Một số kết quả về cận sai số của các hàm nửa liên tục dưới

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Phạm Ngọc Hưng MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ CẬN SAI SỐ CỦA CÁC HÀM NỬA LIÊN TỤC DƯỚI Chuyên ngành: Toán Ứng dụng Mã số: 60 46 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRƯƠNG XUÂN ĐỨC HÀ Thái Nguyên - 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học PGS TS Trương Xuân Đức Hà Qua đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô giáo, người hướng dẫn khoa học mình, PGS.TS Trương Xuân Đức Hà, người đưa đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu tác giả Đồng thời tác giả chân thành cảm ơn thầy cô khoa Toán - Tin học trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, tạo điều kiện cho tác giả tài liệu thủ tục hành để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả gửi lời cảm ơn đến gia đình, BGH trường THPT Thị xã Mường Lay - Điện Biên bạn lớp Cao học K4, động viên giúp đỡ tác giả trình học tập làm luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm nửa liên tục 1.2 Nguyên lý biến phân Ekeland 1.3 Giải tích lồi 1.3.1 Tập lồi 1.3.2 Hàm lồi 1.3.3 Dưới vi phân hàm lồi 1.4 Một số vi phân hàm không lồi 1.4.1 Dưới vi phân Fréchet 1.4.2 Dưới vi phân xấp xỉ 1.4.3 Dưới vi phân tổng quát Điều kiện đủ cho tồn cận sai số 2.1 Điều kiện độ dốc mạnh vi phân hàm lồi 2.1.1 Điều kiện độ dốc mạnh 2.1.2 Điều kiện vi phân hàm lồi 2.2 Điều kiện vi phân tổng quát 2.2.1 Điều kiện vi phân tổng quát 2.2.2 Điều kiện vi phân Fréchet 2.2.3 Điều kiện vi phân xấp xỉ 5 7 10 10 13 14 16 16 16 23 29 29 31 36 Một số áp dụng 40 3.1 Mối liên hệ cận sai số tính quy metric 40 3.2 Phân tích độ nhạy 46 Kết luận Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 52 http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 53 http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Bài toán tìm điều kiện tồn cận sai số cho khoảng cách từ điểm tới tập mức hàm nửa liên tục Hoffman nghiên cứu lần đầu [10] Bài toán phát biểu sau: Cho hàm nửa liên tục f : X → R ∪ {+∞} xác định không gian metric đủ X , nói f có cận sai số toàn cục mức α tồn số thực dương τ thỏa mãn τ d(x, [f (x) ≤ α]) ≤ (f (x) − α)+ , ∀x ∈ X, [f ≤ α] := {x ∈ X : f (x) ≤ α}, d(x, [f ≤ α]) khoảng cách từ điểm x đến tập [f ≤ α], t+ = sup(t, 0) Năm 1952, Hoffman đạt kết cho hàm lồi đa diện dạng f (x) = max1≤j≤m (aTj x + bj ), a1 , · · · , am ∈ Rm b1 , · · · , bm ∈ R Robinson [11] xét hàm lồi không đa diện không gian định chuẩn thỏa mãn điều kiện Slater (inf X f < α) với tập [f ≤ α] bị chặn thu kết sau d(x, [f ≤ α]) ≤ r + ||x0 || (f (x) − α), θ θ > 0, f (x0 ) < α − θ, r bán kính hình cầu gốc chứa tập [f ≤ α] Tiếp Mangasarian [12], Auslender - Crouzeix [13] Klatte - Ly [14] thu điều kiện đủ cho tồn cận sai số hệ tuyến tính với điều kiện tiệm cận Trong trường hợp không lồi, kết cận sai số thuộc Ioffe [15], Ng-Zheng [16] Wu-Ye [5] Năm 1998, Penot nhận kết trường hợp hàm tựa lồi Các tính