Nhóm lie các phép biến đổi trên đa tạp khả vi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************** ĐÀO THỊ HÒA NHÓM LIE CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học ThS GVC PHAN HỒNG TRƯỜNG HÀ NỘI - 2012 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô khoa Toán trường đại học sư phạm Hà Nội động viên, giúp đỡ em suốt thời gian qua Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy Phan Hồng Trường tạo điều kiện thuận lợi bảo tận tình để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Đào Thị Hòa LỜI CAM ĐOAN Khóa luận hoàn thành với bảo thầy cô giáo khoa Toán trường đại học sư phạm Hà Nội đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy Phan Hồng Trường Trong khóa luận có tham khảo kết nghiên cứu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Em xin khẳng định kết đề tài ''Nhóm Lie phép biến đổi đa tạp khả vi '' trùng hợp với đề tài khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Đào Thị Hòa MỤC LỤC Trang Mở đầu ……………………………………………………………… 1.Lý chọn đề tài ………………………………………………… 2.Mục đích nghiên cứu……………………………………………… 3.Nhiệm vụ nghiên cứu ……………………………………………… 4.Phương pháp nghiên cứu ………………………………………… CHƯƠNG 1: SƠ LƯỢC VỀ ĐA TẠP KHẢ VI VÀ ÁNH XẠ KHẢ VI………………………………………………………… 1.1 Không gian tôpô ánh xạ liên tục …………………………… 1.2 Đa tạp khả vi…………………………………………………… 1.3 Ánh xạ khả vi …………………………………………………… 10 CHƯƠNG : NHÓM LIE CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI………………………………… 13 2.1 Không gian tiếp xúc …………………………………………… 13 2.2 Phân thớ tiếp xúc………………………………………………… 16 2.3 Trường véc tơ…………………………………………………… 17 2.4 Ánh xạ tiếp xúc………………………………………………… 19 2.5 Đa tạp con……………………………………………………… 20 2.6 Đa tạp định hướng ………………………………………… 24 2.7 Nhóm Lie 27 2.8 Nhóm nhóm Lie 32 2.9 Dạng vi phân bất biến trái phương trình MaurerCartan 33 2.10 Nhóm Lie phép biến đổi đa tạp 36 Bài tập áp dụng 40 Hướng dẫn giải tập 41 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học môn quan trọng tương đối khó chương trình toán phổ thông để hiểu người học cần phải có tư cao Với mong muốn nghiên cứu sâu hình học tìm hiểu sâu sắc đa tạp khả vi biến đổi nhóm Lie đa tạp khả vi em chọn đề tài “Nhóm Lie phép biến đổi đa tạp khả vi” làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu sâu đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi Tìm hiểu nhóm Lie nhóm Lie phép biến đổi đa tạp khả vi Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày lý thuyết đa tạp khả vi,ánh xạ khả vi,nghiên cứu nhóm Lie nhóm Lie phép biến đổi đa tạp khả vi Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu sử dụng lý luận,các công cụ toán học Nghiên sách tham khảo tài liệu liên quan đến nội dung đề tài CHƯƠNG 1: SƠ LƯỢC VỀ ĐA TẠP KHẢ VI VÀ ÁNH XẠ KHẢ VI 1.1 Không gian tôpô ánh xạ liên tục 1.1.1 Khái niệm không gian tôpô