Toán tử giả vi phân trên xuyến

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI NGUYN TH MINH H TON T GI VI PHN TRấN XUYN Chuyờn ngnh : TON GII TCH Mó s : 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS. BI KIấN CNG H Ni, thỏng 12 nm 2014 LI CM N Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni di s hng dn ca thy giỏo TS. Bựi Kiờn Cng. S giỳp v hng dn tn tỡnh ca thy sut quỏ trỡnh thc hin lun ny ó giỳp tỏc gi trng thnh hn rt nhiu cỏch tip cn mt mi. Tỏc gi xin by t lũng bit n, lũng kớnh trng sõu sc nht i vi thy. Tỏc gi xin trõn trng cm n Ban giỏm hiu trng i hc S phm H Ni 2, phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo nh trng v cỏc thy cụ giỏo dy cao hc chuyờn ngnh Toỏn gii tớch ó giỳp , to iu kin thun li cho tỏc gi sut quỏ trỡnh hc v nghiờn cu. Tỏc gi xin chõn thnh cm n S GD-T tnh Vnh Phỳc, Ban giỏm hiu, cỏc thy cụ giỏo, ng nghip trng THPT Tam Dng, tnh Vnh Phỳc cựng gia ỡnh, ngi thõn, bn bố ó giỳp , ng viờn v to iu kin thun li tỏc gi hon thnh khúa hc Thc s v hon thnh lun ny. H Ni, thỏng 12 nm 2014 Tỏc gi Nguyn Th Minh H LI CAM OAN Lun c hon thnh ti trng i Hc S phm H Ni di s hng dn ca TS. Bựi Kiờn Cng. Tụi xin cam oan lun l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi. Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v hon thnh lun tụi ó k tha nhng thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc v ng nghip vi s trõn trng v bit n. Tụi xin cam oan rng cỏc thụng tin trớch dn lun ó c ch rừ ngun gc. H Ni, thỏng 12 nm 2014 Tỏc gi Nguyn Th Minh H BNG Kí HIU N Tp s t nhiờn R Tp s thc. C Tp s phc. Z Tp hp cỏc s nguyờn Rn Khụng gian Euclide n - chiu Tn = (R/2Z)n Hỡnh xuyn n chiu C () Khụng gian cỏc hm kh vi vụ hn L a ch s, = (1 , ., n ) N || Cp ca , || = n j=1 j FE Bin i Fourier khụng gian Euclide, FE f () = fE () = ix f (x)dx n e R = (2)n dx l vi phõn cú trng dx FT f () = fT () Tn Bin i Fourier trờn xuyn eix f (x)dx D(Tn ) Khụng gian cỏc hm th trờn xuyn C (Tn ) Khụng gian cỏc kh vi vụ hn trờn xuyn D (Tn ) Khụng gian cỏc hm suy rng trờn xuyn S(Rn ) Khụng gian cỏc hm gim nhanh trờn khụng gian Euclide E (Rn ) Khụng gian cỏc hm suy rng giỏ compact trờn xuyn S (Zn ) Khụng gian cỏc hm suy rng trờn khụng gian ri rc j Sai phõn riờng theo bin th j Mc lc M u Li m u Mt s kin thc b tr 1.1. Mt s khụng gian hm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Khụng gian cỏc hm gim nhanh . . . . . . . . . 1.1.3. Khụng gian cỏc hm suy rng tng chm S (Rn ) . 