Nhóm Lie các phép biến đổi trên đa tạp khả vi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************** ĐÀO THỊ HỊA NHĨM LIE CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học ThS GVC PHAN HỒNG TRƯỜNG HÀ NỘI - 2012 LỜI CẢM ƠN Để hồn thành khóa luận trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy khoa Tốn trường đại học sư phạm Hà Nội động viên, giúp đỡ em suốt thời gian qua Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy Phan Hồng Trường tạo điều kiện thuận lợi bảo tận tình để em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Đào Thị Hòa LỜI CAM ĐOAN Khóa luận hoàn thành với bảo thầy giáo khoa Tốn trường đại học sư phạm Hà Nội đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy Phan Hồng Trường Trong khóa luận có tham khảo kết nghiên cứu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Em xin khẳng định kết đề tài ''Nhóm Lie phép biến đổi đa tạp khả vi '' khơng có trùng hợp với đề tài khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Đào Thị Hòa MỤC LỤC Trang Mở đầu ……………………………………………………………… 1.Lý chọn đề tài ………………………………………………… 2.Mục đích nghiên cứu……………………………………………… 3.Nhiệm vụ nghiên cứu ……………………………………………… 4.Phương pháp nghiên cứu ………………………………………… CHƯƠNG 1: SƠ LƯỢC VỀ ĐA TẠP KHẢ VI VÀ ÁNH XẠ KHẢ VI………………………………………………………… 1.1 Không gian tôpô ánh xạ liên tục …………………………… 1.2 Đa tạp khả vi…………………………………………………… 1.3 Ánh xạ khả vi …………………………………………………… 10 CHƯƠNG : NHÓM LIE CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI………………………………… 13 2.1 Không gian tiếp xúc …………………………………………… 13 2.2 Phân thớ tiếp xúc………………………………………………… 16 2.3 Trường véc tơ…………………………………………………… 17 2.4 Ánh xạ tiếp xúc………………………………………………… 19 2.5 Đa tạp con……………………………………………………… 20 2.6 Đa tạp định hướng ………………………………………… 24 2.7 Nhóm Lie 27 2.8 Nhóm nhóm Lie 32 2.9 Dạng vi phân bất biến trái phương trình MaurerCartan 33 2.10 Nhóm Lie phép biến đổi đa tạp 36 Bài tập áp dụng .40 Hướng dẫn giải tập 41 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO .48 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học mơn quan trọng tương đối khó chương trình tốn phổ thơng để hiểu người học cần phải có tư cao Với mong muốn nghiên cứu sâu hình học tìm hiểu sâu sắc đa tạp khả vi biến đổi nhóm Lie đa tạp khả vi em chọn đề tài “Nhóm Lie phép biến đổi đa tạp khả vi” làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu sâu đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi Tìm hiểu nhóm Lie nhóm Lie phép biến đổi đa tạp khả vi Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày lý thuyết đa tạp khả vi,ánh xạ khả vi,nghiên cứu nhóm Lie nhóm Lie phép biến đổi đa tạp khả vi Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu sử dụng lý luận,các cơng cụ tốn học Nghiên sách tham khảo tài liệu liên quan đến nội dung đề tài CHƯƠNG 1: SƠ LƯỢC VỀ ĐA TẠP KHẢ VI VÀ ÁNH XẠ KHẢ VI 1.1 Không gian tôpô ánh xạ liên tục 