Không gian tôpô tập hợp M (mỗi phần tử gọi điểm) họ C tập M, gọi tập mở (trong M), cho : * tập rỗng, tập M mở, * hợp tùy ý tập mở tập mở, * giao số hữu hạn tập mở tập mở Thường kí hiệu đơn giản không gian tôpô (M, C ) M (khi không cần rõ họ C ) Không gian tôpô M gọi không gian tôpô Hausdorff với cặp điểm p, q  M, p ≠ q , có tập mở U  p, V  q cho U  V =  Ví dụ 1: Không gian mêtric : tập hợp M mêtric (khoảng cách), tức ánh xạ d : M  M  R thỏa mãn : * d (p,q)  0, d (p, q) =  p = q * d (p, q) = d (p, q) * d (p, q) + d (q,r )  d ( p, r) ( với p, q, r tùy ý thuộc M) Trên không gian mêtric M xét tôpô sau : tập U  M gọi tập mở với p  U, có số  >0 cho hình cầu mở {q M / d(q,p) < } nằm hoàn toàn U (tôpô gây mêtric d) Đó không gian tôpô Hausdorff Không gian tôpô có tôpô gây mêtric gọi không gian tôpô mêtric hóa R n với khoảng cách thông thường không gian mêtric Ví dụ 2: M không gian tôpô, N tập M N với tôpô sau (tôpô cảm sinh) gọi không gian tôpô M: tập U  N gọi tập mở N giao N với tập mở M Ví dụ 3: M N hai không gian tôpô tích trực tiếp M  N với tôpô sau (tôpô tích) gọi tích trực tiếp không gian tôpô M với N : tập M  N gọi tập mở (trong M  N) hợp tùy ý tập dạng U  V , U mở N, V mở N Ví dụ 4: M không gian tôpô, ~ quan hệ tương đương M, tập hợp lớp tương đương M / ~ với tôpô sau (tôpô thương) gọi không gian tôpô thương : tập M / ~ gọi tập mở ( M / ~) nghịch ảnh phép chiếu tắc p : M M / ~ tập mở (trong M) 1.1.2 Tập không gian tôpô M không gian tôpô, p M tập M chứa tập mở chứa p gọi lân cận p (trong M) Tập F  M gọi tập đóng (trong M) M \ F tập mở (trong M) Khi đó, tập rỗng, tập M tập đóng Giao tùy ý tập đóng tập đóng, hợp số hữu hạn tập đóng tập đóng A tập M bao đóng A A giao tập đóng chứa A ; tập đóng bé (theo quan hệ bao hàm) chứa A Phần Ao A tập mở lớn nằm A ; điểm gọi điểm A Tập A / AO gọi điểm biên A, điểm gọi điểm biên A M gọi liên thông tập vừa mở vừa đóng (trong M) phải tập rỗng hay toàn M Tập A  M gọi tập liên thông không gian tôpô A liên thông Một thành phần liên thông không gian tôpô M tập liên thông M mà tập liên thông M chứa phải trùng với Ví dụ tập liên thông M khoảng (mở, đóng, nửa đóng, bị chặn, không bị chặn,…) 1.1.3 Ánh xạ liên tục Ánh xạ f : M  N không gian tôpô gọi ánh xạ liên tục nghịch ảnh f tập mở (trong N) tập mở (trong M) (và vậy, nghịch ảnh tập đóng tập đóng) Song ánh f : M  N gọi đồng phôi f f 1 ánh xạ liên tục Ta thấy : * Tích ánh xạ liên tục liên tục ; * Ảnh tập liên thông qua ánh xạ liên tục tập liên thông ; * Ảnh tập compact qua ánh xạ liên tục vào không gian Hausdorff tập compact Từ đơn ánh liên tục từ không gian compact vào không gian Hausdorff đồng phôi lên ảnh Ánh xạ liên tục  : I  M từ đoạn I = {t  R 0  t  1} vào không gian tôpô M gọi cung (liên tục) M nối (0) với (1) Không gian tôpô M gọi liên thông cung với p, q  M, có cung (liên tục) M nối p với q Tập A không gian tôpô M gọi liên thông cung không gian tôpô A liên thông cung Dễ thấy không gian liên thông cung n liên thông; tập mở liên thông R liên thông cung ; ảnh không gian liên thông cung qua ánh xạ liên tục tập liên thông cung 1.2 Đa tạp khả vi 1.2.1 Khái niệm đa tạp khả vi Giả sử M không gian tôpô Hausdorff, với sở đếm M gọi đa tạp tôpô m – chiều đồng phôi địa phương với không gian m – m chiều R , nghĩa với điểm x M, có lân cận mở U x  : U  V đồng phôi từ U lên tập mở V  R m Giả sử M đa tạp tôpô m – chiều, cặp (U,  ) xác định gọi đồ địa phương M , hay gọi tắt đồ Họ C ={( U i , i ): i I} đồ gọi tập đồ hay atlas khả vi lớp C k (k1) hai điều kiện sau thỏa mãn : Họ { U i } phủ mở M Với hai đồ ( U i , i ) ( U j ,  j ) mà U i  U j  , ánh xạ  j o  1 xác định i ( U i  U j ) ánh xạ khả vi lớp C k từ i ( U i  U j ) i lên  j ( U i  U j ) ( xem hình 1) Hình Hai tập đồ C = {( U1 , 1 ), i  I} C = {( V j , j ),j  J} khả vi lớp C k gọi tương thích với nhau, hợp chúng tập Điều kiện cần đủ để k - dạng  G bất biến trái với k trường véc tơ bất biến trái X , X , , X k ,   X , X , , X k  số Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử  k dạng bất biến trái, X , X , , X k    X , X , , X k  b   f  b  , b  G Ta có f  b     X , X , , X k  b     L    X , X , , X    b   a k =   ab  Tb La  X b , , Tb La  X k b  =   ab    X ab , ,  X k ab  =   X , , X k    ab  = f ( ab ), a, b  G Vậy f hàm G Điều kiện đủ: Gọi E1 , E2 , , Er trường mục tiêu bất biến trái G, ta có r X , , X r  VG , ta viết X i   X i ji E ji , i= 1, ,k ji 1 Khi   r  L   X , , X    b    L    X  a k  r =  a ji  ji 1 r  E ji , ,  X kji E ji    b   ji   X 1ji  b  X kjk  b    ab   Tb La E j1 ,b , , Tb La E jk ,b  j1 , , jk 1 r =   X 1j1  b  X kjk  b    ab   E j1 ,ab , , E jk ,ab j1 , , jk 1 r =   X 1j1  b  X kjk  b    b   E j1 ,b , , E jk ,b j1 , , jk 1 34    g Đặt :   =    r    j1 , , jk 1 r X 1j1 E j1 ,b , ,  j1 , jk  X kjk E jk ,b    b    =   X , , X k    b  Từ suy La   Kí hiệu tập 1- dạng bất biến trái g  , để ý A  g,   g  ,  ( A ) số, suy g  không gian véc tơ đối ngẫu g Ngoài dễ thấy   g  d thuộc g  Thật a  G, La d   dLa  d  2.9.3 Định lý A, B  g,   g  ta có phương trình Maurer - Cartan: d   A, B     A, B  Thật , d  A, B   A   B   B   A      A, B  Để ý  (A),  (B) số suy a có điều phải chứng minh 2.9.4 Dạng tắc G Định nghĩa:  gọi dạng tắc G 1- dạng, g - giá trị, bất biến trái xác định (A) = A,  A  g Nhận xét: Giả sử  E1 , , Er  sở g Gọi  , ,  r  sở đối ngẫu g*, tức  i  E j    ij Ta thấy r     i Ei j 1 Thật vậy, giả sử A trường véc tơ G, viết r A   a i Ei suy i 1 35 r  r    A      Ei    ai  Ei   i 1  i 1 r  r    i  A  Ei     i Ei   A =  i 1 i 1  2.9.5 Phương trình cấu trúc r Bây ta đặt  Ei , E j    cijk Ek , cijk , i,j, k =1,…,r, gọi số cấu k 1 trúc g ứng với sở  E1 , , Er  Khi ta có phương trình cấu trúc Maurer - Cartan: d i   r c i jk  j  k j , k 1 Thật vậy, ta có: d i  r i p  pq   q  p ,q 1 nên : d i  E j , Ek   r i p  pq   q  E j , Ek   p ,q 1 = r i  pq  p  E j  q  Ek    p  Ek  q  E j   p ,q 1 = i  jk   kji     =  ijk Mặt khác d i dạng bất biến trái G nên  r  d i  E j , Ek    i  E j , Ek    c ljk i  El   c ijk l 1 Từ suy điều phải chứng minh 2.10 Nhóm Lie phép biến đổi đa tạp 2.10.1 Định nghĩa Ta nói nhóm Lie G nhóm biến đổi Lie đa tạp M hay G tác động (khả vi) lên M điều kiện sau thỏa mãn : 36 1) Với a  G có vi phôi Ra : M  M x  xa 2) Ánh xạ M GM (x,a)  xa ánh xạ khả vi 3)  a, b  G,  x  M, x(ab) = (xa)b Trong trường hợp người ta nói G tác động phải lên M.Ta thấy R ab = R b  R a R e = Id M ( e phần tử đơn vị G ) Một cách tương tự ta định nghĩa G tác động trái lên x 2.10.2 Định nghĩa G gọi tác động có hiệu lên M từ R a x = x,xM suy e=a G gọi tác động tự lên M từ R a x = x với x thuộc M suy e = a G gọi tác động bắc cầu lên M  x, y  M ,  a  G cho y = R a x Nếu G tác động phải lên M, với A  g ta xác định trường véc tơ A* M sau : Gọi a t = exptA A* trường véc tơ M sinh nhóm tham số {R a , t  R} M t 2.10.3 Định lý Giả sử G nhóm Lie tác động phải lên M Ánh xạ  : g  Vec(M), A  A* đồng cấu đại số Lie Nếu G tác động có hiệu lên M  đơn cấu Nếu G tác động tự lên M với trường véc tơ khác không A  g, (A) không triệt tiêu M 37 Chứng minh: Trước hết, nhận xét rằng,  xác định cách sau: với x  M, định nghĩa: x: G  M a  xa Khi ' x (A e ) = (A) x , ' x (A e ) = T e  x ( A e ), e phần tử đơn vị G Từ suy  ánh xạ tuyến tính Bây giờ, ta chứng minh  giao hoán móc Lie Giả sử A, B  g, a t = exptA Ta có: t [A*, B*] = lim  B *  Ra * B * t 0 t Để ý với a, b  G : R a  xat   x  ad  a 1t  1 Ta có: R at * B*  x   '  R 'at B* xa1  R ' at  ' xa 1  Be    ' x ad  a 1t   Be  t t Từ suy  A,  B x   A* , B*  x  lim t 0 1 * B x  Rat * B*  x t t    ' = lim  ' x Be   ' x  ad  a 1t   Be  t 0 ' =  ' x  lim Be  ad  a 1t  Be  t 0 t    =  ' x  A, B e     A, B   x Vậy  đồng cấu đại số Lie Giả sử (A)= điểm M, tức là: ' x  M ,  A  x   ' x Ae   ' x a 't     x  at     x 38  Từ suy  x  at ánh xạ (không phụ thuộc vào t) Do  x  at    x  ao   x, t Điều có nghĩa nhóm biến đổi 1- tham số R a M tầm thường, t tức R a =Id M , với t Nếu R a tác động có hiệu lên M, từ R a x  x t t t với x , suy a t =e với t Do A = 0, từ suy  đơn cấu Cuối cùng, x  M ,  A x  x , R a  x   x, t Vì G tác động tự t lên M nên suy at  e, t Do A = Vậy A khác 0, A khác không điểm thuộc M Nhận xét: Nếu làm tương tự chứng minh ta có A  g, a  G, Ra*  A     ad  a 1 * A  39 Bài tập áp dụng Bài Xét mặt phẳng R , M tập R xác định M  x, y   R  : y  0, x  x  y   Gọi M không gian tôpô R Chứng minh M đa tạp tôpô Do đó, trang bị cấu trúc khả vi M để M trở thành đa tạp khả vi Bài Cho M, N hai đa tạp khả vi