1.2. Phộp bin i Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Bin i Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Mt s tớnh cht ca bin i Fourier . . . . . . . 1.2.3. Bin i Fourier ca hm suy rng tng chm . . 1.1.1. Khụng gian Lp 1.3. Khụng gian Sobolev H s (Rn ) v toỏn t gi vi phõn trờn Rn 1.4. Mt s khụng gian hm v bin i Fourier trờn xuyn . Toỏn t gi vi phõn trờn xuyn 2.1. Phộp tớnh sai phõn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 13 2.2. Toỏn t gi vi phõn trờn xuyn . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3. Tun hon húa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4. iu kin cho tớnh L2 b chn ca toỏn t . . . . . . . 26 2.5. M rng biu trng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.6. p dng vo phng trỡnh Hyperbolic . . . . . . . . . . 31 Kt lun 33 Ti liu tham kho 34 M U 1. Lý chn ti Lý thuyt toỏn t gi vi phõn (PDO) cú th c coi nh l mt m rng t nhiờn ca lý thuyt phng trỡnh o hm riờng tuyn tớnh v chỳng chia s vi nhiu thuc tớnh thit yu. Vic nghiờn cu lý thuyt gi-vi phõn ó vt nghiờn cu v lý thuyt toỏn t tớch phõn k d thp niờn 1960, l mt ch tng i tr, lý thuyt ny bõy gi l ch nghiờn cu tng i c lp v cú nh hng ti nhiu lnh vc toỏn hc v cụng ngh. Trong s nhiu ngi tin nhim nh hng ln nht ti lý thuyt gi vi phõn, chỳng ta phi cp n cỏc tỏc phm ca Solomon Grigorievich Mikhlin, Alberto Calderún v Antoni Zygmund. Khong nm 1957, bng phng phỏp mi mnh m, Alberto Calderún chng minh nh lý tớnh nht a phng ca bi toỏn Cauchy ca mt phng trỡnh o hm riờng. Chng minh ny liờn quan n ý tng ca vic nghiờn cu lý thuyt i s cỏc a thc c trng ca phng trỡnh o hm riờng. Mt phng phỏp t nhiờn gii quyt toỏn t gi vi phõn trờn a n chiu l s dng lý thuyt Rn a phng: iu ny cú th thc hin vỡ lp cỏc toỏn t gi vi phõn l bt bin i vi phộp i ta . Tuy nhiờn, khụng gian tun hon Tn (xuyn), õy cú th l mt suy ngh vng v bi lý thuyt a phng b cn tr bi mt phn v k thut hi t v nhng v ta a phng. Cu trỳc nhúm compact ca xuyn l quan trng theo quan im ca gii tớch iu hũa. Nm 1979 v 1985, Mikhail Semenovich Agranovich ó trỡnh by cụng thc hp dn v toỏn t gi vi phõn trờn hỡnh cu n v S s dng chui Fourier (xem [1]). K t õy, vic nghiờn cu c lp toỏn t gi vi phõn tun hon ó c xng. S tng ng ca cỏc nh ngha a phng v ton cc ca toỏn t gi vi phõn tun hon ó c chng minh y bi William McLean nm 1989 ([3]). T ú tr i, cỏc nh ngha ton cc ó c ng dng rng rói v c s dng bi Agranovich, Amosov, D.N. Arnold, Elschner, McLean, Saranen, Schmidt, Sloan, v Wendland cựng vi cỏc tỏc gi khỏc. Tớnh