Một số kết quả về cận sai số của các hàm nửa liên tục dưới

Một số kết quả về cận sai số của các hàm nửa liên tục dưới

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Phạm Ngọc Hưng MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ CẬN SAI SỐ CỦA CÁC HÀM NỬA LIÊN TỤC DƯỚI Chuyên ngành: Toán Ứng dụng Mã số: 60 46 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. TRƯƠNG XUÂN ĐỨC HÀ Thái Nguyên - 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Lời cảm ơn Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Trương Xuân Đức Hà. Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô giáo, người hướng dẫn khoa học của mình, PGS.TS. Trương Xuân Đức Hà, người đã đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tác giả. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Tin học trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành bản luận văn này. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình, BGH trường THPT Thị xã Mường Lay - Điện Biên và các bạn trong lớp Cao học K4, đã động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mục lục Mở đầu 3 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Hàm nửa liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Nguyên lý biến phân Ekeland . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Giải tích lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1 Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.2 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.3 Dưới vi phân của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Một số dưới vi phân hàm không lồi . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.1 Dưới vi phân Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.2 Dưới vi phân xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.3 Dưới vi phân tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Điều kiện đủ cho sự tồn tại cận sai số 16 2.1 Điều kiện độ dốc mạnh và dưới vi phân hàm lồi . . . . . . . 16 2.1.1 Điều kiện độ dốc mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.2 Điều kiện dưới vi phân của hàm lồi . . . . . . . . . . 23 2.2 Điều kiện dưới vi phân tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.1 Điều kiện dưới vi phân tổng quát . . . . . . . . . . . 29 2.2.2 Điều kiện dưới vi phân Fréchet . . . . . . . . . . . . 31 2.2.3 Điều kiện dưới vi phân xấp xỉ . . . . . . . . . . . . 36 3 Một số áp dụng 40 3.1 Mối liên hệ giữa cận sai số và tính chính quy metric . . . . 40 3.2 Phân tích độ nhạy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Kết luận 52 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Tài liệu tham khảo 53 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Mở đầu Bài toán tìm điều kiện tồn tại cận sai số cho khoảng cách từ một điểm tới một tập mức của hàm nửa liên tục dưới đã được Hoffman nghiên cứu lần đầu trong [10]. Bài toán được phát biểu như sau: Cho một hàm nửa liên tục dưới f : X → R ∪ {+∞} xác định trên không gian metric đủ X, chúng ta nói rằng f có một cận sai số toàn cục tại mức α nếu tồn tại số thực dương τ thỏa mãn τd(x, [f(x) ≤ α]) ≤ (f(x) − α) + , ∀x ∈ X, trong đó [f ≤ α] := {x ∈ X : f(x) ≤ α}, d(x, [f ≤ α]) là khoảng cách từ điểm x đến tập [f ≤ α], và t + = sup(t, 0). Năm 1952, Hoffman