Sự liên tục và sự khả vi của hàm hai biến

BáGI ODệCV OT O IHC N NG TRìNG I HC S× PH M NGUY N HUÝNH KH NH V N SÜ LI N TÖC V SÜ KH H MHAIBI N Chuy¶n ng nh: TO N GI VI CÕA I T CH LU NV NTăTNGHI P Ngữới hữợng dÔn khoa hồc TS L HO NG TR Nfing, Nam 2018 Líi c¡m ỡn Tổi xin b y tọ lặng bit ỡn sƠu sc i vợi (thy) TS Lả Ho ng Tr, ngữới  hữợng dÔn tổi tn tnh sut thới gian thỹc hiằn t i Tổi xin chƠn th nh c¡m ìn c¡c thƒy cỉ gi¡o Khoa To¡n - Tr÷íng i hồc Sữ phm - i hồc Nfing  tn t…nh gi£ng d⁄y v gióp ï tỉi suŁt qu¡ tr…nh håc t“p °c bi»t, tỉi xin ch¥n th nh cĂm ỡn bn b khõa 14ST  ng viản giúp ï tæi suŁt qu¡ tr…nh håc t“p v l m lu“n v«n Nfing, th¡ng nam 2018 T¡c gi£ Nguy„n Hnh Kh¡nh V¥n ii Mưc lưc Trang phư b…a Líi c¡m ìn Möc löc M— U Chữỡng - nh nghắa v 1.1 Mºt sŁ kh¡i ni»m v k‚t qu£ v• khỉng gian met 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.1.5 1.2 ành ngh¾a v tnh chĐt v sỹ liản tửc ca h m 1.2.1 1.2.2 1.2.3 Chữỡng - nh nghắa v 2.1 ⁄o h 2.1.1 2.1.2 2.2 Vi ph¥n 2.2.1 2.2.2 2.2.3 Chữỡng - Mt s v dử v cĂc h m kh£ vi v h m li¶n tưc K TLU N T ILI UTHAMKH O M Lỵ chồn u ti Cũng vợi khĂi niằm giợi hn, tnh liản tửc v t‰nh kh£ vi cıa h m sŁ l nhœng ki‚n thøc cì sð quan cıa gi£i t‰ch to¡n hồc CĂc khĂi niằm, tnh chĐt v nh lỵ v sü li¶n tưc, sü kh£ vi cıa h m sŁ thữớng xuyản ữổc khai thĂc cĂc ký thi Olympic quŁc gia, quŁc t‚ C¡c kh¡i ni»m, t‰nh ch§t, k‚t quÊ chứng minh v sỹ liản tửc, sỹ khÊ vi Gi£i t‰ch mºt bi‚n câ t‰nh trüc quan cao, d„ hi”n th… sang khỉng gian nhi•u chi•u t‰nh tru tữổng  tông lản rê rằt Tuy nhiản cĂi µp cıa To¡n håc n‹m sü trłu t÷ỉng v c¡i ‰ch cıa To¡n håc n‹m sü cö th” Xu§t ph¡t tł l‰ â, tỉi ti‚n h nh nghi¶n cøu n y nh‹m tr…nh b y l⁄i c¡c nh nghắa v tnh chĐt v sỹ liản tửc, sỹ kh£ vi cıa h m nhi•u bi‚n (cư th” l h m hai bin) giúp ngữới ồc nm rê cĂc ki‚n thøc cì b£n v tŒng qu¡t v• t‰nh li¶n tưc, kh£ vi cıa h m hai bi‚n (khỉng gian R ) tł n â d„ d ng kh¡i qu¡t khỉng gian R Mưc ti¶u v ni dung nghiản cứu t i H m s l mºt nhœng kh¡i ni»m cì b£n cıa gi£i tch toĂn hồc H m hai bin ữổc sò dửng rng rÂi nhiu lắnh vỹc khĂc ca khoa hồc v k thut Nhiu tnh chĐt ca h m ÷æc khai th¡c tri»t ” v l gi£ thi‚t khæng th thiu nhiu nghiản cứu: tnh liản tửc v t‰nh kh£ vi cıa h m sŁ Möc ‰ch cıa lun vôn l trnh b