lớp C k , ( k  ): a Chứng minh f : N  M nhúng f (N) đa tạp đa tạp M b Chứng minh f : N  M dìm Đơn ánh ánh xạ riêng f nhúng Chú ý: Ánh xạ f gọi riêng tạo ảnh tập compact M tập compact N c Nếu dimM = dimN, f : N  M dìm, f ánh xạ mở Từ suy không tồn dìm từ mặt cầu S n vào không gian R n Bài a Cho S n   x  R n 1 : x  1 Hãy viết không gian tiếp xúc S n điểm x b Cho hyperboloid H  R H   x, y, z, t   R : x  y  z  t  1 Hãy tính không gian tiếp xúc với H điểm  x, y, z , t   H Bài Gọi SO(n) tập ma trận vuông cấp n, trực giao có định thức Hãy chứng tỏ SO (n) đa tạp khả vi Tính không gian tiếp xúc với SO (n) điểm I n A  SO (n) Bài Xét mặt cầu S với hai đồ địa cầu V1 ,  V2 ,  : x y  , ,  1 z 1 z  V  S \  0, 0,1 ;  x, y, z    40 x y  ,   1 z 1 z  V  S \  0, 0, 1 ;  x, y, z    Cho u   u1 , u2  véc tơ Tm R , m  R Gọi   T 1  m S véc tơ tiếp xúc biểu diễn u đồ V1 ,  , nghĩa  11   u    Hỏi   1 ,  2  biểu diễn đồ V2 ,  véc tơ v nào? Hãy tìm v m=  Bài Hãy xây dựng trường véc tơ khác không điểm S n1 Bài Chứng tỏ phân thớ tiếp xúc đa tạp SO (n) tầm thường Bài Cho M, N đa tạp khả vi lớp C k , số chiều m, n tương ứng Chúng tỏ trang bị cho tập hợp tích đề M  N cấu trúc khả vi để M  N trở thành đa tạp khả vi lớp C k có số chiều m + n Bài Cho m đa tạp khả vi Chứng tỏ phân thớ tiếp xúc TM định hướng Bài 10 Trong mặt sau mặt đa tạp R n , ? a Mặt nón: x12  x22   xq2  xq21   xn2  0, 1  q  n  b Mặt Hyperboloid : x12  x22   xq2  xq21   xn2  1, 1  q  n  c Mặt trụ : x12  x22   xq2  1, 1  q  n  Hướng dẫn giải tập Bài Đa tạp M gồm tia Oy đường cong y = x Xét điểm p = (0, 0)  M Lân cận p M đa tạp tô pô Bài a Đặt N' = f (N)  M Xét U i , i  , i  I  , atlas kahr vi N Vì f đồng phôi nên V i  f U i  mở N' Đặt  i  i f 1 V Vi , i  , i  I  i atlas khả vi N' Do N' đa tạp khả vi 41 Xét nhúng tắc i: N' M Do f : N  M nhúng f = i.f nên i nhúng khả vi, nghĩa N' = f (N) đa tạp M b f : N  M theo giả thiết dìm, đơn ánh ánh xạ riêng Để chứng minh f nhúng cần chứng minh f : N  f(N) = N' có ánh xạ ngược f 1 : N'  N liên tục hay f biến tập đóng X N thành tập đóng Y= f (X) N' Lấy dãy  y1 , y2 , , yn ,  f (X) hội tụ tới y o Khi B =  y1 , y2 , , yn ,  tập compact, f ánh xạ riêng nên A = f 1 (B) compact N Đặt xi  f 1  yi  , i  1, 2, , dãy  xn  có dãy  xnj  hội tụ đến xo  X Vì f liên tục nên ynj  f  xo   yo Do yo  Y , nghĩa Y đóng Vậy f nhúng c Ta suy từ định lý hàm ngược không gian owclit R n Giả sử có f : S n  R n dìm Vậy f ánh xạ mở  f ( S n ) mở R n Vô lý R n không compact Bài f : R n1  R a Xét p =  x , , x n 1 n 1   f ( p)    x  i 1 i 1 điểm quy f, đặt S n  f 1   Ta có: Tp S n = Ker (dfp), n 1 v  Tp S n  dfp (v )    xi vi = i 1 v =  v1 , , v n1  Vậy Tp S n siêu phẳng qua điểm p  S n vuông góc với  véc tơ p b Tương tự, với m = ( x, y, z, t )  H, 42 Tm H  v  R : xv1  yv2  zv3  tv4  0 Bài Xét GL n  R  tập