Toán tử giả vi phân trên S1

LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Bùi Kiên Cường. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở GD-ĐT tỉnh Vĩnh Phúc, Ban Giám hiệu, các thầy cô giáo, đồng nghiệp trường THPT Tam Dương II, tỉnh Vĩnh Phúc cùng gia đình, người thân, bạn bè đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này. Hà Nội, ngày 24 tháng 10 năm 2013 Tác giả Phùng Thế Bằng i LỜI CAM ĐOAN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại Học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Bùi Kiên Cường. Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, ngày 24 tháng 10 năm 2013 Tác giả Phùng Thế Bằng ii Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Bảng ký hiệu vi Mở đầu 1 1 Một số kiến thức bổ trợ 3 1.1. Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Không gian L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. Không gian các hàm giảm nhanh S(R n ) . . . . . 5 1.1.3. Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S  (R n ) 6 1.2. Toán tử tuyến tính trong một số không gian hàm . . . . 7 1.2.1. Toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2. Toán tử compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3. Toán tử Hilbert-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.4. Toán tử tuyến tính đóng . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1. Biến đổi Fourier trên S(R n ) và S  (R n ) . . . . . . 12 iii 1.3.2. Một số tính chất của biến đổi Fourier . . . . . . . 12 1.3.3. Biến đổi Fourier trên S 1 . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1. Không gian Sobolev H s,p (R n ) . . . . . . . . . . . 14 1.4.2. Không gian Sobolev H s,p  S 1  . . . . . . . . . . . 15 1.5. Nhóm Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Toán tử giả vi phân trên R n 18 2.1. Toán tử giả vi phân trên S(R n ) . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.1. Biểu trưng và toán tử giả vi phân trên S(R n ) . . 18 2.1.2. Một số tính chất của biểu trưng và toán tử giả vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2. Tính bị chặn của toán tử giả vi phân trong một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.1. Tính liên tục của toán tử giả vi phân . . . . . . . 23 2.2.2. Toán tử giả vi phân trên S  (R n ) . . . . . . . . . . 24 2.2.3. Tính bị chặn của toán tử giả vi phân trong không gian Sobolev H s,p (R n ) . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3. Một số dạng toán toán tử giả vi phân . . . . . . . . . . . 27 2.3.1. Toán tử giả vi phân elliptic . . . . . . . . . . . . 27 2.3.2. Toán tử cực đại và toán tử cực tiểu của toán tử giả vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 Toán tử giả vi phân trên S 1 33 3.1. Biểu trưng và toán tử giả vi phân trên S 1 . . . . . . . . . 33 3.2. Một số tính chất của toán tử giả vi phân trên S 1 . . . . . 34 iv 3.2.1. Toán tử Hilbert-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2.2. Tính L 2 − bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2.3. Tính L 2 − compact . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2.4. Tính L p − bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3. Một số vấn đề về lí thuyết phổ của toán tử giả vi phân trên S 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3.1. Tác động của toán tử giả vi phân trong không gian L p − Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3.2. Toán tử cực đại và toán tử cực tiểu . . . . . . . . 44 3.3.3. Toán tử giả vi phân Fredholm . . . . . . . . . . . 47 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 v BẢNG KÝ HIỆU N Tập số tự nhiên N ∗ Tập số tự nhiên khác không R Tập số thực R ∗ + Tập số thực dương C Tập số phức S 1 Đường tròn đơn vị với tâm là gốc tọa độ Z Tập hợp các số nguyên hay có thể coi Z như không gian đối ngẫu của S 1 R n Không gian Euclide n - chiều L p (R n ) Không gian các hàm có lũy thừa bậc p khả tích trên R n C ∞ (Ω) Không gian các hàm khả vi vô hạn trong Ω C ∞ 0 (Ω) Không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω α Là đa chỉ số, α = (α 1 , ··· , α n ) ∈ N n |α| Cấp của α, |α| = n  j=1 α j  Kết thúc chứng minh vi MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Từ thế kỷ XIX lý thuyết về biến đổi Fourier đã được giới thiệu và nghiên cứu các vấn đề khác nhau của đạo hàm riêng. Từ những năm 1960 công cụ này đã được phát triển và trở thành cơ sở của khái niệm toán tử giả vi phân (xem [11-16]). Lý thuyết của toán tử giả vi phân đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu về toán tử đạo hàm riêng, lý thuyết giải tích thời gian - tần số (xem [1, 2, 4], [9]). Bản chất của toán tử giả vi phân là dùng giải tích Fourier nghiên cứu toán tử vi phân. Toán tử giả vi phân được nghiên cứu trên nhiều không gian khác nhau. Đường tròn đơn vị S 1 trong mặt phẳng là một nhóm Lie, việc nghiên cứu toán tử giả vi phân trên S 1 đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu (xem [1-3], [5-10]). Nhiều tính chất của toán tử giả vi phân trên R n có thể chuyển qua cho S 1 . Tôi đã đọc nghiên cứu và thu thập tài liệu và với mong muốn làm sáng tỏ thêm một số vấn đề lý thuyết về toán tử giả vi phân trên S 1 . Vì vậy tôi mạnh dạn chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình là “Toán tử giả vi phân trên S 1 ”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết về toán tử giả vi phân trên S 1 và các tính chất của nó như: tính bị chặn, tính compact, toán tử Hilbert-Schmidt và một số tính chất về phổ. 1 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Khái niệm toán tử giả vi phân trên S 1 . Các tính chất của toán tử giả vi phân trên S 1 . Các điều kiện để toán tử giả vi phân trên S 1 là: toán tử Hilbert- Schmidt, bị chặn, compact và một số tính chất về phổ. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Toán tử giả vi phân trên S 1 và các tính chất của nó. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết: Thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp để được một nghiên cứu tổng quan về toán tử giả vi phân trên S 1 và các tính chất. 6. Dự kiến đóng góp mới Tổng quan về lý thuyết của toán tử giả vi phân trên đường tròn đơn vị S 1 trong mặt phẳng. Chương 1 Một số kiến thức bổ trợ 1.1. Một số không gian hàm 1.1.1. Không gian L p Định nghĩa 1.1.1. Cho một không gian E và một độ đo µ trên một σ - đại số F trên các tập con của E. Họ tất cả các hàm số f (x) có luỹ thừa bậc p (1 ≤ p < ∞) của mô đun khả tích trên E, tức là  E |f| p