữ + i sin , ữ ữ ữ ỗố 12 ỗ 12 12 ữ 12 ứ ố ứ ộ ổ pử ổ pữ ửự ổ ữ ỗỗỳ, ỗỗcos 11p + i sin 11p ữ ữ ữ ữ ; ờờcos ỗỗ+ i sin ữ ỳ ỗố 12 ữ ỗố 12 ữ ỗố ữ ữ ữ 12 12 ứ ứ ứ ỷ ổ p ửữ ổ ổ p ỗỗ- p ữ ỗỗcos + i sin p ữ ữ ữ ữ; (C) cos ỗỗ, + i sin ữ ữ ữ ỗố 12 ữ ỗố 12 ữ ỗố 12 12 ứữ ứ ứ (B) (D) ổ 5p 5p ữ ỗỗcos + i sin ữ ữ, ỗố 12 12 ữ ứ ổ p pử ữ ỗỗcos + i sin ữ ữ ỗố 12 12 ữ ứ Hng dn Hong Th Thu Huyn 56 K34D - Toỏn Khúa lun tt nghip i hc a) w = - i t an = 5p cos 5p = GVHD:Th.S Dng Th H 5p cos ổ 5p 5p ỗỗcos ữ - i sin ữ ữ ỗố 8ữ ứ ộ ổ 5p ổ 5p ửữự ữ ỗỗờcos ỗỗỳ ữ ữ + i sin ữ ữỳ ỗố ữ ỗố ứữ ứ ỷ Ta t z = r (cosj + i sin j ) ( r > 0) l mt cn bc hai ca w Ta cú: z = w r (cos2j + i sin 2j ) = 5p cos ộ ổ 5p ổ 5p ữ ửự ữ ỗỗờcos ỗỗỳ ữ ữ + i sin ữ ỗố ữ ữ ữ ỗ ứ ố ứỳỷ ỡù ùù r = ùù 5p cos ùớ ùù ùù 2j = - 5p + k 2p, k = 0, ùợù ỡù ùù r = ùù 5p ù cos ùù 5p ùù + k p , k = 0, ùù j = 16 ợ Suy w cú hai cn bc hai l: z= 5p cos ộ ổ ửự ờcos(- 5p + k p ) + i sin ỗỗ- 5p + k p ữ ỳ, k = 0, ữ ữ ỗố 16 ữ 16 ứỳỷ k = 0ị z = k= ị z = 5p cos 5p c os 5p cos Vy w cú hai cn bc hai : ị z= Hong Th Thu Huyn ộ ổ 5p ổ 5p ửữự ữ ỗỗờcos ỗỗữ ữỳ + i sin ỗố 16 ứữ ỗố 16 ứữ ữ ữỳ ỷ ộ ổ 5p ửữ ổ 5p ửữự ỗỗờc os ỗỗỳ ữ ữ + p + i sin + p ữ ữ ỗố 16 ữ ữ ỗ ứ ố 16 ứỳỷ ổ 11p 11p ửữ ỗỗcos ữ + i sin ữ ỗố 16 16 ữ ứ 57 K34D - Toỏn Khúa lun tt nghip i hc z1 = 5p cos GVHD:Th.S Dng Th H ộ ổ 5p ổ 5p ữ ửự ữ ỗỗờcos ỗỗỳ v z = ữ ữ + i sin ữ ỗố 16 ữ ỳ ỗ ữ 5p ứ ố 16 ữ ứỷ cos ổ 11p 11p ửữ ỗỗcos ữ + i sin ỗố 16 16 ữ ứữ p p +i = cos + i sin 2 3 Ta t z = r (cosj + i sin j ) ( r > 0) l mt cn bc hai ca w thỡ ta cú: b) w = z = w r (cos2j + i sin 2j ) = cos ùỡù r = ùớ ùù 2j = p + k 2p, k = 0, ùợù Suy w cú hai cn bc hai l: p p + i sin 3 ùỡù r = ù ùù j = p + k p, k = 0, ùợ ổp ổp ỗỗ + k p ữ ữ ữ z = cos ỗỗ + k p ữ + i sin , k = 0, ữ ữ ữ ữ ỗố ỗố ứ ứ k = ị z = cos p p + i sin ì 6 ộ ự p p k = ị z = ờcos( + p ) + i sin( + p )ỳ ỳ 6 ỷ ị z = cos 7p 7p + i sin 6 Vy w cú hai cn bc hai : p p 7p 7p + i sin v z = cos + i sin 6 6 ổ ửữ 2p 2p ỗỗ ữ a) w = - + i = ỗ- + i = 2(cos + isin ) ì ữ ỗố 2 ữ 3 ữ ứ z = cos Ta t z = r (cosj + i sin j ) ( r > 0) l mt cn bc ba ca w thỡ ta cú: z = w r (cos3j + i sin 3j ) = 2(cos Hong Th Thu Huyn 58 2p 2p + i sin ) 3 K34D - Toỏn Khúa lun tt nghip