Tính liên tục và tính khả vi của hàm giá trị tối ưu trong quy hoạch toàn phương có tham số

Luận văn thạc sĩ Toán học Học viên Phan Thị Ánh Vân LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn của thầy PGS.TS Nguyễn Năng Tâm. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình song rất nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả trong suốt quá trình học tập. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, người thân, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này. Hà Nội, ngày 12 tháng 10 năm 2013 Tác giả Phan Thị Ánh Vân 1 Luận văn thạc sĩ Toán học Học viên Phan Thị Ánh Vân LỜI CAM ĐOAN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm. Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tôi đã kế thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, ngày 12 tháng 10 năm 2013 Tác giả Phan Thị Ánh Vân 2 Mục lục 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7 1.1 Không gian Euclide R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Tập lồi, hàm lồi, ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Bài toán quy hoạch toàn phương . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1 Bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2 Quy hoạch toàn phương . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.3 Bài toán quy hoạch toàn phương có tham số . . . 24 2 TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM GIÁ TRỊ TỐI ƯU 25 2.1 Các bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Tính liên tục của hàm giá trị tối ưu . . . . . . . . . . . 28 2.3 Tính nửa liên tục của hàm giá trị tối ưu. . . . . . . . . . 35 3 TÍNH KHẢ VI THEO HƯỚNG CỦA HÀM GIÁ TRỊ TỐI ƯU 40 3.1 Các bổ đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2 Điều kiện G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3 Tính khả vi theo hướng của hàm giá trị tối ưu . . . . . . 50 3 Luận văn thạc sĩ Toán học Học viên Phan Thị Ánh Vân BẢNG KÝ HIỆU R đường thẳng thực R đường thẳng thực suy rộng R n không gian Euclide n - chiều ∅ tập rỗng x T véctơ chuyển vị của véctơ x x chuẩn của véctơ x x, y tích vô hướng của x và y A T ma trận chuyển vị của ma trận A R m×n tập các ma trận m × n R n×n S tập các ma trận n × n đối xứng det A định thức của ma trận vuông A E ma trận đơn vị trong R n×n f  (x; v) đạo hàm theo hướng của f tại x theo hướng v Sol(P ) tập nghiệm của bài toán (P ) loc(P ) tập nghiệm địa phương của bài toán (P ) v(P ) giá trị tối ưu của bài toán (P ) QP quy hoạch toàn phương QP (Q, A, c, b) quy hoạch toàn phương xác định bởi các ma trận Q, A và các véctơ c, b Sol(Q, A, c, b) tập nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương ϕ(Q, A, c, b) hoặc ϕ(c, b) hàm giá trị tối ưu của bài toán quy hoạch toàn phương loc(Q, A, c, b) tập nghiệm địa phương của bài toán quy hoạch toàn phương lsc nửa liên tục dưới usc nửa liên tục trên C hoặc C(A, b) {x : Ax ≥ b} 2 R n tập tất cả các tập con của R n 4 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Một trong những khía cạnh