Hệ thống lại một số kết quả đã biết về Metric Kobayashi, tính hyperbolic của đa phức, một số chú ý về Metric Kobayashi

Header Page of 149 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THỊ HOÀN MỘT SỐ CHÚ Ý VỀ METRIC KOBAYASHI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học TS Lê Tài Thu HÀ NỘI, 2016 Footer Page of 149 Header Page of 149 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến TS Lê Tài Thu, người thầy định hướng chọn đề tài nhiệt tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập trường Hà Nội, tháng 12 năm 2016 Tác giả Trần Thị Hoàn Footer Page of 149 Header Page of 149 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, bảo hướng dẫn TS Lê Tài Thu, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài:“Một số ý metric Kobayashi ” hoàn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 12 năm 2016 Tác giả Trần Thị Hoàn Footer Page of 149 Header Page of 149 Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm chỉnh hình biến 1.2 Hàm chỉnh hình nhiều biến 11 1.3 Hàm điều hòa 18 1.4 Định lý Hartogs 22 1.5 Đa tạp phức 26 Chương Một số ý metric Kobayashi 29 2.1 Metric vi phân 30 2.2 Đa tạp Hyperbolic 36 2.3 Tính taut tính đầy 38 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 Footer Page of 149 Header Page of 149 Mở đầu Lý chọn đề tài Shoshichi Kobayashi (1932 - 2012) nhà toán học người Nhật Bản, ông nhà toán học có đóng góp quan trọng lĩnh vực hình học vi phân nửa cuối kỉ XX Ông để lại di sản toán học vô lớn lĩnh vực hình học vi phân Một số sách Kobayashi tài liệu tham khảo có giá trị hình học vi phân hình học phức, mà số hai tập sách “Foundations of Differential Geometry”(1963 – 1969) ông Katsumi Nomizu đồng tác giả Lý thuyết không gian phức Hyperbolic Kobayashi xây dựng lần vào năm 70 kỉ XX, hướng nghiên cứu quan trọng giải tích phức Trong năm gần đây, lý thuyết thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới Bằng nhiều cách tiếp cận khác nhau, nhà toán toán học mở rộng vấn đề có liên quan giải nhiều toán đặt lĩnh vực Những công trình nghiên cứu thúc đẩy hướng nghiên cứu phát triển mạnh mẽ Metric Kobayashi Pseudometric (hay giả khoảng cách Kobayashi) đa tạp phức, Kobayashi giới thiệu năm 1967, từ hình thành Footer Page of 149 Header Page of 149 hướng nghiên cứu giải tích phức gọi giải tích phức Hyperbolic Với mong muốn tìm hiểu sâu metric Kobayashi, định hướng người hướng dẫn, chọn đề tài: “Một số ý metric Kobayashi” để thực luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành toán giải tích Mục đích