Tính liên tục và tính khả vi của hàm giá trị tối ưu trong quy hoạch toàn phương có tham số

QP Q, A, c, b quy hoạch toàn phương xác định bởicác ma trận Q, A và các véctơ c, bSolQ, A, c, b tập nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phươngϕQ, A, c, b hoặc ϕc, b hàm giá trị tối ưu của

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,dưới sự hướng dẫn của thầy PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Sự giúp đỡ vàhướng dẫn tận tình song rất nghiêm túc của thầy trong suốt quá trìnhthực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trongcách tiếp cận một vấn đề mới Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn, lòngkính trọng sâu sắc nhất đối với thầy

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và cácthầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích đã giúp đỡ, tạođiều kiện cho tác giả trong suốt quá trình học tập

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, người thân,bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giảhoàn thành khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này

Hà Nội, ngày 12 tháng 10 năm 2013

Tác giả

Phan Thị Ánh Vân

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Năng Tâm

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi.Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tôi đã kế thừanhững thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sựtrân trọng và biết ơn Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫntrong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày 12 tháng 10 năm 2013

Tác giả

Phan Thị Ánh Vân

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7

1.1 Không gian Euclide Rn 7

1.2 Hàm nhiều biến 10

1.3 Tập lồi, hàm lồi, ánh xạ đa trị 12

1.4 Bài toán quy hoạch toàn phương 14

1.4.1 Bài toán tối ưu 14

1.4.2 Quy hoạch toàn phương 19

1.4.3 Bài toán quy hoạch toàn phương có tham số 24

2 TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM GIÁ TRỊ TỐI ƯU 25 2.1 Các bổ đề 25

2.2 Tính liên tục của hàm giá trị tối ưu 28

2.3 Tính nửa liên tục của hàm giá trị tối ưu 35

3 TÍNH KHẢ VI THEO HƯỚNG CỦA HÀM GIÁ TRỊ TỐI ƯU 40 3.1 Các bổ đề 40

3.2 Điều kiện G 47

3.3 Tính khả vi theo hướng của hàm giá trị tối ưu 50

QP (Q, A, c, b) quy hoạch toàn phương xác định bởi

các ma trận Q, A và các véctơ c, bSol(Q, A, c, b) tập nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phươngϕ(Q, A, c, b) hoặc ϕ(c, b) hàm giá trị tối ưu của bài toán

quy hoạch toàn phươngloc(Q, A, c, b) tập nghiệm địa phương của bài toán

quy hoạch toàn phương

và Sakolchik [14] đã nghiên cứu đạo hàm theo hướng của hàm giá trị tối

ưu trong quy hoạch phi tuyến Tam [17], [18] và Lee, Tam and Yen [11],[12] đã nghiên cứu hàm giá trị tối ưu trong quy hoạch toàn phương.Sau khi được học những kiến thức về Toán giải tích, với mong muốntìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan hệ và ứng dụngcủa chúng, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu:

“Tính liên tục và tính khả vi của hàm giá trị tối ưu trong quy hoạchtoàn phương có tham số”

2 Mục đích nghiên cứu

Khảo sát tính liên tục, các điều kiện cần và điều kiện đủ của tínhchất nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới; điều kiện cần và đủ để hàm giátrị tối ưu khả vi theo hướng và công thức tính đạo hàm theo hướng củahàm giá trị tối ưu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

1 Tính liên tục và tính nửa liên tục của hàm giá trị tối ưu

2 Tính khả vi theo hướng của hàm giá trị tối ưu

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Tính liên tục và tính khả vi của hàm giá trị tối ưu trong quy hoạchtoàn phương có tham số

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết: Thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp

để được một nghiên cứu tổng quan về tính liên tục và tính khả vi củahàm giá trị tối ưu trong quy hoạch toàn phương có tham số

6 Dự kiến đóng góp mới của đề tài

Tổng quan về những tính chất của hàm giá trị tối ưu trong quy hoạchtoàn phương có tham số

Định nghĩa 1.1.2 Cho X là một không gian vectơ trường K ( K = R,hoặc K = C).