y li nhng nh nghắa, tnh chĐt c trững v sỹ liản tửc, sỹ khÊ vi cıa h m hai bi‚n v mºt sŁ v‰ dử liản quan n cĂc tnh chĐt n y Phữỡng phĂp nghiản cứu ồc, dch, tra cứu t i liằu tham khÊo, sĂch chuyản ng nh, trao i vợi thƒy, nghi¶n cøu khoa håc mºt c¡ch logic v h» thŁng BŁ cưc lu“n v«n BŁ cưc nºi dung gỗm ba phn: m u, ni dung chnh v kt lun Phn m u giợi thiằu t i ca lun vôn Phn ni dung gỗm ba chữỡng: - Chữỡng 1: CĂc kin thức v khổng gian metric gỗm mt s khĂi niằm v kt quÊ thữớng xuyản sò dửng nh nghắa v tnh chĐt v sỹ liản tửc cıa h m hai bi‚n - Ch÷ìng 2: C¡c ành nghắa v tnh chĐt v sỹ khÊ vi ca h m hai bi‚n - Ch÷ìng 3: Mºt sŁ v‰ dư v sỹ liản tửc v khÊ vi ca h m hai bi‚n Phƒn k‚t lu“n n¶u tâm t›t c¡c k‚t quÊ t ữổc ca lun vôn CHìèNG ÀNHNGHAV TNHCH TV SÜ LI NTƯCCÕAH MHAIBI N Ch÷ìng n y tr…nh b y kh¡i ni»m khæng gian metric v mt s tnh chĐt thữớng gp khổng gian metric; nh nghắa v h m hai bin v cĂc tnh chĐt v sỹ liản tửc ca h m hai bin 1.1 Mºt sŁ kh¡i ni»m v k‚t qu£ v• khỉng gian metric 1.1.1 Khỉng gian Metric ành ngh¾a 1.1.1.1: Gi£ sò X l mt tũy ỵ khĂc rỉng cho trữợc Ta gồi h m s d : X X ! R l mºt metric (hay kho£ng c¡ch) tr¶n X nu h m s n y thọa mÂn nhng iu ki»n sau: i) d (x; y) > 0, vỵi måi x; y X : d (x; y) = v ch¿ x = y ii) d (x; y) = d (y; x), vỵi måi x; y X iii) d (x; z) d (x; y) + d(y; z), vợi mồi x; y; z X, (bĐt flng thøc tam gi¡c) Khi â: d ÷ỉc gåi l mt metric trản X v Cp (X; d) ữổc gồi l khổng gian metric V dử 1.1.1.1: Kỵ hi»u R = f(x; y) : x; y Rg Vỵi måi (x1; y1); (x2; y2) R ,ta °t p d(x1; y1); (x2; y2) = Chøng minh: Vỵi måi (x1; y1); (x2; y2) thuºc R d(x1; y1); (x2; y2) = d(x1; y1); (x2; y2) = , p > y1 = y2 : , (x1; y1) = (x2; y2) p d(x1; y1); (x2; y2) = (x1 x2) + (y1 (x2 x1) + (y2 p = y2) y1) 2 = d(x2; y2); (x1; y1) Vỵi måi (x1; y1); (x2; y2); (x3; y3) thuºc R ,ta chøng minh: d(x1; y1); (x3; y3) d(x1; y1); (x2; y2) + d(x2; y2); (x3; y3) Hay nâi c¡ch kh¡c, ta ph£i chøng minh: p x3) + (y1 (x1 Th“t v“y, ta p y3) °t a1 = x1 a + a = x1 x2) + (y1 (x1 x2; b1 = y1 x3,b1 + b2 = y1 p y2) + y2; a2 = x2 (x2 x3) + (y2 x3; b2 = y2 y3) y3, â y3 Lóc n y, b§t phữỡng trnh trản tữỡng ữỡng vợi: q p (a1 + a2) + (b1 + b2) , 2 a1 2 + b1 + a1 + a2 + 2a1a2 + b1 + b2 + 2b1b2 q +2 , p 2 2 a1 + b a1a2 + a2 + b q