1.1.1 Khái niệm không gian tôpô Không gian tôpô tập hợp M (mỗi phần tử gọi điểm) họ C tập M, gọi tập mở (trong M), cho : * tập rỗng, tập M mở, * hợp tùy ý tập mở tập mở, * giao số hữu hạn tập mở tập mở Thường kí hiệu đơn giản không gian tôpô (M, C ) M (khi không cần rõ họ C ) Không gian tôpô M gọi không gian tôpô Hausdorff với cặp điểm p, q M, p ≠ q , có tập mở U p, V q cho U V =  Ví dụ 1: Khơng gian mêtric : tập hợp M mêtric (khoảng cách), tức ánh xạ d : M M R thỏa mãn :  * d (p,q) 0, d (p, q) = p = q * d (p, q) = d (p, q) * d (p, q) + d (q,r ) d ( p, r) ( với p, q, r tùy ý thuộc M) Trên không gian mêtric M xét tôpô sau : tập U M gọi tập mở với p U, có số >0 cho hình cầu mở {qM / d(q,p) < } nằm hồn tồn U (tơpơ gây mêtric d) Đó không gian tôpô Hausdorff Không gian tôpô có tơpơ gây mêtric gọi khơng gian tơpơ mêtric hóa R với khoảng cách thơng thường khơng gian mêtric n Ví dụ 2: M không gian tôpô, N tập M N với tơpơ sau (tôpô cảm sinh) gọi không gian tôpô M: tập U N gọi tập mở N giao N với tập mở M Ví dụ 3: M N hai khơng gian tơpơ tích trực tiếp M N với tơpơ sau (tơpơ tích) gọi tích trực tiếp không gian tôpô M với N : tập M N gọi tập mở (trong M N) hợp tùy ý tập dạng U  V , U mở N, V mở N Ví dụ 4: M khơng gian tôpô, ~ quan hệ tương đương M, tập hợp lớp tương đương M / ~ với tôpô sau (tôpô thương) gọi không gian tôpô thương : tập M / ~ gọi tập mở ( M / ~) nghịch ảnh phép chiếu tắc p : MM / ~ tập mở (trong M) 1.1.2 Tập không gian tôpô M không gian tơpơ, pM tập M chứa tập mở chứa p gọi lân cận p (trong M) Tập F M gọi tập đóng (trong M) M \ F tập mở (trong M) Khi đó, tập rỗng, tập M tập đóng Giao tùy ý tập đóng tập đóng, hợp số hữu hạn tập đóng tập đóng A tập M bao đóng A A giao tập đóng chứa A ; tập đóng bé (theo quan hệ bao hàm) chứa A Phần A o A tập mở lớn nằm A ; điểm gọi điểm gọi điểm biên A, điểm gọi A Tập A / AO điểm biên A M gọi liên thông tập vừa mở vừa đóng (trong M) phải tập rỗng hay toàn M Tập A M gọi tập liên thông không gian tôpô A liên thông Một thành phần liên thông không gian tôpô M tập liên thông M mà tập liên thông M chứa phải trùng với Ví dụ tập liên thơng M khoảng (mở, đóng, nửa đóng, bị chặn, khơng bị chặn,…) 1.1.3 Ánh xạ liên tục Ánh xạ f : M N không gian tôpô gọi ánh xạ liên tục nghịch ảnh f tập mở (trong N) tập mở (trong M) (và vậy, nghịch ảnh tập đóng tập đóng) Song ánh f : M N gọi đồng f ánh 1 phôi f xạ liên tục Ta thấy : * Tích ánh xạ liên tục liên tục ; * Ảnh tập liên thông qua ánh xạ liên tục tập liên thông ; * Ảnh tập compact qua ánh xạ liên tục vào không gian Hausdorff tập compact Từ đơn ánh liên tục từ khơng gian compact vào không gian Hausdorff đồng phôi lên ảnh Ánh xạ liên tục : I M từ đoạn I = {t R 0 t 1} vào không gian tôpô M gọi cung (liên tục) M nối (0) với (1) Không gian tôpô M gọi liên thông cung với p, q  M, có cung (liên tục) M nối p với q Tập A không gian tôpô M gọi liên thông