Một chuẩn trong X, ký hiệu k k, là một ánh xạ từ X vào tập số thực

R thỏa mãn các tiên đề sau:

Định lí 1.1.1 Giả sử X là một không gian định chuẩn Đặt:

Với tích vô hướng chính tắc ta có:

(i) hx, yi = hy, xi

Định nghĩa 1.1.5 Tập U ⊂ Rn được gọi là tập mở nếu với mọi x0 ∈ U ,tồn tại ε > 0 sao cho B(x0, ε) ⊂ U.

Tập F ⊂ Rn được gọi là tập đóng nếu U := Rn\F là mở

Tập V ⊂ Rn được gọi là lân cận của x ∈ Rn nếu tồn tại ε > 0 sao choB(x, ε) ⊂ V

Định nghĩa 1.1.6 Cho x ∈ Rn, A là tập con của Rn

(i) Nếu có lân cận V (x) của x mà V (x) ⊂ A thì x gọi là điểm trong củaA

(ii) Nếu có lân cận V (x) của x mà V (x) ⊂ Rn\A thì x gọi là điểm ngoàicủa A

(iii) Nếu mọi lân cận V (x) của x đều chứa điểm trong và điểm ngoàicủa A khác x, thì x gọi là điểm biên của A

Định nghĩa 1.1.7 Cho A là tập con bất kỳ trong Rn Ký hiệu {S

i(A)}i∈I

là họ tất cả các tập mở trong A, {Fj(A)}j∈J là họ tất cả các tập đóngchứa A Ta có U = S

i∈IUi(A) là tập mở, F = T

j∈J Fj(A) là một tậpđóng

Tập U gọi là phần trong của A, ký hiệu là intA Tập F gọi là bao đóngcủa A, ký hiệu là A Như vậy intA là tập mở lớn nhất chứa A, còn A làtập đóng nhỏ nhất chứa A

Ta có:

(i) x ∈ intA khi và chỉ khi x là điểm trong của A

(ii) Tập A là tập mở khi và chỉ khi A = intA

(iii) Tập A là đóng khi và chỉ khi A = A

Định nghĩa 1.1.8 Dãy điểm {xk} trong Rn được gọi là hội tụ đến

x0 ∈ Rn khi k → ∞ nếu dãy số k xk − x0

k hội tụ tới 0 ∈ R khi k → ∞.Khi đó ta gọi x0 là giới hạn của {xk} và ký hiệu xk → x0

lim

k→∞xk = x0 ↔ lim

k→∞ k xk− x0 k= 0

Sự hội tụ trong Rn là sự hội tụ theo tọa độ

Định lí 1.1.2 Tập A ⊂ Rn là đóng khi và chỉ khi với mọi dãy {xk} ⊂ A

mà xk hội tụ đến x0 thì x0 ∈ A

Định nghĩa 1.1.9 Tập A trong Rn được gọi là bị chặn nếu tồn tại

m > 0 sao cho k x k≤ m với mọi x ∈ A

Dễ thấy tập khác rỗng A ⊂ Rn là tập bị chặn nếu sup{k x k: x ∈A} < ∞.

Tập ∅, tập gồm hữu hạn điểm, hình cầu B(x, ε) là những tập bị chặn.Định nghĩa 1.1.10 Tập A trong Rn được gọi là tập compact nếu mọidãy {xk} trong A đều có dãy con {xk m} hội tụ đến một điểm x∗ ∈ A.Định lí 1.1.3 Tập A trong Rn compact khi và chỉ khi A đóng và bịchặn

Định nghĩa 1.2.4 Hàm f được gọi là hàm bị chặn dưới (hay bị chặntrên) trên X nếu tồn tại α sao cho f (x) ≥ α (hay f (x) ≤ α) với mọi

x ∈ X

Hàm f gọi là bị chặn trên X nếu nó vừa bị chặn dưới, vừa bị chặn trêntrên X Như vậy, f bị chặn trên X nếu tồn tại α > 0 sao cho |f (x)| ≤ αvới mọi x ∈ X

Định nghĩa 1.2.5 Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 ∈ Xnếu:

f liên tục trên X khi và chỉ khi f liên tục tại mọi x0 ∈ X

Chứng minh (i) Giả sử α := inf{f (x) : x ∈ X}.