ma trận vuông cấp n, hệ số thực có định thức dương; GL n  R  đa tạp khả vi số chiều n SO ( n ) =  A  GLn  R  , At A  I n  , Ta biết tập ma trận đối xứng Sym ( n) cấp n đa tạp khả vi số chiều n(n  1) Xét ánh xạ f: GL n  R  Sym ( n)  At A  I n , A f khả vi f 1 (0) = SO ( n) Ta chứng minh f ngập Với A tùy ý thuộc GL n  R  , H Mat (n, R ), ta tính (T A f ) (H) Xét cung tham số  : I  GL n  R  t  A + tH, I khoảng mở chứa  R , lấy I đủ bé để A + t.H  GL n  R  Khi  (0) = A,  '(0) = H TA f  H   d d t f   t       A  tH   A  tH   I n     dt dt =  H t  A  tH      At  tH t  H  t 0 = H t A  At H Như TA f  H   H t A  At H n  n1 Với B T f ( A) Sym(n)  R = Sym ( n), B t = B Lấy H = t 1 1 A  B A t H  B H t A  B t  B Như f ngập  2 2 43 Do giá trị quy f, SO ( n) = f chiều n  n  1 1 (0 ) đa tạp khả vi số H  TA SO(n)  TA f  H    H t A  At H  Đặt B = At H , B phản đối xứng Như H  TA SO(n)  At H phản đối xứng Vậy TA SO(n) = { H  Mat  n, R  : At H phản đối xứng } Bài Giả sử m =  m1 , m2   R ,   m1 m , 2 2  m  m2 m1  m2    11  m1 , m2   R   Giả sử u   uu  , v   vv  viết dạng véc tơ cột,   v1 v2 1 2  J m   11    u1 u2   m22  m12  m  2m1m2 2m1m2   m12  m22    u1 u2   m22  m12  u1  2m1m2u2 v1  2  m1  m2    v  2m1n2u1   m12  m22  u2 2 2   m1  m2       1 Khi m =  ,   2   u2 v1   u1   2  v   u  u  2 Bài Viết tọa độ điểm m  S n1 dạng m =  x1 , y1 , x , y , , x n 1 , y n 1  X nhẵn X  0, m, Xm  0, m , X trường véc tơ tiếp xúc khác không S n1 44 Bài SO  n    A  Mat  n, R  : At A  I n , det A  1 Với A  SO (n), TA SO(n)   H  Mat (n, R ) : At H  H t A   Như TI  SO(n) không gian ma trận phản đối xứng n Xét ánh xạ f : SO (n)  TIn  SO  n    TSO (n) (A, H )  A.H  TA SO(n) t AH  TA SO(n) At  AH    AH  A  At AH  H t At A  H  H t  ( A  SO (n) H phản đối xứng ) Rõ ràng f khả vi có ánh xạ ngược khả vi h : TSO (n ) TI  SO  n   xác định B  TA SO(n), h( B)   A, At B  n Do f vi phôi , nghĩa TSO (n) phân thớ tầm thường Bài Giả sử U i , i  , i  I tập đồ khả vi M, V j ,  j  , j  J tập đồ khả vi N Khi U i  V j , hij , hij  i , j  : U i  U j  R m  n , hij  x, y   i  x  ,  j  y   tập đồ khả vi M  N Bài Xét phép chiếu  :TM  M cho với v p  Tp M   v p   p Với atlas U i , i  , i  I M , TM có atlas tương ứng   i  v p   i   v p  , v  x i   R m với m v  vxj  j 1   1 U i  ,  j      p mà  j  j  1, m j   x  x    trường sở lân cận điểm p Giả sử Vi , i  U j ,  j  hai đồ địa phương, U i  U j   , hàm chuyển tọa độ   j i1  ,     j 11   , D  j i1     45  có ma trận Jacobi  ,    D  j i1     1   D     j i   Do  j i1 giữ nguyên hướng điểm  ,   ma trận Jacobi detD  j i1   Bài 10 a Không phải đa tạp b Đa tạp c Đa tạp 46 KẾT LUẬN Với đề tài " Nhóm Lie phép biến đổi đa tạp khả vi " em muốn tìm hiểu sâu đa tạp khả vi, không gian tiếp xúc phân thớ tiếp xúc đặc biệt nhóm Lie, tích nhóm Lie biến đổi đa tạp Phần đầu khóa luận