cung không gian tôpô A liên thông cung Dễ thấy không gian liên thơng cung liên thơng; tập mở liên thơng R n liên thông cung ; ảnh không gian liên thông cung qua ánh xạ liên tục tập liên thông cung 1.2 Đa tạp khả vi 1.2.1 Khái niệm đa tạp khả vi Chứng minh: Trước hết, nhận xét rằng, cũng xác định cách sau: với x M, định nghĩa: x : G M a  xa Khi ' x (A e ) = (A) x , ' x (A e ) = T e x ( A e ), e phần tử đơn vị G Từ suy là ánh xạ tuyến tính Bây giờ, ta chứng minh  giao hốn móc Lie Giả sử A, B g, a t = exptA Ta có: [A*, B*] = lim B * * R at t t 0  B* Để ý với a, b G : Ra Ta có:    R *B  xat x  ad a   * at '' * x ' R B R   at t xa t ' at B  ad a e  xat      1 x ' B t e Từ suy A,B * A , *  B x lim B * t 0  x = lim x *   R B at ' x e t  = ' lim B x  t 0 t   = ' x    ad  a ' t 0 x t   B  * x t ad  a e '  B   1 t 1 e ' B  e    A, BA, B e Vậy là đồng cấu đại số Lie Giả sử (A)= điểm M, tức là: x M , A   x Từ suy x  at ' A x  a '  0  a  0  '  e x ' t x t x ánh xạ (khơng phụ thuộc vào t) Do x at x ao x, t Điều có nghĩa nhóm biến đổi 1- tham số R M tầm thường, a t tức R =Id , với t Nếu R tác động có hiệu lên M, từ R x a a a t t t M x với x , suy a t =e với t Do A = 0, từ suy là đơn cấu Cuối cùng, x M 0 , x x, t Vì G tác x , A Ra động tự x t lên M nên suy at e, t Do A = Vậy A khác 0, A khác không điểm thuộc M Nhận xét: Nếu làm tương tự chứng minh ta có A g, a G, R A  A ad a  1 a* *  Bài tập áp dụng Bài Xét mặt phẳng R2 , M tập R2 x, y  R M  : y 0, x  x y xác định 0 Gọi M không gian tôpô R Chứng minh M đa tạp tơpơ Do đó, khơng thể trang bị cấu trúc khả vi M để M trở thành đa tạp khả vi Bài Cho M, N hai đa tạp khả vi lớp C k , ( k  ): a Chứng minh đa tạp M b Chứng minh riêng f nhúng nhúng f (N) đa tạp f:N  M dìm Đơn ánh ánh xạ f:N  M Chú ý: Ánh xạ f gọi riêng tạo ảnh tập compact M tập compact N c Nếu dimM = dimN, f : N  M dìm, f ánh xạ mở Từ suy khơng tồn dìm từ mặt cầu S n vào khơng gian Rn Bài a Cho S x  1 n R n 1 : x Hãy viết không gian tiếp xúc S n điểm x b Cho hyperboloid H R H x, y, z, t  R4 : x2 y z t 1 Hãy tính khơng gian tiếp xúc với H điểm x, y, z, t  H 40 Bài Gọi SO(n) tập ma trận vuông cấp n, trực giao có định thức Hãy chứng tỏ SO (n) đa tạp khả vi Tính khơng gian tiếp xúc với SO (n) điểm I n A SO (n) Bài Xét mặt cầu S với hai đồ địa cầu 1V ,  V2 ,2 : y   x S \  0, 0,1  ;   x, y,   , ,  z z   1 z  V S \ 0, 0,  x, y, z  y  x 1; ,   1 1z z   V Cho u u1 , véc tơ Tm R , m R Gọi u2  2   T S véc  m    u  tơ tiếp xúc biểu diễn u đồ V1 ,1 , nghĩa   Hỏi    biểu diễn đồ V2 ,2  véc tơ v nào? Hãy tìm v m=    ,    2  Bài Hãy xây dựng trường véc tơ khác không điểm S 2n1 Bài Chứng tỏ phân thớ tiếp xúc đa tạp SO (n) tầm thường Bài Cho M, N đa tạp khả vi lớp C k , số chiều m, n tương ứng Chúng tỏ trang bị cho tập hợp tích đề M N cấu trúc khả vi để M N trở thành đa tạp khả vi lớp C k có số chiều m + n Bài Cho m đa tạp khả vi Chứng