i hc GVHD:Th.S Dng Th H ỡù r = ù ùớ ùù j = 2p + k 2p , k = 0, ùùợ ổ 2p 2p ữ, Suy w cú cn bc ba l: z = ỗỗcos + i sin ữ ỗố ữ 9 ứữ ùỡù r = ùớ ùù 3j = 2p + k 2p , k = 0, ùợ z2 = ổ 8p 8p ữ v z = ỗỗcos + i sin ữ ỗố ữ 9ữ ứ ổ 14p 14p ữ ữ ỗỗcos + i sin ỗố ữ 9 ữ ứ b) i cú cn bc ba l: cos ổ pử ổ p ửữ p p 5p 5p ỗỗ- ữì ữ v cos ỗỗ- ữ + i sin , cos + i sin + i sin ữ ỗố ữ ữ 6 6 ứ ốỗ ứữ 7p 7p - i = cos + i sin ì 2 6 Ta t z = r (cosj + i sin j ) (r > 0) l mt cn bc bn ca w thỡ ta cú: w = - z = w r (cos4j + i sin 4j ) = cos 7p 7p + i sin 6 ỡù r = ỡù r = ùù ùù ùù 4j = 7p + k 2p , k = 0, ùù j = 7p + k p , k = 0, ùùợ ùợ 24 Suy w cú cn bc bn l z = cos z = cos 7p 7p 19p 19p ; z = cos ; + i sin + i sin 24 24 24 24 31p 31p 43p 43p v z = cos + i sin + i sin 24 24 24 24 (B) 2.3.2 Mt s dng bi ng dng s phc 2.3.2.1 ng dng s phc vo toỏn t hp, lng giỏc * Chỳ ý Mt s cụng thc rỳt gn cỏc biu thc lng giỏc: (cosj + i sin j )(cosj '+ i sin j ') = ộởờcos(j + j ') + i sin(j + j ')ự ỳ ỷ, Hong Th Thu Huyn 59 K34D - Toỏn Khúa lun tt nghip i hc GVHD:Th.S Dng Th H (cosj + i sin j ) = ộờởcos(j - j ') + i sin(j - j ')ự ỳ ỷ (cosj '+ i sin j ') a) Vớ d Vớ d 23 Tớnh cos3x , sin3x theo sin x v cos x Gii Ta cú: (cos x + i sin x )3 = cos 3x + i sin 3x cos3x + 3cos2xi sin x + cos x ( i sin x )2 + (isin x )3 = cos3x + isin 3x (cos 3x - cos x sin x )+ i (3cos2x sin x - sin 3x )= cos3x + i sin x Vy cos 3x = cos x - cos x sin x = cos3 x - cos x (1 - cos2 x ) = cos3 x - cos x sin 3x = cos2 x sin x - sin x = 3(1 - sin x ) sin x - sin x = - sin x + sin x Vớ d 24 Tớnh cỏc tng sau n = 4k + : S = C 20n + - C 22n + + C 24n + - + C 22nn +- 12 - C 22nn + , S ' = C 21n + - C 23n + + C 25n + - + C 22nn +- 11 - C 22nn ++ 11 Gii Xột: (1 + i )2n + = C 20n + + iC 21n + + i 2C 22n + + i 3C 23n + + L L + i 2n - 2C 22nn +- 12 + i 2n - 1C 22nn +- 11 + i 2nC 22nn + + i 2n + 1C 22nn ++ 11 = C 20n + - C 22n + - L + C 22nn+- 12 - C 22nn+ + i (C 21n + - C 23n + + L + C 22nn +- 11 - C 22nn ++ 11 ) Mt khỏc: + i = 2( +i )= 2(cos p p + i sin ) 4 ộ (2n + 1)p (2n + 1)p ựỳ ị (1 + i )2n + = ( 2)2n + ờcos + i sin ỳ 4 ỷ ộ ổp n p ổ ửự ữ ỗỗ p + n p ữ ỳ ữ ữ = 2n ờờcos ỗỗ + + i sin ữ ữ ữ ữ ỗố ỗ ứ ố ứỳỷ Hong Th Thu Huyn 60 K34D - Toỏn Khúa