kiến thức không gian tô pô ánh xạ liên tục giúp bạn đọc dễ tiếp thu khái niệm đa tạp, nhóm Lie Trong khóa luận em trình bày số tập liên quan để củng cố thêm phần lý thuyết trình bày, giúp người đọc hiểu rõ phần lý thuyết đa tạp khả vi, đa tạp con, xác định đa tạp Mong đọc xong tài liệu bạn độc giả bổ sung tìm hiểu thêm nhiều tập ứng dụng, làm cho tài liệu thêm phong phú Do bước đầu làm quen công tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận không tránh khỏi nhiều thiếu sót Rất mong ược góp ý thấy cô bạn độc giả để khóa luận hoàn thiện Một lần em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Phan Hồng Trường, quan tâm bảo thầy cô khoa Toán giúp đỡ em hoàn thành khóa luận 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Bình Đô (2010), Hình học vi phân, NXB ĐHSP Đoàn Quỳnh (2000), Hình học vi phân, NXB GD Khu Quốc Anh, Nguyễn Doãn Tuấn (2011) , Lí thuyết liên thông hình học Rieman, NXB GD 48 [...]... là M' = f(M) là đa tạp tô pô Giả sử U = U1 , i iI là một atlas khả vi trên M Đặt Vi  f (U i ), i  i f 1 (Vi ) thì V ,  i i iI là một atlas khả vi trên M' và M' là đa tạp con của đa tạp khả vi N c Giả sử M là đa tạp con khả vi của đa tạp N và f : X  M là một đồng phôi khi đó có thể cho một cấu trúc khả vi trên X sao cho X là đa tạp khả vi 21 và f là một nhúng khả vi Thật vậy, giả sử...đồ khả vi lớp C k Dễ thấy quan hệ “tương thích” là một quan hệ tương đương trên họ các tập bản đồ khả vi lớp C k Mỗi lớp tương đương của quan hệ tương đương trên được gọi là một cấu trúc khả vi lớp C k trên M Đa tạp tôpô m- chiều M cùng với cấu trúc khả vi lớp C k cho trên nó được gọi là một đa tạp khả vi m- chiều lớp C k Nếu M là đa tạp khả vi, thì bản đồ của cấu trúc khả vi trên M được... atlas khả vi trên M và  là một vi phôi Chú ý: Vào năm 1936, Whitney đã chứng minh rằng mỗi một đa tạp khả vi n chiều M đều có thể nhúng vào không gian R 2 n1 như một đa tạp con đóng, nghĩa là có nhúng khả vi f : M  R 2 n 1 sao cho N = f(M) là đa tạp con khả vi, đóng của R 2 n1 Như vậy, lớp các đa tạp khả vi '' trừu tượng'' hóa ra không rộng hơn lớp các đa tạp con của không gian Ơclit 2.6 Đa tạp. .. cấu trúc khả vi lớp C  khác nhau trên R c Giả sử M là đa tạp khả vi m chiều, {( U i , i ),iI} là một atlas khả vi lớp C k , U là tập con mở khác rỗng của M Khi đó ta thấy U cũng là đa tạp khả vi m chiều C k sinh bởi cấu trúc khả vi trên M với atlas khả vi C = {( Vi , i )}, ở đó V i = U i  U   và  i = i  vi Đặc biệt, nếu (U,) là bản đồ địa phương trên M , thì U cũng là đa tạp khả vi 1.2.3... : NHÓM LIE CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI 2.1 Không gian tiếp xúc Cho M là đa tạp khả vi số chiều m lớp C k , k  1 Một ánh xạ c : J  M khả vi lớp C r ( r  k) được gọi là một đường cong khả vi lớp C r trên M, ở đó J là khoảng mở của R chứa điểm 0 Ánh xạ f : M  