nghiên cứu Hệ thống lại số kết biết metric Kobayashi trình bày số ý metric Kobayashi Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu metric Kobayashi, số ý metric Kobayashi Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu metric Kobayashi số ý metric Kobayashi Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu metric Kobayashi đa tạp phức Phương pháp nghiên cứu Áp dụng số phương pháp Giải tích phức, vận dụng kết hình học giải tích phức, giải tích phức nhiều biến Sử dụng phương pháp phân tích tổng hợp tài liệu có Từ hệ thống lại vấn đề liên quan đến luận văn Footer Page of 149 Header Page of 149 Những đóng góp đề tài Hệ thống lại số kết biết metric Kobayashi, tính hyperbolic đa tạp phức Trình bày số ý metric Kobayashi Footer Page of 149 Header Page of 149 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm chỉnh hình biến Định nghĩa 1.1.1 Giả sử Ω ⊂ C tập tùy ý cho trước Một hàm biến phức Ω với giá trị phức ánh xạ f : Ω → C Hàm ký hiệu ω = f (z), z ∈ Ω Định nghĩa 1.1.2 Cho hàm f xác định tập tùy ý Ω ⊂ C với giá trị C z0 điểm tụ Ω hữu hạn điểm xa vô tận Số phức a ∈ C gọi giới hạn hàm f (z) z dần đến z0 viết lim f (z) = a z→z0 với lân cận V a tồn lân cận U z0 cho f (z) ∈ V với z ∈ U ∩ Ω, z = z0 Hàm f gọi liên tục z0 hai điều kiện sau thỏa mãn Footer Page of 149 Header Page of 149 (i) z0 điểm cô lập Ω Nói cách khác tồn lân cận U z0 (trong Ω) cho U ∩ Ω = {z0 } (ii) Nếu z0 không điểm cô lập Ω lim f (z) = f (z0 ) z→z0 Hàm f gọi liên tục Ω liên tục z ∈ Ω Hàm f gọi liên tục Ω nếu: ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀z1 , z2 = ∞, z1 , z2 ∈ Ω, |z1 − z2 | < δ |f (z2 ) − f (z1 )| < ε Rõ ràng f liên tục Ω hàm liên tục Ω Định lý 1.1.1 Nếu f liên tục tập compact K ⊂ C f liên tục K Định lý 1.1.2 Nếu f liên tục tập compact K ⊂ C hàm z → |f (z)| đạt cận cận K , tức tồn a, b ∈ K để |f (a)| = sup |f (z)| |f (b)| = inf |f (z)| z∈K Định lý 1.1.3 Nếu f liên tục tập compact K ⊂ C, f (K) ⊂ C compact Định nghĩa 1.1.3 Cho hàm số f xác định miền Ω ⊂ C Xét giới hạn f (z + ∆z) − f (z) , z, z + ∆z ∈ Ω ∆z→0 ∆z Nếu điểm z giới hạn tồn gọi đạo hàm phức lim f z , ký hiệu f (z) hay df dz (z) Như f (z + ∆z) − f (z) ∆z→0 ∆z f (z) = lim Footer Page of 149 Header Page 10 of 149 Hàm f có đạo hàm phức z gọi khả vi phức hay C - khả vi z Sau điều kiện Cauchy - Riemann Giả sử f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy xác định miền Ω ⊂ C Hàm f gọi R2 - khả vi z = x + iy hàm u(x, y) v(x, y) khả vi (x, y) Định lý 1.1.4 Hàm f C - khả vi z = x + iy ∈ Ω điều kiện cần đủ hàm