Luận văn tính lp bị chặn của toán tử giả vi phân trên xuyến

B Ộ G IÁ O D Ụ C V À Đ À O TẠ O TRƯ ỜNG ĐẠI HỌC s PH Ạ M HÀ NỘI V Ũ THỊ TH AN H NG A T ÍN H B Ị C H Ặ N C Ủ A T O Á N TỬ G IẢ V I P H Â N T R Ê N X U Y E N LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP THẠC s ĩ Chuyên ngành: Toán Giải Tích N g i h ng dẫn: T S B ù i K iê n C ờng H N ộ i - 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo, TS Bùi Kiên Cường Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình thầy suốt trình thực luận văn giúp tác giả trưởng thành nhiều việc tiếp cận vấn đề Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, thầy cô giáo nhà trường thầy cô giáo dạy cao học chuyên nghành Toán Giải tích giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Nhân dịp tác giả xin chân thành cảm ơn Sở GD-ĐT tỉnh Vĩnh Phúc, Ban Giám hiệu đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Viết Xuân - Vĩnh Phúc, người thân, bạn bè ủng hộ, động viên tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học thạc sĩ hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 01 tháng 07 năm 2015 Tác giả Vũ T hị T hanh N ga LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn TS Bùi Kiên Cường Luận văn không trùng lặp với đề tài khác Trong trình nghiên cứu viết luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn, thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, ngày 01 tháng 07 năm 2015 Tác giả Vũ T hị T hanh N ga M ục lục M đ ầ u C h n g M ộ t số k h n iệm k ết q u ả ch u ẩn b ị 1.1 Một số không gian h m 1.1.1 Không gian hàm thử D không gian đối ngẫu D ’ 1.1.2 Không gian Schwartz không gian hàm suy rộng tăng ch ậm 1.1.3 Không gian Lp, < p < 00 không gian L°° 1.1.3 Không gian B M O 1.2 Phép biến đổi Fourier 14 1.2.1 Phép biến đổi Fourier không gian L 14 1.2.2 Phép biến đổi Fourier không gian Schawrtz 15 1.2.3 Phép biến đổi Fourier không gian L 16 1.3 Không gian Sobolev H s,2(Rn) 17 1.4 Một số không gian hàm xác định z n 18 1.5 Một số không gian hàm xuyến 20 1.6 Biến đổi Fourier lớp hàm tuần hoàn 22 1.6.1 Biến đổi Fourier lớp hàm tuần hoàn 22 1.6.2 Không gian Sobolev H s (Tn) 24 1.7 Toán tử giả vi phân 26 1.7.1 Biểu trưng toán tử giả vi p h â n 26 1.7.2 Một số tính chất toán tử giả vi phân không gian Sobolev H s’2{Rn) 33 1.7.3 Tính bị chặn toán tử giả vi phân không gian C h n g T ín h b ị ch ặn củ a to n t g iả v i 34 p h â n tr ê n x u y ế n 35 2.1 Toán tử giả vi phân x u y ế n 35 2.1.1 Biểu trưng 35 2.1.2 Toán tử giả vi phân xuyến 40 2.1 Tính bị chặn toán tử giả viphân xuyến 44 K ế t l u ậ n 57 Tài liệu th a m k h ả o 58 MỞ ĐẦU L í d o ch ọ n đ ề tà i Toán tử giả vi phân hay toán tử tích phân kì dị công cụ để giải toán elliptic lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Lí thuyết toán tử giả vi phân hình thành từ nửa sau kỉ 20 qua nghiên cứu Calderón-Zymund, K.Nirenbeg, L Hỏrmander, M.E Taylor, Nó có ứng dụng rộng rãi đa ngành: vật lí, toán học, công nghệ, Chính tính hấp dẫn mà nhiều nhà toán học nghiên cứu nhiều góc độ khác Nhà toán học Julio Delgado xét toán tử giả vi phân tuần hoàn khuôn khổ giải tích vi phân xuyến mà phát triển gần công trình M Ruzhansky, V Turunen G Vainikko Một thú vị toán tử giả vi phân nghiên cứu tính liên tục toán tử giả vi phân lớp Hỏrmander S™s không gian hàm có ý nghĩa cho Vật lý, công nghệ Trong báo (xem [7]), Charles Fefferman thiết lập tính Lp bị chặn cho toán tử giả vi phân có biểu trưng thu ộc lớp / S ^ R 71 X R n) nhờ nội suy thực phức từ tính chất bị chặn Tiếp theo đó, tính chất bị chặn toán tử với biểu trưng không Tính chất Lp bị chặn toán tử giả vi phân xuyến khảo sát trước công trình S.Molahajloo M.W.Wong (xem [10]) khảo sát toán tử giả vi phân s Năm 2013, nhà toán học Julio Delgado (xem [16]) thiết lập tính Lp - bị chặn cho lớp toán tử giả vi phân có biểu trưng thuộc S™s(Yn x Z " ) Nhằm hệ thống hóa phát triển nghiên cứu hướng dẫn TS Bùi Kiên Cường, mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: ’’Tính Lp bị chặn toán tử giả vi phân xuyến” để thực luận văn tốt nghiệp thạc sĩ M ụ c đ ích n g h iê n u • Nghiên cứu tổng quan hàm, biến đổi Fourier, toán tử giả vi phân • Nghiên cứu tính bị chặn toán tử giả vi phân xuyến N h iệ m v ụ n g h iê n u Nghiên cứu tổng quan tính chất bị chặn toán tử giả vi phân xuyến Đ ố i tư ợ n g n g h iê n u • Nghiên cứu không gian hàm thử, hàm suy rộng • Nghiên cứu phép biến đổi Fourier không gian hàm • Nghiên cứu toán tử giả vi phân xuyến • Nghiên cứu tính bị chặn toán tử giả vi phân xuyến P h n g p h p n g h iê n u Tổng hợp kiến thức thu thập qua tài liệu liên quan đến đề tài, sử dụng phương pháp nghiên cứu giải tích hàm lý thuyết tối ưu Đ ó n g g óp củ a đ ề tà i Luận văn tài liệu tổng quan tính bị chặn toán tử giả vi phân xuyến Chương M ột số khái niệm kết chuẩn bị 1.1 M ột số không gian hàm 1 K h ô n g g ia n cá c h m th D v k h ô n g g ia n đ ố i n g ẫ u D ’ Đ ịn h n g h ĩa 1.1 Không gian hàm thử hay hàm kiểm tra, ký hiệu D(Çt) không gian véc tơ hàm C£°(f2) với tô pô trang bị hội tụ: dãy (ip.)