thường được quan tâm trong nghiên cứu những bài toán tối ưu là những tính chất của hàm giá trị tối ưu. Gauvin và Dubeau [8], Bonnans and A. Shapiro [4] đã nghiên cứu về tính khả vi của hàm giá trị tối ưu trong quy hoạch toán học. Jasnin [9], Minchenko và Sakolchik [14] đã nghiên cứu đạo hàm theo hướng của hàm giá trị tối ưu trong quy hoạch phi tuyến. Tam [17], [18] và Lee, Tam and Yen [11], [12] đã nghiên cứu hàm giá trị tối ưu trong quy hoạch toàn phương. Sau khi được học những kiến thức về Toán giải tích, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan hệ và ứng dụng của chúng, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu: “Tính liên tục và tính khả vi của hàm giá trị tối ưu trong quy hoạch toàn phương có tham số”. 2. Mục đích nghiên cứu Khảo sát tính liên tục, các điều kiện cần và điều kiện đủ của tính chất nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới; điều kiện cần và đủ để hàm giá trị tối ưu khả vi theo hướng và công thức tính đạo hàm theo hướng của hàm giá trị tối ưu. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 1. Tính liên tục và tính nửa liên tục của hàm giá trị tối ưu. 2. Tính khả vi theo hướng của hàm giá trị tối ưu. Luận văn thạc sĩ Toán học Học viên Phan Thị Ánh Vân 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Tính liên tục và tính khả vi của hàm giá trị tối ưu trong quy hoạch toàn phương có tham số. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết: Thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp để được một nghiên cứu tổng quan về tính liên tục và tính khả vi của hàm giá trị tối ưu trong quy hoạch toàn phương có tham số. 6. Dự kiến đóng góp mới của đề tài Tổng quan về những tính chất của hàm giá trị tối ưu trong quy hoạch toàn phương có tham số. 6 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Euclide R n Cho X là một tập tùy ý và X = ∅. Định nghĩa 1.1.1. Một metric trong X là một ánh xạ: d : X × X → R thỏa mãn các điều kiện sau: i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; d(x, y) = 0 ⇔ x = y; ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X; iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X. Một tập khác trống X cùng với metric được xác định trên tập đó lập thành một không gian metric, ký hiệu là (X, d). Số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa các điểm x và y. Định nghĩa 1.1.2. Cho X là một không gian vectơ trường K ( K = R, hoặc K = C). Một chuẩn trong X, ký hiệu  . , là một ánh xạ từ X vào tập số thực R thỏa mãn các tiên đề sau: i) (∀x ∈ X)  x ≥ 0,  x = 0 ⇔ x = ∅; ii) (∀x ∈ X)(∀α ∈ K)  αx = |α|  x ; iii) (∀x, y ∈ X)  x + y ≤ x  +  y . Số  x  gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x. Một không gian X cùng với một chuẩn xác định trong không gian đó được gọi là một không gian định chuẩn. 