dµ < ∞ gọi là không gian L p (E, µ). Khi E là tập đo được Lebesgue trong R k , và µ là độ đo Lebesgue, thì ta viết L p (E). Không gian L p (E, µ), trong đó ta không phân biệt các hàm tương đương nhau (nghĩa là bằng nhau hầu khắp nơi), là một không gian tuyến tính định chuẩn, với các phép toán thông thường về cộng hàm số và nhân hàm số với một số, và với chuẩn: f =   E |f| p dµ  1 p . Định nghĩa 1.1.2. Giả sử Ω ⊂ R n là một tập mở trong R n , 1 ≤ p < ∞. Hàm f : Ω → C được gọi là thuộc L p (Ω) nếu nó đo được và có chuẩn f L p (Ω) =   Ω |f (x)| p dx  1 p 3 4 hữu hạn. Trường hợp p = ∞, hàm f thuộc L ∞ (Ω) nếu nó đo được và bị chặn cốt yếu, nghĩa là f L ∞ (Ω) = esssup x∈Ω |f (x)| < ∞, trong đó esssup x∈Ω |f (x)| được định nghĩa như là số nhỏ nhất M sao cho |f (x)| ≤ M hầu khắp x ∈ Ω. Đặc biệt L 1 (Ω) là không gian các hàm có tích phân hội tụ tuyệt đối với f L 1 (Ω) =  Ω |f (x)|dx. Ký hiệu S 1 là đường tròn đơn vị trên mặt phẳng có tâm là gốc tọa độ, mỗi hàm số xác định trên S 1 tương ứng với một hàm xác định trên trục số, tuần hoàn chu kì 2π. Khi đó Định nghĩa 1.1.3. Cho 1 ≤ p ≤ ∞, chúng ta xác định các không gian hàm sau: (i) Không gian L p (S 1 ) = {f : S 1 → C : π  −π |f(θ)| p dθ < ∞}, 1 ≤ p < ∞ với chuẩn f L p (S 1 ) =   π  −π |f (θ)| p dθ   1 p . (ii) Không gian L ∞ (S 1 )= {f : S 1 → C|∃k > 0 : |f(θ)|  k hầu khắp θ ∈ S 1 } với chuẩn f L ∞ (S 1 ) = inf{k > 0|f(θ)|  k hầu khắp θ ∈ S 1 }. Rõ ràng L ∞ (S 1 ) ⊂ L 2 (S 1 ) ⊂ L 1 (S 1 ). Định nghĩa 1.1.4. Cho 1 ≤ p ≤ ∞, chúng ta xác định các không gian hàm sau: (i) L p (Z) = {f : Z → C :  n∈Z |f(n)| p < ∞} với chuẩn f L p (Z) =   n∈Z |f(n)| p  1 p . [...]... C∗ là một nhóm Lie với phép nhân Nhận xét 1.5.5 Đường tròn đơn vị S1 là một nhóm Lie Kí hiệu S1 là nhóm đối ngẫu của nhóm S1 Do S1 đẳng cấu với nhóm Z các số nguyên nên ta đồng nhất S1 = Z 18 Chương 2 Toán tử giả vi phân trên Rn 2.1 Toán tử giả vi phân trên S(Rn) 2.1.1 Biểu trưng và toán tử giả vi phân trên S(Rn ) Định nghĩa 2.1.1 Giả sử m ∈ (−∞; ∞) Ta định nghĩa S m là tập hợp tất cả các hàm σ (x,... I + S, trong đó R và S là các toán tử giả vi phân với biểu trưng thuộc ∩ S k , k∈R và I là toán tử đồng nhất 2.3.2 Toán tử cực đại và toán tử cực tiểu của toán tử giả vi phân Cho σ là biểu trưng thuộc lớp S m Khi đó toán tử giả vi phân Tσ ban đầu được xác định trên không gian Schwartz S(Rn ) và sau đó được mở rộng ra không gian S (Rn ) các hàm suy rộng tăng chậm bằng vi c sử ∗ dụng liên hợp hình thức... → ∞ Do đó bằng Bổ đề 2.2.2, tích phân vế phải của (2.10) tiến đến không khi k → ∞ Điều này chứng tỏ Tσ ϕk → 0 trong S (Rn ) khi k → ∞ 2.2.2 Toán tử giả vi phân trên S (Rn ) Định nghĩa 2.2.3 Toán tử giả vi phân ban đầu được định nghĩa trên S (Rn ), có thể được mở rộng thành một ánh xạ tuyến tính định nghĩa trên S (Rn ) các hàm suy rộng tăng chậm Toán tử giả vi phân Tσ trên S (Rn ) được định nghĩa bởi... Jm−s Tσ u p ≤C u s,p 27 với mọi u ∈ H s,p Do đó Tσ : H s,p → H s−m,p là toán tử tuyến tính bị chặn 2.3 Một số dạng toán toán tử giả vi phân 2.3.1 Toán tử giả vi phân elliptic Định nghĩa 2.3.1 Biểu trưng σ thuộc lớp S m được gọi là elliptic nếu tồn tại các hằng số dương C và R sao cho |σ (x, ξ)| ≥ C(1 + |ξ|)m , |ξ| ≥ R Toán tử