lun tt nghip i hc GVHD:Th.S Dng Th H ộ 3p 3p ự = 2n ờcos + i sin ỳ= - 2n + 2n i 4 ỳỷ Vy: S = C 20n + - C 22n + + C 24n + - L + C 22nn+- 12 - C 22nn+ = - 2n , S ' = C 21n + - C 23n + + C 25n + - L + C 22nn+- 11 - C 22nn++ 11 = 2n b) Bi luyn Tớnh cỏc biu thc sau theo sin x v cos x a) cos4x , sin4x ; b) cos5x , sin5x Chng minh n chn n cos n x = - C n2 t an x + C n4 t an x + L + (- 1) C nn t an n x ; n cos x n- sin n x 3 5 = C t an x C t an x + C t an x L + ( 1) C nn - t an n - x n n n n cos x Chn ỏp ỏn ỳng a) Mnh no sau õy sai (A) cos4x = 4cos4x + 8cos2x + cos x ; (B) cos5x = 16cos5x - 20cos 3x + cos x ; ( ) (C) sin 4x = sin x cos x cos2x - sin x ; (D) sin 5x = 16sin 5x - 20 s in 3x + sin x ( ) b) Cho z = r cosj + i sin j , kớ hiu z = e i j Khi ú, e ij + e - ij , e ij - e - ij ln lt l cỏc giỏ tr no sau õy (A) 2icosj , sin j ; (B) 2cosj , sin j ; (C) cosj , sin j ; (D) 2cosj , 2i sin j Hng dn ( a) Ta cú: cos4x + i sin 4x = cos x + i sin x ) ) ( ) - (2 sin x cos x ) cos4x + i s in4x = cos2x - sin x Hong Th Thu Huyn ( cos4x + i s in4x = cos2x - s in 2x + 2i sin x cos x 61 K34D - Toỏn Khúa lun tt nghip i hc GVHD:Th.S Dng Th H ( ) + 2i (2 sin x cos x ) cos2x - s in 2x ( Vy cos4x = cos2x - sin x 2 ) - (2 sin x cos x ) = cos4 x + s in 4x - s in 2xcos2x ( = cos x + - cos2x )- ( 6cos2x - cos2x ) = 8cos4x - 8cos2x + ( ) sin 4x = sin x cos x cos2x - sin x ( b) cos5x + i sin 5x = cos x + i sin x ) ( cos5x + i s in5x = cos5x + 5cos4x i sin x + 10cos3x i s in 2x ( ) ) + 10cos2x i s in 3x + 5cosx i s in 4x + i s in 5x cos5x + i sin 5x = cos5x - 10cos3x s in 2x + cos x s in 4x ( ) + i 5cos4x sin x - 10cos2x s in 3x + sin x Vy cos5x = cos5x - 10cos 3x s in 2x + cos x s in 4x ( ) ( = cos5x - 10cos3x - cos2x + cos x - cos2x ) = 16cos x - 20cos x + cos x s in5x = 5cos4x sin x - 10cos2x s in 3x + s in 5x ( ) ( ) = - s in 2x sin x - 10 - s in 2x s in 3x + sin 5x = 16sin x - 20 s in x + sin x n ( Do cos x + i sin x ) = C n0cosn x + iC n1cosn - 1x sin x + L L + i n - 1C nn - cos x s in n - 1x + i nC nn cos x s in n x n n n = C cos x - C cos n - C cos Hong Th Thu Huyn n x s in x + L + (- 1) s in n x + i[C n1cosn - 1x sin x n- 2 n -1 x s in x + L + (- 1) n- 3 C nn - cos x