Theo định nghĩa của α, tồn tại dãy {xk} ∈ X sao cho:

lim

k→∞f (xk) = α

Do X compact nên xk có dãy con hội tụ Giả sử xk → x0 ∈ X

Vì f nửa liên tục dưới nên f (x0) ≤ α

Mặt khác, do x0 ∈ X nên f (x0) ≥ α

Vậy f (x0) = α = inf f (x) : x ∈ X

(ii) Chứng minh tương tự phần (i)

Định nghĩa 1.3.1 Tập X ⊂ Rn được gọi là lồi nếu:

λx + (1 − λ)y ∈ X, ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1]

Ví dụ 1.3.1 Tập ∅ được xem là tập lồi

Các tam giác và hình tròn trong mặt phẳng là các tập lồi

Hình cầu đơn vị trong Rn là tập lồi

Định nghĩa 1.3.2 Một tập con C ⊂ Rn được gọi là một tập đa diện lồinếu C có thể biểu diễn được bởi giao của một số hữu hạn các nửa khônggian con đóng của Rn, tức là tồn tại các vectơ khác không a1, , am ∈ Rn

và các số thực b1, , bm sao cho C là tập nghiệm của hệ bất phương trìnhtuyến tính:

Hàm f còn được gọi là một hàm lõm trên X nếu với mọi x, y ∈ X và vớimọi t ∈ [0, 1] ta có:

f (tx + (1 − t)y) ≥ tf (x) + (1 − t)f (y)

Ví dụ 1.3.2 Hàm f : R → R, f (x) = 2x2 + 3x − 4 là một hàm lồi trênR

Hàm f : R → R, f (x) = x3 không là hàm lồi, cũng không là hàm lõmtrên R

Định nghĩa 1.3.4 Cho X, Y là hai tập bất kỳ

Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ từ X vào tập toàn bộ các tập con của Y (được

ký hiệu là 2Y)

Ta nói F là ánh xạ đa trị từ X vào Y

Như vậy, với mỗi x ∈ X, F (x) là một tập con của Y Không ngoại trừkhả năng là với một số phần tử x ∈ X nào đó ta có F (x) là tập rỗng.Nếu với mỗi x ∈ X tập F (x) chỉ gồm đúng một phần tử của Y , thì tanói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y

Ví dụ 1.3.3 Xét phương trình đa thức:

xn + a1xn−1 + + an−1x + an = 0

ở đó, n ∈ N và ai ∈ R, (i = 1, , n) là các hệ số thực

Quy tắc cho tương ứng mỗi vectơ a = (a1, , an) ∈ Rn với tập nghiệm,

ký hiệu bởi F (a) của bài toán trên cho ta một ánh xạ đa trị:

F : Rn ⇒ C

từ không gian Euclide Rn vào tập số phức C

Định nghĩa 1.3.5 Miền hữu hiệu của ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y đượcxác định bởi:

domF = {x ∈ X : F (x) 6= ∅}

Định nghĩa 1.3.6 Ta nói F là nửa liên tục trên tại x ∈ domF nếu vớimọi tập mở V ⊂ Y thỏa mãn F (x) ⊂ V , tồn tại lân cận mở U của xsao cho:

F (x) ⊂ V ∀x ∈ U

Nếu F là nửa liên tục trên tại mọi điểm thuộc domF , thì F được gọi lànửa liên tục trên ở trong X

