Toán tử giả vi phân trên S1

LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna thay giáo TS Bùi Kiên Cưòng Sn giúp đõ hưóng dan t¾n tình cna thay suot q trình thnc hi¾n lu¾n văn giúp tác giá trưóng thành rat nhieu cách tiep c¾n m®t van đe mói Tác giá xin bày tó lòng biet ơn, lòng kính sâu sac nhat đoi vói thay Tác giá xin trân cám ơn Ban giám hiắu trũng hoc S pham H Nđi 2, phũng Sau đai hoc, thay giáo nhà trưòng thay cô giáo day cao hoc chuyên ngành Tốn giái tích giúp đõ, tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá suot q trình hoc t¾p nghiên cúu Tác giá xin chân thành cám ơn Só GD-ĐT tính Vĩnh Phúc, Ban Giám hi¾u, thay giáo, đong nghi¾p trưòng THPT Tam Dương II, tính Vĩnh Phúc gia đình, ngưòi thân, ban bè giỳp ừ, đng viờn v tao ieu kiắn thuắn loi đe tác giá hồn thành khóa hoc Thac sĩ hon thnh luắn ny H Nđi, ngy 24 thỏng 10 năm 2013 Tác giá Phùng The Bang i LèI CAM ĐOAN Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưòng Đai Hoc Sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna TS Bùi Kiên Cưòng Tơi xin cam đoan lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi Trong q trình nghiên cúu hồn thành lu¾n văn tơi ke thùa nhung thành khoa hoc cna nhà khoa hoc đong nghi¾p vói sn trân biet ơn Hà N®i, ngày 24 tháng 10 năm 2013 Tác giá Phùng The Bang ii Mnc lnc Lài cám ơn i Lài cam đoan ii Báng ký hi¾u vi Má đau 1 M®t so kien thNc bo tra 1.1 M®t so khơng gian hàm 1.1.2 Không gian hàm giám nhanh S(Rn) 1.1.3 Khụng gian cỏc hm suy rđng tng chắm Sr(Rn) 1.2 Tốn tú tuyen tính m®t so khơng gian hàm 1.2.1 Tốn tú tuyen tính b% ch¾n 1.2.2 Toán tú compact 1.2.3 Toán tú Hilbert-Schmidt 1.2.4 Tốn tú tuyen tính đóng 1.1.1 Không gian Lp 1.3 Bien đoi Fourier 12 1.3.1 Bien đoi Fourier S(Rn) Sr (Rn) 12 iii 1.3.2 M®t so tính chat cna bien đoi Fourier 12 1.3.3 Bien đoi Fourier S1 14 1.4 Không gian Sobolev 14 1.4.1 Không gian Sobolev Hs,p (Rn) 14 1.4.2 Không gian Sobolev Hs,p S1 15 1.5 Nhóm Lie .16 Toán tN giá vi phân Rn 18 2.1 Toán tú giá vi phân S(Rn) 18 2.1.1 Bieu trưng toán tú giá vi phân S(Rn) 18 2.1.2 M®t so tính chat cna bieu trưng toán tú giá vi phân 18 2.2 Tính b% ch¾n cna tốn tú giá vi phân m®t so khơng gian hàm 23 2.2.1 Tính liên tuc cna toán tú giá vi phân 23 2.2.2 Toán tú giá vi phân Sr (Rn) 24 2.2.3 Tính b% ch¾n cna tốn tú giá vi phân khơng gian Sobolev Hs,p (Rn) 26 2.3 M®t so dang toán toán tú giá vi phân 27 2.3.1 Toán tú giá vi phân elliptic .27 2.3.2 Toán tú cnc đai toán tú cnc tieu cna toán tú giá vi phân 27 Toán tN giá vi phân S1 33 3.1 Bieu trưng toán tú giá vi phân S1 33 3.2 M®t so tính chat cna toán tú giá vi phân S1 34 iv 3.2.1 Toán tú Hilbert-Schmidt 35 3.2.2 Tính L2− b% ch¾n 35 3.2.3 Tính L2− compact 38 3.2.4 Tính Lp− b% ch¾n 40 3.3 M®t so van đe ve lí thuyet cna tốn tú giá vi phân S1 43 3.3.1 Tác đ®ng cna tốn tú giá vi phân khơng gian Lp− Sobolev .43 3.3.2 Toán tú cnc đai toán tú cnc tieu 44 3.3.3 Toán tú giá vi phân Fredholm 47 Ket lu¾n 53 Tài li¾u tham kháo 54 v BÁNG KÝ HIfi N T¾p so tn nhiên N∗ R ∗ R+ C S1 Z Rn Lp (Rn) T¾p so tn nhiên khác khơng T¾p so thnc T¾p so thnc dương T¾p so phúc Đưòng tròn n v% vúi tõm l goc toa đ Tắp hop so ngun hay có the coi Z khơng gian đoi ngau cna S1 Không gian Euclide n - chieu Khơng gian hàm có lũy thùa b¾c p tích Rn C∞(Ω) Khơng gian hàm vi vô han Ω (Ω) C∞ α Không gian hàm vi vơ han có giá compact Ω |α| Cap cna α, |α| = Q Ket thúc chúng minh Là đa chí so, α = (α1, · · · , αn) ∈ Nn n j=1 j α vi Mé ĐAU Lý chon đe tài Tù the ký XIX lý thuyet ve bien đoi Fourier đưoc giói thi¾u nghiên cúu van đe khác cna đao hàm riêng Tù nhung năm 1960 công cu đưoc phát trien tró thành só cna khái ni¾m tốn tú giá vi phân (xem [11-16]) Lý thuyet cna toán tú giá vi phân đóng vai trò quan trong nghiên cúu ve tốn tú đao hàm riêng, lý thuyet giái tích thòi gian - tan so (xem [1, 2, 4], [9]) Bán chat cna toán tú giá vi phân dùng giái tích Fourier nghiên cúu tốn tú vi phân Tốn tú giá vi phân đưoc nghiên cúu nhieu không gian khác Đưòng tròn đơn v% S1 m¾t phang l mđt nhúm Lie, viắc nghiờn cỳu toỏn tỳ giá vi phân S1 đưoc nhieu tác giá quan tâm nghiên cúu (xem [1-3], [5-10]) Nhieu tính chat cna tốn tú giá vi phân Rn có the chuyen qua cho S1 Tôi đoc nghiên cúu thu th¾p tài li¾u vói mong muon làm sáng tó thêm m®t so van đe lý thuyet ve tốn tú giá vi phân S1 Vì v¾y tơi manh dan chon đe tài cho lu¾n văn thac sĩ cna “Tốn tN giá vi phân S1” Mnc đích nghiên cNu Nghiên cúu lý thuyet ve tốn tú giá vi phân S1 tính chat cna như: tính b% ch¾n, tính compact, tốn tú Hilbert-Schmidt m®t so tính chat ve Nhi¾m nghiên cNu Khái ni¾m tốn tú giá vi phân S1 Các tính chat cna tốn tú giá vi phân S1 Các đieu ki¾n đe tốn tú giá vi phân S1 là: toán tú Hilbert- Schmidt, b% chắn, compact v mđt so tớnh chat ve Đoi tưang pham vi nghiên cNu Toán tú giá vi phân S1 tính chat cna Phương pháp nghiên cNu Nghiên cúu lý