Tính bị chặn của toán tử giả vi phân đa tuyến tính trong không gian Lp (1≤p∞)

LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Bùi Kiên Cường. Thầy luôn hướng dẫn nhiệt tình và truyền đạt cho tác giả những kinh nghiệm trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đối với thầy. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Cuối cùng, tác giả xin được cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 10 năm 2012 Tác giả LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường. Luận văn không trùng lặp với những đề tài khác. Hà Nội, tháng 10 năm 2012 Tác giả Mục lục Mở đầu 1 Chương 1. Một số khái niệm và kết quả chuẩn bị 3 1.1. Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Không gian C k  Ω  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. Không gian L p (Ω) , 1  p < +∞ và không gian L ∞ (Ω) 4 1.1.3. Không gian các hàm thử D(Ω) và không gian đối ngẫu D  (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.4. Không gian Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.5. Không gian các hàm suy rộng tăng chậm . . . . . 7 1.2. Phép biến đổi Fourier và Fourier thời gian ngắn . . . . . . 8 1.2.1. Đạo hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2. Phép biến đổi Fourier trong không gian L 1 . . . . . 9 1.2.3. Phép biến đổi Fourier trong không gian Schwartz . 10 1.2.4. Phép biến đổi Fourier trong không gian L 2 . . . . . 12 1.2.5. Phép biến đổi Fourier đối với hàm suy rộng tăng chậm 12 1.2.6. Phép biến đổi Fourier ngắn . . . . . . . . . . . . . 13 1.3. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1. Không gian H s,2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.2. Không gian W k,p (Ω), (Ω ⊂ R n ) . . . . . . . . . . . 15 1.3.3. Không gian H k (Ω), (Ω ∈ R n ) . . . . . . . . . . . . 16 1.4. Nguyên lý bất định và giải tích thời gian-tần số . . . . . . 17 4 1.4.1. Giải tích thời gian–tần số . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.2. Nguyên lý không chắc chắn . . . . . . . . . . . . . 18 1.5. Toán tử giả vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5.1. Biểu trưng và toán tử giả vi phân . . . . . . . . . . 24 1.5.2. Một số tính chất của toán tử giả vi phân trong không gian Sobolev H s,2 (R n ) . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Chương 2. Tính bị chặn của trong không gian L p của toán tử giả vi phân đa tuyến tính 32 2.1. Một số biểu diễn thời gian - tần số . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.1. Ảnh phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.2. Phân phối Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.3. Phân phối Rihaczek . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.1.4. Lớp Cohen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2. Biểu diễn Rihaczek đa tuyến tính và toán tử giả vi phân đa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.1. Tính bị chặn của toán tử giả vi phân đa tuyến tính trong L 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.2. Tính bị chặn trong L p (1 ≤ p ≤ 2) . . . . . . . . . . 40 2.3. Biến đổi Wigner đa tuyến tính và Biến đổi Weyl đa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.1. Biến đổi Wigner đa tuyến tính . . . . . . . . . . . 41 2.3.2. Mối liên hệ giữa biến đổi Weyl đa tuyến tính với biến đổi Wigner đa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 43 2.4. Tính bị chặn trong L p (1 ≤ p < ∞) . . . . . . . . . . . . . 