Định nghĩa 1.3.7 Ta nói F là nửa liên tục dưới tại x ∈ domF nếu vớimọi tập mở V ⊂ Y thỏa mãn F (x) ∩ V 6= ∅ tồn tại một lân cận mở Ucủa x sao cho:

từ R vào R là nửa liên tục trên ở trong R, nhưng không là nửa liên tụcdưới tại x = 0 Như vậy, F không phải ánh xạ liên tục ở trên R

Ví dụ 1.3.5 Ánh xạ đa trị

F (x) =  [0, 1] nếu x 6= 0

{0} nếu x = 0

là nửa liên tục dưới ở trong R, nhưng không là nửa liên tục trên tại

x = 0 Như vậy, F không phải ánh xạ liên tục ở trên R

Ví dụ 1.3.6 Ánh xạ đa trị

F (x) =  [0, 1] nếu x ∈ Q

[−1, 0] nếu x ∈ Ikhông là nửa liên tục dưới ở trong R, cũng không là nửa liên tục trên và

do đó không phải ánh xạ liên tục ở trên R

1.4.1 Bài toán tối ưu

(P ) : min{f (x) : x ∈ C}

Với f : Rn → R là hàm cho trước và C ⊂ Rn là tập con cho trước của

Định nghĩa 1.4.1 Bài toán (P ) được gọi là bài toán tối ưu hay bài toánquy hoạch toán học Hàm f gọi là hàm mục tiêu và C là tập ràng buộc(hay miền chấp nhận được của (P)) Các phần tử của C được gọi là cácvéctơ chấp nhận được của (P ) hay các phương án

C = Rn thì ta nói rằng (P ) là một bài toán không có ràng buộc.Các trường hợp còn lại P là bài toán có ràng buộc

Định nghĩa 1.4.2 Một véctơ chấp nhận được x ∈ C được gọi là mộtnghiệm, hoặc nghiệm tối ưu toàn cục, hoặc phương án tối ưu toàn cục,hoặc cực tiểu toàn cục của (P) nếu f (x) 6= +∞ và f (x) ≥ f (x) với mọi

x ∈ C

Ta nói rằng x ∈ C là một nghiệm tối ưu địa phương hoặc nghiệmcực tiểu địa phương của (P ) nếu f (x) 6= +∞ và tồn tại một lân cận Ucủa x sao cho:

f (x) ≥ f (x), ∀x ∈ C ∩ U (1.1)Tập tất cả các nghiệm tối ưu của (P) được kí hiệu Sol(P ) Tập tất cảcác nghiệm địa phương của (P ) kí hiệu là loc(P )

Ta nói hai bài toán tối ưu (bài toán quy hoạch toán học) là tươngđương nếu tập nghiệm của hai bài toán là trùng nhau

Định nghĩa 1.4.3 Giá trị tối ưu v(P ) của (P) được định nghĩa bởi tập

v(P ) = inf{f (x) : x ∈ C} (1.2)Nếu C = ∅ thì ta quy ước v(P ) = +∞

Chú ý 1.4.1 Rõ ràng rằng Sol(P ) ⊂ loc(P ), do đó:

Sol(P ) = {x ∈ C : f (x) 6= +∞, f (x) = v(P )}

Chú ý 1.4.2 Có thể xảy ra trường hợp loc(P )\Sol(P ) 6= ∅

Ví dụ, nếu ta chọn C = R, f (x) = x3 + 3x2 − 4 thì x = 0 là mộtnghiệm địa phương của (P) nhưng không phải nghiệm toàn cục

Chú ý 1.4.3 Thay vì bài toán (P) giá trị nhỏ nhất ta có thể gặp bàitoán giá trị lớn nhất sau:

f (x) ≤ f (x) với ∀x ∈ C ∩ U

Rõ ràng x là một nghiệm tối ưu toàn cục (tương ứng, một nghiệmtối ưu địa phương) của (P1) nếu và chỉ nếu x là một nghiệm tối ưu toàncục (tương ứng, một nghiệm tối ưu địa phương) của bài toán giá trị nhỏnhất sau:

Nếu bài toán P có nghiệm x thì

Chẳng hạn, nếu C = [1; +∞) ⊂ R và

f (x) =

|x|, x 6= 0+∞, x = 0

Định lí 1.4.1 Cho C ⊂ Rn là tập lồi, f : C → R là một hàm lồi Khi

đó, nếu x là một nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (P ):

min{f (x) : x ∈ C}

thì nó cũng là nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán đó

Chứng minh Giả sử x là nghiệm tối ưu địa phương của (P ) Khi đó

x ∈ C và tồn tại lân cận mở V trong Rn của x sao cho

f (x) ≤ f (x) ∀x ∈ V ∩ C

Lấy x ∈ C tùy ý Vì C lồi nên với mọi t ∈ (0, 1) đủ nhỏ, ta có

xt := tx + (1 − t)x ∈ V ∩ C

Do f lồi trên C nên

f (x) ≤ f (xt) ≤ tf (x) + (1 − t)f (x),Suy ra f (x) ≤ f (x)

Vì x ∈ C tùy ý, ta suy ra x là nghiệm tối ưu toàn cục của (P )

1.4.2 Quy hoạch toàn phương

Định nghĩa 1.4.4 Ta nói rằng f : Rn → R là hàm toàn phương tuyếntính nếu tồn tại ma trận Q ∈ Rn×n, một véctơ c ∈ Rn và một số thực αsao cho:

f (x) = 1

2hx, Qxi + hc, xi + α (1.4)với ∀x ∈ Rn

Định nghĩa 1.4.5 Bài toán (P) được gọi là bài toán quy hoạch toànphương tuyến tính (hoặc gọi tắt là quy hoạch toàn phương) nếu f là mộthàm toàn phương tuyến tính và C là một tập đa diện lồi

Trong (1.4), nếu Q là ma trận không thì f là một hàm afin Do đó,lớp các quy hoạch tuyến tính là một lớp con của lớp các quy hoạchtoàn phương Thông thường, các quy hoạch toàn phương là bài toánquy hoạch toán học không lồi.

Ví dụ 1.4.4 Quy hoạch toàn phương sau là không lồi:

Thay thuật ngữ được dùng cho quy hoạch tuyến tính, ta gọi các dạngsau của quy hoạch toàn phương:

min{1

2hx, Qxi + hc, xi : x ∈ Rn, Ax ≥ b},

min{1

2hx, Qxi + hc, xi : x ∈ Rn, Ax ≥ b, x ≥ 0},min{1

2hx, Qxi + hc, xi : x ∈ Rn, Ax ≥ b, Cx = d}

tương ứng là dạng chuẩn, dạng chính tắc và dạng tổng quát (Nghĩa của

A, C, b và d giống như mô tả trong dạng điển hình của quy hoạch tuyếntính) Chú ý rằng phép biểu diễn của tập hằng số của quy hoạch toànphương chính tắc yếu so với các tập khác của quy hoạch toàn phươngchính tắc Định nghĩa trên của quy hoạch toàn phương chính tắc đượcdùng vì các quy hoạch toàn phương của loại này có một mối quan hệrất chặt chẽ với các bài toán bù tuyến tính

Định nghĩa 1.4.6 Một ma trận Q ∈ Rn×n được gọi là xác định dương(tương ứng xác định âm) nếu hv, Qvi > 0 (tương ứng hv, Qvi < 0) vớimọi v ∈ Rn\{0}

Nếu hv, Qvi ≥ 0( tương ứng hv, Qvi ≤ 0 ) với mọi v ∈ Rn thì Q đượcgọi là nửa xác định dương (tương ứng nửa xác định âm)