b1b2a12 + b1 2 a2 + b2 2 2 a1 + a2 + b1 + b2 2 a2 + b2 (b§t flng thøc Bunyakovsky) V“y d l metric tr¶n R 2 V‰ dư 1.1.1.2: Cho X = R Vỵi måi (x1; y1); (x2; y2) R , ta °t d(x1; y1); (x2; y2) = jx1 Chøng minh: Vỵi måi (x1; y1); (x2; y2) thuºc R d(x1; y1 , > < > y1 = y2 : d(x1; y1); (x2; y2) = jx1 x2j + jy1 y2j = jx2 x1j + jy2 y1j = d(x2; y2); (x1; y1) Vỵi måi (x1; y1); (x2; y2); (x3; y3) thuºc R , ta chøng minh d(x1; y1); (x3; y3) d(x1; y1); (x2; y2) + d(x2; y2); (x3; y3) Hay nâi c¡ch kh¡c, ta ph£i chøng minh: jx1 x3j + jy1 y3j jx1 x2j + jy1 y2j + jx2 x3j + jy2 y3j Th“t v“y, ta câ: jx1 x2j + jx2 x3j jx1 x2 + x2 x3j = jx1 x3j jy1 y2j + jy2 y3j jy1 y2 + y2 y3j = jy1 y3j Cºng hai phữỡng trnh trản v theo v ta ữổc iu ph£i chøng minh V“y d l mºt metric tr¶n R 2 V‰ dö 1.1.1.3: Cho X = R Vỵi måi (x1; y1); (x2; y2) R , ta °t d(x1; y1); (x2; y2) = max fjx1 x2j ; jy1 y2jg Khi â d l mºt metric tr¶n R Chøng minh: D„ d ng chøng minh ữổc d thọa mÂn iu kiằn i),ii) theo nh nghắa 1.1.1.1 Ta kim tra iu kiằn iii), tức l max fjx1 x2j ; jy1 y2jg + max fjx2 (x3; y3) thuºc R Th“t v“y, ta x†t: N‚u jx1 x3j > jy1 jx1 x2j + jx2 N‚u jx1 x3j jy1 jy1 y2j + jy2 Khi â d l mt metric trản R b s gỗm n sŁ thüc Vỵi x = ( n V‰ dư 1.1.1.4: Kỵ hiằu R = v d (x; y) = u u X n jx t y j2 i i i=1 n Khi â d l mºt metric tr¶n R Chứng minh: Rê r ng d thọa mÂn cĂc iu ki»n i), ii) theo ành ngh¾a 1.1.1.1 Ta ki”m n tra iu kiằn iii), tức l chứng minh vợi mồi x; y; z R : v n u i=1 u X xi j vỵi måi t I H m sŁ f [x; y (t)] câ ⁄o h m tr¶n o⁄n ƒu mót x (t0) ; x (t) n¶n theo nh lỵ Lagrange: õ c thuc khoÊng cõ ƒu mót l T÷ìng tü: f [x (t0) ; y (t)] f [x (t0) ; y (t0)] = fy [x (t0) ; d] : [y (t) â d thuºc kho£ng câ ƒu mót l V“y: Cho t ! t0 v ⁄o h m ri¶ng li¶n tưc tr¶n G Cổng thức (1)  ữổc chứng minh Chú ỵ: a) Tr÷íng hỉp y = y (x) th… cỉng thøc (1) trð th nh: b) Cæng thøc (1) câ th” mð rºng sang tr÷íng hỉp x, y l h m sŁ cıa hai bi‚n sŁ x = x (s; t) ; y = y (s; t) vỵi c¡c gi£ thi‚t cıa h m sŁ nyl: Chóng x¡c ành tr¶n t“p mð G G v câ c¡c ⁄o R cho: (x (s; t) ; y (s; t)) h m ri¶ng t⁄i i”m (x0; y0) G Khi â h m sŁ hæp: F = f [x (s; t) ; y (s; t)] 28 cơng câ ⁄o h m ri¶ng t⁄i s0; t0 v : (s ; t ) = @s > @x [x (s ; t ) ; y (s ; t )] : 0 0 @F > < @F > > (s ; t ) = @t > > : Ho°c th÷íng ÷ỉc vit tt dữợi dng: > < > > @F > > > : 2.2.3 T‰nh b§t bi‚n cıa d⁄ng vi ph¥n( hay vi ph¥n cıa h m sŁ hỉp) Nhữ trản ta  thĐy nu x, y l cĂc bi‚n sŁ ºc l“p cıa h m sŁ z = f (x; y), ta câ cæng thøc: df = @f @f @x dx + @y dy V“y n‚u x, y l⁄i l h m sŁ cıa hai bi‚n sŁ s, t th cổng thức trản s bin i nhữ th n o? Ta bi‚t, â ta ÷ỉc mºt h m sŁ hæp: F = f [x (s; t) ; y (s; t)] nh lỵ 2.2.3.1: GiÊ sò h m sŁ z = f (x; y) x¡c ành tr¶n t“p mð E R câ c¡c ⁄o h m ri¶ng li¶n tưc tr¶n E v c¡c h m sŁ x (s; t) ; y (s; t) x¡c ành tr¶n t“p mð G R câ c¡c ⁄o h m ri¶ng li¶n tưc tr¶n G cho (x (s; t) ; y (s; t)) G Khi â, ta câ: dF = Chứng minh: Vợi cĂc giÊ thit ca nh lỵ, tỗn ti cĂc o h m riảng theo s; t cıa > > > : V… c¡c ⁄o h m riảng n y liản tửc nản theo nh nghắa, tỗn t⁄i vi ph¥n cıa h m sŁ hỉp v : 29 dF (s; t) = df [x (s; t) ; y (s; t)] = Thay (2) v o (3) rỗi gºp ri¶ng c¡c c¡c sŁ h⁄ng câ chøa @f dF = V… c¡c h m sŁ (s; t) ; y (s; t) cơng câ c¡c vi ⁄o h m ri¶ng liản tửc nản cụng tỗn ti cĂc phƠn dx; dy v : Thay (5) v o (4) ta ÷ỉc (1) Nhí k‚t qu£ n y, ta suy ÷ỉc nhœng cổng thức tnh vi phƠn cho h m nhiu bin ging nhữ cổng thức tnh vi phƠn i vợi h m mºt bi‚n Gi£ sß u; v l hai h m sŁ câ c¡c ⁄o h m ri¶ng li¶n tưc mºt t“p mð G Khi â: 1) d (u + v) = du + dv 2) d ( u) = du vỵi l h‹ng sŁ 3) d (uv) = vdu + udv 4) d 30 CHìèNG MáTSăV DệV C CH MKH VI V H MLI NTƯC Ch÷ìng n y t“p trung tr…nh b y mºt sŁ v‰ dö thữớng gp v cĂc h m khÊ vi v h m li¶n tưc V‰ dư Cho h m sŁ: f (x; y) = 2 > n‚u x + y = : H¢y chøng minh r‹ng: a) H m sŁ f (x; y) li¶n tưc t⁄i (0; 0) b) Câ c¡c ⁄o h m ri¶ng @f @x ; @f @y l nhœng h m bà ch°n c) f (x; y) khæng kh£ vi t⁄i i”m (0; 0) B i gi£i: a) Ta câ: Do â: lim f (x; y) = lim y!0 x!0 V“y f (x; y) li¶n tưc t⁄i (0; 0) b) T‰nh c¡c ⁄o h m ri¶ng 31 C¡c ⁄o h m ri¶ng @x f (0; 0) = f (x; y) f (0; 0) T÷ìng tü: fy (x; y) c) ” x†t t‰nh kh£ vi cıa f (x; y) t⁄i i”m (0; 0), ta x†t sŁ gia: f (0; 0) = f (x; y) f (0; 0) = Nh÷ v“y f (0; 0) câ d⁄ng: p Trong â: = x x2 + y2 ! chflng h⁄n cho xn = n; yn = n th… d (xn; yn) = r p p = ! nh÷ng " (xn; yn) = n V… v“y f (x; y) khæng kh£ vi t⁄i (0; 0) V‰ dö Cho h m sŁ: f (x; y) = x2 + y2 sin > x2 + y2 n‚u x2 + y2 6= < > : b) HÂy tnh cĂc o h m riảng on t⁄i i”m (0; 0) n‚u x2 + y2 