tỏ phân thớ tiếp xúc TM định hướng Bài 10 Trong mặt sau mặt đa tạp Rn , ? a Mặt nón: 2 x2 x2    x 0, 1 q n  x x q 1 q n b Mặt Hyperboloid : x2 x2    x2 1, 1 q 2 x x n  q 41 q1 n c Mặt trụ : x2 x2  x2 1, 1 q n  q Hướng dẫn giải tập Bài Đa tạp M gồm tia Oy đường cong y = x Xét điểm p = (0, 0)  M Lân cận p M đa tạp tô pô Bài a Đặt N' = f (N) M Xét Ui ,i  , i I , atlas kahr vi N Vì f đồng phơi nên V i f Ui  mở N' Đặt i  i f Vi atlas khả vi N' Do N' đa tạp khả vi 42 V ,  , i I là  i i Xét nhúng tắc i: N' M Do f : N M nhúng f = i.f nên i nhúng khả vi, nghĩa N' = f (N) đa tạp M b f : N M theo giả thiết dìm, đơn ánh ánh xạ riêng Để chứng minh f nhúng cần chứng minh f : N  f(N) = N' có ánh xạ ngược f : N' N liên tục hay f biến tập đóng X N thành tập 1 đóng Y= f (X) N' Lấy dãy y1 , y2 , , yn f (X) hội tụ tới y o Khi B = ,   y1 , y2 , , yn ,  tập compact, f ánh xạ riêng nên A = f N Đặt x f y  , i 1, 2, , 1 i i n x Vì f liên tục nên y f x nj o yo Do nhúng (B) compact  hội tụ dãy  x có dãy  1 nj đến x  X o yo Y , nghĩa Y đóng Vậy f c Ta suy từ định lý hàm ngược khơng gian owclit Giả sử có f : Vơ lý R n Bài f : Rn1 R a Xét p =  x , , x n n dìm Vậy f ánh xạ mở  mở R S n  f (S ) n R không compact n R n1 n 1  f ( p)  x  điểm quy f, đặt i i1 1 n S f 1   Ta có: T S = Ker (dfp), n p v T p S  dfp(v) n0  n  x v = i i  i  v = v1 , , vn1  Vậy T siêu phẳng qua điểm p p S n S vng góc với n  véc tơ p b Tương tự, với m = ( x, y, z, t ) H, Tm H v   R Bài Xét GL  n tập ma trận vng cấp n, hệ số thực có định thức R dương; GL  n R : xv1 yv2 zv3 tv4 0 đa tạp khả vi số chiều n  SO ( n ) =  A GL  R  , At A I  , n Ta biết tập ma trận đối xứng Sym ( n) cấp n đa tạp khả vi số chiều n(n 1) Xét ánh xạ f: GL n  R  Sym ( n) n A f khả vi f 1  A A I , t (0) = SO ( n) Ta chứng minh f ngập Với A tùy ý thuộc GLn  R , H Mat (n, R ), ta tính (T A f ) (H) Xét cung tham số : I GL n R  t  A + tH, I khoảng mở chứa R , lấy I đủ bé để A + t.H GL n  R  Khi (0) = A, '(0) = H A tH t A tH d  f t T f H  d     A dt  dt n =  H t A tH   At  tH t H  I   t 0 = H t A At H Như TA f H H t A At H Với B T f ( A) Sym(n) nn 1 = Sym ( n), B t = B Lấy H = R A t 1 B A t H  B H t A  Bt  B Như f ngập 2 Do giá trị quy f, SO ( n) = f 1 (0 ) đa tạp khả vi số chiều n  n 1 SO(n) T f H 0 H T A t t  H A A H 0 Đặt B = At H , B phản đối xứng Như H AT SO(n) phản t A H đối xứng Vậy TASO(n) = { H Mat n, R phản đối xứng } : At H Bài Giả sử m =  m1 , 2m  R2 , .  m , m   R   m1 1  m  Giả sử u  u1 u2 m  1 m  m  2 m m2   2  Khi m =  , u1 2m n u   Bài   2   2  23 21 u1  u2 v Viết tọa độ điểm m dạng m =  x , y1, x2 , y2 , , xn1, yn1  2n1 X nhẵn X  m m u   v1  u    u   2    m, Xm 0, m , X trường véc tơ tiếp xúc khác 0, không S 2n1 Bài SO  n  A Mat n, R  : A A I      2m1m2  m  u 2m m u m2 1 2  t   2   m1 m  2  v  S  2  u2 m 2m m m2 m  2  u2 v   v2 u1 2 , v  viết dạng véc tơ cột, v1 v2 m m v1  J       1 m   