Đa tạp khả vi và dạng vi phân trên đa tạp khả vi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN *************** NGUYỄN THỊ HẠNH ĐA TẠP KHẢ VI VÀ DẠNG VI PHÂN TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHUYÊN NGÀNH : HÌNH HỌC HÀ NỘI, 2012 NGUYỄN THỊ HẠNH ĐA TẠP KHẢ VI VÀ DẠNG VI PHÂN TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHUYÊN NGÀNH : HÌNH HỌC Người hướng dẫn khoa học PHAN HỒNG TRƯỜNG HÀ NỘI, 2012 LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy khoa Tốn – Trường Đại học sư phạm Hà Nội Đặc biệt xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy Phan Hồng Trường, hướng dẫn bảo tận tình để tơi hồn thành khóa luận Xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Hạnh LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận tơi thực Kết công bố không trùng với kết tác giả khác Tôi xin chịu trách nhiệm tính trung thực nội dung khoa học cơng trình MỤC LỤC PHẦN 1: MỞ ĐẦU ……………………………………………………… PHẦN 2: NỘI DUNG………………………………………………….……2 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.Không gian tôpô………………………………………………… 1.2.Tập không gian tôpô……………………………………… 1.3.Ánh xạ liên tục……………………………………………………… CHƯƠNG 2: ĐA TẠP KHẢ VI VÀ DẠNG VI PHÂN TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI…………………………………………………………………… 2.1 Định nghĩa Đa tạp khả vi ví dụ………………………………… 2.2 Ánh xạ khả vi…………………………………………………… 12 2.3.Trường Tenxơ đa tạp khả vi………………………………… 15 2.4 Dạng vi phân đa tạp khả vi…………………………………… 30 KẾT LUẬN……………………………………………………………… 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………… 41 PHẦN 1: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học mơn học tương đối khó chương trình tốn phổ thơng để hiểu người học cần phải tư cao Với mong muốn nghiên cứu sâu hình học tìm hiểu sâu sắc đa tạp khả vi dạng vi phân đa tạp khả vi, em chọn đề tài “ đa tạp khả vi dạng vi phân đa tạp khả vi ” làm khố luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, trường tenxơ, dạng vi phân đa tạp khả vi Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu : Kiến thức đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, trường tenxơ, dạng vi phân đa tạp khả vi Phạm vi nghiên cứu : Một số toán đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, trường tenxơ, dạng vi phân đa tạp khả vi Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày lý thuyết đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, trường tenxơ, dạng vi phân đa tạp khả vi Một số tốn có liên quan đến đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, trường tenxơ, dạng vi phân đa tạp khả vi Các phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu sách tham khảo tài liệu có liên quan PHẦN 2:NỘI DUNG CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.Không gian tôpô 1.1.1.Định nghĩa không gian tôpô Không gian tôpô tập hợp M (mỗi phần tử gọi điểm) họ những tập M , gọi tập mở (trong M ), cho :  Tập rỗng, tập M tập mở,  Hợp tùy ý tập mở tập mở,  Giao số hữu hạn tập mở tập mở Thường ký hiệu đơn giản không gian tôpô ( M ,) M (khi không cần rõ họ ) Không gian tôpô M gọi không gian tôpô Hausdorff với cặp điểm p, q M , p q , có tập mở U ,V ( p U , q V ) cho U  V =  1.1.2.Ví dụ 1) Khơng gian mêtric : tập hợp M với mêtric (khoảng cách), tức ánh xạ d : M M R thỏa mãn :  d p, q  0 ,d p, q 0 p q  d p, q d  q, p   d p, q d q, r (với p, q, r tùy ý thuộc M ) d  p, r  Trên không gian mêtric M xét tôpô sau : tập U M gọi tập mở với p U , có số >0 cho hình cầu mở q M d ( p, q) nằm hoàn toàn U (tơpơ gây mêtric d ) Đó không gian tôpô