6= @f @f @x ; @y Chøng minh r‹ng o h m riảng cĐp giĂn b) Chứng minh r‹ng h m f (x; y) kh£ vi t⁄i i”m (0; 0) B i gi£i: a) Ta câ: @f @x @f = 2x sin @y = 2y sin 32 x : sin f0 (0; 0) = lim x x!0 T÷ìng tü: fy (0; 0) = C¡c ⁄o h m ri¶ng f(xn; yn)g = f (xn; yn) = n ! x T÷ìng tü: fy (xn; yn) ! b) ” x†t t‰nh kh£ vi cıa f (x; y) t⁄i (0; 0) ta x†t sŁ gia cıa h m sŁ t⁄i i”m (0; 0): = Ta th§y " (x; y) l f (0; 0) = 0:x + 0:y + " (x; y) : f (x; y) kh£ vi t⁄i i”m (0; 0) p V‰ dö minh r‹ng h m sŁ @f Chøng h m ri¶ng B i gi£i: V… jf (x; y)j = y!0 lim f (x; y) = lim N¶n: x!0 @x p Nhữ vy f (x; y) liản tửc ti im (0; 0) Ta câ: x f 33 (0 ; T÷ìng tü: fy (0; 0) = Ta bi”u di„n sŁ gia f (0; 0) = f (0; 0) = p p â " (x; y) = Ta th§y " (x; y) khæng ph£i l (xn; yn) = n Theo ành ngh¾a th… f (x; y) = p V‰ dö X†t t‰nh kh£ vi cıa h m sŁ: B i gi£i: Ta câ: f X†t bi”u thøc: 0 f (0; 0) = fx (0; 0) :x + fy (0; 0) :y + e °t " (x; y) = px Nh÷ v“y: f (0; 0) = fx (0; 0) :x â " (x; y) l i”m (0; 0) 34 K‚t lu“n Trong lu“n v«n tổi trnh b y cử th cĂc vĐn v kh¡i ni»m v t‰nh ch§t cıa h m hai bi‚n li¶n tưc, h m hai bi‚n kh£ vi Mºt sŁ vĐn , kt quÊ ho n to n ging h m sŁ mºt bi‚n sŁ v c¡c t‰nh chĐt, nh lỵ cõ liản quan u ữổc trnh b y l⁄i mºt c¡ch chi ti‚t c¡c chøng minh 35 T ILI UTHAMKH O Nguy„n M⁄nh Qóy - Nguy„n XuƠn Liảm, Php tnh vi phƠn v tch phƠn ca h m nhiu bin s, NXB i hồc sữ phm, 2005 Nguy„n ành - Nguy„n Ho ng, H m sŁ bi‚n sŁ thüc (Cì gi£i t‰ch hi»n ⁄i), NXB Gi¡o dưc, 1999 L÷ìng H , Gi¡o tr…nh h m nhi•u bi‚n sŁ, NXB Gi¡o dưc ⁄i håc Hu‚ Trƒn øc Long - Nguy„n …nh Sang - Nguyn Vit Triu Tiản - Ho ng Quc To n, B i t“p gi£i t‰ch t“p 1, NXB ⁄i håc QuŁc gia H Nºi 36 ... v tnh chĐt v sỹ liản tửc ca h m hai bin - Chữỡng 2: CĂc nh nghắa v tnh chĐt v sỹ khÊ vi cıa h m hai bi‚n - Ch÷ìng 3: Mºt sŁ v dử v sỹ liản tửc v khÊ vi ca h m hai bi‚n Phƒn k‚t lu“n n¶u tâm t›t... tnh chĐt v sỹ liản tưc, sü kh£ vi cıa h m nhi•u bi‚n (cư th” l h m hai bi‚n) gióp ng÷íi åc n›m rª c¡c ki‚n thøc cì b£n v tŒng qu¡t v tnh liản tửc, khÊ vi ca h m hai bi‚n (khæng gian R ) tł n â... håc H m hai bi‚n ÷ỉc sò dửng rng rÂi nhiu lắnh vỹc khĂc ca khoa hồc v k thut Nhiu tnh chĐt ca h m ÷ỉc khai th¡c tri»t ” v l gi£ thit khổng th thiu nhiu nghiản cứu: tnh liản töc v t‰nh kh£ vi cıa