Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 11 thông qua việc giải bài tập chủ đề phương trình lượng giác

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ====== NGUYỄN HỒNG NHUNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA VIỆC GIẢI BÀI TẬP CHỦ ĐỀ “PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC” KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học mơn Tốn HÀ NỘI - 2019 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ====== NGUYỄN HỒNG NHUNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA VIỆC GIẢI BÀI TẬP CHỦ ĐỀ “PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC” KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Phƣơng pháp dạy học mơn Tốn Ngƣời hƣớng dẫn khoa học ThS DƢƠNG THỊ HÀ HÀ NỘI - 2019 LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tri ân sâu sắc thầy, cô trƣờng; đặc biệt thầy, cô tổ Phƣơng pháp dạy học khoa Toán, trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội nhiệt tình giúp đỡ em để em hồn thành tốt khóa luận tốt nghiệp Và em xin chân thành cảm ơn tới cô giáo - Th.s Dƣơng Thị Hà nhiệt tình hƣớng dẫn em việc lựa chọn đề tài nghiên cứu, hƣớng tiếp cận giúp em chỉnh sửa thiếu sót trình nghiên cứu Trong q trình nghiên cứu khó tránh khỏi sai sót, mong thầy,cơ bỏ qua giúp em hoàn thiện Em mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp từ phía thầy, để em học thêm đƣợc nhiều kinh nghiệm hoàn thành tốt Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2019 Sinh viên Nguyễn Hồng Nhung LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan đề tài: Phát triển lực giải vấn đề cho học sinh lớp 11 thông qua việc giải tập chủ đề “Phƣơng trình lƣợng giác” cơng trình nghiên cứu độc lập, khơng có chép ngƣời khác Đề tài sản phẩm mà em nỗ lực nghiên cứu suốt trình học tập trƣờng Em xin cam đoan lời nói hồn tồn thật, sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2019 Sinh viên Nguyễn Hồng Nhung MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Dự kiến kế hoạch thực hiên Cấu trúc khóa luận NỘI DUNG Chƣơng I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Cơ sở lý luận 1.1.1 Năng lực 1.1.2 Năng lực toán học 1.1.3 Năng lực giải toán 1.1.4 Năng lực giải vấn đề 11 1.2 Cơ sở thực tiễn 14 1.2.1 Vị trí, vai trò, nội dung chủ đề “Phƣơng trình lƣợng giác” chƣơng trình tốn lớp 11 14 1.2.2 Thực trạng dạy học chủ đề “Phƣơng trình lƣợng giác” trƣờng trung học phổ thông 16 1.2.3 Đề xuất số định hƣớng nhằm nâng cao lực giải vấn đề học sinh việc giải tập chủ đề “Phƣơng trình lƣợng giác” 17 Kết luận chƣơng I 19 Chƣơng II: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA VIỆC GIẢI BÀI TẬP CHỦ ĐỀ “PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC” 20 2.1 Chủ đề phƣơng trình lƣợng giác chƣơng trình lớp 11 20 2.1.1 Mục tiêu 20 2.1.2 Hệ thống lại công thức lƣợng giác 20 2.1.3 Phƣơng trình lƣợng giác 24 2.2 Hệ thống tập phƣơng trình lƣợng giác nhằm phát triển lực giải vấn đề 37 2.3 Bài tập tự luyện 55 Kết luận chƣơng II 60 KẾT LUẬN 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO 62 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đảng nhà nƣớc ta xác định giáo dục quốc sách hàng đầu xem giáo dục công cụ mạnh tiến vào tƣơng lai Hội nghị lần thứ IV Ban chấp hành Trung ƣơng Đảng Cộng Sản Việt Nam (khóa VII) ra: “Giáo dục đào tạo phải hƣớng vào đào tạo ngƣời lao động tự chủ, sáng tạo có lực giải vấn đề thƣờng gặp, qua góp phần tích cực thực mục tiêu lớn đất nƣớc dân giàu, nƣớc mạnh; xã hội công bằng, dân chủ văn minh” Chƣơng trình giáo dục định hƣớng phát triển lực gọi dạy học định hƣớng kết đầu đƣợc bàn đến nhiều từ năm 90 kỷ XX ngày trở thành xu hƣớng giáo dục quốc tế Giáo dục định hƣớng phát triển lực nhằm mục tiêu phát triển lực ngƣời học Giáo dục định hƣớng phát triển lực nhằm đảm bảo chất lƣợng đầu việc dạy học, thực mục tiêu phát triển toàn diện phẩm chất nhân cách, trọng lực vận dụng tri thức tình thực tiễn nhằm chuẩn bị cho ngƣời lực giải tình sống nghề nghiệp Chƣơng trình nhấn mạnh vai trò ngƣời học với tƣ cách chủ thể trình nhận thức Trong q trình học tập mơn Tốn, mục tiêu ngƣời học môn việc học tập kiến thức lý thuyết, hiểu vận dụng đƣợc lý thuyết chung toán học vào lĩnh vực cụ thể Vì giáo viên cần phải giúp học sinh phát triển đƣợc lực cần có học tập Các lực chuyên biệt mơn Tốn bao gồm: lực tƣ duy, lực giải vấn đề, lực ngôn ngữ, lực tự học, lực tính tốn lực sử dụng Trong đó, lực giải vấn đề lực cốt lõi cần phải phát triển cho ngƣời học, có vai trò quan trọng giúp ngƣời học giải đƣợc tình trình học tập đời sống Phần “Phƣơng trình lƣợng giác” đƣợc phân bố chƣơng trình Đại số lớp 11 trung học phổ thông Những kiến thức lƣợng giác đƣợc đề cập sơ chƣơng trình THCS chƣơng trình lớp 10 Đây phần rộng, phức tạp học sinh thƣờng gặp nhiều khó khăn giải tập phƣơng trình lƣợng giác Mặt khác ngồi phƣơng trình lƣợng giác , thƣờng gặp học sinh gặp phƣơng trình lƣợng giác khác đòi hỏi học sinh phải phát đƣợc vấn đề, khả nhìn nhận tốn từ nhiều phía vận dụng đƣợc kỹ biến đổi, kỹ giải toán thành thạo để giải đƣợc vấn đề đặt Với lý trên, chọn đề tài nghiên cứu: Phát triển lực giải vấn đề cho học sinh lớp 11 thông qua việc giải tập chủ đề “Phƣơng trình lƣợng giác” để làm khóa luận tốt nghiệp cho Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu * Mục đích nghiên cứu: - Phát triển lực giải vấn đề cho học sinh lớp 11 thông qua việc giải tập chủ đề “Phƣơng trình lƣợng giác” nhằm giúp học sinh phát huy tính tích cực, chủ động học tập Từ góp phần nâng cao chất lƣợng dạy học khả giải vấn đề thực tiễn học sinh * Nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu sở lý luận lực, lực giải vấn đề mơn Tốn - Tìm hiểu vai trò việc phát triển lực giải vấn đề từ đề xuất số định hƣớng phát triển lực giải vấn đề cho học sinh - Phân loại dạng phƣơng trình lƣợng giác lựa chọn, xếp tập tự luyện theo mức độ nhận thức nhằm tạo hội để học sinh phát triển lực giải vấn đề Đối tƣợng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu * Đối tƣợng nghiên cứu: Năng lực giải vấn đề học sinh lớp 11 * Phạm vi nghiên cứu Chủ đề: “Phƣơng trình