đã đạt được các kết quả cho các hàm lồi đa diện dạng f(x) = max 1≤j≤m (a T j x + b j ), trong đó a 1 , · · · , a m ∈ R m và b 1 , · · · , b m ∈ R. Robinson [11] đã xét các hàm lồi không đa diện trong không gian định chuẩn thỏa mãn điều kiện Slater (inf X f < α) với tập [f ≤ α] bị chặn và thu được kết quả sau d(x, [f ≤ α]) ≤ r + ||x 0 || θ (f(x) − α), trong đó θ > 0, f(x 0 ) < α − θ, r là bán kính hình cầu gốc 0 chứa tập [f ≤ α]. Tiếp đó Mangasarian [12], Auslender - Crouzeix [13] và Klatte - Ly [14] đã thu được một điều kiện đủ cho sự tồn tại cận sai số của hệ tuyến tính với điều kiện tiệm cận. Trong trường hợp không lồi, kết quả đầu tiên về cận sai số thuộc về Ioffe [15], Ng-Zheng [16] và Wu-Ye [5]. Năm 1998, Penot nhận được kết quả trong trường hợp hàm tựa lồi. Các tính chất đầu tiên về cận sai số trong trường hợp hàm lồi được chứng minh bởi Corneia-jourari-Zalinesco [17], một số tính chất khác được thiết lập bởi Lewis-Pang [18], Lemaire[19],Zalinesco [20]. Sau đó, D.Aze nhận được một Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 số kết quả cho các hàm nửa liên tục dưới trong không gian metric đủ [1], [2]. Ngày nay, khái niệm cận sai số đóng vai trò quan trọng trong giải tích biến phân và toán học nói chung. Nó có mối liên hệ mật thiết với các vấn đề khác của toán học như: điều kiện tối ưu, tính chính quy metric, cực tiểu ε - xấp xỉ, phân tích độ nhạy (sensitivity Analysis), điều khiển tối ưu Mục đích của luận văn này là trình bày lại một cách tổng quan, có hệ thống những khái niệm và các kết quả cơ bản, quan trọng về cận sai số toàn cục đối với các hàm nửa liên tục dưới đã được đưa ra chủ yếu trong [1],[2], [3]. Sau đó chúng tôi trình bày một số ứng dụng thể hiện mối liên hệ giữa cận sai số và các vấn đề liên quan từ các bài báo [4],[5]. Luận văn gồm 3 chương Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ sở về các hàm nửa liên tục dưới, nguyên lý biến phân Ekeland, giải tích lồi, một số khái niệm dưới vi phân tổng quát của các hàm không lồi. Chương 2: Trình bày một số điều kiện đủ cho sự tồn tại cận sai số cho một hàm nửa liên tục dưới và cho bài toán chứa tham số. Các điều kiện này được thể hiện qua độ dốc mạnh, dưới vi phân của hàm lồi và dưới vi phân tổng quát. Chương 3: Trình bày một số ứng dụng của cận sai số, đó là tìm điều kiện đủ của tính chính quy metric và ứng dụng phân tích độ nhạy của bài toán tối ưu tổng quát. Do thời gian và khối lượng kiến thức lớn, chắc chắn bản luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, năm 2012 Tác giả Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày khái quát những kiến thức về hàm nửa liên tục dưới, nguyên lý biến phân Ekeland, giải tích lồi, dưới vi phân Fréchet, dưới vi phân xấp xỉ. Các kết quả chủ yếu được trích dẫn trong [6], [7],[8], [9]. 1.1 Hàm nửa liên tục Cho (X, d) là không gian metric và f : X → R ∪ {+∞} là hàm số xác định trên X. Kí hiệu dom(f) = {x ∈ X : f(x) < ∞} là miền hữu hiệu của f. C α (f) = {x ∈ X : f(x) ≤ α} là tập mức dưới của f. epi(f) = {x, α) ∈ X × R : f(x) ≤ α} là tập trên đồ thị của f. Định nghĩa 1.1.1. Cho (X, d) là không gian metric, một hàm f : X → R ∪ {+∞} gọi là hàm nửa liên tục dưới tại x 0 ∈ X nếu thỏa mãn f(x 0 ) ≤ lim inf x→x 0 f(x), trong đó lim inf x→x 0 f(x) = sup η>0 inf{f(x)|x ∈ X, ||x − x 0 || ≤ η}. Định nghĩa 1.1.2. Cho (X, d) là không gian metric, một hàm f : X → R ∪ {+∞} gọi là hàm nửa liên tục trên tại x 0 ∈ X nếu thỏa mãn f(x 0 ) ≥ lim sup x→x 0 f(x), Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 trong đó lim sup x→x 0 f(x) = inf η>0 sup{f(x)|x ∈ X, ||x − x 0 || ≤ η}. Ví dụ 1.1.3. 