7 Luận văn thạc sĩ Toán học Học viên Phan Thị Ánh Vân Định lí 1.1.1. Giả sử X là một không gian định chuẩn. Đặt: d(x, y) = x − y , ∀x, y ∈ X. Khi đó, d là một metric trên X. Định nghĩa 1.1.3. Tập hợp R n := {x = (x 1 , . . . , x n ) T : x 1 , . . . , x n ∈ R} cùng với hai phép toán: (x 1 , . . . , x n ) T + (y 1 , . . . , y n ) T := (x 1 + y 1 , . . . , x n + y n ) T λ(x 1 , . . . , x n ) T := (λx 1 , . . . , λx n ) T , λ ∈ R lập thành một không gian vectơ thực n - chiều, gọi là không gian Euclide R n . Trong R n tích vô hướng chính tắc ., ,  được định nghĩa như sau: x, y = n  i=1 x i y i . Với tích vô hướng chính tắc ta có: (i) x, y = y, x. (ii) x + x  , y = x, y + x  , y. (iii) λx, y = λx, y. (iv) x, x ≥ 0 và x, x = 0 ↔ x = 0. Khi đó, ta có chuẩn Euclide của vectơ x:  x :=  x, x =     n  i=1 |x i | 2 , ∀x ∈ R n thỏa mãn các tính chất: (i)  x ≥ 0 ∀x ∈ R n ,  x = 0 ↔ x = 0. (ii)  λx = |λ|  x  ∀x, y ∈ R n ; (iii) |x, y| ≤ x  .  y  ∀x, y ∈ R n , trong đó dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x, y phụ thuộc tuyến tính. (iv) | x  −  y | ≤ x + y ≤ x  +  y  ∀x, y ∈ R n . Định nghĩa 1.1.4. Cho x 0 ∈ R n , ε > 0, ta gọi tập B(x 0 , ε) := {x ∈ R n : x − x 0 < ε} là hình cầu mở trong R n có tâm tại x 0 , bán kính ε. 8 Luận văn thạc sĩ Toán học Học viên Phan Thị Ánh Vân Định nghĩa 1.1.5. Tập U ⊂ R n được gọi là tập mở nếu với mọi x 0 ∈ U, tồn tại ε > 0 sao cho B(x 0 , ε) ⊂ U. Tập F ⊂ R n được gọi là tập đóng nếu U := R n \F là mở. Tập V ⊂ R n được gọi là lân cận của x ∈ R n nếu tồn tại ε > 0 sao cho B(x, ε) ⊂ V . Định nghĩa 1.1.6. Cho x ∈ R n , A là tập con của R n . (i) Nếu có lân cận V (x) của x mà V (x) ⊂ A thì x gọi là điểm trong của A. (ii) Nếu có lân cận V (x) của x mà V (x) ⊂ R n \A thì x gọi là điểm ngoài của A. (iii) Nếu mọi lân cận V (x) của x đều chứa điểm trong và điểm ngoài của A khác x, thì x gọi là điểm biên của A. Định nghĩa 1.1.7. Cho A là tập con bất kỳ trong R n . Ký hiệu {  i (A)} i∈I là họ tất cả các tập mở trong A, {F j (A)} j∈J là họ tất cả các tập đóng chứa A. Ta có U =  i∈I U i (A) là tập mở, F =  j∈J F j (A) là một tập đóng. Tập U gọi là phần trong của A, ký hiệu là intA. Tập F gọi là bao đóng của A, ký hiệu là A. Như vậy intA là tập mở lớn nhất chứa A, còn A là tập đóng nhỏ nhất chứa A. Ta có: (i) x ∈ intA khi và chỉ khi x là điểm trong của A. (ii) Tập A là tập mở khi và chỉ khi A = intA. (iii) Tập A là đóng khi và chỉ khi A = A. Định nghĩa 1.1.8. Dãy điểm {x k } trong R n được gọi là hội tụ đến x 0 ∈ R n khi k → ∞ nếu dãy số  x k − x 0  hội tụ tới 0 ∈ R khi k → ∞. Khi đó ta gọi x 0 là giới hạn của {x k } và ký hiệu x k → x 0 . lim k→∞ x k = x 0 ↔ lim k→∞  x k − x 0 = 0 Sự hội tụ trong R n là sự hội tụ theo tọa độ. Định lí 1.1.2. Tập A ⊂ R n là đóng khi và chỉ khi với mọi dãy {x k } ⊂ A mà x k hội tụ đến x 0 thì x 0 ∈ A. Định nghĩa 1.1.9. Tập A trong R n được gọi là bị chặn nếu tồn tại m > 0 sao cho  x ≤ m với mọi x ∈ A. 9 Luận văn thạc sĩ Toán học Học viên Phan Thị Ánh Vân Dễ thấy tập khác rỗng A ⊂ R n là tập bị chặn nếu sup{ x : x ∈ A} < ∞. Tập ∅, tập gồm hữu hạn điểm, hình cầu B(x, ε) là những tập bị chặn. Định nghĩa 1.1.10. Tập A trong R n được gọi là tập compact nếu mọi dãy {x k } trong