lƣợng giác” lớp 11 Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận - Phƣơng pháp tổng kết kinh nghiệm Dự kiến kế hoạch thực hiên Từ 11/2018 đến 2/2019 Cấu trúc khóa luận Bao gồm chƣơng: - Chƣơng I: Cơ sở lý luận thực tiễn - Chƣơng II: Phát triển lực giải vấn đề cho học sinh lớp 11 thông qua việc giải tập chủ đề “Phƣơng trình lƣợng giác” NỘI DUNG Chƣơng I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Cơ sở lý luận 1.1.1 Năng lực Theo quan điểm chung nhà tâm lý học, lực tổng hợp đặc điểm, thuộc tính cá nhân phù hợp với yêu cầu đặc trƣng hoạt động định nhằm đảm bảo cho hoạt động đạt hiệu cao Ngồi ra, lực đƣợc định nghĩa theo nhiều cách hiểu khác Chẳng hạn, theo Từ điển Tiếng Việt: “Năng lực phẩm chất tâm lý sinh lý tạo cho ngƣời khả hồn thành loại hoạt động với chất lƣợng cao” Theo cách hiểu Trần Trọng Thủy Nguyễn Quang Uẩn: “Năng lực tổng hợp thuộc tính độc đáo cá nhân phù hợp với yêu cầu đặc trƣng hoạt động định, nhằm đảm bảo việc hồn thành có kết tốt lĩnh vực hoạt động ấy” Còn theo Đặng Thành Hƣng: “Năng lực thuộc tính cá nhân cho phép cá nhân thực thành công hoạt động định, đạt kết mong muốn điều kiện cụ thể” Dù có định nghĩa lực theo cách nhà nghiên cứu có cách hiểu tƣơng tự khái niệm Hiện nay, quan niệm chung lực đƣợc nhiều ngƣời thừa nhận là: “Năng lực thuộc tính cá nhân đƣợc hình thành, phát triển nhờ tố chất có sẵn q trình học tập, rèn luyện, cho phép ngƣời huy động tổng hợp kiến thức, kỹ thuộc tính cá nhân khác nhƣ hứng thú, niềm tin, ý chí,…thực thành công loại hoạt động định, đạt kết mong muốn điều kiện cụ thể” (Chƣơng trình giáo dục phổ thông tổng thể (năm 2018)) Khái niệm lực chứa đựng đặc điểm: - Năng lực kết hợp tố chất có sẵn trình học tập, rèn luyện ngƣời học - Năng lực tích hợp kiến thức, kỹ thuộc tính cá nhân khác nhƣ hứng thú, niềm tin, ý chí,…      x   k x  k    x    k  ;(k  )    sin  x      x    k     4    Vậy phƣơng trình cho có nghiệm : x     k ;(k  )  Cách 2: Đặt t  x   Khi phƣơng trình cho trở thành:  sin 3t     sin  2t  .sin t 2    sin3t  cos2t.sin t   sin3t   sin(t)  sin3t  1   sin 3t  sin t  sin 3t 2   1  4sin3 t  3sin t  sin t  3sin t  4sin3 t  2  2sin3 t  2sin t    sin 3t     sin  2t  .sin t 2  sin t   sin t 1   t  k sin t       sin t   t   k 2  t  k ;(k  )  2 sin t  1    t    k 2  Từ t  k  ;(k  )  x     k ;(k  ) 48 Vậy phƣơng trình cho có nghiệm x     k ;(k  ) Nhận xét: Để giải đƣợc phƣơng trình trên; học sinh phải lựa chọn, đề xuất đƣợc cách thức, giải pháp giải vấn đề; lựa chọn thiết lập đƣợc quy trình giải phƣơng trình cho cách: sử dụng phép biến đổi lƣợng giác đặt ẩn phụ Sau học sinh phải sử dụng đƣợc kiến thức, kỹ tốn học tƣơng thích (bao gồm cơng cụ thuật tốn) để giải phƣơng trình theo cách tƣơng ứng, cụ thể nhƣ: công thức cộng, cơng thức biến đổi tích thành tổng, cơng thức biến đổi tổng thành tích, cơng thức nhân ba lựa chọn biểu thức cần đặt ẩn phụ cho phù hợp,… e) Giải biện luận phƣơng trình sau theo m : 3sin x  m.cos x   m (12) Hƣớng dẫn:  Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung đề + Đề cho: phƣơng trình 3sin x  m.cos x   m + Đề yêu cầu: giải biện luận phƣơng trình theo m  Bƣớc 2: Tìm cách giải Ta thấy phƣơng trình cho phƣơng trình bậc nên ta áp dụng phƣơng pháp giải phƣơng trình bậc cụ thể nhƣ sau: x + Xét cos   x    k 2 ; k  Kiểm tra xem x    k 2 ; k  có nghiệm phƣơng trình cho hay khơng x + Xét cos   x    k 2 ; k  x Đặt t  tan , phƣơng trình cho trở thành: 2t  6t  2m   (12’) Biện luận phƣơng trình (12’) theo m để tìm t từ suy nghiệm phƣơng trình (12)  Bƣớc 3: Trình bày lời giải 49 x  Xét cos   x    k 2 ; k  Ta thấy x    k 2 ; k  khơng phải nghiệm phƣơng trình cho x  Xét cos   x    k 2 ; k  x Đặt t  tan , phƣơng trình cho trở thành: 2t  6t  2m   ( Ta có: (12’) ) phƣơng trình (12’) vơ nghiệm Do phƣơng trình (12) vô nghiệm + Nếu   4m   m   + Nếu   4m   m   phƣơng trình (12’) có nghiệm kép t1  t2  3 Do phƣơng trình (12) có nghiệm x  2arctan    k2 ; k  2   4m   m   + Nếu hai nghiệm phân biệt t1  phƣơng trình (12’) có   4m   4m t2  2 Với t1     4m    4m  x  2arctan    k 2 ; k  2   Với t2     4m    4m  x  2arctan    k 2 ; k  2   Vậy : phƣơng trình (12) vơ nghiệm + Với m   phƣơng trình (12) có nghiệm là: + Với m   50 3 x  2arctan    k 2 ; k  2 + Với m   phƣơng trình (12) có hai nghiệm là:    4m    k 2 ; k    x  2arctan     4m    k 2 ; k     x  2arctan  Nhận xét: Để giải biện luận đƣợc phƣơng trình trên; học sinh phải nhận biết đƣợc phƣơng trình cho phƣơng trình bậc và sau lựa chọn, đề xuất đƣợc cách thức, giải pháp giải vấn đề áp dụng phƣơng pháp giải phƣơng trình bậc theo cách Ngồi học sinh phải sử dụng kiến thức cách giải phƣơng trình bậc hai ẩn để biện luận nghiệm phƣơng trình theo f) Tìm m để phƣơng trình (m2  4m  3)sin x  m(m 1) có nghiệm Hƣớng dẫn:  Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung đề + Đề cho: phƣơng trình (m2  4m  3)sin x  m(m 1) + Đề yêu cầu: tìm m để phƣơng trình có nghiệm  Bƣớc 2: Tìm cách giải + Phân tích đa thức m2  4m  thành tích hai đa thức m 1 m  để đƣa phƣơng trình cho dạng:  m 1 m  3 sin x  m  m 1 (13) + Ta xét trƣờng hợp m để kiểm tra xem với trƣờng hợp m phƣơng trình cho có nghiệm  Xét m  Thay vào phƣơng trình (13) ta thấy VT = VP Do với m  phƣơng trình cho x  Xét m  Thay vào phƣơng trình (13) ta có: VT =  VP = Do với m  phƣơng trình cho vơ nghiệm 51 m   Xét  m  Thực chia hai vế phƣơng trình (13) cho m 1 Khi phƣơng trình (13) tƣơng đƣơng với phƣơng trình: m sin x  (13’) m 3 Dựa vào tính chất chất hàm số sin x ta ln có: 1  sin x    sin x  Do đó, để phƣơng trình (13’) có nghiệm thì: m 0 1 m3 Giải bất phƣơng trình ta thấy m  thỏa mãn phƣơng trình (13’) có nghiệm Vì m  thỏa mãn phƣơng trình cho ban đầu có nghiệm  Bƣớc 3: Trình bày lời giải  m2  4m  3 sin2 x  m  m 1 Ta có:  (m 1)(m  3)sin x  m(m 1) (13) + Xét m  Thay vào phƣơng trình (13) kiểm tra ta thấy VT = VP Do với m  phƣơng trình cho ln x + Xét m  Thay vào phƣơng trình (13) ta thấy với m  phƣơng trình cho vô nghiệm m  + Xét  m  Chia hai vế phƣơng trình (13) cho m 1 ta đƣợc: m (13’) m 3 Phƣơng trình (13’) có nghiệm khi: m 0 1 m  m3 Vậy với