Chú ý 1.4.5 Nếu f (x) = 12hx, Qxi + hc, xi + α với Q ∈ Rn×nS , c ∈ Rn

và α ∈ R Nếu Q là một ma trận nửa xác định dương, thì f là một hàmlồi

Chứng minh Do x 7→ hc, xi + α là một hàm lồi và tổng hai hàm lồi làmột hàm lồi Điều này đủ để suy ra

f1(x) := hx, Qxi là một hàm lồi

Vì Q là một ma trận nửa xác định dương, với ∀u ∈ Rn và ∀v ∈ Rn, tacó:

0 ≤ hu − v, Q(u − v)i = hu, Qui − 2hv, Qui + hv, Qvi

Điều này suy ra rằng:

hv, Qvi ≤ hu, Qui − 2 (1.3)Lấy bất kỳ x ∈ Rn, y ∈ Rn và t ∈ (0, 1), ta đặt z = tx + (1 − t)y

Từ (1.33) ta có:

hz, Qzi ≤ hy, Qyi − 2hz, Q(y − z)i,

hz, Qzi ≤ hx, Qxi − 2hz, Q(x − z)i

Từ y − z = t(y − x) và x − z = (1 − t)(x − y) và hai bất đẳng thức cuối

với Q ∈ Rn×nS , A ∈ Rn, c ∈ Rn và b ∈ Rm.

Cho tập hằng số và giá trị tối ưu của (1.5), ta sẽ dùng kí hiệu:

C(A, b) = {x ∈ Rn : Ax ≥ b},

f∗ = inf{f (x) : x ∈ C(A, b)}

Nếu C(A, b) = ∅ thì quy ước f∗ = +∞

Nếu C(A, b) 6= ∅ thì có hai trường hợp:

Ví dụ, bài toán min{1x : x ∈ R, x ≥ 1} không có nghiệm, trong khihàm giá trị tối ưu f∗ = inf{1x : x ∈ R, x ≥ 1} = 0 là hữu hạn

Định lí 1.4.2 ( Định lý Frank - Wolfe (1956)) Nếu f ∗ = inf{f (x) :

x ∈ C(A, b)} là một số thực xác định thì bài toán (1.5) có nghiệm.Trong định lý 1.2.1, giả sử f là một hàm toàn phương tuyến tính và

C là một tập đa diện lồi Từ định nghĩa tập đa diện lồi suy ra tồn tạimột số nguyên m ∈ N, một ma trận A ∈ Rm×n và một véctơ b ∈ Rm saocho C = {x ∈ Rn : Ax ≥ b}

Điều này có nghĩa là định lý Frank - Wolfe có thể được phát biểu nhưsau:

"Nếu một hàm toàn phương tuyến tính bị chặn trên một tập đa diệnlồi khác rỗng thì bài toán giá trị nhỏ nhất của hàm trên tập đó phải cónghiệm"

Nếu f là một hàm toàn phương tuyến tính nhưng C không là mộttập đa diện lồi thì kết luận của định lý 1.2.1không còn đúng nữa

Nếu C là một tập đa diện lồi nhưng f không là hàm toàn phươngtuyến tính thì kết luận định lý 1.2.1 có thể không còn đúng Trong ví dụsau, f là một hàm đa thức bậc 4 đối với ẩn x1 và x2.

Ví dụ 1.4.8 Cho f (x) = x21 + (1 − x1x2)2 với ∀x = (x1, x2) ∈ R2.Lấy C = {x = (x1, x2) ∈ R2 : x1 ≥ 0, x2 ≥ 0}

1.4.3 Bài toán quy hoạch toàn phương có tham số

Bài toán quy hoạch toàn phương tổng quát với hệ số tuyến tính, kýhiệu QP(Q, A, c, b), là bài toán:

Hàm ϕ : Ω → R định nghĩa bởi:

ϕ(ω) = inf{f (x, c, Q) : x ∈ C(A, b)}

là hàm giá trị tối ưu của bài toán tham số (1.6)

Nếu hv, Qvi ≥ 0 với ∀v ∈ Rn thì f (., c, Q) là một hàm lồi và (1.6) làmột bài toán quy hoạch toàn phương lồi