1) Hàm f(x) =  1 nếu x < 0 −1 nếu x ≥ 0 là hàm nửa liên tục dưới trên R. 2) Cho Ω ⊂ X là tập đóng, khi đó hàm chỉ số của Ω I Ω (x) =  0 nếu x ∈ Ω +∞ nếu x = Ω là nửa liên tục dưới trên Ω. 3) Hàm f : R → R xác định bởi f(x) =  3x 2 − 2 nếu x = 2 0 nếu x = 2 là hàm nửa liên tục dưới tại x = 2(nhưng không liên tục tại điểm này). Định lý 1.1.4. Cho (X, d) là không gian metric và hàm f : X → R ∪ {+∞}. Khi đó các khẳng định sau là tương đương: (i) f là hàm nửa liên tục dưới trên X. (ii) epi(f) = {x, α) ∈ X × R : f(x) ≤ α} là tập đóng trong X × R. (iii) C α (f) = {x ∈ X : f(x) ≤ α} là tập đóng trong X. Định lý 1.1.5. Một hàm f(x) nửa liên tục dưới trên tập compact X phải đạt cực tiểu trên tập ấy. Một hàm f(x) nửa liên tục trên trên một tập compact X phải đạt cực đại trên tập ấy. 1.2 Nguyên lý biến phân Ekeland Theo Định lý 1.1.5, nếu X là tập compact thì hàm nửa liên tục dưới f phải đạt cực tiểu trên X. Tuy nhiên nếu X không compact thì điều đó không còn đúng. Chẳng hạn chúng ta xét ví dụ sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 Ví dụ 1.2.1. Xét hàm số f : X = R × R → R xác định bởi f(x) = x 2 1 + (x 1 x 2 − 1) 2 , ∀x = (x 1 , x 2 ) ∈ X. Khi đó, dễ thấy f là hàm liên tục và f(x) ≥ 0, ∀x ∈ X, nhưng f không đạt cực tiểu trên X. Như vậy khi f bị chặn chúng ta có khái niệm cực tiểu xấp xỉ như sau: với ε > 0 cho trước, một điểm x ε ∈ X được gọi là ε - cực tiểu xấp xỉ của f trên X thỏa mãn inf x∈X f(x) ≤ f(x ε ) ≤ inf x∈X f(x) + ε. Năm 1974 [8], Ekeland đã chứng minh được trong không gian metric đầy đủ, nếu x ε là ε - cực tiểu xấp xỉ của một hàm nửa liên tục dưới thì chúng ta luôn tìm được một ε- cực tiểu xấp xỉ mới x ∗ tốt hơn và điểm này là cực tiểu chính xác của hàm "nhiễu" của f. Định lý 1.2.2. [8] Cho (X, d) là không gian metric đầy đủ và f : X → R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới và bị chặn dưới. Giả sử ε > 0 và x ε ∈ X thỏa mãn f(x ε ) ≤ inf X f + ε. Khi đó, với λ > 0 bất kì, tồn tại x ∗ ∈ X sao cho (i) d(x ∗ , x  ) < λ. (ii) f(x ∗ ) +   λ  d(x ∗ , x  ) ≤ f(x  ). (iii) f(x ∗ ) < f(x) +   λ  d(x, x ∗ ), ∀x ∈ X\{x ∗ }. 1.3 Giải tích lồi 1.3.1 Tập lồi Trong mục này chúng ta luôn giả thiết (X, || · ||) là không gian tuyến tính định chuẩn, X ∗ là không gian đối ngẫu của X. Với x ∗ ∈ X ∗ , x ∈ X ta kí hiệu < x ∗ , x >= x ∗ (x). Định nghĩa 1.3.1. Cho C là một tập con của X. Khi đó, C được gọi là một tập lồi nếu với mọi x, y ∈ C thì λx + (1 − λ)y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1]. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 Ví dụ 1.3.2. Các tập sau đây đều là các tập lồi: 1) Hình cầu B(a, r) = {x ∈ X : ||x − a|| < r}. 