s in n - 1x ] 62 K34D - Toỏn Khúa lun tt nghip i hc GVHD:Th.S Dng Th H n ( Mt khỏc cos x + i sin x ) = cos nx + i sin nx Do ú n cos nx = C n0cosn x - C n2cosn - 2x s in 2x + L + (- 1)2 s in n x n = cos x [C - C t an x + C t an x + L + (- 1) C nn t an n x ], n n n n n cos nx 2 ị = C n - C n t an x + C n t an x + L + (- 1)2 C nn t an n x n cos x n sin nx = C cos n n- n x sin x - C cos n n n - x s in x + L + (- 1) n- n = cos x [C t an x - C t an x + C t an x - L + (- 1) n- 2 C nn - cos x s in n - 1x C nn - t an n - x ], n- sin nx 3 5 ị = C n t an x - C n t an x + C n t an x - L + (- 1) C nn - t an n - x n cos x Vy bi toỏn c chng minh a) (A) b) (D) 2.3.2.2 Phộp bin hỡnh v s phc * Chỳ ý Phộp bin hỡnh: Trong mt phng phc, phộp bin hỡnh f bin im M (z ) thnh im M ' (z ') c xỏc nh bng mt h thc gia z v z ' : z ' = f (z ) + Phộp tnh tin: z ' = z + c ( c l s phc cho trc) + Phộp i xng - i xng qua gc ta O : z ' = - z - i xng qua trc Ox : z ' = z - i xng qua trc Oy : z ' = - z ( + Phộp v t tõm O , t s v t k : z ' = kz k ẻ Ă * ) + Phộp quay tõm O , gúc quay j : z ' = (cosj + i sin j )z c bit: Phộp quay tõm O , gúc quay 90o z ' = iz + Phộp ng dng: z ' = r (cosj + i sin j )z Hong Th Thu Huyn 63 K34D - Toỏn Khúa lun tt nghip i hc GVHD:Th.S Dng Th H i vi dng toỏn ny, ta thng quy v ta ca im a) Vớ d Vớ d 25 Cho hỡnh vuụng A BCD cú nh theo th t ú (ngc chiu kim ng h), ln lt biu din cỏc s phc a, b, c v d a) Cho a = + i, b = - 2i Tỡm c v d ; b) Cho a = - + 5i, c = - 8i Tỡm b v d Gii a) Phộp quay tõm A , gúc quay 90o bin im B thnh im D , suy ra: uuur uuur A (2 + i ) D A D = iA B d - a = i (b - a ) d - (2 + i ) = i (3 - 2i - - i ) d = + i + 3i + - 2i + d = + 2i uuur uuur Ta cú: DC = A B c - d = b - a c = d + b- a c = + 2i + - 2i - - i B (3 - 2i ) C Hỡnh 2.4 c = 6- i Vy c = - i v d = + 2i b) Phộp quay tõm B gúc quay 90o bin im C thnh A nờn ta cú: uuur uuur A (- + 5i ) D BA = iBC a - b = i (c - b) b(1 - i ) = a - ic b(1 - i ) = - + 5i - 4i - = - 10 + i b= (- 10 + i )(1 + i ) - 10 + i = 1- i 11 9i b= ì 2 uuur uuur Ta cú: A D = BC d - a = c - b d = a + c - b d = - + 5i + - 8i - (- Hong Th Thu Huyn C (4 - 8i ) B Hỡnh 2.5 11 9i 15 3i ) d = + 2 2 64 K34D - Toỏn Khúa lun tt nghip