thuyet: Thu th¾p tài li¾u, đoc phân tích, tong hop đe đưoc m®t nghiên cúu tong quan ve tốn tú giá vi phân S1 tính chat DN kien đóng góp mái Tong quan ve lý thuyet cna tốn tú giá vi phân đưòng tròn đơn v% S1 mắt phang Chng Mđt so kien thNc bo tra 1.1 1.1.1 M®t so khơng gian hàm Khơng gian Lp Đ%nh nghĩa 1.1.1 Cho m®t khơng gian E v mđt đ o trờn mđt - đai so F t¾p cna E Ho tat cá hàm so f (x) có luy thùa b¾c p (1 ≤ p < ∞) cna mơ đun tích E, túc ¸ p |f | dµ < ∞ E goi khơng gian Lp (E, à) Khi E l o oc Lebesgue Rk, v l đ o Lebesgue, thỡ ta viet Lp (E) Khơng gian Lp (E, µ), ta khơng phân bi¾t hàm tương đương (nghĩa bang hau khap nơi), m®t khơng gian tuyen tính đ%nh chuan, vói phép tốn thơng thưòng ve c®ng hàm so nhân hàm so vói m®t so, v vúi chuan: "f" = p |f | dà p1 E Đ%nh nghĩa 1.1.2 Giá sú Ω ⊂ Rn l mđt mú Rn, p < ∞ Hàm f : Ω → C đưoc goi thu®c Lp (Ω) neu đo đưoc có chuan ¸ p p dx "f" p = |f (x)| L (Ω) Ω huu han Trưòng hop p = ∞, hàm f thu®c L∞ (Ω) neu đo đưoc b % ch¾n cot yeu, nghĩa "f"L∞(Ω) = esssupx∈Ω |f (x)| < ∞, esssupx∈Ω |f (x)| đưoc đ%nh nghĩa so nhó nhat M cho |f (x)| ≤ M hau khap x ∈ Ω Đ¾c bi¾t L1 (Ω) khơng gian hàm có tớch phõn hđi tu tuyắt oi vúi "f"L1 () = Ω |f (x)|dx Ký hi¾u S1 đưòng tròn đơn v% m¾t phang có tâm goc toa đ®, moi hàm so xác đ%nh S1 tương úng vói m®t hàm xác đ%nh truc so, tuan hồn chu kì 2π Khi Đ%nh nghĩa 1.1.3 Cho ≤ p ≤ ∞, xác đ%nh không gian hàm sau: p π (i) Không gian L (S ) = {f : S → C : |f (θ)|pdθ < ∞}, ≤ p < ∞ ¸ −π vói chuan ¸π "f"Lp (S1 ) =  p |f (θ)| dθ p −π (ii) Không gian L∞(S1)= {f : S1 → C|∃k > : |f (θ)| ™ k hau khap θ ∈ S1} vói chuan "f"L∞(S1 ) = inf{k > 0|f (θ)| ™ k hau khap θ ∈ S1} Rõ ràng L∞(S1) ⊂ L2(S1) ⊂ L1(S1) Đ%nh nghĩa 1.1.4 Cho ≤ p ≤ ∞, xác đ%nh không gian hàm sau: (i) Lp(Z) = {f : Z → C : |f (n)|p < ∞} vói chuan n∈Z "f"Lp (Z) = n∈ Z p |f (n)|p ∈ ... giá vi phân 27 2.3.1 Toán tú giá vi phân elliptic .27 2.3.2 Toán tú cnc đai toán tú cnc tieu cna toán tú giá vi phân 27 Toán tN giá vi phân S1 33 3.1 Bieu trưng toán tú giá vi phân. .. giá vi phân S1 Các tính chat cna tốn tú giá vi phân S1 Các đieu ki¾n đe tốn tú giá vi phân S1 là: toán tú Hilbert- Schmidt, b% chắn, compact v mđt so tớnh chat ve Đoi tưang pham vi nghiên cNu Toán. .. vi phân dùng giái tích Fourier nghiên cúu tốn tú vi phân Toán tú giá vi phân đưoc nghiên cúu nhieu khơng gian khác Đưòng tròn đơn v% S1 mắt phang l mđt nhúm Lie, vi c nghiờn cỳu toỏn tú giá vi