hiu qu ca nú ó c ghi nhn c bit gii tớch s ca phng trỡnh tớch phõn biờn. Vi mong mun hiu bit sõu hn v toỏn t gi vi phõn trờn xuyn v nhng ng dng ca nú, di s hng dn ca TS. Bựi Kiờn Cng tụi la chn ti "Toỏn t gi vi phõn trờn xuyn" lm lun tt nghip ca mỡnh. 2. Mc ớch nghiờn cu Nm c nhng khỏi nim c bn nhng tớnh cht ca toỏn t gi vi phõn trờn xuyn cựng vi nhng k thut c trng so sỏnh vi trng hp toỏn t gi vi phõn trờn Rn . H thng húa nhng kt qu c bn ca lý thuyt toỏn t gi vi phõn trờn xuyn. 3. Nhim v nghiờn cu Trỡnh by tng quan v lý thuyt toỏn t gi vi phõn trờn xuyn, cỏc tớnh cht ca lp toỏn t ny mt s khụng gian hm c bn nh Lp Sobolev, . 4. i tng v phm vi nghiờn cu i tng nghiờn cu: Gii tớch Fourier, sai phõn trờn lp hm tun hon; mt s khụng gian hm trờn xuyn v lý thuyt toỏn t gi vi phõn tun hon. Phm vi nghiờn cu: Cỏc bi bỏo v cỏc ti liu v ngoi nc liờn quan n i tng nghiờn cu. 5. Phng phỏp nghiờn cu S dng cỏc kin thc v phng phỏp ca gii tớch hm tip cn . Thu thp v nghiờn cu cỏc ti liu cú liờn quan, c bit l cỏc bi bỏo mi v ngoi nc v m lun cp n. 6. úng gúp ca lun Lun l mt cụng trỡnh nghiờn cu tng quan v mt s c bn ca lý thuyt toỏn t gi vi phõn trờn xuyn. Chng Mt s kin thc b tr 1.1. Mt s khụng gian hm 1.1.1. Khụng gian Lp nh ngha 1.1. Cho khụng gian o E, M, . H tt c cỏc hm s f (x) cú ly tha bc p (1 p < ) ca mụ un kh tớch trờn E, tc l |f |p dà < E gi l khụng gian Lp (E, à). Khi E l o c Lebesgue Rk v l o Lebesgue, thỡ ta vit Lp (E). Khụng gian Lp (E, à) , ú ta khụng phõn bit cỏc hm tng ng (ngha l bng hu khp ni), l mt khụng gian tuyn tớnh nh chun, vi cỏc phộp toỏn thụng thng v cng hm s v nhõn hm s vi mt s v vi chun: |f |p dà f = p . E nh ngha 1.2. Gi s Rn l mt o c ca Rn , 19 ú ta s dng (2.16) v (2.13) thu c ng thc cui cựng. Kt hp iu ny vi nhn xột m v(,m ,k)i p ( + v (, m , k)) p () = Il v i p ( + v (, i, l)), i=1 ta cú m n j k(j,1) Ik(j,1) Ik(j,2) rM +1 (, ) = ããã k(j, 1) Ik(j,jj) ||=M j=1 v(,m ,k(m ,m ))i Il(i) i=1 i +v p ( + v (, i, l (i))) n k(j, 1) k(j,1) j Ik(j,1) Ik(j,2) ã ã ã Ik(j,jj) = ||=M +1 j=1 p + v , m , k m , m . Bc cui cựng cũn li rt n gin. Do ú chng minh ca phộp quy np (2.16) c hon thnh. Cui cựng, ta ỏnh giỏ (2.14). T (2.16) thu c rM (, ) = r (, ) ||=M n k(j,1) k(j, 1) j Ik(j,1) Ik(j,2) ã ã ã Ik(j,jj) = ||=M j=1 + p ( + v (, m , k (m , m ))) ||=M () max + p ( + v) , ! vQ() ú bc cui cựng ta s dng (2.13) Nhn xột 2.2. Nu n 2, s cú nhiu hỡnh thc la chn cho s d r (, ) . iu ny l thc t cú th cú nhiu bc ngn ri rc khỏc khụng gian Zn t