i hc GVHD:Th.S Dng Th H 11 9i 15 3i v d = + 2 2 Vớ d 26 Tõm ca mt hỡnh vuụng A BCD cú nh theo th t ngc Vy b = - chiu kim ng h l im K (- + i ), mt nh l im A (1 + 3i ) Tỡm nh cũn li Gii Bn nh ca hỡnh vuụng l A, B , C , D ln lt biu din cỏc s phc a , b , c , d Tõm K biu din A (1 + 3i ) s phc k = - + i uuur uuur Ta cú: CK = K A D K (- + 1i ) k- c = a- k c = 2k - a c = - + 2i - - 3i C Hỡnh 2.6 Phộp quay tõm K , gúc quay 90o bin im A thnh im B nờn ta cú: uuur uuur K B = iK A b - k = i (a - k ) c = - 5- i B b = k + ia - ik = - + i + i + 3i + 2i - i b = - + 4i Ta cú K l trung im ca BD nờn: b + d = 2k d = 2k - b = - + 2i + - 4i = - 2i Vy nh cũn li l B (- + 4i ) , C (- - 1i ) v D (0 - 2i ) b) Bi luyn Cho hỡnh ch nht A BCD cú A B = 4BC Bn nh A , B ,C v D (theo chiu kim ng h) ln lt biu din cỏc s phc a , b , c v d Cho a = + 2i , b = + 6i Tỡm c v d Cho hỡnh ch nht A BCD cú bn nh A, B , C v D (theo chiu kim ng h) ln lt biu din cỏc s phc a, b, c v d Bit A B = 2CB , a = - - i v c = + 5i Tỡm b v d Chn ỏp ỏn ỳng Hong Th Thu Huyn 65 K34D - Toỏn Khúa lun tt nghip i hc GVHD:Th.S Dng Th H Cho hỡnh vuụng A BCD cú nh theo th t cựng chiu kim ng h cú tõm O (1 - i ) v im D (2 + 3i ) Ta im A l (A) - ; (B) - 2i ; (C) - + i ; (D) - 2i Hng dn Ta thy im A bin thnh im C qua hai phộp bin hỡnh liờn tip: Phộp quay tõm B vi gúc quay 90 v phộp v t tõm B vi t s v t k = Ta cú: uuur uuur BC = iBA A (1 + 2i ) i (a - b) 4c = 4b + ia - ib B (5 + 6i ) c- b= D ( ) ( C 4c = (20 + 24i ) + i + 2i - 5i + 6i ) Hỡnh 2.7 4c = 24 + 20i c = + 5i uuur uuur Ta cú: DC = A B c - d = b- a d = a + c - b d = + 2i + + 5i - - 6i = + i Ta thy im C bin thnh im A bng cỏch thc hin liờn tip phộp tõm B gúc quay - 90 v phộp v t tõm B t s k = uuur uuur A (- - 1i ) B Ta cú: BA = - 2iBC a - b = - 2i (c - b) b + 2ib = a + 2ci b (1 + 2i ) = - - i + 6i - 10 b (1 + 2i ) = - 12 + 5i C (3 + 5i ) D Hỡnh 2.8 - 12 + 5i 29 = - + i + 2i 5 uur uuur V ta cú C D = BA d - c = a - b b= ổ 29 ửữ 9i d = d = c + a - b = + 5i - - i - ỗỗ- + iữ ữ ỗố 5 5 ứữ Hong Th Thu Huyn 66 K34D - Toỏn Khúa lun tt nghip i hc GVHD:Th.S Dng Th H (B) KT LUN Trờn õy l h thng mt s dng bi s phc chng trỡnh toỏn nõng cao THPT Mi dng u cú cỏc vớ d minh c th cựng