chất cận sai số trường hợp hàm lồi chứng minh Corneia-jourari-Zalinesco [17], số tính chất khác thiết lập Lewis-Pang [18], Lemaire[19],Zalinesco [20] Sau đó, D.Aze nhận Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn số kết cho hàm nửa liên tục không gian metric đủ [1], [2] Ngày nay, khái niệm cận sai số đóng vai trò quan trọng giải tích biến phân toán học nói chung Nó có mối liên hệ mật thiết với vấn đề khác toán học như: điều kiện tối ưu, tính quy metric, cực tiểu ε - xấp xỉ, phân tích độ nhạy (sensitivity Analysis), điều khiển tối ưu Mục đích luận văn trình bày lại cách tổng quan, có hệ thống khái niệm kết bản, quan trọng cận sai số toàn cục hàm nửa liên tục đưa chủ yếu [1],[2], [3] Sau trình bày số ứng dụng thể mối liên hệ cận sai số vấn đề liên quan từ báo [4],[5] Luận văn gồm chương Chương 1: Trình bày kiến thức sở hàm nửa liên tục dưới, nguyên lý biến phân Ekeland, giải tích lồi, số khái niệm vi phân tổng quát hàm không lồi Chương 2: Trình bày số điều kiện đủ cho tồn cận sai số cho hàm nửa liên tục cho toán chứa tham số Các điều kiện thể qua độ dốc mạnh, vi phân hàm lồi vi phân tổng quát Chương 3: Trình bày số ứng dụng cận sai số, tìm điều kiện đủ tính quy metric ứng dụng phân tích độ nhạy toán tối ưu tổng quát Do thời gian khối lượng kiến thức lớn, chắn luận văn tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận bảo tận tình thầy cô bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, năm 2012 Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày khái quát kiến thức hàm nửa liên tục dưới, nguyên lý biến phân Ekeland, giải tích lồi, vi phân Fréchet, vi phân xấp xỉ Các kết chủ yếu trích dẫn [6], [7],[8], [9] 1.1 Hàm nửa liên tục Cho (X, d) không gian metric f : X → R ∪ {+∞} hàm số xác định X Kí hiệu dom(f ) = {x ∈ X : f (x) < ∞} miền hữu hiệu f Cα (f ) = {x ∈ X : f (x) ≤ α} tập mức f epi(f ) = {x, α) ∈ X × R : f (x) ≤ α} tập đồ thị f Định nghĩa 1.1.1 Cho (X, d) không gian metric, hàm f : X → R ∪ {+∞} gọi hàm nửa liên tục x0 ∈ X thỏa mãn f (x0 ) ≤ lim inf f (x), x→x0 lim inf f (x) = sup inf{f (x)|x ∈ X, ||x − x0 || ≤ η} x→x0 η>0 Định nghĩa 1.1.2 Cho (X, d) không gian metric, hàm f : X → R ∪ {+∞} gọi hàm nửa liên tục x0 ∈ X thỏa mãn f (x0 ) ≥ lim sup f (x), x→x0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn lim sup f (x) = inf sup{f (x)|x ∈ X, ||x − x0 || ≤ η} η>0 x→x0 Ví dụ 1.1.3 1) Hàm f (x) = −1 x < x ≥ hàm nửa liên tục R 2) Cho Ω ⊂ X tập đóng, hàm số Ω IΩ (x) = +∞ x ∈ Ω x = Ω nửa liên tục Ω 3) Hàm f : R → R xác định f (x) = 3x2 − x = x = hàm nửa liên tục x = 2(nhưng không liên tục điểm này) Định lý 1.1.4 Cho (X, d) không gian metric hàm f : X → R ∪ {+∞} Khi khẳng định sau tương đương: (i) f hàm nửa liên tục X (ii) epi(f ) = {x, α) ∈ X × R : f (x) ≤ α} tập đóng X × R (iii) Cα (f ) = {x ∈ X : f (x) ≤ α} tập đóng X Định lý 1.1.5 Một hàm f (x) nửa liên tục tập compact X phải đạt cực tiểu tập Một hàm f (x) nửa liên tục trên tập compact X phải đạt cực đại