Hausdorff Không gian tôpô gây mêtric gọi khơng gian tơpơ mêtric hóa □ n với khoảng cách thơng thường không gian mêtric 2) M không gian tôpô, N tập M N với tơpơ sau (tơpơ cảm sinh) gọi không gian tôpô M : tập U N gọi tập mở N giao N với tập mở M 3) M N hai khơng gian tơpơ tích trực tiếp M N với tơpơ sau (tơpơ tích) gọi tích trực tiếp khơng gian tơpơ M với N : tập M gọi tập mở (trong M N ) hợp tùy ý tập N dạng U V , U mở M , V mở N 4) M không gian tôpô, □ quan hệ tương đương M , tập lớp tương đương M / □ với tôpô sau (tôpô thương ) gọi không gian tôpô thương : tập M / □ gọi tập mở (trong M / □ ) nghịch ảnh phép chiếu tắc (trong M ) p : M M / □ tập mở 1.2.Tập không gian tơpơ M khơng gian tơpơ p M tập M chứa tập mở chứa p gọi lân cận p (trong M ) Tập F gọi tập đóng (trong M ) M \ F tập mở M (trong M ) Khi đó, tập rỗng, tập M tập đóng Giao tùy ý tập đóng tập đóng,hợp tùy ý tập đóng tập đóng  A giao tập đóng chứa A tập M bao đóng A  A ; tập đóng bé (theo quan hệ bao hàm) chứa A Phần A A tập mở lớn nằm A ; điểm gọi điểm _  A Tập A \ gọi biên A , điểm gọi điểm biên A A M gọi liên thơng tập vừa mở vừa đóng (trong M ) phải thuộc lớp Cl l  với p M U , x  k lân cận tọa độ tùy ý quanh p , hàm  C l U  i1 is Tập dạng vi phân bậc s lớp C Đặt l  M   l  M  ,  M  l l M kí hiệu l  s M  trở thành □ - đại số với phép s s0 nhân xác định sau :   M ,  M  đặt tương ứng l k l với   l  k  cho với p M ,   p  M  p p  Dễ nhận thấy phép nhân có tính chất 2.4.1.3 2.4.3 VI PHÂN NGỒI 2.4.3.1 Định lí Giả sử M đa tạp khả vi Tồn ánh xạ d đại số dạng lớp C d   l vào đại số dạng lớp C có tính chất sau : 2 d1 dl 2 , với 1 ,2 M  Nếu  dạng bậc s , :   d d  1 d l1 s d 38 l Nếu f hàm khả vi lớp C M , df vi phân hàm f xác định df X X f X V  M  với 4, d  df  hàm khả vi lớp l C 0, f M , l 2 Chứng minh : Chỉ cần chứng minh định lí lân cận tọa độ địa phương Trong đồ địa phương U , x k – dạng biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính dạng fdxi  dxi i k Nếu tốn tử d thỏa mãn tính chất trên, d fdx  ii dx ik df dx  dx , d xác định Ta chứng ii ik 39  minh tồn Với  i1  ik i dxi  dx , ta đặt i k d  da  dx ik i i dx i1  ik i i k Cần phải kiểm tra điều kiện đến định lí Điều kiện suy trực tiếp từ cách xác định d Để chứng minh điều kiện 4, xét f l hàm số khả vi lớp C M ,l 2 ta có : m f j f dxf, i j  df  d df  d dx dx j  j 1  x j dx   Do m j 1 m  j   x   2 =  f  i  f  f x j x i  j xi x i ij i , j 1 j  f x x dxi dx j 0  x x  j i x x Để chứng minh 2, cần kiểm tra trường hợp fdx i1  ,   dx i j dx gdx s Ta có d    40 jr d f g dx  i dxis dx j1  dx jr fdg gdf dxi1  dxis dx j1  dx jr  df dxi  dxi s gdx  1  s fdx  dx i1 d   1s is j1  dx dg dx i1 jr   dx jr d Định lí chứng minh 2.4.3.2 Định lí Tốn tử d nói định lí 2.4.3.1 gọi tốn tử vi phân (hay đạo hàm ngoài) 41  2.4.3.3 Định lí Đối với dạng ta có d  d 0   M  ,l 2 l Chứng minh : Giả sử (U, x) đồ địa phương  fdx  i dx i1 địa phương  Ta có d  d  d df l k dx  dx i1 is biểu diễn s d df dx i1  dx  is  df dx  d  dx 0    dx 1 i i i k s k 1 Trong trường hợp tổng quát suy từ tính cộng tính toán tử d 2.4.3.4 Kéo lùi dạng vi phân Cho M N hai đa tạp khả vi số chiều m n tương ứng, : M  N ánh xạ khả vi Giả sử là dạng vi phân bậc s N Khi * dạng vi phân bậc s M xác định sau : với trường   véctơ X1, , Xs * X , , X  M , , , X s X n Nếu ,là hai dạng vi phân N , kiểm tra : 42 * * *  Hơn nữa, ta có định lí sau : Định lí Giả sử : M ánh xạ khả vi lớp C l  l N  2, dạng vi phân N , d * *  d  Chứng minh : Chỉ cần chứng minh công thức lân cận tọa độ M , N