f phải R2 - khả vi z điều kiện Cauchy - Riemann sau thỏa mãn z ∂u ∂x ∂u ∂y (x, y) = ∂v ∂y (x, y) , ∂v (x, y) = − ∂x (x, y) (1.1) Nhận xét 1.1.1 i) Nói cách khác hàm R2 - khả vi z C - khả vi ∂f (z) = ∂z ii) Từ (1.1) nhận xét trên, f C - khả vi z ta có ∂f ∂u ∂v ∂u ∂v (z) = (z) + i (z) − i (z) + (z) ∂z ∂x ∂x ∂y ∂y = ∂u ∂v ∂u ∂v (z) + 2i (z) = (z) + i (z) = f (z) ∂x ∂x ∂y ∂y Định nghĩa 1.1.4 Hàm f xác định miền Ω ⊂ C với giá trị C gọi hàm chỉnh hình z0 ∈ Ω tồn r > để f C - khả vi z ∈ D(z0 , r) ⊂ D Nếu f chỉnh hình z ∈ Ω ta nói f chỉnh hình Ω Nhận xét 1.1.2 Ta mở rộng định nghĩa nêu tới trường hợp Ω miền tùy ý C, f ánh xạ từ Ω vào C phép đảo nghịch 10 Footer Page 10 of 149 Header Page 28 of 149 Định nghĩa 1.5.5 Giả sử f : M → N song ánh đa tạp phức Nếu f f −1 ánh xạ chỉnh hình f gọi ánh xạ song chỉnh hình M N 28 Footer Page 28 of 149 Header Page 29 of 149 Chương Một số ý metric Kobayashi Cho X đa tạp phức n chiều, kí hiệu ∆R = {z : |z| < R} đĩa mặt phẳng phức Hàm d∗X : X × X −→ [0; ∞] (p, q) −→ d∗X (p, q) = inf R+1 log , R−1 đây, infimum lấy tất số thực R > 1, cho tồn ánh xạ φ : ∆R → X , với φ(0) = p, φ(1) = q d∗ = ∞ ánh xạ Rõ ràng d∗ (p, q) = d∗ (q, p) f : X → Y chỉnh hình f giảm khoảng cách, tức d∗Y (f (p), f (q)) ≤ d∗X (p, q) Đặc biệt, Y ⊂ X d∗X ≤ d∗Y Hàm d∗ không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác, nhiên Kobayashi (xem [3]) giới thiệu giả metric dX xác định k d∗X (pi , pi+1 ) dX (p, q) = inf i=0 Ở đây, infimum lấy tất dãy hữu hạn {p0 , p1 , , pk } với p0 = p, pk = q Khi dX giả metric X , ta gọi giả metric Kobayashi 29 Footer Page 29 of 149 Header Page 30 of 149 Chú ý dX (p, q) ≤ d∗X (p, q) giá trị dX hữu hạn Với số nguyên k , xác định k (k) dX (p, q) d∗X (pi , pi+1 ), = inf i=0 với infimum lấy tất dãy {p0 , p1 , , pk } độ dài k , với p0 = p, pk = q , (k+1) dX (k) (p, q) ≤ dX (p, q), (k) dX (p, q) = lim dX (p, q) k→∞ Nếu ∆ = ∆r đĩa C d∆ d∗∆ khoảng cách Poincare ∆, tức d∗∆ (z, ξ) |r2 − zξ| + r|z − ξ| = d(z, ξ) = log 2 |r − zξ| − r|z − ξ| Nếu D đa đĩa ∆r1 × ∆r2 × × ∆rn Cn dD (z, ξ) = d∗D (z, ξ) |ri2 − zi ξi | + ri |zi − ξi | = max log i |ri − zi ξi | − ri |zi − ξi | Do dD tương đương với metric Euclid D Sự tương đương tập compact D D Với điểm đa tạp X chứa đa đĩa D dD ≥ dX , ta thấy topo cảm sinh X dX yếu topo chuẩn X Nếu dX metric cảm sinh topo chuẩn X ( xem Định lý 2.2.1) 2.1 Metric vi phân Trong phần này, giả sử dX cảm sinh topo chuẩn X , dX metric Ta metric Kobayashi dX dạng tích phân FX 30 Footer Page 30 of 149 Header Page 31 of 149 Nếu (x, ξ) phần