Nếu hv, Qvi ≤ 0 với ∀v ∈ Rn thì f (., c, Q) là một hàm lõm và (1.6) làmột bài toán quy hoạch toàn phương lõm

Nếu các điều kiện trên không thỏa mãn thì nó là bài toán quy hoạchtoàn phương bất định

TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM GIÁ TRỊ TỐI ƯU

Trong chương này chúng ta tập trung nghiên cứu tính liên tục, tínhnửa liên tục của hàm giá trị tối ưu tại một điểm cho trước.Các kết quảtrong chương được viết dựa trên bài báo [18]

Để phục vụ chứng minh các định lý, trước hết ta đề cập một số bổđề

Xét bài toán quy hoạch toàn phương QP(Q, A, c, b) phụ thuộc tham số

Ta gọi hệ Ax ≥ b là chính quy nếu tồn tại x0 ∈ Rn sao cho:Ax0 > b

Bổ đề 2.1.1 Cho A ∈ Rm×n, b ∈ Rm Kí hiệu 2Rn là tập tất cả các tậpcon của Rn

Hệ Ax ≥ b là chính quy khi và chỉ khi hàm đa trị C(.) : Rm×n×Rm → 2Rn

Rõ ràng C(A, b) 6= φ.

Giả sử V là một tập mở trong Rn thỏa mãn C(A, b) ∩ V 6= φ

Lấy x ∈ C(A, ) ∩ V

Với mỗi t ∈ [0; 1], ta đặt xt := (1 − t)x + tx0

Vì khi xt → x thì t → 0 nên suy ra ∃t0 > 0 : xt0 ∈ V

Do Axt0 = (1 − t0)Ax + t0Ax0 > (1 − t0)b + t0b = b, nên ∃Ct0 > 0 saocho A0xt0 > b0 với ∀(A0, B0) ∈ Rm×n× Rm thỏa mãn:

k (A0, b0) − (A, b) k< Ct0 (2.2)

Do vậy, xt ∈ C(A0, b0) với ∀(A0, b0) (2.2)

Do đó, C(.) là nửa liên tục dưới tại (A, b)

- Ngược lại, nếu C(.) là nửa liên tục dưới tại (A, b) thì ∃C > 0 sao cho

Ax ≥ b0 giải được với ∀b0 ∈ Rm thỏa mãn b0 > 0 và k b0 − b k< C

Điều này suy ra Ax > b giải được

Chứng minh Cho C(A, b) là một tập compact khác rỗng và Sol(Q, A, 0, 0) ={0}.

Giả sử Sol(Q, A, c, b) = φ với một vài c ∈ Rn Theo định lý Frank Wolfe, tồn tại một dãy {xk} sao cho:Axk ≥ b với ∀k và:

Chia cả hai vế của bất đẳng thức (2.4) cho k xk k2 và cho k → ∞ ta có

hx, Qxi ≤ 0

Do k x k= 1, ta có Sol(Q, A, 0, 0) 6= {0} Điều này mâu thuẫn với giảthiết Sol(Q, A, 0, 0) = {0}

Do đó, Sol(Q, A, c, b) 6= φ với mỗi c ∈ Rn

- Giả sử ngược lại rằng Sol(Q, A, c, b) không bị chặn với một vài c ∈ Rn.Khi đó, tồn tại một dãy {xk} ⊂ Sol(Q, A, c, b) sao cho k xk k→ ∞ khi

k → ∞ và {k xk k−1 xk} hội tụ tới một x ∈ Rn đã biết

hx, Qxi ≥ 0, Ax ≥ 0

Do vậy, Sol(Q, A, 0, 0) 6= {0}, mâu thuẫn

Ta vừa chứng minh rằng với ∀c ∈ Rn, tập nghiệm Sol(Q, A, c, b) bị chặn

Cố định bất kỳ x ∈ Sol(Q, A, c, b), ta có:

Sol(Q, A, c, b) = {x ∈ C(A, b) : f (x, c, Q) = f (x, c, Q)}

Do vậy Sol(Q, A, c, b) là tập đóng, từ đó suy ra Sol(Q, A, c, b) là tậpcompact.

