Luận văn toán tử giả vi phân trên xuyến

B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI NGUYN TH MINH H TON T GI VI PHN TRấN XUYEN Chuyờn ngnh : TON GII TCH Mó s : 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS. BI KIấN CNG H Ni, thỏng 12 nm 2014 Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni di s hng dn ca thy giỏo TS. Bựi Kiờn Cng. S giỳp v hng dn tn tỡnh ca thy sut quỏ trỡnh thc hin lun ny ó giỳp tỏc gi trng thnh hn rt nhiu cỏch tip cn mt mi. Tỏc LI CM N gi xin by t lũng bit n, lũng kớnh trng sõu sc nht i vi thy. Tỏc gi xin trõn trng cm n Ban giỏm hiu trng i hc S phm H Ni 2, phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo nh trng v cỏc thy cụ giỏo dy cao hc chuyờn ngnh Toỏn gii tớch ó giỳp , to iu kin thun li cho tỏc gi sut quỏ trỡnh hc v nghiờn cu. Tỏc gi xin chõn thnh cm n S GD-T tnh Vnh Phỳc, Ban giỏm hiu, cỏc thy cụ giỏo, ng nghip trng THPT Tam Dng, tnh Vnh Phỳc cựng gia ỡnh, ngi thõn, bn bố ó giỳp , ng viờn v to iu kin thun li tỏc gi hon thnh khúa hc Thc s v hon thnh lun ny. H Ni, thỏng 12 nm 2014 Tỏc gi Nguyn Th Minh H Lun c hon thnh ti trng i Hc S phm H Ni di s hng dn ca TS. Bựi Kiờn Cng. Tụi xin cam oan lun l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi. Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v hon thnh lun tụi ó k tha nhng thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc v ng nghip vi s trõn trng v bit n. Tụi xin cam oan rng cỏc thụng tin trớch dn lun ó c ch rừ ngun gc. H Ni, thỏng 12 nm 2014 Tỏc gi Nguyn Th Minh H LI CAM OAN BNG Kí HIU N Tp s t nhiờn M Tp s thc. c Tp s phc. z Tp hp cỏc s nguyờn Khụng gian Euclide n - chiu T" = (M/27rZ)" Hỡnh xuyn N chiu (2) Khụng gian cỏc hm kh vi vụ hn A L a ch s, A = (cki, ., A n) N* |a| Cap cua Qớ, |oớ| ' y J j T E Bin i Fourier khụng gian Euclide, P E èè) = E {0 /rằ E I X ^ F { X ) X DX = (27R )~ N DX l vi phõn cú trng F T = /t(Ê) F T N E I X ^ F ( X ) X Bin i Fourier trờn xuyn T>(T N ) Khụng gian cỏc hm th trờn xuyn ^CT71) Khụng gian cỏc kh vi vụ hn trờn xuyn V'(T N ) Khụng gian cỏc hm suy rng trờn xuyn ôS(Mn) Khụng gian cỏc hm gim nhanh trờn khụng gian Euclide Ê'(Mn) Khụng gian cỏc hm suy rng giỏ compact trờn xuyn S'{Z N ) Khụng gian cỏc hm suy rng trờn khụng gian ri rc Sai phõn riờng theo bin th J Mc lc M U 1. Lý chn ti Lý thuyt toỏn t gi vi phõn (PDO) cú th c coi nh l mt m rng t nhiờn ca lý thuyt phng trỡnh o hm riờng tuyn tớnh v chỳng chia s vi nhiu thuc tớnh thit yu. Vic nghiờn cu lý thuyt gi-vi phõn ó vt nghiờn cu v lý thuyt toỏn t tớch phõn k d thp niờn 1960, l mt ch tng i tr, lý thuyt ny bõy gi l ch nghiờn cu tng i c lp v cú nh hng ti nhiu lnh vc toỏn hc v cụng ngh. Trong s nhiu ngi tin nhim nh hng ln nht ti lý thuyt gi vi phõn, chỳng ta phi cp n cỏc tỏc phm ca Solomon Grigorievich Mikhlin, Alberto Calderún v Antoni Zygmund. Khong nm 1957, bng phng phỏp mi mnh m, Alberto Calderún chng minh nh lý tớnh nht a phng ca bi toỏn Cauchy ca mt phng trỡnh o hm riờng. Chng minh ny liờn quan n ý tng ca vic nghiờn cu lý thuyt i s cỏc a thc c trng ca phng trỡnh o hm riờng. Mt phng phỏp t nhiờn gii quyt toỏn t gi vi phõn trờn a N chiu l s dng lý thuyt a phng: iu ny cú th thc hin vỡ lp cỏc toỏn t gi vi phõn l bt bin i vi phộp i ta . Tuy nhiờn, khụng gian tun hon T 71 (xuyn), õy cú th l mt suy ngh vng v bi lý thuyt a phng b cn tr bi mt phn v k thut hi t v nhng v ta a phng, cu trỳc nhúm compact ca xuyn l quan trng theo quan im ca gii tớch iu hũa. Nm 1979 v 1985, Mikhail Semenovich Agranovich ó trỡnh by cụng thc hp dn v toỏn t gi vi phõn trờn hỡnh cu n v S s dng chui Fourier (xem [1]). K t õy, vic nghiờn cu c lp toỏn t gi vi phõn tun hon ó c xng. S tng ng ca cỏc nh ngha a phng v ton cc ca toỏn t gi vi phõn tun hon ó c chng minh y bi William McLean nm 1989 ([3]). T ú tr i, cỏc nh ngha ton cc ó c ng dng rng rói v c s dng bi Agranovich, Amosov, D.N. Arnold, Elschner, McLean, Sara- nen, Schmidt, Sloan, v Wendland cựng vi cỏc tỏc gi khỏc. Tớnh hiu qu ca nú ó c ghi nhn c bit gii tớch s ca phng trỡnh tớch phõn biờn. Vi mong mun hiu bit sõu hn v toỏn t gi vi phõn trờn xuyn v nhng ng dng ca nú, di s hng dn ca TS. Bựi Kiờn Cng tụi la chn ti "Toỏn t gi vi phõn trờn xuyn lm lun tt nghip ca mỡnh. 2. Mc ớch nghiờn cu Nm c nhng khỏi nim c bn nhng tớnh cht ca toỏn t gi vi phõn trờn xuyn cựng vi nhng k thut c trng so sỏnh vi trng hp toỏn t gi vi phõn trờn . H thng húa nhng kt qu c bn ca lý thuyt toỏn t gi vi phõn trờn xuyn. 3. Nhim v nghiờn cu Trỡnh by tng quan v lý thuyt toỏn t gi vi phõn trờn xuyn, cỏc tớnh cht ca lp toỏn t ny mt s khụng gian hm C bn nh Sobolev, . 4. i tng v phm vi nghiờn cu i tng nghiờn cu: Gii tớch Fourier, sai phõn trờn lp hm tun hon; mt s khụng gian hm trờn xuyn v lý thuyt toỏn t gi vi phõn tun hon. Phm vi nghiờn cu: Cỏc bi bỏo v cỏc ti liu v ngoi nc liờn quan n i tng nghiờn cu. 5. Phng phỏp nghiờn cu S dng cỏc kin thc v phng phỏp ca gii tớch hm tip cn . Thu thp v nghiờn cu cỏc ti liu cú liờn quan, c bit l cỏc bi bỏo mi v ngoi nc v m lun cp n. 6. úng gúp ca lun Lun l mt cụng trỡnh nghiờn cu tng quan v mt s c bn ca lý thuyt toỏn t gi vi phõn trờn xuyn. Chng Mt s kin thc b tr 1.1. Mt s khụng gian hm 1.1.1. Khụng gian nh ngha 1.1. Cho khụng gian o H tt c cỏc hm s / (x) cú ly tha bc p ( l < p < o o ) ca mụ un kh tớch trờn E , tc l gi l khụng gian {E , è). Khi E l o c Lebesgue v I l o Lebesgue, thỡ ta vit {E). Khụng gian L P (E, è ) , ú ta khụng phõn bit cỏc hm tng ng (ngha l bng hu khp ni), l mt khụng gian tuyn tớnh nh chun, vi cỏc phộp toỏn thụng thng v cng hm s v nhõn hm s vi mt s v vi chun: 11/11 00 nh ngha 1.2. Gi s c l mt o c ca M n, s (Mn), ta cng cú P O R : S' (Mn) Ơ V (Tn). 2.4. iu kin cho tớnh L b chn ca toỏn t Tip theo ta nghiờn cu trờn biu trng xuyn A m bo rng tớnh L b chn cho toỏn t tng ng A : x> (Tn) Ơ T> (Tn). Chỳ ý rng X A (x, Ê) G C (T71) vi mi Ê Z". Mnh 2.3. N U ID ^ A (z, kh ú \/3\ ^ n/2 + thỡ A Ê (L2 ( T n ) ) . Chng minh. Ta cú A f ( x ) = A ( X / T (Ê)eix-ớ |^C = Ê ớỡr(ằ,ớ)ý(f)e' a x s rỡ) (x,rỡ). )Z" D dng thy rng = a\jnxZn. a (X, 01 = }ÊZ d đE ^2 = riÊZ n Hn na, n ^ ~rỡ)d (x rỡ (A? ) Vô (Ê -ri)d (x, r) \Va - 'l)\ ^aPm\'H jÊli n [...]... luụn lm vic vi biu trng tun hon nờn cú th rt thun tin khi ta tun hon chỳng Nu (X , D ) l toỏn t gi vi phõn vi biu trng a ( x , ^ ) , bi ký hiu (PA ) (X,D) ta s biu th toỏn t gi vi phõn vi biu trng (pa) a (X, (x + 2, Ê) Tng ny cú ngha nu A kh tớch theo bin X Mnh 2.2 C h o a S ^ s (Mn X Mn) t h a m n a ( x , Ê ) = 0 v i m i X G \[7, 7r]n Khi ú ta cú a ( X , D ) f = ( p a ) (X , D ) f + R f , vi mi... món n ) bao gm |A?Mx,ớ)| < C'TO/,m . hợp toán tử giả vi phân trên . Hệ thống hóa những kết quả cơ bản của lý thuyết toán tử giả vi phân trên xuyến. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày tổng quan về lý thuyết toán tử giả vi phân trên xuyến, . phân biên. Với mong muốn hiểu biết sâu hơn về toán tử giả vi phân trên xuyến và những ứng dụng của nó, dưới sự hướng dẫn của TS. Bùi Kiên Cường tôi lựa chọn đề tài " ;Toán tử giả vi phân trên. MINH HÀ TOÁN TỬ GIẢ VI PHÂN TRÊN XUYEN Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. BÙI KIÊN CƯỜNG Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Luận văn