trường hợp  bậc  fdx  dx Ta chứng minh quy nạp theo i1 is 43 với + Nếu bậc tức X V *  bằng 0, f  , f  d   df M  Khi *  d X * df X df  X   X   f X f  X * d *   X  , Do cơng thức chứng minh bậc bằng + Giả sử công thức với có bậc s 1 Xét  fdx  dx Khi i1 is d * d* d * fdx d * fdx i1 i1 fdx  dx is1  dx i1  dx is1 dx  is * dx  is * dx  is is  1  s1 * fdxi1  dxis1  d * dxis  * d fdx  dx i1  *  df is dx  dx i1 is1 * dx  dx is is *  d   Định lí chứng minh 2.4.3.5 Tính chất tồn thể tốn tử đạo hàm a Định nghĩa Cho trường véctơ X trường tenxơ S kiểu 0, s trên đa tạp M , ta gọi tích trường véctơ X tenxơ hiệp biến S trường tenxơ kiểu 0, s 1 44 xác định i (S ) p, v , ,v S X p , v , ,v Với p M  M  , j 1, , s 1 x s1 p vj T 45  b Định lí Giả sử là s – dạng đa tạp khả LX đạo hàm Lie ứng với vi M , trường véctơ X Khi đó, ta có : LX  d d nghĩa toán tử d giao hoán với toán tử đạo  L  X hàm Lie LX d i i  d  Với X X  s  trường véctơ , ta có X , , Xs 1   X ,, Xi , , Xs d X ,, Xs   1 L j s j j 0 X +  1 i  j  X , X  ij i  j         ,X ,, X i , , X j , , Xs  c Chú ý Khi là – dạng M , : dX ,Y X Y Y X X ,Y  Với X ,Y v  M  2.4.4 DẠNG VI PHÂN LẤY GIÁ TRỊ TRÊN KHƠNG GIAN VÉCTƠ 46 Xét F khơng gian véctơ tùy ý trường số thực □ ; M đa tạp khả vi m – chiều Ta nói là dạng vi phân bậc s M với giá trị không gian véctơ F (hay F – giá trị) với p M ,p  ánh xạ F – tuyến tính thay phiên từ Tp  M đến F    Nếu dim F n sở F, với  giả sử p M , vs , ,v T p e1, ,en  M , ta có  n  v , , v j  v , , v  e p s j 1 p s 47 Ta thấy j j dạng vi phân bậc s M (lấy giá 1, 2, , n    trị thực) gọi dạng vi phân tọa độ đối với sở e1 , , en F Ta nói thuộc lớp C j  k thuộc lớp C với j 1, 2, , n k Một cách tương tự, xét TM phân thớ tiếp xúc đa tạp khả vi M số chiều m Ta nói là s – dạng M với giá trị TM với p ánh xạ s – tuyến tính thay phiên từ Tp M đến Tp M , nghĩa p M , p : T  Tp M Tp M pM  s Giả sử U , x đồ địa phương,    j 1, 2, , m  trường   j  x p U ,v1 véctơ sở Khi với , , v Tp s M m  j Ta có p v , ,v    p v j p j x p    , ,v  Ta thấy  j dạng vi phân ( □ - giá trị ) lân cận U Dạng vi phân được gọi khả vi k lớp C j 1, 2, , m dạng  48 j khả vi lớp k C với KẾT LUẬN 49 Phần nội dung trình bày số khái niệm toán đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, trường tenxơ, dạng vi phân đa tạp khả vi Sau trình nghiên cứu, em tìm hiểu thêm nhiều kiến thức mới, đúc rút cho số kiến thức vấn đề nghiên cứu Em hy vọng điều em trình bày kết luận giúp cho việc nghiên cứu vấn đề có lên quan hình học thuận lợi Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, có TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 Khu Quốc Anh - Nguyễn Doãn Tuấn (2011), Lý thuyết liên thơng hình học Riemann,Nxb ĐHSP, Hà Nội Phạm Bình Đơ (2010), Hình học vi phân, Nxb ĐHSP, Hà Nội Đồn Quỳnh (2010), Hình học vi phân, Nxb giáo dục, Hà Nội 41 42 ... sâu sắc đa tạp khả vi dạng vi phân đa tạp khả vi, em chọn đề tài “ đa tạp khả vi dạng vi phân đa tạp khả vi ” làm khố luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, trường... số toán đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, trường tenxơ, dạng vi phân đa tạp khả vi Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày lý thuyết đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, trường tenxơ, dạng vi phân đa tạp khả vi Một... trường tenxơ, dạng vi phân đa tạp khả vi Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu : Kiến thức đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, trường tenxơ, dạng vi phân đa tạp khả vi Phạm vi nghiên cứu