n + . Trong chng minh trờn, ta ch 20 chn mt cỏch, theo ú chn cỏc im j , + v1 , ., + i vi , ., + . i=1 Nhng nu n = 1, ch cú mt ng ri rc ngn nht t Zn n Z, v trng hp ú k rM (, ) = Ik1 Ikk21 ã ã ã IkMM M p ( + kM ) . T nh lý Taylor ri rc trỡnh by trờn kộo theo kt qu Taylor cho hm kh vi sau õy: H qu 2.2. Cho p C (Rn ) v rM (, ) := p ( + ) || 0, ta cú th ly tớch phõn tng phn i vi nhiu ln. iu ny cho thy R v Rf suy gim vụ cc nhanh hn mi a thc. Lp li lý lun ny cho cỏc o hm ca Rf , ta cú kt lun ca B . Nhn xột 2.5. Chỳ ý rng nu f l giỏ compact, nhng khụng nht thit hỡnh lp phng [, ] , ti mi x tng chng minh 25 cú th bao gm s hu hn cỏc s hng. iu ny cú ngha rng trờn (Rn ) , sai khỏc mt toỏn t trn, chỳng ta cú th vit a (X, D) nh mt tng hu hn ca toỏn t vi biu trng tun hon. Hn na, chng minh tng t c ỏp dng nu a (x, ) l giỏ compact x, nhng khụng nht thit [, ]n . Mnh ny cho phộp ta m rng cụng thc ca Mnh 2.3. i vi nhiu ca mt biu trng tun hon. Ta s s dng nú a (x, D) l mt tng ca mt toỏn t cú h s hng v mt toỏn t vi biu trng cú giỏ compact theo bin x. H qu 2.3. Cho a (X, D) l mt toỏn t vi biu trng a (x, ) = a1 (x, ) + a0 (x, ) , m m ú a1 S, (Rn ì Rn ) l tun hon theo x v a0 S, (Rn ì Rn ) m cú giỏ compact theo bin x. Khi ú tn ti biu trng b S, (Tn ì Zn ) cho p (a (X, D) f ) = b (X, D) (pf ) + p (Rf ) , f (Rn ) , ú R : S (Rn ) S (Rn ) . c bit, nu s upp (a0 (ã, )) , supp (f ) [, ]n , ta cú th ly b (X, D) = a1 (X, D) + pa0 (X, D) . Ta gi s rng biu trng cỏc l trn, nhng yờu cu ca tớnh trn ca a1 (x, ) l khụng cn thit ging nh Mnh 2.3 Chng minh. Bng Mnh ,a (X, D) = a1 (X, D) + (pa0 ) (X, D) + R. Vỡ toỏn t b (X, D) = a1 (X, D) + (pa0 ) (X, D) cú biu trng tun hon, nh Mnh ta cú p b (X, D) = b (X, D) p = a1 (X, D) p + pa0 (X, D) p. 26 n Vỡ R : S (R ) S (R ) , ta cng cú p R : S (Rn ) D (Tn ). 2.4. n iu kin cho tớnh L2 b chn ca toỏn t Tip theo ta nghiờn cu trờn biu trng xuyn A m bo rng tớnh L2 b chn cho toỏn t tng ng A : D (Tn ) D (Tn ) . Chỳ ý rng x A (x, ) C (Tn ) vi mi Zn . Mnh 2.3. Nu x A (x, ) ú || C n/2 + thỡ A L L2 (Tn ) . Chng minh. Ta cú A (x, ) fT () eixã Af (x) = Zn AT (, ) fT () eixã(+) = ,Zn eixã = Zn AT ( , ) fT (). Zn 27 õy |AT (, )| Af C L2 (Tn ) k , vỡ vy |Af (x)|2 dx = Tn Af T () = Zn AT ( , ) fT () = Zn Zn |AT ( , )|2 sup Zn Zn Zn C f |AT ( , )|2 sup Zn fT () Zn L2 (Tn ) . nh lý 2.4. Cho ei(x,k) a (x, k) u (k). T u (x) = kZn Gi s rng i vi mi m || |x a (x, k)| C, 2n + 1, |x k (x, k)| C. (2.22) Cng gi s rng i vi mi x Tn v cho mi k, l Zn , |x (x, k) x (x, l)| C |k l| . (2.23) Khi ú T L L2 (Tn ) . Chỳ ý rng iu kin (2.23) l bn ri rc ca iu kin th a phng thụng thng i vi toỏn t tớch phõn Fourier, cn thit cho tớnh L2 b chn a phng. Ta cng lu ý rng cỏc iu kin ny 28 tng ng ti tớnh cht C ca cỏc pha theo bin . Cui cựng, nu v a khụng l tun hon chu k theo bin x, toỏn t T l b chn t L2 (Tn ) n L2loc (Rn ) . nh lý 2.5. Cho m R v a : Tn ì Zn C tha x a(x, ) C m vi mi (x, ) Tn ì Zn v vi mi a ch s . Khi ú toỏn t gi vi phõn Op(a) : H s (Tn ) H sm (Tn ) b chn vi mi s R. 2.5. M rng biu trng Cú th m rng biu trng xuyn t Tn ì Zn n Tn ì Rn . iu ny cú th c thc hin bi mt tớch chp phự hp vi cỏc bt ng thc ca biu trng. í tng ú Y. Meyer xỏc lp. B 2.6. ti , S (Rn ) cho E |Zn () = 0, v E () = t () vi mi a ch s . Chng minh. u tiờn ta xột trng hp n = 1. Cho = C R1 cho supp (1 ) [2, 2] , (x) = (x) , ( y) + ( + y) = vi x R v vi y . Cỏc gi thit cho l cho ta v tt nhiờn s la chn khụng phi l nht. Trong mi trng hp, 29 1E S R1 . Nu Zn thỡ (x) eixã dx 1E () = R1 (1 (x 2) + (x)) eixã dx = eixã dx = = 0, . Nu hm S (Rn ) tn ti thỡ nú phi tha eixã () () d = R1 R1 eixã () d vỡ FE : S R1 S R1 l song ỏnh. Ly tớch phõn tng phn (ix) (x) = eix FE1 (x) . Do ú FE1 (x) = ix eix (x) . Trng hp n chiu núi chung l gim n trng hp chiu, vỡ = (x (x1 ) (x2 ) ã ã ã (xn )) S (Rn ) cú tớnh cht mong mun. Hai kt qu sau õy d dng thu c t nh lớ ca Taylor ri rc. m B 2.7. Cho a : Tn ì Rn C thuc vo mt lp S, (Rn ì Rn ) . Khi m ú cỏc hn ch = a |Tn ìZn S, (Tn ì Zn ) . m Mnh 2.4. Cho a, b : Tn ì Rn C cho a, b S, (Rn ì Rn ) v a |Tn ìZn = b |Tn ìZn . Khi ú a b l trn, a b S (Rn ì Rn ) . nh lý chớnh phn ny cho phộp ta cú th m rng biu trng xuyn theo mt cỏch trn nht. 30 nh lý 2.6. Cho m S, n m (T ì Zn ). Khi ú tn ti a S, (Rn ì Rn ) cho = a |Tn ìZn ; biu trng m rng ny l nht sai khỏc mt biu trng trn Chng minh. Tớnh nht sai khỏc mt biu trng trn suy t Mnh 2.4, nờn s tn ti l chớnh ca phộp chng minh. Cho S (Rn ) nh B 2.6. Ta nh ngha a : Rn ì Rn C bi E ( ) (x, ). a (x, ) := Zn D dng thy rng = a |Tn ìZn . Hn na, x a (x, ) E ( ) x (x, ) = Zn t ( ) x (x, ) = Zn ( ) x (x, ) (1)|| = Zn | ( )| Cm m||+|| Zn Cm m||+|| | ()| Zn Cm m||+|| . m Do ú a S, (Rn ì Rn ) . nh lý c chng minh. |m||+||| 31 2.6. p dng vo phng trỡnh Hyperbolic Cho a(x, D) m (Rn ). Nu u ph thuc vo x v t, chỳng ta s vit a(x, ) uE (, t)eix d a(x, D)u(x, t) = Rn ei(xy) a(x)u(y, t)dyd. = Rn Rn Cho u(ã, t) L1 (Rn ), (0 < t < t0 ) l mt nghim ca bi toỏn hyperbolic i u(x, t) = a(x, D)u(x, t) t (2.24) u(x, 0) = f (x), ú f L1 (Rn ) l cú giỏ compact. Gi thit rng a(X, D) = a1 (X, D) + a0 (X, D), ú a1 (X, D) l tun hon v a0 (x, ) l cú giỏ compact theo bin x (thm gi thit thờm na l suppa0 (ã, ) [, ]n ). Chng hn, chỳng ta mun cú a1 (x, ) = a1 () l mt toỏn t h s hng, khụng cn thit phi trn theo bin . Chỳng ta cng gi thit rng suppf [, ]n . Chỳng ta hóy tun hon húa bi toỏn (2.24). Theo Mnh 2.3., chỳng ta cú th thay th (2.24) bi i u(x, t) = (a1 (x, D) + (pa0 )(x, D)) u(x, t) + Ru(x, t) t (2.25) u(x, 0) = f (x), ú biu trng a1 +pa0 l tun hon v R l toỏn t trn. nghiờn cu tớnh k d ca (2.24), ch cn phõn tớch bi toỏn Cauchy i v(x, t) = (a1 (x, D) + (pa0 )(x, D)) v(x, t) t v(x, 0) = f (x), (2.26) 32 vỡ cụng thc Duhamel, u súng W F (uv) = 0. Bi toỏn ny cú th dch chuyn sang xuyn. Cho w(x, t) = pv(ã, t)(x). Nh Mnh 2.3., ta cú th gii bi toỏn Cauchy i w(x, t) = ( a1 (x, D) + (pa )(x, D)) w(x, t) t (2.27) w(x, 0) = pf (x), Nghim ca bi toỏn (2.27) c tớnh theo cụng thc ei(t,x,k) c(t, x, k)fE (k). w(x, t) = (2.28) kZn T = fE (k). Cng vy, nu biu trng a1 (x, ) = a1 () õy, chỳ ý rng pf cú h s hng v a0 cú bc 0, chỳng ta cú (t, x, k) = x ã k + ta1 (k). c bit, x (x, k) = k, vỡ vy cụng thc phõn tớch i vi b(x, D)w mc trc cú th c ỏp dng. Kt lun chng Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by v mt s c bn nht lý thuyt toỏn t gi vi phõn trờn xuyn v mt ỏp dng nh lý thuyt ny gii bi toỏn Cauchy i vi phng trỡnh hyperbol. 33 Kt lun Lun l bi tng quan v mt s c bn nht lý thuyt toỏn t gi vi phõn trờn xuyn da trờn cỏc ti liu tham kho [4], [5] v [6]. Trong lun vn, tỏc gi c gng lm rừ mt s ý tt ti liu tham kho. Cho dự vy, nng lc cũn hn ch v thi gian ngn, nờn lun khụng trỏnh nhng thiu sút. Kớnh mong c thy cụ v bn c gúp ý lun c hon chnh hn, xin chõn thnh cỏm n. 34 Ti liu tham kho [1] M.S. Agranovich (1984), Elliptic pseudodifferential operators on a closed curve, (Russian) Trudy Moskov. Mat. Obshch., Vol. 47 , 2267, 246. [2] L. Hormander (1985), The Analysis of Linear Partial Differential Operators IV, Springer-Verlag. [3] W. McLean (1991), Local and global description of periodic pseudodifferential operators, Math. Nachr. 150 , pp. 151161. [4] M. Ruzhansky and V. Turunen (2006), Quantization of pseudodifferential operators on the torus, Operator Theory: Advances and Applications, Vol. 172, pp. 87-105. [5] M. Ruzhansky and V. Turunen (2007), On the Fourier analysis of operators on the torus, in Modern Trends in Pseudo-Differential Operators, Editors: J. Toft, M.W. Wong and H. Zhu, Birkhauser, pp. 87-105. [6] M. Ruzhansky and V. Turunen (2010), Pseudo-Differential Operators and Symmetries, Background Analysis and Advanced Topics, Birkhăauser, Basel ã Boston ã Berlin. [...]