Wigner đa tuyến tính
Định nghĩa 2.8. Cho σ ∈ S(R(m+1)d), f = (f1, f2, ..., fm) ∈ S(Rd)m và g ∈ S(Rd). Biến đổi Weyl đa tuyến tính Wσf của f tương ứng với biểu trưng σ được định nghĩa bởi
(Wσf, g) = (2π)−md/2 Z Rdm Z Rd σ(x, ξ)W(f, g)(x, ξ)dxdξ.
Biến đổi Weyl đa tuyến tính Wσf của f tương ứng với biểu trưng σ ∈
S0(R(m+1)d) được xác định là
(Wσf)(g) = (2π)−md/2σ(W(f, g)).
Mệnh đề 2.4. Cho σ ∈ S0(R(m+1)d). Khi đó với mọi f = (f1, f2, ..., fm) ∈
S(Rd)m và với mọi hàm g ∈ S(Rd),
Chứng minh. Kết luận suy ra ngay được từ công thức (2.27) và phép biến đổi Fourier.
Hệ quả 2.1. Cho σ ∈ S(R(m+1)d). Khi đó với mọi f = (f1, f2, ..., fm) ∈
S(Rd)m, (Wσf)(x) = (2π)−md Z Rdm Z Rd ˆ σ(w, v)(ρ(w, v)f)(x)dwdv với mọi x ∈ Rd.
Liên hệ giữa các toán tử giả vi phân đa tuyến tính và các biến đổi Weyl đa tuyến tính được cung cấp bởi kết quả sau:
Định lý 2.5. Cho σ ∈ S0(R(m+1)d). Khi đó Tσ = Wτ, trong đó ˆ τ(w, v) = (2π)−(m−1)d/2e−21miw|v|σˆ(w, v) với mọi w ∈ Rd và v = (v1, ..., vm) ∈ Rdm. 2.4. Tính bị chặn trong Lp(1 ≤ p < ∞)
Từ mối liên hệ giữa các toán tử giả vi phân đa tuyến tính và các biến đổi Weyl đa tuyến tính bởi Định lý 2.5, chúng ta có thể chứng minh tính chất bị chặn của toán tử giả vi phân đa tuyến tính trong Lp(1 ≤ p < ∞). Để bắt đầu, chúng ta sẽ nhắc lại không gian Lp∗(R(m+1)d),1 6 p <∞ được định nghĩa trong [14] bởi:
Lp∗(R(m+1)d) =
n
σ ∈ Lp(R(m+1)d) : ˆσ ∈ Lp0(R(m+1)d)
o
(2.28) Theo bất đẳng thức Hausdorff-Young với Lp(1 ≤p ≤ 2), ta có:
Và bây giờ với Lp(1≤ p < ∞) chúng ta coi Lpµ(R(m+1)d) là một không gian con của Lp(R(m+1)d), được định nghĩa bởi:
Lpµ(R(m+1)d) = { σ ∈ Lp(R(m+1)d) : F−1µF σ ∈ Lp∗(R(m+1)d)} (2.30) Trong đó F, F−1 và µ tương ứng là biến đổi Fourier, biến đổi Fourier ngược và toán tử nhân, được biểu diễn bằng hàm:
µ(w, v) = (2π)(m−1)d/2e−i21mw|v| (2.31) Đối với tất cả các giá trị v trong Rd và tất cả v = (v1, v2, ..., vm)trong
Rdm. Sau đây chúng ta có kết quả trên không gian bị chặnLp của các toán tử giả vi phân đa tuyến tính.
Định lý 2.6. Cho σ ∈ L1µ(R(m+1)d), thì đối với 1 6p < ∞, Tσ : Lp(Rd)m →
Lp(Rd) là toán tử đa tuyến tính bị chặn và
|Tσ||B(Lp(Rd)m,Lp(Rd)) 6(2π)−dmΩm,d,p||σ||L1 µ(R(m+1)d) (2.32) trong đó ||σ||L1 µ(R(m+1)d) = ||F−1µF σ||L1(R(m+1)d) (2.33) và Ωm,d,p = (2m)dm(2m−1)dm/p (2.34) Chứng minh. Dùng sự liên kết cơ bản trong các phần trước, ta có:Tσ = Wτ trong đó τ = F−1µF σ. Vậy, đối với tất cảf = (f1, f2, ..., fm)trongS(Rd)m
và tất cả g trong Lp0(Rd), ta có: (Tσf, g)L2(Rd) = (Wτf, g)L2(Rd) = (2π)−mn/2 Z Rdm Z Rd τ(x, ξ)W(f, g)(x, ξ)dxdξ
Dùng định lý liên quan đến chuyển đổi Wigner và bất đẳng thức H¨older’s, ta có: |W(f, g)||L∞(R(m+1)d) 6 (2π)−mn/2Ωm,n,p m Y j=1 ||fj||Lp(Rd)||g||Lp0 (Rd) (2.35)
Vậy: |(Tσf, g)L2(Rd)| 6 (2π)−mn/2||τ||L1(R(m+1)d)||W(f, g)||L∞(R(m+1)d) 6 (2π)−mn/2(2π)−mn/2Ωm,n,p||τ||L1(R(m+1)d) m Y j=1 ||fj||Lp(Rd)||g||Lp0 (Rd) = (2π)−mnΩm,n,p||σ||L1 µ(R(m+1)d) m Y j=1 ||fj||Lp(Rd)||g||Lp0(Rd)
Vậy Lp0(Rd) là đối ngẫu của Lp(Rd), chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh.