°°=í hội tụ tới ífiũ Ơ ^ (Í 2) nếu: i) Tồn tập compact K c ũ cho ip = với j = 0,1, 2, Q \ K ii) Đối với đa số a tùy ý, dãy D a(p hội tụ đến D a(p0 K j —> 00 D a đạo hàm cấp |a;|, a G Nn đa số D a = D Ị 'D Ĩ D - n%D k = \ Ị - Đ ịn h n g h ĩa 1.2 Một hàm suy rộng phiếm hàm tuyến tính liên tục D {ũ ) Không gian tất hàm suy rộng kí hiệu D'(ũ) Khi A £ D'(JÌ), ta kí hiệu giá trị hàm A G “ (n) A( c hàm giá R < \z\ < 3R với R > Khỉ đó, với a tồn số A Caß cho với X e R, s e N với (x,£) G r X Z" ta có |A£( cho a : p Xzn c biểu trưng giá |£| < hay R < |£| < 3R với R > thỏa mẫn A£Ơ,(x,£) < với |dí| < k Khi đó, a ( x , D ) bị chặn 49 từ L°°(Tn) vào L°°(Tn) ; tồn số c độc lập với a / cho IIa ( x , D ) f \ \ 00< C C ( a ) \ \ f \ \ L^ C(a) = m ax{ơ 0, a : |dí| = k} Bổ đ ề \2 71 Cho biểu trưng a(:r,£) có giá { ( x , Z ) e T n x Z n/ R < \ Z \ < R } : với R > thỏa mãn |A^a(:r,£)| < vớiỊo;I < k Áp dụng Hệ 2.1 vào biểu trưng a ta thu ã € cho a ã trùng với r X zn Khi s~jk0(Tn X Mn) ã có chung giá với a ta thấy a(x, D)f(x) = ã ( x , D ) f ( x ) = í ỉ ei{x~vHã(x,Ệ)f(y)dydỆ JRn J T" = / T^nã{x,y - x ) f { y ) ẫ y = {TRnẵ{x, •) * f){x ) Ta thu \ã ( x ,D ) f ( x ) \ < \\Tmnã(x, •)IU1(Rn)ll/IU00(Rn)’a' ^ ^ Ta cần chứng minh với X € Kn \T^nã{x, -)||L1 < CC(ã) 50 Đặt b= Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwartz ta có I \TRnã(x,y)\dy < Cb* J\y\-k) ( í M=* < ư)-neữ2k{1-e)dỆ \ J r -k)0 ( R {1- £)i>-k)) Iã I=k < C m a x C a \a\ =k Do 11Jit» ã (x, -) IIXI < CC(ã), với X G T\ Việc chứng minh tương tự cho biểu trưng với giá có kiểu khác □ Bây ta sẵn sàng thiết lập kết mà coi tổng quát hóa tính bị chặn Fefferman tính chất bị chặn toán tử giả vi phân Euclide từ L°° vào BMO (xem [7]), cải tiến ước lượng với số thích hợp trường hợp hình xuyến 51 Đ ịn h lý Cho ũ < £ < rà iî £ N với k > cho a : Tn X z n —> c biểu trưng cho |A |a (x ,£ )| < (7a (£)- 2e -(1-e)lal, Id@a(x, £)| < Cß(£)i£ với Ịo; Ị, \ß\ < k Khi đó, a (x , D ) bị chặn từ L°°(Tn) vào B M O ( Tn) Hơn nữa, tồn số c độc lập với a f cho \\a{x,D )f\\BM0 < Cp~ỵe{a)ịịf\\LOo Ta cần sau cho biểu trưng có giá m iền |£| > R B ổ đ ề Cho < £ < k e N với k > cho a : Tn X z n —>■ c biểu trưng có giá |£| > R với |i?| > cho |A “a (z ,£ )| < |ỡ fa (z ,£ )| < Cß{£)*£ với \a\,\ß\ < k Khi đó, a (x ,D ) bị chặn từ L°°(Tn) vào B M O ( Tn) Ngoài tồn số c độc lập với a f cho \\a(x,D)f\\BM0 < máximo!* (a), p“j £(a)} II/II Chứng minh Ta bắt đầu việc xét hàm ■ L 2(Tn) đẳng cấu Ta tách a(x, D ) W ) = (a(x, D) ■n ụ ~ m ■W ) \ (2-13) Bây giờ, biểu trưng a(x, D ) • J m thỏa mãn giả thiết Bổ đề 2.4 với m = |£ , nên tồn tạ i số c > \\a(X, D ) ( ệ f ) \ \ l < C M l • \\J-m( ậ f ) \ \ l , (2.14) 52 M a = max sup |ỡf a(x, £)(£)mI\p\ R xác định ,nếu |s| < 77(s) = ,nếu ỊsỊ > Đặt p (s) = r](s) — 77(2 1s) Khi suppp = {1 < |s| < 4} Ta kiểm tra = ĩ](s) + ^ p( 2Js), s e M 3=1 Bây giờ, đặt s = r|£| 00 = »(r|*|) + > ( r m j=i Giá 77 {|s| > 1} r\€\ < 1, ta thu 00 1= x^(r2il£l) j=l với {|£| < r 1} 55 Vì supp ơ' = supp [...]