44 Kết luận 47 0 Tài liệu tham khảo 48 Bảng kí hiệu và viết tắt Trong luận văn này, ta sử dụng các kí hiệu với ý nghĩa xác định trong bảng dưới đây: Z : Tập hợp các số nguyên. R : Tập hợp các số thực. R n : Không gian Ơclit n chiều. N : Tập hợp các số tự nhiên. . : Chuẩn. ≡: Dấu đồng nhất. ∞ : Dương vô cùng. −∞ : Âm vô cùng. h.k.n : Hầu khắp nơi. suppu : Giá của u. deg : Bậc. RD : Phân phối Rihaczek. MHD : Phân phối Margenau. W D : Phân phối Wigner. MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Toán tử giả vi phân hay toán tử tích phân kì dị được xem như là một công cụ để giải các bài toán biên đối với một số lớp phương trình đạo hàm riêng. Lí thuyết này được hình thành từ nửa đầu của thế kỉ 20 qua các nghiên cứu của Hilbert, Fredholm, Riesz, Bởi tính thời sự, hấp dẫn và liên quan đến đa ngành, nên lí thuyết toán tử giả vi phân tuyến tính vẫn được nhiều nhà toán học nghiên cứu từ nhiều góc độ khác nhau, như giải tích thời gian – tần số, lí thuyết phương trình đạo hàm riêng, Gần đây, các tác giả thuộc đại học Torino đã phát hiện mối liên hệ được giữa giải tích thời gian - tần số với lí thuyết toán tử giả vi phân ở một số lớp toán tử giả vi phân, chẳng hạn lớp toán tử Kohn – Nirenberg với phân bố Rihaczek, lớp toán tử Weyl với phân bố Wigner, lớp toán tử địa phương hóa với phân bố ảnh phổ tổng quát và đã nghiên cứu tính bị chặn của các lớp toán tử giả vi phân này trong L p thông qua các biểu diễn thời gian tần số tương ứng (xem [3], [4]), Phát triển theo hướng này, các tác giả của đại học Toronto đã mở rộng mối liên quan giữa các lớp toán tử giả vi phân đa tuyến tính với tích tensor của các biểu diễn thời gian tần số và cũng thu được những kết quả thú vị về tính bị chặn của một số lớp toán tử giả vi phân đa tuyến tính trong L p thông qua tích tensor các phân bố thời gian tần số này (xem [5]). Nhằm hệ thống hóa sự phát triển của các nghiên cứu trên và được sự hướng dẫn của TS Bùi Kiên Cường, tôi lựa chọn đề tài: “Tính bị chặn của toán tử giả vi phân đa tuyến tính trong không gian L p (1 ≤ p < ∞)” để thực hiện luận văn tốt nghiệp thạc sĩ. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tổng quan về không gian hàm, biến đổi Fourier, toán tử 2 giả vi phân và một số biểu diễn thời gian tần số quan trọng. Nghiên cứu tính bị chặn của toán tử giả vi phân đa tuyến tính trong không gian. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tổng quan về tính chất bị chặn của toán tử giả vi phân đa tuyến tính trong L p thông qua tích tensor của một số lớp phân bố thời gian - tần số. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu các không gian hàm thử, hàm suy rộng Nghiên cứu phép biến đổi Fourier, biến đổi Fourier ngắn trên các không gian hàm Nghiên cứu về giải tích thời gian - tần số, một số lớp phân bố thời gian tần số quan trọng: Rihaczek, Wigner, ảnh phổ tổng quát Nghiên cứu về toán tử giả vi phân tuyến tính Nghiên cứu tính bị chặn của toán tử giả vi phân đa tuyến tính trong không gian L p (1 ≤ p < ∞) 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kiến thức của giải tích hàm để phân tích tổng hợp tiếp cận vấn đề.Thụ thập các tài liệu liên quan, đặc biệt là các bài báo trong và ngoài nước nghiên cứu về toán tử giả vi phân đa tuyến tính. 6. Những đóng góp mới của đề tài Luận văn là tài liệu tổng quan về toán tử giả vi phân đa tuyến tính, giải tích thời gian tần số và mối liên hệ giữa tính bị chặn của toán tử giả vi phân đa tuyến tính kiểu Weyl với một số lớp phân bố thời gian - tần số. Chương 1 Một số khái niệm và kết quả chuẩn bị 1.1. Một số không gian hàm 1.1.1. Không gian C k  Ω  Định nghĩa 1.1. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian Euclide n chiều R n và Ω là bao đóng của Ω. Ta kí hiệu C k  Ω  (k = 0, 1, 2 ) là không gian véc tơ các hàm số có đạo hàm liên tục đến cấp k trong Ω . Ta đưa vào C k  Ω  chuẩn f C k (Ω) =  αk ma x∈Ω x |∂ α f(x)| , trong đó α = (α 1 , α 2 , , α n ) là đa chỉ số, tức là một véc tơ với các toạ độ nguyên không âm |α| = α 1 + α 2 + + α n , còn ∂ α f = ∂ α 1 +α 2 + +α n f ∂x α 1 1 ∂x α 2 2 ∂x α n n . Khi đó, không gian C k  Ω  là không gian Banach và được gọi là không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp k trên miền Ω. Định nghĩa 1.2. Giả sử ω(x) là một hàm số khả vi vô hạn trong R n , không âm, bằng 0 với |x|  1 và thoả mãn  R n ω(x)dx =  |x|1 ω(x)dx = 1 (1.1) trong đó |x| =  x 2 1 + x 2 2 + + x 2 n  1/2 , chẳng hạn ta có thể lấy ω(x) =    Ce 1 1−|x| 2 , 0  |x| < 1 0, |x|  1 ở đây hằng số C > 0 được chọn sao cho (1.1) được thực hiện và giả sử h là một số dương tuỳ ý. Khi đó hàm ω h (x) = 1 h n ω  x h  được gọi là nhân trung bình hoá (có bán kính h). 4 1.1.2. Không gian L p (Ω) , 1  p < +∞ và không gian L ∞ (Ω) Định nghĩa 1.3. Giả sử Ω là tập mở trong R n và p là một số thực thỏa mãn 1  p < +∞ . Kí hiệu L p (Ω) là tập hợp tất cả các hàm f xác định và đo được theo độ đo Lebesgue trên Ω với |f| p khả tích trên Ω , có nghĩa là:  Ω |f(x)| p dx < ∞ Với phép cộng hai hàm số thông thường và phép nhân hàm với một số, L p (Ω) làm thành không gian tuyến tính thực (hoặc phức). Chuẩn của hàm f thuộc L p (Ω) , 1  p < +∞ , được xác định bởi: f p =    Ω |f(x)| p dx   1 p Với chuẩn này L p (Ω) làm thành một không gian định chuẩn và được gọi là không gian L p (Ω) . Định nghĩa 1.4. Một hàm f đo được trên Ω được gọi là bị chặn cốt yếu trên Ω nếu tồn tại một hằng số k > 0 sao cho |f(x)|  k hầu khắp nơi trên Ω. Cận dưới lớn nhất của các hằng số k đó được gọi là cận trên cốt yếu của f trên Ω và được ký hiệu là esssup x∈Ω |f(x)|. Ký hiệu L ∞ (Ω) là không gian các hàm f bị chặn cốt yếu trên Ω . Chuẩn của hàm f thuộc L ∞ (Ω) được xác định bởi: f ∞ = esssup x∈Ω |f(x)| = inf {k : |f(x)|  k với hầu khắp nơi x ∈ Ω} Định lý 1.1. [Định lý Fischer-Riesz] Giả sử Ω là một tập mở trong R n . Với mỗi p ∈ [1, +∞] , L p (Ω) là một không gian Banach. Định lý 1.2. L 2 (R n ) là một không gian Hilbert với tích vô hướng (u, v) =  R n u(x)v(x)dx [...]... mãn, nên Tσ là toán tử giả vi phân elliptic bậc m Nhận xét 1.4 Do tính chất tuyến tính của tích phân và biến đổi Fourier nên toán tử giả vi phân là toán tử tuyến tính Định nghĩa 1.28 (Toán tử giả vi phân đối xứng) Toán tử giả vi phân Tσ được gọi là toán tử đối xứng trên không gian S nếu thỏa mãn (Tσ ϕ, ψ) = (ϕ, Tσ ψ) , ∀ϕ, ψ ∈ S trong đó tích vô hướng trên được xác định như sau (ϕ, ψ) = ϕ (x) ψ (x)dx... thức của toán tử giả vi phân Tσ là một toán tử giả vi phân Tτ , trong đó τ là một biểu trưng trong S m và τ (x, ξ) ∼ µ (−i)µ µ µ ∂x ∂ξ σ (x, ξ) , µ! (1.30) ở đây (1.30) nghĩa là τ (x, ξ) − |µ| . diễn Rihaczek đa tuyến tính và toán tử giả vi phân đa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.1. Tính bị chặn của toán tử giả vi phân đa tuyến tính trong L 2 . quan về không gian hàm, biến đổi Fourier, toán tử 2 giả vi phân và một số biểu diễn thời gian tần số quan trọng. Nghiên cứu tính bị chặn của toán tử giả vi phân đa tuyến tính trong không gian. 3 báo trong và ngoài nước nghiên cứu về toán tử giả vi phân đa tuyến tính. 6. Những đóng góp mới của đề tài Luận văn là tài liệu tổng quan về toán tử giả vi phân đa tuyến tính, giải tích thời gian