Kết luận Chương 2
Trong chương 2, tác giả trình bày những nghiên cứu tổng quan về mối liên hệ giữa giải tích thời gian - tần số với toán tử giả vi phân. Cụ thể là:
Nghiên cứu về một số lớp biểu diễn thời gian - tần số quan trọng như biểu diễn Wigner, biểu diễn Rihaczek, lớp Cohen
Mối liên hệ giữa biểu diễn Rihaczeck đa tuyến tính với toán tử giả vi phân đa tuyến tính, qua đó thu được tính bị chặn trong Lp,1 ≤p ≤ 2 của lớp toán tử này
Biến đổi Wigner đa tuyến tính và toán tử Weyl đa tuyến tính, mối liên hệ giữa toán tử giả vi phân đa tuyến tính và toán tử Weyl đa tuyến tính, qua đó thu được tính bị chặn trong Lp,1 ≤ p < ∞ của lớp toán tử này.
KẾT LUẬN
Luận văn là một công trình nghiên cứu tổng quan về tính bị chặn của toán tử giả vi phân đa tuyến tính trong không gian Lp(1 6 p < ∞). Cụ thể:
Nghiên cứu về một số không gian hàm như không gian Ck( ¯Ω), không gian Lp(Ω)(1 6 p < ∞) và không gian L∞(Ω) không gian các hàm thử và không gian đối ngẫu, không gian Schwartz, không gian các hàm suy rộng tăng chậm.
Nghiên cứu phép biến đổi Fourier, toán tử giả vi phân Nghiên cứu về một số lớp biểu diễn thời gian - tần số quan trọng như biểu diễn Wigner, biểu diễn Rihaczek, lớp Cohen
Mối liên hệ giữa biểu diễn Rihaczeck đa tuyến tính với toán tử giả vi phân đa tuyến tính, qua đó thu được tính bị chặn trong Lp,1 ≤ p ≤ 2
của lớp toán tử này Biến đổi Wigner đa tuyến tính và toán tử Weyl đa tuyến tính, mối liên hệ giữa toán tử giả vi phân đa tuyến tính và toán tử Weyl đa tuyến tính, qua đó thu được tính bị chặn trong Lp,1≤ p < ∞
của lớp toán tử này.
Với phạm vi luận văn và thời gian, cũng như khả năng còn hạn chế nên tác giả chưa thể tìm hiểu nghiên cứu sâu hơn và phát triển thêm các kết quả đã đưa ra nhất là tính bị chặn của toán tử giả vi phân đa tuyến tính trong các không gian khác của giải tích hàm.
Tài liệu tham khảo
[A] Tiếng Việt
[1] Bùi Kiên Cường (2002), Nội suy sóng nhỏ, Thông báo khoa học của các trường đại học, Bộ giáo dục và đào tạo, ISSN.0868.3034,Tr 65-69. [2] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực và Giải tích hàm, Nxb Đai học Quốc
gia Hà Nội, Hà Nội. [B] Tiếng Anh
[3] P. Boggiatto, G. De Donno, A. Oliaro (2006), "A class of quadratic time-frequency representations based on the short-time Fourier trans- form", Operator Theory: Advances and Appl., Vol. 172 , 235-249. [4] A. Cohen (2003),Numerical Analysis of Wavelet Methods, North-
Holland.
[5] A. Dasgupta (2009), “Ellipticity of Fredholm pseudo-differential oper- ators” on,New Developments of Pseudo-Differential Operators, Oper- ator Theory: Advances and Applications 189, Birkh¨auser, pp.107-116. [6] S.Dahlke, W.Dahmen, R.Hochmuth and R.Schneider (1997), “Stable multiscale bases and local error estimation for elliptic problems”, Appl. Numerical Math. 23, pp.21-47.
[7] I. Daubechies (1988), “Orthonormal bases of compacted wavelets”,Comm.Pure Appl. Math. 41, pp. 909-996.
[8] I. Daubechies (1992), Ten Lectures on Wavelet, SIAM.
[9] Gerb Gr¨ubb (2009),Distributions and Operators, Springer New York, USA Birkh Inc.
[10] E. Schrohe (1990), “Boundedness and spectral invariance for stan- dard pseudodiffrential operators on anisotropically weighted -Sobolev spaces”,Integral Equations Operator Theory 13, pp. 271-284.
[11] M.W. Wong (1999),An Introduction to Pseudo-Differential Operators, Second Edition, World Scientific.
[12] M.W. Wong (2005), “Weak and strong solutions for pseudo-differential operators”,Advances in Analysis, World Scientific, pp. 275-284. bib- itemM.W. Wong (1998),Weyl transforms, Springer Verlag. bibitemM. W. Wong (2002), Wavelet Transform and Localization Operators Birkh¨auser-Verlag, Basel .
[13] Viorel Catanˇa, Shahla Molahajloo and M.M. Wong (2009), “Lp- Boundedness of Multilinear Pseudo-differential Operators ”,Operator theory: Advandces and Applications, Vol. 205, pp167-180, Birkh¨auser Verlag, Basel.