R lớp C r được gọi là một hàm khả vi lớp C r trên M Nếu U mở nằm trong M, f  U : U  R thuộc lớp C r thì f được gọi là hàm khả vi. .. nói đa tạp khả vi nghĩa là khả vi lớp C k với k nào đó, và tùy trường hợp cụ thể, ta giả thiết k lớn đủ cần thiết 2.3.1 Khái niệm về trường véc tơ Cho M là đa tạp khả vi m chiều TM là phân thớ tiếp xúc của đa tạp M, U mở  M Trường véc tơ khả vi trên M là một ánh xạ khả vi X : M TM sao cho .X(p) = p với mọi p  M Ta còn gọi X là nhát cắt khả vi xác định trên M Tập các trường véc tơ khả vi trên M được... ) trên TM có x x là đồng phôi Cụ thể là, xét U =  Vi , xi  , i  I  là một tập bản đồ trên M, xi : U i  Vi  R m Khi đó A trong TM khi và chỉ khi A (TU i ) là tạo ảnh của tập mở trong Vi  R m qua x i , i  I 16 Đối với tô pô này, tập các bản đồ TU i , x tạo thành một atlas khả vi lớp C k 1 trên TM TM cùng với cấu trúc khả vi xác định như trên là đa tạp khả vi 2m chiều, được gọi là đa tạp. .. được gọi là khả vi, nếu nó khả vi tại mọi điểm p  M 1.3.2 Một số tính chất * Nếu f: M  N và g: N  P là những ánh xạ khả vi, thì hợp thành g  f : M  P là ánh xạ khả vi * Nếu f : M  N được gọi là vi phôi từ M lên N nếu f là song ánh và cả hai ánh xạ f, f 1 đều khả vi Khi đó hợp thành của hai vi phôi là một vi phôi Các vi phôi từ M lên chính nó tạo thành một nhóm, được gọi là nhóm vi phôi của M... Moebius 2.7 Nhóm Lie 26 2.7.1 Định nghĩa Tập hợp G gọi là một nhóm Lie nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: 1) G là một nhóm Ta sẽ kí hiệu phép toán của nhóm là phép nhân: G  GG (a, b)  ab 2) G là một đa tạp khả vi 3) Ánh xạ G  GG (a, b)  ab 1 , là ánh xạ khả vi Chú ý: Nếu thay 1) ; 2) bởi 1') G là một đa tạp tôpô 2') Ánh xạ G  GG (a, b)  ab 1 , là ánh xạ liên tục, thì G gọi là nhóm tôpô Hiển... o x 1  xp  kiểu n  m Vậy ta có đó chính là hạng của ánh xạ f tại điểm p 2.5 Đa tạp con Ta nhận thấy một ánh xạ khả vi f : M N từ đa tạp khả vi M đến đa tạp khả vi N là dìm (tương ứng ngập) nếu với mọi p M ánh xạ tiếp xúc f p là đơn cấu (tương ứng toàn cấu) Ta có mệnh đề sau: Mệnh đề: Giả sử M, N là các đa tạp khả vi số chiều m và n tương ứng và f : M N là một dìm, khi đó với mỗi p M có bản ... vi Tìm hiểu nhóm Lie nhóm Lie phép biến đổi đa tạp khả vi Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày lý thuyết đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, nghiên cứu nhóm Lie nhóm Lie phép biến đổi đa tạp khả vi Phương pháp... sắc đa tạp khả vi biến đổi nhóm Lie đa tạp khả vi em chọn đề tài Nhóm Lie phép biến đổi đa tạp khả vi làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu sâu đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi Tìm... f(M) đa tạp tô pô Giả sử U = U1 , i iI atlas khả vi M Đặt Vi  f (U i ), i  i f 1 (Vi ) V ,  i i iI atlas khả vi M' M' đa tạp đa tạp khả vi N c Giả sử M đa tạp khả vi đa tạp N