0, nếu I <
2.3. Tuần hoàn hóa
Ta định nghĩa toán tử tuần hoàn hóa P : S (Rn) —> T> (Tn) bởi PU (X) := F~L ((ТЕИ) |z» ) (ж).
Ta hãy mở rộng kiểu tuần hoàn này đối với một số lớp các hàm suy rộng. Từ phép chứng minh của công thức tổng Poissson, ta suy ra
PU (rr) = И (X + 2-7t£).
Công thức này có nghĩa hầu khắp nơi với mọi И € L1 (Kn). Thực vậy, về hình thức
(pu) (x) = e“ ‘ J e^u (y) dy = Ị и (у) I ^ỵ )'t ) dv
K€LTN -|ran -|ran V/sGZ” /
= I И (y) Z (2ĩr (X - у)) DỲ= £ „ (* + 2*í).
Í£Z"
Phép tính này được chứng minh theo cách sau. Bây giờ PU € L1
(Tn) với Ib^lli^T")
^ IMIl^r")* Hơn nữa, nếu £ € ъп thì рйт (£) = UE (£). Rõ
ràng P :LL (M”)—»• L1
(T71) là một toàn ánh. Chúng ta cũng sử dụng
( p u ) (x) = ёх* р йт (£) = e Ì X' ^ E (£)•
£eZ" £eZ"
Ta thiết lập tính chất cơ bản của toán tử giả vi phân đối với phép tuần hoàn hóa. Ta hãy gọi biểu trưng A(X,£) là tuần hoàn nếu hàm
Mệnh đề 2.1. Cho a G S™s (Шп X Mn) là một biểu trưng tuần hoàn. Ký hiệu ã = a | f n x Z " • Khi đó p о a (X, D) = ã (X, D) о p. CHỨNG MINH. Chú ý ã G S™S (T71 X Z7*). Cho / € L1 (Kn). Khi đó ta có P (A (X, D) /) (X) = а (x + 27ГK, D) F (X + 27TẢ:) fce Z" = E/eí<i+2,r‘wa (*+2ТГ*:, í) Ã (í) de = / ( E ei2,rí:'ì ) e“'ía (*. í) Л (í)d (í) ỊỊ£n V/cGZ71 / = / ( £ ei2'‘4e“'4z,í).Mí)<í(í) ỊỊ£n V/c£^n / = J e“'«a (z, Ç) Ä (ỉ) íz. (Ç) dÇ R" = ei x' ( x , £ ) ỈE (£) = ei x <a(x,£)pfT (£) fezn = ã (X, £>) (p/) (ж) ;
Các phép tính này được kiểm tra dưới dạng hàm suy rộng. □ Vì ta sẽ không luôn luôn làm việc với biểu trưng tuần hoàn nên có thể rất thuận tiện khi ta tuần hoàn chúng. Nếu о (X, D) là toán tử giả vi phân với biểu trưng a ( x , ^ ) , bới ký hiệu (PA) (X,D) ta sẽ biểu thị toán tử giả vi phân với biểu trưng (pa)
(X, a (x + 2кк, £).
Tổng này có nghĩa nếu A khả tích theo biến X.
Mệnh đề 2.2. C h o a € S ^s (Mn X Mn) t h ỏ a m ẫ n a ( x , £ ) = 0 v ớ i m ọ i X G Мп\[—7Г, 7r]n. Khi đó ta có
với mọi hàm f giá compact trong [—7Г, 7Г]71. ớ đổT/ i? : (K71) —> s (K7 1)
là một toán tử giả vi phân trơn.
CHỨNG MINH. Bằng định nghĩa ta có thể viết
{ p a) { X , D ) f ( x ) = ỵ 2 [_ ßix<a (x + 2nk’ 0 ĨE (0
k e zn R"
và RF = A (X, D) F — (P, a) (X, £)) /. Giả thiết về giá của A suy ra rằng với mỗi X
chỉ có duy nhất một к £ zn mà a (x + 27TẢ;, £) 7^ 0, vì vậy tại mỗi điểm tổng trên chỉ chứa một số hạng. Từ đó suy ra RF (X) = 0 với X G [—7T,7ĩ]n. Bây giờ cho X G Mn\[—7Г, 7r]n. Vì
Rf (x) = - í í ei { x~v Ha(x + 27rk,^) f (y) dy di к е гп, к ф о R n R n
chỉ là một số hạng đơn và \X — Y\ > 0, ta có thể lấy tích phân từng phần đối với £ nhiều lần. Điều này cho thấy R G Ф-00
và RF suy giảm ở vô cực nhanh hơn mọi đa thức. Lặp lại lý luận này cho các đạo hàm của RF, ta có kết luận của Bổ đề. □
Nhận xét 2.5. Chú ý rằng nếu / là giá compact, nhưng không nhất thiết trong hình lập phương [—7Г, 7г] , tại mỗi X tổng trong chứng minh
CÓ thể bao gồm số hữu hạn các số hạng. Điều này có nghĩa rằng trên e' (Mn), sai khác một toán tử trơn, chúng ta có thể viết a (X, D) như một tổng hữu hạn của toán tử
với biểu trưng tuần hoàn. Hơn nữa, chứng minh tương tự được áp dụng nếu А (ж, là giá compact trong X, nhưng không nhất thiết trong [—7r,7r]n.
Mệnh đề này cho phép ta mở rộng công thức của Mệnh đề 2.3. đối với nhiễu của một biểu trưng tuần hoàn. Ta sẽ sử dụng nó khi A(X, D) là một tổng của một toán tử có hệ số hằng và một toán tử với biểu trưng có giá compact theo biến X.
а ( х , £ ) = ai ( x , £) + a0 ( ж , £ ) ,
trong đó Й1 G S™s ( Kn x R " ) là tuần hoàn theo X và a0 € S™s ( f f in
x R " ) có giá compact theo biến X . Khỉ đó tồn tại biểu trưng b G S™s (Tn X zn) sao cho
p ( a ( X , D ) f ) = b ( X , D ) ( p f ) + p (Rí), / e e' (R"), trong đó R : S' (K71) —> s (Kn). Đặc biệt, nếu
s u p p ( a0 ( - , £ ) ) , s u p p ự ) С [ — 7 Г , т г ]7 1, ta có thể lấy b (X, D) = ãi (X, D) + păQ (X, D).
Ta giả sử rằng biểu trưng các là trơn, nhưng yêu cầu của tính trơn của ữi (ж, £) là không cần thiết giống như Mệnh đề 2.3..
CHỨNG MINH. Bằng Mệnh đề ,A (X, D) = ữi (X, D) + (PA0) (X, D) + R. Vì toán tử
B (X, D) = AI (X, D) + (PAQ) (X, D) có biểu trưng tuần hoàn, nhờ Mệnh đề ta có
pob (X, D) = b (X, D) о p = ã\ (X, D) о p + păQ (X, D) о p.
VÌ R : S' (Mn) —> s (Mn), ta cũng có P O R : S' (Mn) —¥ V (Tn). □