vi bi luyn (cú hng dn) bao gm bi t lun v bi trc nghim nhm giỳp cỏc em hc sinh nm c cỏc dng toỏn, luyn v rốn luyn k nng gii toỏn s phc Hong Th Thu Huyn 67 K34D - Toỏn Khúa lun tt nghip i hc GVHD:Th.S Dng Th H KT LUN Trờn õy l ton b ni dung khúa lun ca tụi Trong khúa lun tt nghip ny, tụi ó trỡnh by hiu bit ca mỡnh v nhng kin thc c bn ni dung s phc v mt s dng bi liờn quan Qua vic nghiờn cu ti ny, tụi c m rng tm hiu bit ca mỡnh v s phc v lm quen vi vic nghiờn cu khoa hc Sau thc hin ti ny, tụi thy mỡnh t c mt s kt qu sau: + Tỡm hiu c ni dung chng trỡnh s phc v mt s ng dng ca s phc chng trỡnh toỏn nõng cao THPT + H thng húa cỏc dng bi s phc chng trỡnh toỏn nõng cao THPT Qua khúa lun ny, tụi mun giỳp cỏc em hc sinh rốn luyn k nng gii cỏc bi s phc M b mụn Toỏn hin nay, ni dung s phc l mt phn rt quan trng Vỡ vy, ti: Bi ch s phc Gii tớch 12 - Nõng cao l cn thit, cú ý ngha lý lun v thc tin Do kh nng bn thõn v thi gian cú hn nờn quỏ trỡnh vit cng nh quỏ trỡnh in n khúa lun khú trỏnh nhng thiu sút Tụi kớnh mong cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn sinh viờn úng gúp ý kin giỳp tụi hon thnh khúa lun ca mỡnh Tụi xin chõn thnh cm n cỏc thy cụ giỏo khoa Toỏn Trng i Hc S Phm H Ni 2, c bit Cụ giỏo Th.S DNG TH H ó ch bo, hng dn tụi thi gian tụi thc hin khúa lun Cụ ó cú nhng nhn xột quý bỏu giỳp tụi hon thnh khúa lun ny! Hong Th Thu Huyn 68 K34D - Toỏn Khúa lun tt nghip i hc GVHD:Th.S Dng Th H TI LIU THAM KHO Trn c Huyờn (Ch biờn), Nguyn Duy Hiu, Nguyn Lờ Thỳy Hoa, Nguyn Thnh Tun ( 2012), Gii toỏn hm s m logarit v s phc 12, Nxb Giỏo dc Vit Nam, TP H Chớ Minh Ngụ Thỳc Lanh ( 1986), i s v s hc - mt, Nxb Giỏo dc, H Ni Nguyn Vn Nho, Lờ By ( 2008), Phng phỏp gii cỏc dng toỏn tớch phõn s phc 12 , Nxb i hc quc gia H Ni, H Ni on Qunh (Tng ch biờn), Nguyn Huy oan (Ch biờn), Trn Phng Dung, Nguyn Xuõn Liờm, ng Hựng Thng (2011), Gii tớch 12 Nõng cao, Nxb Giỏo dc Vit Nam, TP H Chớ Minh Hong Th Thu Huyn 69 K34D - Toỏn [...]