m  m =1 phƣơng trình cho có nghiệm sin x  Nhận xét: Để tìm đƣợc m cho phƣơng trình cho có nghiệm; học sinh 52 phải lựa chọn, đề xuất đƣợc cách thức, giải pháp giải vấn đề xét trƣờng hợp m để kiểm tra xem trƣờng hợp m phƣơng trình cho có nghiệm g) Cho phƣơng trình: cos2 x  5m.cos x   (14) *) Giải phƣơng trình với m  **) Chứng minh với m thỏa mãn m  phƣơng trình ln có nghiệm Hƣớng dẫn:  Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung đề + Đề cho: phƣơng trình cos2 x  5m.cos x   m  + Đề yêu cầu: *) Giải phƣơng trình với m =1 **) Chứng minh với m thỏa mãn m  phƣơng trình ln có nghiệm  Bƣớc 2: Tìm lời giải *) + Thay m =1 vào phƣơng trình (14) để đƣợc phƣơng trình: cos2 x  5cos x   + Đây phƣơng trình bậc hai cos x nên ta đặt cos x  t với điều kiện t  Sau ta giải phƣơng trình t  5t   để tìm nghiệm t thỏa mãn Từ giải phƣơng trình lƣợng giác cos x  t để tìm nghiệm x **) + Bằng cách đặt cos x  t với điều kiện t  hàm số f (t )  t  5m.t  + Để chứng minh với m thỏa mãn m  phƣơng trình ln có nghiệm ta chứng minh với m thỏa mãn m  53 phƣơng trình f  t   ln có nghiệm thuộc  1;1 + Sử dụng phƣơng pháp phân tích lên: Giả sử phƣơng trình f  t   ln có nghiệm thuộc  1;1 Tức là: f  1 f 1   25  25m2   m  (luôn theo giả thiết) Vậy với m thỏa mãn m  phƣơng trình (14) ln có nghiệm  Bƣớc 3: Trình bày lời giải *) Với m =1, thay vào phƣơng trình (14) ta đƣợc: cos2 x  5cos x   (14’) Đặt cos x  t với t  Khi phƣơng trình (14’) trở thành: t  5t   t  1(TM )  t  6( KTM ) Với t =1 suy ra: cos x   x  k 2 ;(k  ) Vậy với m =1, phƣơng trình cho có nghiệm là: x  k 2 ;(k  ) **) Đặt cos x  t với t  f (t )  t  5m.t  Ta có: f  1 f 1   5  5m. 5  5m  25  25m2 Để phƣơng trình (14) ln có nghiệm hay phƣơng trình f  t   ln có nghiệm thuộc  1;1 thì: f (1) f (1)   25  25m2   m  Vậy với m thỏa mãn m  phƣơng trình (14) ln có nghiệm Nhận xét: Để giải đƣợc phƣơng trình trên; học sinh phải lựa chọn, đề xuất đƣợc cách thức giải pháp giải vấn đề, cụ thể là: Ở phần *) học sinh cần áp dụng phƣơng pháp giải phƣơng trình bậc hai hàm số lƣợng giác Sang phần **) học sinh cần phải xác định đƣợc để chứng minh với 54 m thỏa mãn m  phƣơng trình ln có nghiệm cần chứng minh với m thỏa mãn m  phƣơng trình f  t   ln có nghiệm thuộc  1;1 cos x  t với điều kiện t  hàm số f (t )  t  5m.t  2.3 Bài tập tự luyện Bài 1: Giải phƣơng trình sau: a) 2sin(2 x  3 )   Hƣớng dẫn: 3  Đƣa phƣơng trình cho dạng sin  x      Đây phƣơng  trình lƣợng giác nên ta áp dụng phƣơng pháp giải phƣơng trình lƣợng giác để tìm nghiệm phƣơng trình  2   x   15  k Đáp số:  ,k   x    k  30 b) sin6   cos6   cos    x   2   Hƣớng dẫn: Sử dụng công thức sin6   cos6  1 sin 2 để biến đổi phƣơng trình cho phƣơng trình:  3sin 2 x  sin x  Sau ta giải phƣơng trình để tìm nghiệm phƣơng trình cho  Đáp số: x    k ; k  c) cos2x  3sin 2x  3sin x  cos x   Hƣớng dẫn: Phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với phƣơng trình sin   6   x   sin  x    55 5    2  x   k  Đáp số:  ;k   x   5  k 2  d) 5cos x  cos2x  2sin x   Hƣớng dẫn: Sử dụng phƣơng pháp giải