... 0 1 α (α) ∆ ∂ a (x, y, ξ) |y=x α! ξ y (2.20) Định nghĩa 2.2 (Toán tử giả vi phân trên xuyến) Nếu m σ ∈ Sρ,δ (Tn × Zn ) , chúng ta ký hiệu a(x, D) = Op(a) là toán tử tuyến tính σ(x, ξ)ˆ(ξ)eixξ u a(x, D)u(x) = Op(a)u(x) := (2.21) ξ∈Zn Mỗi toán tử như vậy được gọi là toán tử giả vi phân bậc m trên xuyến 2.3 Tuần hoàn hóa Ta định nghĩa toán tử tuần hoàn hóa p : S (Rn ) → D (Tn ) bởi −1 pu (x) := FT ((FE... S1,0 bởi S m Định nghĩa 1.10 Giả sử σ là một biểu trưng Khi đó, toán tử giả vi phân Tσ tương ứng với σ được định nghĩa bởi (Tσ ϕ) (x) = (2π)−n/2 eix·ξ σ (x, ξ) ϕ (ξ) dξ, ϕ ∈ S Rn Định lý 1.6 Cho σ ∈ S m là một biểu trưng Khi đó, Tσ : H s (Rn ) → H s−m (Rn ) là toán tử tuyến tính bị chặn 1.4 Một số không gian hàm và biến đổi Fourier trên xuyến Ký hiệu Tn = R/(2πZ) n là hình xuyến n chiều Ta sẽ đồng nhất... D) (pf ) (x) ; Các phép tính này được kiểm tra dưới dạng hàm suy rộng 24 Vì ta sẽ không luôn luôn làm vi c với biểu trưng tuần hoàn nên có thể rất thuận tiện khi ta tuần hoàn chúng Nếu a (X, D) là toán tử giả vi phân với biểu trưng a (x, ξ) , bới ký hiệu (pa) (X, D) ta sẽ biểu thị toán tử giả vi phân với biểu trưng (pa) (x, ξ) = k∈Zn a (x + 2πk, ξ) Tổng này có nghĩa nếu a khả tích theo biến x Mệnh... n/2 Khi đó H s (Tn ) ⊂ C m (Tn ) Hệ quả 1.1 Chúng ta có đẳng thức ∩s∈R H s (Tn ) = C ∞ (Tn ) (1.6) 13 Chương 2 Toán tử giả vi phân trên xuyến 2.1 Phép tính sai phân Định nghĩa 2.1 (Sai phân riêng) Cho σ : Zn → C và vj ∈ Nn , (vj )j = 1 thỏa mãn (vj )i = 0 nếu i = j Khi đó, ta gọi là sai phân riêng tiến (lùi) thứ j, ký hiệu ξj tương ứng ξj σ(ξ) ξj (hay t ξj ), hiệu số xác định bởi := σ(ξ + vj ) − σ(ξ),... ∈ Rn : min (0, θj ) vj max (0, θj )} Nhận xét 2.3 Chúng ta thấy rằng trong đánh giá số dư ở trên, các khối Q (θ) ⊂ Zn và QRn (θ) ⊂ Rn có thể được thay thế bằng (rời rạc, tương ứng, liên tục) đường dẫn từ 0 đến θ; đặc biệt QRn (θ) có thể được thay thế bằng đường thẳng từ 0 đến θ 2.2 Toán tử giả vi phân trên xuyến Cho m ∈ R và 0 δ < ρ m 1 Khi đó Sρ,δ (Tn × Zn ) bao gồm những hàm σ ∈ C ∞ (Tn × Zn ) thỏa... compact trong [−π, π]n Ở đây R : S (Rn ) → S (Rn ) là một toán tử giả vi phân trơn Chứng minh Bằng định nghĩa ta có thể vi t eix·ξ a (x + 2πk, ξ) fE (ξ) dξ, (pa) (X, D) f (x) = k∈Zn