tập 1.2 Nguyên lý biến phân Ekeland Theo Định lý 1.1.5, X tập compact hàm nửa liên tục f phải đạt cực tiểu X Tuy nhiên X không compact điều không Chẳng hạn xét ví dụ sau: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 1.2.1 Xét hàm số f : X = R × R → R xác định f (x) = x21 + (x1 x2 − 1)2 , ∀x = (x1 , x2 ) ∈ X Khi đó, dễ thấy f hàm liên tục f (x) ≥ 0, ∀x ∈ X , f không đạt cực tiểu X Như f bị chặn có khái niệm cực tiểu xấp xỉ sau: với ε > cho trước, điểm xε ∈ X gọi ε - cực tiểu xấp xỉ f X thỏa mãn inf f (x) ≤ f (xε ) ≤ inf f (x) + ε x∈X x∈X Năm 1974 [8], Ekeland chứng minh không gian metric đầy đủ, xε ε - cực tiểu xấp xỉ hàm nửa liên tục tìm ε- cực tiểu xấp xỉ x∗ tốt điểm cực tiểu xác hàm "nhiễu" f Định lý 1.2.2 [8] Cho (X, d) không gian metric đầy đủ f : X → R ∪ {+∞} hàm nửa liên tục bị chặn Giả sử ε > xε ∈ X thỏa mãn f (xε ) ≤ inf f + ε X Khi đó, với λ > bất kì, tồn x∗ ∈ X cho (i) d(x∗ , x ) < λ (ii) f (x∗ ) + λ d(x∗ , x ) ≤ f (x ) (iii) f (x∗ ) < f (x) + 1.3 1.3.1 λ d(x, x∗ ), ∀x ∈ X\{x∗ } Giải tích lồi Tập lồi Trong mục giả thiết (X, || · ||) không gian tuyến tính định chuẩn, X ∗ không gian đối ngẫu X Với x∗ ∈ X ∗ , x ∈ X ta kí hiệu < x∗ , x >= x∗ (x) Định nghĩa 1.3.1 Cho C tập X Khi đó, C gọi tập lồi với x, y ∈ C λx + (1 − λ)y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 1.3.2 Các tập sau tập lồi: 1) Hình cầu B(a, r) = {x ∈ X : ||x − a|| < r} 2) Các nửa không gian đóng {x ∈ Rn :< a, x >≤ α}; {x ∈ Rn :< a, x >≥ α}, hay nửa không gian mở {x ∈ Rn :< a, x >< α}; {x ∈ Rn :< a, x >> α}, a ∈ Rn , a = α ∈ R Định nghĩa 1.3.3 Tập M X gọi nón x ∈ M, λ ≥ λx ∈ M Nón M gọi nón lồi M tập lồi Ví dụ 1.3.4 Các tập sau nón lồi gốc 0: 1) Rn+ = {x = (x1 , x2 , , xn ), xi ≥ 0, i = 1, 2, , n} (orthan dương) 2) M = {(x, y) ∈ R × R : y ≥ |x|} Mệnh đề 1.3.5 Cho C tập lồi X , x0 ∈ C Khi tập N (x0 , C) = {t ∈ X ∗ :< t, x − x0 >≤ 0, ∀x ∈ C} nón lồi Đặc biệt, x0 ∈ intC N (x0 , C) = {0} Định nghĩa 1.3.6 Tập N (x0 , C) xác định Mệnh đề 1.3.5 gọi nón pháp tuyến tập C 1.3.2 Hàm lồi Định nghĩa 1.3.7 Hàm f : X → R ∪ {+∞} gọi hàm lồi với x1 , x2 ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1] ta có f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) Hàm f gọi hàm lõm X −f hàm lồi Định nghĩa 1.3.8 Hàm f : X → R ∪ {+∞} gọi hàm lồi, thường f hàm lồi domf = ∅ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... bày lại cách tổng quan, có hệ thống khái niệm kết bản, quan trọng cận sai số toàn cục hàm nửa liên tục đưa chủ yếu [1],[2], [3] Sau trình bày số ứng dụng thể mối liên hệ cận sai số vấn đề liên quan... sở hàm nửa liên tục dưới, nguyên lý biến phân Ekeland, giải tích lồi, số khái niệm vi phân tổng quát hàm không lồi Chương 2: Trình bày số điều kiện đủ cho tồn cận sai số cho hàm nửa liên tục. .. 1.1.3 1) Hàm f (x) = −1 x < x ≥ hàm nửa liên tục R 2) Cho Ω ⊂ X tập đóng, hàm số Ω IΩ (x) = +∞ x ∈ Ω x = Ω nửa liên tục Ω 3) Hàm f : R → R xác định f (x) = 3x2 − x = x = hàm nửa liên tục x = 2(nhưng