phƣơng trình chứa công thức nhân đôi để biến đổi phƣơng trình cho thành:  sin x    2cos x  5cos x     Đáp số: x    k 2 ; k  e) 3sin x  5cos2 x  2cos2 x  4sin x   Hƣớng dẫn: Sử dụng công thức nhân đơi để biến đổi phƣơng trình cho thành phƣơng trình: 3sin x  cos2 x  8sin x.cos x   Đây phƣơng trình đẳng cấp bậc nên ta áp dụng phƣơng pháp giải phƣơng trình đẳng cấp bậc để tìm nghiệm phƣơng trình cho    x   k  Đáp số:  ,k  3   x  arctan    k  f) 1 sin 2x  cos2x  sin 4x  cos4x   Hƣớng dẫn: Sử dụng công thức 1 sin x  sin 2x  cos2x  cos4x  cos2 2x  sin 2x để biến đổi phƣơng trình cho phƣơng trình: sin 2x  cos2x  1 2cos2x   56 3   x   k    Đáp số:  x   k , k    x     k  g) 5sin x   3sin x  cos x  tan 2 x  Hƣớng dẫn: Sử dụng công thức biến đổi lƣợng giác cos2 x  1 sin 2 x  1 sin x 1 sin x   sin x  cos x  1 sin x  để biến đổi phƣơng trình cho thành phƣơng trình: 5sin x   3sin 2 x 1  sin x     x  12  k  Đáp số:  ;k   x  5  k  12 h)  1  sin x .sin  x   3    cos2 x    Hƣớng dẫn: Sử dụng công thức sin      sin  cos2 x  sin x   cos x  sin x  cos x  sin x  để biến đổi phƣơng trình cho thành phƣơng trình:  cos x  sin x   1 sin 2x  cos x  sin x   Sử dụng công thức 1 sin x   cos x  sin x  để biến đổi tiếp phƣơng trình dạng:  cos x  sin x   cos x  sin x  cos x  sin x   Sử dụng phƣơng pháp giải phƣơng trình lƣợng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối để giải phƣơng trình tìm nghiệm 57    x   k   Đáp số:  x    k 2 ; k     x    k 2  Bài 2: Giải phƣơng trình   x2  x 1   x2     Hƣớng dẫn: + Điều kiện: x     ; Khi phƣơng trình cho có dạng:  2     + Đặt   sin   sin  1   sin     + Tiếp tục sử dụng công thức biến đổi lƣợng giác nhƣ: công thức nhân đôi, công thức biến đổi tổng thành tích để đƣa phƣơng trình dạng:  3  2cos 1  sin   2   x   Đáp số:   x  Bài 3: Giải phƣơng trình : x     x  Hƣớng dẫn:  x  2 + Xét  vế phải phƣơng trình cho không xác định x  + Xét 2  x  Đặt ( ) Sau sử dụng phép biến đổi lƣợng giác để đƣa phƣơng trình cho dạng:  t cos t  cos     8  Đáp số: x  2cos 2 Bài 4: Cho hệ phƣơng trình 58  x2  y    2  z  t  16  xt  yz  12  Tìm nghiệm hệ cho tổng x  z đạt giá trị lớn  Hƣớng dẫn: + Hệ phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với hệ:  x 2  y          3  2  z  t      1   4  x t y z   1 3 4  + Ta có: x y z t 1 ;  ;  ;  nên ta đặt: 3 4 x y z t  sin  ;  cos  ;  sin  ;  cos  3 4 + Thay vào phƣơng trình thứ ba hệ ta có: sin      Mặt khác ta có: x  z  3sin   4sin   3sin   4sin   2  3sin   4cos      k 2  32  42 sin2   cos2   Kiểm tra xem dấu “ = ” xảy nào?   12 16 12   x; y; z; t    ; ; ;  5 5   Đáp số:    9 12 16 12  ; ; ;  (x; y; z; t )   5    59  Kết luận chƣơng II Phƣơng trình lƣợng giác kiến thức quan trọng chƣơng trình mơn Tốn trung học phổ thơng nói chung chƣơng trình mơn Tốn lớp 11 nói riêng Vì vậy, để học tốt phần này, ngồi việc đòi hỏi học sinh phải có kĩ biến đổi lƣợng giác thành thạo đòi hỏi em phải biết nhận xét, quan sát, sử dụng công thức lƣợng giác phù hợp để có hƣớng biến đổi đắn nhằm đƣa phƣơng trình lƣợng giác cho phƣơng trình