... G 0 D A BC cú cựng trng tõm vi tõm ng trũn ngoi tip D A BC u c) Chng minh rng nu z 12 + z 22 = z 1z 2 ạ 0 thỡ D OA B u (O l gc ta ) + z 12 + z 22 = z 1z 2 ạ 0 ị z 1z 2 - z 12 = z 22 ị z 1 (z 2 - z 1 ) = z 22 2 ị z 1 z 2 - z 1 = z 2 (1) + z 12 + z 22 = z 1z 2 ạ 0 ị z 1z 2 - z 22 = z 12 ị z 2 (z 1 - z 2 ) = z 12 2 ị z 2 z 2 - z 1 = z 1 (2) T (1) v (2) ị z 2 - z 1 = z2 z1 2 = z1 z2 2 3 3 ị z 1 =... Khúa lun tt nghip i hc GVHD:Th.S Dng Th H KT LUN Trong chng 1, tụi ó h thng húa li mt s kin thc c bn v s phc Gii tớch 12 - Nõng cao Nhng kin thc ú s c s dng lm kin thc nn tng gii cỏc bi tp phõn dng tng ng c trỡnh by chng 2 Hong Th Thu Huyn 10 K34D - Toỏn Khúa lun tt nghip i hc GVHD:Th.S Dng Th H CHNG 2 MT S DNG BI TP S PHC TRONG CHNG TRèNH TON NNG CAO THPT 2.1 Mt s dng bi tp v phộp toỏn s phc thng... y = - 1 ợ ợ Vy phng trỡnh cú hai nghim: z 1 = - 2 + i ; z 2 = - 2 - i ( ) b) z 2 + 5 - 12i = 0 z 2 - 4 + 12i + 9i 2 = 0 2 z + 2 + 3i )ự = 0 z 2 - (2 + 3i ) = 0 ộờz - (2 + 3i )ựộ ỳờ ỳ ở ỷở ( ỷ z = 2 + 3i z = - 2 - 3i 4 a) (A) b) (C) c) (B) d) (B) 2.1.3 Mt s bi toỏn v biu din hỡnh hc ca s phc a) Vớ d Vớ d 7 Trong mt phng phc Oxy , cho ba im A , B , C khụng thng hng biu din cỏc s phc a , b , c ... 4)2 12m = 84 m = 7 Vy m = 7 tha món bi toỏn b) Bi tp luyn tp 1 Cho tam giỏc A BC cú cỏc nh A (z 1 ) ; B (z 2 ) ; C (z 3 ) (tc l cỏc nh A , B , C ln lt l cỏc im biu din ca cỏc s phc z 1 , z 2 , z 3 ) a) Tỡm G (z ) (G l trng tõm tam giỏc A BC ) b) Chng minh rng nu z 1 = z 2 = z 3 thỡ D A BC u khi v ch khi z 1 + z 2 + z 3 = 0 c) Chng minh rng z 12 + z 22 = z 1z 2 ạ 0 thỡ D OA B u (O - gc ta ) 2 Trong. .. 1z 2 + z 2z 3 l (A) - 1 + 4i ; Hong Th Thu Huyn (B) 1 + 4i ; (C) 1 - 4i ; 12 (B) - 1 - 4i K34D - Toỏn Khúa lun tt nghip i hc GVHD:Th.S Dng Th H Hng dn 1 a) z = (2 + i )3 - (1 + 2i )3 - (3 - i )(2 - i ) 3ự ộ = 23 + 3.22 i + 3.2i 2 + i 3 - ờ1 + 3.2i + 3(2i )2 + (2i ) ỳ ờở ỳỷ ( - 6 - 3i - 2i + i 2 ) = 8 + 12i - 6 - i - (1 + 6i - 12 - 8i )- (6 - 5i - 1) = 8 + 18i b) 2 (1 + i ) + (3 - i )(2 + i ) - (1... ùù 1 y + = 3 ùù 2 ợù x + 1 6 ùỡù 1 - x = 1 ùù 2 ùớ x + 1 ùù y 1 ùù = 3 - 2 x +1 ợù 6 ỡù x 2 + x = 0 ùù ùỡù x = 0 ùỡù x = - 1 ớy ớ ớ 1 ùù = 3 ùù y = 12 ùù y = 15 ợ ợ ùùợ 6 x2 + 1 ỡù x = 0 ỡù x = - 1 Vy cỏc s thc x , y tha món bi toỏn l ùớ hoc ùớ ùù y = 12 ùù y = 15 ợ ợ Vớ d 6 Gii cỏc phng trỡnh sau vi n z a) (z + z )(1 + i ) + ( z - z )(2 + 3i ) = 4 - i ; b) z+z 1+ i - i (z - z ) 2 - 2i = 4 + 6i Gii... 2x + y = 8 ùớ ùù - 2x + y = 12 ợ Vy z = - 1 + 10i ỡù x = - 1 ù ớ ùù y = 10 ợ b) Bi tp luyn tp 1 Gii cỏc phng trỡnh sau vi n z a) (9 + 5i )z + (7 - 2i ) = 0 ; 1 - 2i - 1 + 4i z= ì 2+ i 1 + 2i 2 Tỡm cỏc s thc x , y tha món cỏc h thc sau b) a) (x + i )(1 + yi ) = (3 + 2i )x + 1 - 4i ; b) (x + yi )(3 - 2i ) = 13i 3 Gii cỏc phng trỡnh n z a) z 2 - 4z + 5= 0 ; b) z 2 + 5 - 12i = 0 4 Chn ỏp ỏn ỳng a) S... 1 1 - i 2 2 2 d) Gii phng trỡnh z 2 - z + 1 = 0 trong Ê ta c nghim l (A) 2 3 i, i; 2 2 i i ,- ; 2 2 Hng dn (C) (B) 2 2 i, i; 2 2 (D) 1 i, - i 2 1 a) (9 + 5i )z + (7 - 2i ) = 0 z= (- 7 + 2i )(9 - 5i ) 1 i - 7 + 2i 53 53 = = + i z= - + 2 2 9 + 5i 81 + 25 106 106 b) (1 - 2i ) (2 - i ) (- 1 + 4i )(1 - 2i ) 1 - 2i - 1 + 4i z= z = 2 2+ i 1 + 2i 22 - i 2 12 - (2i ) - 5i 7 + 6i 7 + 6i 6 7 z= z= z = -... tp hp cỏc im M ' Nu bit mt h thc gia u , v ta tỡm c mt h thc gia x , y v suy ra c tp hp cỏc im M a) Vớ d Vớ d 9 (H khi B 2010 CB) Trong mt phng Oxy , tỡm tp hp cỏc im M biu din s phc z tha món iu kin: z - i = (1 + i )z Gii Biu din s phc z = x + yi bi im M (x ; y ) trong mt phng ta Oxy , ta cú: x + yi - i = (1 + i )(x + yi ) x + (y - 1)i = (x - y ) + (x + y )i Hong Th Thu Huyn 23 K34D - Toỏn Khúa... biu din s phc z l ng trũn tõm A (0; - 1) , bỏn kớnh R = 2 Vớ d 10 Cho s phc w Chng minh rng vi mi s phc z , ta u cú: 2 z z + wz + w z = z + w - ww T ú tỡm tp hp cỏc im trong mt phng phc biu din cỏc s z tha món zz + wz + wz = k , trong ú k ẻ Ă , w ẻ Ê Gii 2 Ta cú: z + w - ww = (z + w )(z + w ) - ww = (z + w )(z + w ) - ww = zz + wz + wz (pcm) 2 2 Nu zz + wz + wz = k thỡ z + w - ww = k z + w = ww ... cos = 2cos ỗỗ- cos + i sin ữ ữ 12 12 12 12 ỗố 12 12 ữ ứ d) z = - - sin = 2cos p ổ ỗỗcos 11p + i sin 11p ữ ữ ữ 12 ỗố 12 12 ữ ứ Vy r = 2cos a) (A) p 11p v j = ì 12 12 b)(A) c) (B) 2.3.1.3 Tỡm dng... nu z 12 + z 22 = z 1z thỡ D OA B u (O l gc ta ) + z 12 + z 22 = z 1z ị z 1z - z 12 = z 22 ị z (z - z ) = z 22 ị z z - z = z (1) + z 12 + z 22 = z 1z ị z 1z - z 22 = z 12 ị z (z - z ) = z 12 ị... tớch 12 - Nõng cao Chng 2: Mt s dng bi s phc chng trỡnh toỏn nõng cao THPT Hong Th Thu Huyn K34D - Toỏn Khúa lun tt nghip i hc GVHD:Th.S Dng Th H CHNG H THNG HểA Lí THUYT CH S PHC GII TCH 12