tử phân thớ tiếp xúc X , ta định nghĩa FX (x, ξ) = inf : ∃φ ∈ Hol(∆R , X), φ(0) = x, φ (0) = ξ R Với đĩa ∆R C, ta có F∆R (z, dz) = Rdz R2 − |z|2 Với đa đĩa D = ∆r1 × × ∆rn , ta có FD (x, ξ) = max i ri |ξi | ri2 − |xi |2 Từ định nghĩa FX , ta có định lý sau: Định lý 2.1.1 Nếu f : Y → X ánh xạ chỉnh hình, FX (f (x), f ∗ ξ) ≤ FY (x, ξ) Ở đây, f ∗ ξ phân thớ n chiều gọi ánh xạ kéo lùi ξ f Đặc biệt, Y ⊂ X FX (x, ξ) ≤ FY (x, ξ) Nếu (x, y; ξ, η) phần tử phân thớ tiếp xúc X ×Y , với (x, ξ),(y, η) phần tử phân thớ tiếp xúc X Y FX×Y (x, y; ξ, η) = max(FX (x, ξ), FY (y, η)) Định lý 2.1.2 Hàm FX không âm, ta có FX (x, αξ) = |α|.FX (x, ξ) Nếu K tập compact chứa đa đĩa tồn số Ck cho FX (x, ξ) ≤ Ck ||ξ||, ∀x ∈ K ||ξ|| = max |ξi | Chứng minh Nếu ψ(z) = φ(α.z) ψ(0) = α.φ (0) ψ ánh xạ từ đĩa bán kính |α|−1 R vào X , FX (x, αξ) = |α|FX (x, ξ) Từ đa đĩa D ta có FX (x, ξ) ≤ FD (x, ξ) = max i 31 Footer Page 31 of 149 ri |ξi | ≤ Ck ||ξ||, ri − |xi |2 Header Page 32 of 149 |xi | bị chặn từ ri K Để thiết lập tính quy F , ta cần bổ đề sau: Bổ đề 2.1.1 Giả sử φ ánh xạ đĩa ∆R vào X với φ (0) = Khi với r < R, tồn λ > ánh xạ chỉnh hình f đa đĩa ∆r × ∆λ × × ∆λ vào X , cho f ánh xạ song chỉnh hình lân cận điểm gốc f |∆r ×0× ×0 = φ|∆r Chứng minh bổ đề trường hợp tổng quát phức tạp, ta xem xét trường hợp X ⊂ Cn Trong trường hợp này, chọn tọa độ Cn cho φ (0) = (1, 0, , 0) xác định ánh xạ g : ∆R × Cn−1 → Cn cho bởi: g (t1 , , tn ) = φ1 (t1 ) g k (t1 , , tn ) = φk (t1 ) + tk , ≤ k ≤ n Khi g hàm chỉnh hình ∆R × Cn−1 song chỉnh hình lân cận điểm gốc Hơn nữa, g|∆R ×0× ×0 = φ Cho H = g −1 [X] tập Dλ = ∆r × ∆λ × × ∆λ Khi Dλ họ tập compact giảm mà giao chúng chứa H Do Dλ ⊂ H với vài giá trị λ Lấy f = g|Dλ Bổ đề sau hệ trực tiếp Bổ đề 2.1.1 định nghĩa FX Bổ đề 2.1.2 Giả sử ε > (x, ξ) phần tử phân thớ tiếp xúc X Cho τ1 = (1, 0, , 0) phần tử không gian tiếp xúc Cn Khi đó, tồn ánh xạ chỉnh hình f đa đĩa D vào X song chỉnh hình lân cận mà f (0) = x, f ∗ τ1 = ξ FD (0, τ1 ) < FX (x, ξ) + ε Định lý 2.1.3 Hàm FX nửa liên tục trên phân thớ tiếp xúc X 32 Footer Page 32 of 149 Header Page 33 of 149 Chứng minh Chọn ε > (x, ξ) phần tử phân thớ tiếp xúc X Lấy f : D → X ánh xạ chỉnh hình thỏa mãn điều kiện Bổ đề 2.1.2 Từ FD liên tục, tồn lân cận U (0, τ1 ) D cho FD (t, τ ) < FD (0, τ1 ) + ε, (t, τ ) ∈ D Vì f song chỉnh hình lân cận 0, (f, f ∗ ) ánh xạ từ U lên tập chứa lân cận V (x, ξ) Nếu (y, η) ∈ V y = f (t), η = f ∗ (τ ), với (t, τ ) ∈ U ta có FX (y, η) = FX (f (t), f ∗ (τ )) ≤ FD (t, τ ) < FD (0, τ1 ) + ε < FX (x, ξ) + 2ε