giả vi phân Tσ được gọi là elliptic nếu biểu trưng của nó là elliptic Định lý... Js−m : H 0,p → H s−m,p Toán tử thứ nhất và thứ ba bị chặn do (1.2), và toán tử thứ hai bị chặn do Định lí 2.2.6 Khi đó tích Js−m Tσ Jm−s là toán tử tuyến tính bị chặn từ H s,p lên H s−m,p Bằng Định lí 1.4.5, các toán tử Jm−s và Js−m là các đẳng cự và ánh xạ lên Do vậy Tσ : H m,p → H 0,p là toán tử tuyến tính bị chặn Chứng minh Định lí 2.2.8 Ta để ý rằng Jm−s Tσ là toán tử giả vi phân với biểu trưng thuộc... H2 = H thì ta nói T là toán tử trên H Định nghĩa 1.2.2 Giả sử H là không gian Hilbert T : H → H là một toán tử tuyến tính Toán tử T được gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số C ≥ 0 sao cho T x ≤ C x , ∀x ∈ H Khi đó chuẩn của T được định nghĩa bởi: T = sup u∈H,u=0 Tu = sup T u = sup Tu u u∈H, u ≤1 u∈H, u =1 Tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn trên H kí hiệu là B(H) 1.2.2 Toán tử compact Định nghĩa... s−m,p là toán tử tuyến tính bị chặn với −∞ < s < ∞ và 1 < p < ∞ Thực tế là khi m ≥ 0, toán tử Tσ cũng có thể được xét như một toán tử tuyến tính từ Lp (Rn ) vào Lp (Rn ) , 1 < p < ∞, với miền xác định S(Rn ) Ta kí 28 hiệu toán tử này một cách đơn giản bởi Tσ Trong trường hợp tổng quát nó không là toán tử đóng nhưng luôn đóng được Vì vậy, theo Định lí 1.2.12, Tσ có mở rộng đóng Mệnh đề 2.3.3 Toán tử Tσ... hàm σ ∈ ∪m∈R S m là một biểu trưng Định nghĩa 2.1.2 Giả sử σ là một biểu trưng Khi đó toán tử giả vi phân Tσ tương ứng với σ được định nghĩa bởi (Tσ ϕ) (x) = (2π)−n/2 eix·ξ σ (x, ξ) ϕ (ξ) dξ, ϕ ∈ S(Rn ) Rn 2.1.2 Một số tính chất của biểu trưng và toán tử giả vi phân Mệnh đề 2.1.3 Cho σ và τ là hai biểu trưng sao cho Tσ = Tτ Khi đó σ = τ Chứng minh Do giả thiết và bằng Định nghĩa 2.1.2, ta có Rn eix.ξ... chặn của toán tử giả vi phân trong không gian Sobolev H s,p (Rn ) Định lý 2.2.8 Giả sử σ là biểu trưng thuộc lớp S m Khi đó Tσ : H s,p → H s−m,p là toán tử tuyến tính bị chặn với −∞ < s < ∞, 1 < p < ∞ Để chứng minh Định lí 2.2.8 ta cần chứng minh định lí sau: Định lý 2.2.9 Với một biểu trưng bất kỳ σ ∈ S m , Tσ : H m,p → H 0,p là toán tử tuyến tính bị chặn với 1 < p < ∞ Chứng minh Xét các toán tử tuyến... (S1 ) Bổ đề 1.4.10 Cho s ∈ R và 1 < p < ∞ Khi đó C ∞ (S1 ) trù mật trong H s,p (S1 ) Chứng minh Giả sử u ∈ H s,p (S1 ) Khi đó J−s u ∈ Lp (S1 ) Do C ∞ (S1 ) trù mật trong Lp (S1 ), nên tồn tại dãy {ϕk }∞ trong C ∞ (S1 ) sao cho k=1 ϕk → J−s u trong Lp (S1 ) khi k → ∞ Đặt ψk = Js ϕk , k = 1, 2, và ψk − u s,p = J−s ψk − J−s u Lp (S1 ) = ϕk − J−s u Lp (S1 ) → 0, khi k → ∞, và do vậy mệnh đề được chứng minh . số dạng toán toán tử giả vi phân . . . . . . . . . . . 27 2.3.1. Toán tử giả vi phân elliptic . . . . . . . . . . . . 27 2.3.2. Toán tử cực đại và toán tử cực tiểu của toán tử giả vi phân . 27 3 Toán tử giả vi phân trên S 1 33 3.1. Biểu trưng và toán tử giả vi phân trên S 1 . . . . . . . . . 33 3.2. Một số tính chất của toán tử giả vi phân trên S 1 . . . . . 34 iv 3.2.1. Toán tử Hilbert-Schmidt. . . . . . . . . . . 16 2 Toán tử giả vi phân trên R n 18 2.1. Toán tử giả vi phân trên S(R n ) . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.1. Biểu trưng và toán tử giả vi phân trên S(R n ) . . 18 2.1.2.