2) Các nửa không gian đóng {x ∈ R n :< a, x >≤ α}; {x ∈ R n :< a, x >≥ α}, hay các nửa không gian mở {x ∈ R n :< a, x >< α}; {x ∈ R n :< a, x >> α}, trong đó a ∈ R n , a = 0 và α ∈ R. Định nghĩa 1.3.3. Tập con M của X gọi là một nón nếu x ∈ M, λ ≥ 0 thì λx ∈ M. Nón M gọi là nón lồi nếu M là tập lồi. Ví dụ 1.3.4. Các tập sau đây là các nón lồi gốc tại 0: 1) R n + = {x = (x 1 , x 2 , , x n ), x i ≥ 0, i = 1, 2, , n} (orthan dương). 2) M = {(x, y) ∈ R × R : y ≥ |x|} . Mệnh đề 1.3.5. Cho C là một tập lồi trong X, x 0 ∈ C. Khi đó tập N(x 0 , C) = {t ∈ X ∗ :< t, x − x 0 >≤ 0, ∀x ∈ C} là một nón lồi. Đặc biệt, nếu x 0 ∈ intC thì N(x 0 , C) = {0}. Định nghĩa 1.3.6. Tập N(x 0 , C) được xác định trong Mệnh đề 1.3.5 được gọi là nón pháp tuyến của tập C. 1.3.2 Hàm lồi Định nghĩa 1.3.7. Hàm f : X → R ∪ {+∞} gọi là hàm lồi nếu với mọi x 1 , x 2 ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1] ta có f(λx 1 + (1 − λ)x 2 ) ≤ λf(x 1 ) + (1 − λ)f(x 2 ). Hàm f được gọi là hàm lõm trên X nếu −f là hàm lồi. Định nghĩa 1.3.8. Hàm f : X → R ∪{+∞} gọi là hàm lồi, chính thường nếu f là hàm lồi và domf = ∅. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... tại cận sai số Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về cận sai số của các hàm nửa liên tục dưới Sau đó chúng tôi trình bày một số điều kiện đủ cho sự tồn tại cận sai số Các công cụ được sử dụng là độ dốc mạnh, dưới vi phân hàm lồi và dưới vi phân tổng quát Nội dung chủ yếu trong chương này được trích dẫn trong [1], [2], [3] 2.1 2.1.1 Điều kiện độ dốc mạnh và dưới vi phân hàm lồi...9 Ví dụ 1.3.9 Các hàm số sau đây là các hàm lồi: 1) Hàm chỉ số của một tập lồi C IC (x) = 0 nếu x ∈ C +∞ nếu ngược lại 2) Hàm chuẩn của một véc tơ ||x||, với mọi x ∈ X 3) Hàm tựa của tập lồi C: sC (x) = sup < y, x > y∈C 4) Hàm khoảng cách từ một điểm x ∈ X đến tập lồi C: d(x, C) = inf ||x − y|| C Mệnh đề 1.3.10 Cho f : X → R ∪ {+∞} Khi đó các khẳng định sau là tương đương (i) f là hàm lồi trên X... và Jane J.Ye [5] đã thiết lập được một điều kiện đủ khác cho sự tồn tại cận sai số toàn cục đối với các hàm nửa liên tục dưới: Cho f : X → R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới trên không gian metric X, với 0 < ε ≤ +∞, σ > 0, giả sử [f ≤ σ] = ∅ và với mỗi x ∈ [0 < f < ε] tồn tại y ∈ X sao cho f (y) ≥ 0 và f (x) − f (y) ≥ σd(x, y) > 0 Khi đó, [f ≤ 0] = ∅ và σ0,ε (f ) ≥ σ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại... có một cận sai số toàn cục giữa mức α và β nếu tồn tại một số dương σ thỏa mãn f (x) − α ≥ σd(x, [f ≤ α]), với f (x) ∈ (α, β) Chúng ta thấy rằng nếu bất đẳng thức trong Định nghĩa 2.1.1 thỏa mãn với số σ > 0 thì nó cũng thỏa mãn với các số σ nhỏ hơn Do đó trong Định nghĩa 2.1.1 chúng ta sẽ quan tâm tới supremum của các số σ Định nghĩa 2.1.2 Cho X là không gian metric và f : R → R ∪ {+∞} là hàm nửa liên. .. . tại cận sai số Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về cận sai số của các hàm nửa liên tục dưới. Sau đó chúng tôi trình bày một số điều kiện đủ cho sự tồn tại cận sai số . Các. lồi, một số khái niệm dưới vi phân tổng quát của các hàm không lồi. Chương 2: Trình bày một số điều kiện đủ cho sự tồn tại cận sai số cho một hàm nửa liên tục dưới và cho bài toán chứa tham số. Các. tại cận sai số cho khoảng cách từ một điểm tới một tập mức của hàm nửa liên tục dưới đã được Hoffman nghiên cứu lần đầu trong [10]. Bài toán được phát biểu như sau: Cho một hàm nửa liên tục dưới