m2 , n , det A 1 Với A SO(n),T SO(n)  H Mat(n, R) : A H H A 0 t t A Như T SO(n) không gian ma trận phản đối xứng I n Xét ánh xạ f : SO(n) T In SO  n TSO(n)  A.H TASO(n) (A, H ) AHTASO(n) t t t t t A AH AH .A A AH H A A H H t 0 ( A  SO (n) H phản đối xứng ) Rõ ràng f khả vi có ánh xạ ngược khả vi h : TSO (n ) T n I SO  n  được xác định B T A SO(n), h(B) A, A B  t Do f vi phơi , nghĩa TSO (n) phân thớ tầm thường Bài Giả sử Ui ,i , i I tập đồ khả vi M, V j tập , j  , j J đồ khả vi N Khi Ui V j , hij , hij i ,j :U i n m U j R , hij x, y i x  , j y  tập đồ khả vi M N Bài Xét phép chiếu : TM  M cho với v p Tp M  v p p Với atlas Ui ,i , i I M , TM có atlas tương ứng   Ui  , j  1      i vp  ,       i 2m  i  vp v x R với m v v x x p      j 1, m mà  . ,  .1  , D  j x U j phương, Ui U j , hàm chuyển tọa độ i j  j 1 trường sở lân cận điểm p Giả sử Vi , i  j j , j  .    1  j i j  hai đồ địa có ma trận Jacobi , là D  1     Do  j  .1 D     j i  i   giữ nguyên hướng điểm  ,  1 j detD   0 j i   Bài 10 1 a Không phải đa tạp b Đa tạp c Đa tạp ma trận Jacobi KẾT LUẬN Với đề tài " Nhóm Lie phép biến đổi đa tạp khả vi " em muốn tìm hiểu sâu đa tạp khả vi, không gian tiếp xúc phân thớ tiếp xúc đặc biệt nhóm Lie, tích nhóm Lie biến đổi đa tạp Phần đầu khóa luận kiến thức khơng gian tô pô ánh xạ liên tục giúp bạn đọc dễ tiếp thu khái niệm đa tạp, nhóm Lie Trong khóa luận em trình bày số tập liên quan để củng cố thêm phần lý thuyết trình bày, giúp người đọc hiểu rõ phần lý thuyết đa tạp khả vi, đa tạp con, xác định đa tạp Mong đọc xong tài liệu bạn độc giả bổ sung tìm hiểu thêm nhiều tập ứng dụng, làm cho tài liệu thêm phong phú Do bước đầu làm quen cơng tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận khơng tránh khỏi nhiều thiếu sót Rất mong ược góp ý thấy cô bạn độc giả để khóa luận hồn thiện Một lần em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Phan Hồng Trường, quan tâm bảo thầy khoa Tốn giúp đỡ em hồn thành khóa luận TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Bình Đơ (2010), Hình học vi phân, NXB ĐHSP Đồn Quỳnh (2000), Hình học vi phân, NXB GD Khu Quốc Anh, Nguyễn Doãn Tuấn (2011) , Lí thuyết liên thơng hình học Rieman, NXB GD ... vi Tìm hiểu nhóm Lie nhóm Lie phép biến đổi đa tạp khả vi Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày lý thuyết đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, nghiên cứu nhóm Lie nhóm Lie phép biến đổi đa tạp khả vi Phương pháp... sắc đa tạp khả vi biến đổi nhóm Lie đa tạp khả vi em chọn đề tài Nhóm Lie phép biến đổi đa tạp khả vi làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu sâu đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi Tìm... CHƯƠNG : NHÓM LIE CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI 2.1 Không gian tiếp xúc Cho M đa tạp khả vi số chiều m lớp C k , k 1 Một ánh xạ c : J M khả vi lớp C r ( r k) gọi đường cong khả vi lớp