A đều có dãy con {x k m } hội tụ đến một điểm x ∗ ∈ A. Định lí 1.1.3. Tập A trong R n compact khi và chỉ khi A đóng và bị chặn. 1.2 Hàm nhiều biến Định nghĩa 1.2.1. Cho X ⊂ R n . Ta gọi ánh xạ f : X → R là một hàm n biến xác định trên X. Nếu n ≥ 2 thì hàm n biến được gọi là hàm nhiều biến. Ví dụ 1.2.1. X = {x = (x 1 , x 2 ) T ∈ R 2 : x 1 +x 2 −5 = 0}, f (x) = 2 x 1 +x 2 là hàm 2 biến Ví dụ 1.2.2. X = R n , f(x) = x 2 1 + . . . + x 2 n là hàm n biến Định nghĩa 1.2.2. Cho f : R n → R Ta goi f là một hàm tuyến tính nếu: f(αx + βy) = αf(x) + βf(y), ∀x, y ∈ R n , ∀α, β ∈ R. Mọi hàm tuyến tính f : R n → R đều có dạng f (x) = c, x, với c ∈ R n cố định, phụ thuộc vào f . Định nghĩa 1.2.3. Ta gọi g : R n → R là một hàm afin nếu tồn tại hàm tuyến tính f và hằng số α sao cho: g(x) = f (x) + α, ∀x ∈ R n . Như vậy, hàm afin luôn có dạng g(x) = c, x +α. Cho f : X ⊂ R n → R. Định nghĩa 1.2.4. Hàm f được gọi là hàm bị chặn dưới (hay bị chặn trên) trên X nếu tồn tại α sao cho f(x) ≥ α (hay f (x) ≤ α) với mọi x ∈ X. Hàm f gọi là bị chặn trên X nếu nó vừa bị chặn dưới, vừa bị chặn trên trên X. Như vậy, f bị chặn trên X nếu tồn tại α > 0 sao cho |f(x)| ≤ α với mọi x ∈ X. 10 [...]... (b) trong định lý 2.2.1 là điều kiện đủ để hàm ϕ(.) liên tục tại giá trị (Q, A, c, b) cho trước 2.3 Tính nửa liên tục của hàm giá trị tối ưu Như đã đề cập ở phần trước, tính liên tục của hàm giá trị tối ưu thỏa mãn một tập điều kiện đặc biệt Trong một số trường hợp, chỉ có tính nửa liên tục trên hoặc nửa liên tục dưới của hàm được thỏa mãn Do vậy, ta muốn có những điều kiện đủ, đơn giản cho tính nửa liên. .. toàn phương bất định 24 Chương 2 TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM GIÁ TRỊ TỐI ƯU Trong chương này chúng ta tập trung nghiên cứu tính liên tục, tính nửa liên tục của hàm giá trị tối ưu tại một điểm cho trước.Các kết quả trong chương được vi t dựa trên bài báo [18] 2.1 Các bổ đề Để phục vụ chứng minh các định lý, trước hết ta đề cập một số bổ đề Xét bài toán quy hoạch toàn phương QP(Q, A, c, b) phụ thuộc tham số. .. dạng chuẩn, dạng chính tắc và dạng tổng quát (Nghĩa của A, C, b và d giống như mô tả trong dạng điển hình của quy hoạch tuyến tính) Chú ý rằng phép biểu diễn của tập hằng số của quy hoạch toàn phương chính tắc yếu so với các tập khác của quy hoạch toàn phương chính tắc Định nghĩa trên của quy hoạch toàn phương chính tắc được dùng vì các quy hoạch toàn phương của loại này có một mối quan hệ rất chặt... 27 Luận văn thạc sĩ Toán học Học vi n Phan Thị Ánh Vân Do vậy Sol(Q, A, c, b) là tập đóng, từ đó suy ra Sol(Q, A, c, b) là tập compact 2.2 Tính liên tục của hàm giá trị tối ưu Bây giờ ta xây dựng định lý đầu tiên về tính liên tục của hàm giá trị tối ưu ϕ Định lý này cho một tập điều kiện cần và đủ cho tính liên tục của ϕ tại một điểm ω = (Q, A, c, b) khi ϕ có một giá trị hữu hạn Định lí 2.2.1 Cho (Q,... Hàm ϕ : Ω → R định nghĩa bởi: ϕ(ω) = inf{f (x, c, Q) : x ∈ C(A, b)} là hàm giá trị tối ưu của bài toán tham số (1.6) Nếu v, Qv ≥ 0 với ∀v ∈ Rn thì f (., c, Q) là một hàm lồi và (1.6) là một bài toán quy hoạch toàn phương lồi Nếu v, Qv ≤ 0 với ∀v ∈ Rn thì f (., c, Q) là một hàm lõm và (1.6) là một bài toán quy hoạch toàn phương lõm Nếu các điều kiện trên không thỏa mãn thì nó là bài toán quy hoạch toàn. .. nghiệm tối ưu toàn cục hay cực đại toàn cục của (P1 ) nếu f (x) = −∞ và f (x) ≤ f (x) với ∀x ∈ C Ta nói rằng x ∈ C là một nghiệm tối ưu địa phương hay cực đại địa phương của (P1 ) nếu f (x) = −∞ và tồn tại một lân cận U của x sao cho: f (x) ≤ f (x) với ∀x ∈ C ∩ U Rõ ràng x là một nghiệm tối ưu toàn cục (tương ứng, một nghiệm tối ưu địa phương) của (P1 ) nếu và chỉ nếu x là một nghiệm tối ưu toàn cục... lồi và f là một hàm lồi trên C thì mọi nghiệm tối ưu địa phương của (P ) đều là nghiệm tối ưu toàn cục của (P ) Khẳng định sau đây chứng minh điều đó Định lí 1.4.1 Cho C ⊂ Rn là tập lồi, f : C → R là một hàm lồi Khi đó, nếu x là một nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (P ): min{f (x) : x ∈ C} thì nó cũng là nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán đó Chứng minh Giả sử x là nghiệm tối ưu địa phương của. .. không thì f là một hàm afin Do đó, lớp các quy hoạch tuyến tính là một lớp con của lớp các quy hoạch toàn phương Thông thường, các quy hoạch toàn phương là bài toán quy hoạch toán học không lồi Ví dụ 1.4.4 Quy hoạch toàn phương sau là không lồi: min{f (x) : x2 − x2 : x = (x1 , x2 ), 1 ≤ x1 ≤ 3; 1 ≤ x2 ≤ 3} 1 2 Rõ ràng rằng f là một hàm không lồi Ta có thể thử lại rằng Sol(P ) = {(1, 3)} và v(P ) = −8 Rõ... ma trận vuông trong phép biểu diễn của hàm toàn phương tuyến tính là đối xứng Không gian các ma trận đối xứng n × n n×n được ký hiệu là RS Định nghĩa 1.4.5 Bài toán (P) được gọi là bài toán quy hoạch toàn phương tuyến tính (hoặc gọi tắt là quy hoạch toàn phương) nếu f là một hàm toàn phương tuyến tính và C là một tập đa diện lồi 19 Luận văn thạc sĩ Toán học Học vi n Phan Thị Ánh Vân Trong (1.4), nếu... thi C(A, 0) là nón của C(A, b) Theo định nghĩa, Sol(Q, A, 0, 0) là tập nghiệm bài toán QP (Q, A, 0, 0) Do đó, thử lại giả thiết Sol(Q, A, 0, 0) = {0} tương đương với vi c giải một bài toán quy hoạch toàn phương đặc biệt Bây giờ ta nghiên cứu tính liên tục của hàm giá trị tối ưu ϕ(.) tại một điểm mà giá trị của nó vô hạn Lấy α ∈ {+∞; −∞} và ϕ(Q, A, c, b) = α Ta nói rằng ϕ(.) liên tục tại (Q, A, c, b) . về tính liên tục và tính khả vi của hàm giá trị tối ưu trong quy hoạch toàn phương có tham số. 6. Dự kiến đóng góp mới của đề tài Tổng quan về những tính chất của hàm giá trị tối ưu trong quy hoạch toàn. và ứng dụng của chúng, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu: Tính liên tục và tính khả vi của hàm giá trị tối ưu trong quy hoạch toàn phương có tham số . 2. Mục đích nghiên cứu Khảo sát tính liên tục, . cứu 1. Tính liên tục và tính nửa liên tục của hàm giá trị tối ưu. 2. Tính khả vi theo hướng của hàm giá trị tối ưu. Luận văn thạc sĩ Toán học Học vi n Phan Thị Ánh Vân 4. Đối tượng và phạm vi nghiên