Rn và Rf = a (X, D) f − (p, a) (X, D) f Giả thiết về giá của a suy ra rằng với mỗi x chỉ có duy nhất một k ∈ Zn mà a (x + 2πk, ξ) = 0, vì vậy tại mỗi điểm x, tổng trên chỉ chứa một số hạng Từ đó suy ra Rf (x) = 0 với x ∈... toán tử trơn, chúng ta có thể vi t a (X, D) như một tổng hữu hạn của toán tử với biểu trưng tuần hoàn Hơn nữa, chứng minh tương tự được áp dụng nếu a (x, ξ) là giá compact trong x, nhưng không nhất thiết trong [−π, π]n Mệnh đề này cho phép ta mở rộng công thức của Mệnh đề 2.3 đối với nhiễu của một biểu trưng tuần hoàn Ta sẽ sử dụng nó khi a (x, D) là một tổng của một toán tử có hệ số hằng và một toán. .. nếu φ và a không là tuần hoàn chu kỳ 2π theo biến x, toán tử T là bị chặn từ L2 (Tn ) đến L2 (Rn ) loc Định lý 2.5 Cho m ∈ R và a : Tn × Zn → C thỏa mãn β ∂x a(x, ξ) ≤ C ξ m với mọi (x, ξ) ∈ Tn × Zn và với mọi đa chỉ số β Khi đó toán tử giả vi phân Op(a) : H s (Tn ) → H s−m (Tn ) bị chặn với mọi s ∈ R 2.5 Mở rộng biểu trưng Có thể mở rộng biểu trưng xuyến từ Tn × Zn đến Tn × Rn Điều này có thể được... u) = ϕ.u, (iv) (ϕ · u) = (2π)−n ϕ ∗ u 8 1.3 Không gian Sobolev H s(Rn) và toán tử giả vi phân trên Rn Định nghĩa 1.8 (Không gian Sobolev H s (Rn )) Cho s ∈ R, không gian Sobolev H s (Rn ) gồm tất cả các hàm suy rộng tăng chậm u sao cho ξ s u(ξ) ∈ L2 (Rn ) và có chuẩn ˆ u H s (Rn ) = ξ 2s |ˆ(ξ)|2 dξ u 1/2 < ∞ Rn Định nghĩa 1.9 Giả sử m ∈ (−∞; +∞) và 0 ≤ δ < ρ ≤ 1 Ta định m nghĩa Sρ,δ là tập hợp tất cả... (Tn ), ϕ ∈ S(Zn ) và ϕ(x) = ϕ(−x) ˜ Nhận xét 1.1 Mọi toán tử tuyến tính liên tục A : D(Tn ) → D(Tn ) đều có thể biểu diễn dưới dạng ˆ σA (x, ξ)f (ξ)eixξ , Af (x) = ξ∈Zn trong đó hàm duy nhất σA ∈ C ∞ (Tn × Zn ) được gọi là biểu trưng của toán tử A: σA (x, ξ) = e−ixξ Aeξ (x), với eξ (x) = eixξ Ngược lại, cho σ : Tn × Zn , chúng ta xác định toán tử tuyến tính Op(σ) : D(Tn ) → D (Tn ) bởi σ(x, ξ)ˆ(ξ)eixξ . hợp toán tử giả vi phân trên R n . Hệ thống hóa những kết quả cơ bản của lý thuyết toán tử giả vi phân trên xuyến. 3 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày tổng quan về lý thuyết toán tử giả vi phân trên. Sobolev H s (R n ) và toán tử giả vi phân trên R n 8 1.4. Một số không gian hàm và biến đổi Fourier trên xuyến . 8 2 Toán tử giả vi phân trên xuyến 13 2.1. Phép tính sai phân . . . . . . . . phân biên. Với mong muốn hiểu biết sâu hơn về toán tử giả vi phân trên xuyến và những ứng dụng của nó, dưới sự hướng dẫn của TS. Bùi Kiên Cường tôi lựa chọn đề tài " ;Toán tử giả vi phân trên