Bây giờ ta xây dựng định lý đầu tiên về tính liên tục của hàm giá trịtối ưu ϕ Định lý này cho một tập điều kiện cần và đủ cho tính liên tụccủa ϕ tại một điểm ω = (Q, A, c, b) khi ϕ có một giá trị hữu hạn

Chứng minh Điều kiện cần:

Đầu tiên ta giả sử rằng ϕ(.) là hàm liên tục tại ω := (Q, A, c, b) vàϕ(ω) 6= ±∞

Nếu (a) không thỏa mãn thì theo chú ý 2.1.1, tồn tại một dãy {(Ak, bk})trong Rm×n× Rm hội tụ tới (A, b) sao cho với mọi k, hệ Akx ≥ bk không

có nghiệm

Xét dãy {(Q, Ak, c, bk)}

Khi đó, C(Ak, bk) = φ, ϕ(Q, Ak, c, bk) = +∞ với mọi k

Vì ϕ(.) liên tục tại ω và {(Q, Ak, c, bk)} hội tụ tới ω, ta có:

lim

k→∞ϕ(Q, Ak, c, bk) = ϕ(Q, A, c, b) 6= ±∞

Ta vừa đi đến một mâu thuẫn Như vậy, (a) phải được thỏa mãn

Bây giờ ta giả sử rằng (b) không đúng Khi đó, tồn tại một véctơkhác không x ∈ Rn sao cho:

Ax ≥ 0, hx, Qxi ≤ 0 (2.7)

Xét dãy {Qk, A, c, b}, trong đó, Qk := Q − k1E, E là ma trận đơn vịtrong Rn×n

Từ giả thiết ϕ(ω) 6= ±∞, ta suy ra C(A, b) không bị chặn

Với mọi k, theo (2.7) ta có:

hx, Qkxi = hx, (Q − 1

kE)xi < 0.

Do đó, với x bất kỳ thuộc C(A, b) và với t > 0 tùy ý ta có x+tx ∈ C(A, b)và

f (x + tx, c, Qk) = 1

2hx + tx, Qk(x + tx)i + hc, x + txi → −∞ khi t → ∞Điều này suy ra với mọi k, Sol(Qk, A, c, b) = φ và ϕ(Qk, A, c, b) = −∞.Mâu thuẫn, vì ϕ(.) liên tục tại ω và ϕ(ω) 6= ±∞

Vậy (b) phải được thỏa mãn

Điều kiện đủ: Giả sử (a), (b) thỏa mãn và {Qk, Ak, ck, bk} ⊂ Ω làmột dãy hội tụ tới ω

Theo bổ đề 2.1.1:

"Cho A ∈ Rm×n, b ∈ Rm Hệ Ax ≥ b là chính quy khi và chỉ khi hàm đatrị C(.) : Rm×n× Rm → 2Rn xác định bởi :

C(A0, b0) = {x ∈ Rn : A0x ≥ b0}

là nửa liên tục dưới tại (A, b) "

Giả thiết (a) kéo theo sự tồn tại số k0 nguyên dương sao cho C(Ak, bk) 6=

Từ (2.8) và (2.13),

1

2hxk, Qkxki + hck, xki ≤ 1

2hyk, Qkyki + hck, yki (2.16)Chia cả hai vế (2.16) cho k xk k2 và lấy giới hạn khi k → ∞ ta nhậnđược:

hˆx, Qˆxi ≤ 0 (2.17)

Từ (2.15 ) và (2.17), ta có Sol(Q, A, c, b) 6= {0} Điều này mâu thuẫnvới (b) Chứng tỏ rằng dãy {xk, k ≥ k1} bị chặn Do đó nó có một dãycon hội tụ

Không giảm tổng quát, giả sử xk → ˜x ∈ Rn