... món 1 < p < oo Kớ hiu LP( Q,) l tp hp tt c cỏc hm / xỏc nh v o c theo o Lebesgue trờn Q vi | / | p kh tớch trờn Q , cú ngha J \f ( x ) \ p dx < 00 n Vi phộp cng hai hm s thụng thng v phộp nhõn hm s vi mt s, ( ) lm thnh khụng gian tuyn tớnh thc (hoc phc) Chun ca hm / thuc LP( Q), 1 < p < 00 , c xỏc nh bi: ỡ Vi chun ny LP( D,) lm thnh mt khụng gian nh chun v c gi l khụng gian Lp( fỡ) n h n g h a 1.6... n) l n ỏnh v do ú S"(Mn) c -D'(Mn) B 1.3 Vi 1 < p < 00 v f E Lp( M.n) nh x ip f fipdx vi Rn xỏc nh mt hm suy rng Theo B 1.1, vi mi p ta cú mt n ỏnh liờn tc t Lp( Rn) vo S'(Rn), do ú Lp( Rn) c S'(Rn) Ta gi mi hm thuc { Rn) l hm suy rng chớnh quy M n h 1.1 (Mi quan h gia cỏc khụng gian hm) D ( R n) c S ( R n) S'{Rn) c ( R n) 1 1 3 K h ụ n g g ia n Lp, 1 < p < oo v k h ụ n g g ia n L n h n g... Gi s 0 l mt tp m trong Rn Vi mi p G [1; oo], LP( 2) l mt khụng gian Banach n h lý 1.4 L 2(Mn) l mt khụng gian Hllbert vi tớch vụ hng v chun tng ng u \ I = ớ / lw(;r) |2 dx n h lý 1.5 Tp hp cỏc hm kh vi vụ hn giỏ compact trong Mn trự mt trong Lp( M.n), 1 < p < 0 0 n h lý 1.6 (nh lớ Tonelli) Gi s ! c Mn,ớ2 2 c tp m v F : X 22 -ỡ l nhng l hm o c Gi thit rng: F : fil X ớ 2 > M vi hu khp ni X G 1 v f dx... c$ ($ (d ớ) + &{ò) + 1), vi c $ > 1 l hng s ch ph thuc vi mi a , ò G M+ , Ký hiu B M O $ ( R n) = = / e L foc(^n) 11/ 11*,đ = 3>_1 ( suP cinf J $ ( I / M - CQ\)dx^ < o o | 12 Nu $ (x ) = xp thỡ ta vit B M O p(Rn), thay cho BMO Khi ú B M O p ( Rn) l lp tt c cỏc hm o c sao cho p *,p sup ~\n\ Q Ivl J q q \P(x < ; vi B M O \ B M O n h lý 1.10 (Bt ng thc John-Nirenberg) Vi mi f G B M O Đ , vúi... kim tra n h n g h a 1.19 (Khụng gian { Tn)) Vi 1 < p < oo gi Lp( Tn) l khụng cỏc hm u o c trờn Tn sao cho Vi p 00 , ký hiu L(Tn) l khụng gian cỏc hm u xỏc nh trờn xuyn sao cho IMUp(T") esssup^^TTn |li(x)| < 00 Khi p = 2, khụng gian L 2(Tn) l khụng gian Hilbert vi tớch vụ hng Tng t nh trng hp khụng gian Euclide Mn (sau õy s gi tt l Euclide), cỏc khụng gian Lp( Tn) l cỏc khụng gian Banach Tp hp cỏc vộc... hon Vi u G D'{Tn) v G (T n), ta s vit 22 Vi bt k jj C(Tn), ip !-> / tp{x)'{x)dx l mt hm suy rng tun hon, sinh ra phộp nhỳng Ip G (T n) c { Tn) Chỳ ý rng lp lun tng t cng ỳng cho phộp nhỳng ca khụng gian { Tn), 1 < p < 00 , vo D'(Tn) Theo ng thc hm kim tra (daf),)) = (f),(i y a\da)), ta nh ngha o hm suy rng c bi {df,v) := ( /,( - I)''av> Tụpụ ca D'(Yn) = Tn), C) l tụpụ yu* 1.6.B in i Fourier trờn lp. .. c 00 nờn tn ti hng s dng c , R sao cho bt ng thc (1.24) c tha món, nờn T l toỏn t gi vi phõn elliptic bc m N h n x ộ t 1.6 Do tớnh cht tuyn tớnh ca tớch phõn v bin i Fourier nờn toỏn t gi vi phõn l toỏn t tuyn tớnh n h n g h a 1 3 0 (Toỏn t gi vi phõn i xng) Toỏn t gi vi phõn T c gi l toỏn t i xng trờn khụng... Vớ e Z " , sao cho 19 cựng vi tụ pụ xỏc nh bi h na chun pk{ip) = sup (Ê)k|