lƣợng giác đơn giản Trong chƣơng II này, tập trung xây dựng hệ thống tập phƣơng trình lƣợng giác dựa định hƣớng đề chƣơng I tập tự luyện nhằm giúp học sinh phát triển lực giải vấn đề 60 KẾT LUẬN Dạy học theo định hƣớng phát triển lực ngƣời học đƣợc xem nhƣ nội dung giáo dục, phƣơng pháp giáo dục đại xu đổi toàn diện Giáo dục Đào tạo Do mục tiêu giáo dục theo lực tập trung vào đầu q trình dạy học, nhấn mạnh lực mức độ lực mà ngƣời học cần đạt đƣợc sau kết thúc chƣơng trình giáo dục nên chƣơng trình giảng dạy đánh giá cần phải dựa lực đầu làm trọng tâm Từ lực cốt lõi, giáo viên nhƣ ngƣời thiết kế chƣơng trình giảng dạy đánh giá cần phải chia nhỏ thành lực thành phần Đồng thời nhiều loại hình cơng cụ đánh giá khác đƣợc áp dụng để thu đƣợc kết xác, khách quan tin cậy lực học sinh Trong đề tài này, trọng nhấn mạnh vào việc phát triển lực giải vấn đề cho học sinh (một lực cốt lõi đòn bẩy để thúc đẩy lực khác phát triển) thông qua việc giải tập chủ đề “Phƣơng trình lƣợng giác” Kết mà tơi đạt đƣợc khóa luận là: Cơ sở lý luận việc phát triển lực giải vấn đề cho học sinh thơng qua giải tập tốn học Đề xuất số định hƣớng phát triển lực giải vấn đề cho học sinh Phân dạng phƣơng trình lƣợng giác kèm theo phƣơng pháp giải, ví dụ minh họa cho dạng Hƣớng dẫn giải cụ thể số toán xây dựng hệ thống tập tự luyện theo mức độ nhằm tạo hội để học sinh phát triển lực giải vấn đề 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO Bộ Giáo dục Đào tạo (2006), Chương trình giáo dục phổ thôngnhững vấn đề chung, NXB Giáo dục Bộ Giáo dục Đào tạo (2017),Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể Bộ Giáo dục Đào tạo (2018), Chương trình mơn Tốn Bộ Giáo dục Đào tạo, Sách Đại số giải tích 10, 11 nâng cao Nguyễn Toàn Cảnh (2012), Xã hội học tập – học tập suốt đời Lê Hồng Đức ( 2017), Phương pháp giải dạng toán THPT- Lượng giác, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Đặng Thành Hƣng (2012), Năng lực giáo dục tiếp cận lực, Tạp chí Quản lí Giáo dục Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học mơn Tốn Hồng Phê (2005), Từ điển Tiếng Việt, NXB Đà Nẵng 10 Đỗ Đức Thái, Đỗ Tiến Đạt, Phạm Xuân Chung, Nguyễn Sơn Hà, Phạm Sỹ Nam, Vũ Đình Phƣợng, Nguyễn Thị Kim Sơn, Vũ Phƣơng Thúy,Trần Quang Vinh (2018), Dạy học phát triển lực mơn Tốn trung học phổ thông, NXB Đại Học Sƣ phạm 11 Lê Đình Trung (2016), Dạy học theo định hướng hình thành phát triển lực người học phổ thông, NXB Đại học Sƣ phạm 62 ... cao lực giải vấn đề học sinh việc giải tập chủ đề “Phƣơng trình lƣợng giác 17 Kết luận chƣơng I 19 Chƣơng II: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA VIỆC... II: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA VIỆC GIẢI BÀI TẬP CHỦ ĐỀ “PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC” 2.1 Chủ đề phƣơng trình lƣợng giác chƣơng trình lớp 11 2.1.1 Mục tiêu... học tập, từ thúc đẩy đƣợc lực thân 1.2.3 Đề xuất số định hướng nhằm nâng cao lực giải vấn đề học sinh việc giải tập chủ đề Phương trình lượng giác Để nâng cao lực giải vấn đề cho học sinh việc