Do vậy, FX nửa liên tục Lấy γ đường cong khả vi X , lấy x : [a, b] → X tham số · hóa γ Từ x, x ánh xạ liên tục vào phân thớ tiếp xúc X · FX nửa liên tục trên, hàm FX (x, x) nửa liên tục trên [a, b] Do bị chặn đo được, ta xác định độ dài γ cho b l(γ) = · FX (x(t), x(t))dt FX = γ a Từ FX ξ , tích phân độc lập với tham số hóa chọn Định lý dX dạng tích phân FX Định lý 2.1.4 Metric Kobayashi dX dạng tích phân FX , tức dX (p, q) = inf FX dt γ Ở đây, infimum lấy đường cong khả vi γ nối p với q Chứng minh Từ d(p, q) = inf FX dt lấy đường cong khả γ 33 Footer Page 33 of 149 Header Page 34 of 149 vi γ nối p với q Từ Định lý 2.1.2, ta suy FX bị chặn trên, kéo theo điều tương tự cận lấy đường cong khả vi khúc nối p với q Do vậy, d giả metric d ≤ dX , từ d(p, q) ≤ d∗X (p, q) Lấy φ ánh xạ ∆R vào X với φ(0) = p, φ(1) = q , R+1 log < d∗X (p, q) + ε R−1 Cho γ ảnh [0, 1] φ Khi d(p, q) ≤ FX dt ≤ γ F∆ R = R+1 log ≤ d∗X (p, q) + ε R−1 Do d ≤ dX Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại, ta lấy γ đường cong khả vi nối p với q cho FX dt < d(p, q) + ε, γ lấy x(t) tham số hóa γ với ≤ t ≤ · Từ FX (x(t), x(t)) nửa liên tục trên [0, 1], giới hạn dãy giảm hàm số liên tục [0, 1] Do từ định lý hội tụ Lebesgue, tồn hàm liên tục h [0, 1] cho · h(t) > F (x(t), x(t)), h(t)dt < d(p, q) + ε Từ h liên tục, khả tích Riemann có δ > cho = t0 < t1 < < tk = phân hoạch [0, 1] với ti+1 −ti < δ 34 Footer Page 34 of 149 Header Page 35 of 149 s1 , , sk điểm [0, 1], với |si − ti | < δ , k h(si )(ti − ti−1 ) < d(p, q) + ε i=1 Với s ∈ [0, 1], tồn ánh xạ f D = ∆R × ∆λ × × ∆λ vào M cho · < h(s), f (0) = x(s), f (0) = x(s), R f song chỉnh hình lân cận điểm gốc Như vậy, tồn khoảng mở Is chứa s để Is ta có x = fo y , y ánh xạ khả vi Is vào D với y(s) = (0, 0, , 0) y (s) = (1, 0, , 0) Từ y(t) = (t − s, 0, , 0) + 0(|t − s|2 ) kéo theo từ khai triển dD đa đĩa sau dD (y(t), y(u)) ≤ (1 + ε) |t − u| < (1 + ε)h(s)|t − u|, R với t u khoảng đủ nhỏ Is chứa s Ta giả sử độ dài Is nhỏ δ Metric Kobayashi giảm ánh xạ chỉnh hình dX (x(t), x(u)) ≤ (1 + ε)h(s)|t − u|, với t, u ∈ Is Từ bổ đề Lebesgue(xem [2], p.154)), tồn η > cho t, u ∈ [0, 1] |t − u| < η tồn s với t, u ∈ Is Lấy = t0 < t1 < < tk = phân hoạch [0, 1], với ti −ti−1 < η , chọn si cho ti , ti−1 ∈ Isi Khi |ti − si | < δ ti − ti−1 < δ độ dài Isi nhỏ δ Do k dX (p, q) = dX (x(0), x(1)) ≤ dX (x(ti ), x(ti−1 )) i=1 k ≤ ( + ε) h(si )(ti − ti−1 ) < ( + ε)(d(p, q) + ε) i=1 35 Footer Page 35 of 149 Header Page 36 of 149 Từ ε tùy ý, ta có dX (p, q) ≤ dX (p, q) 2.2 Đa tạp Hyperbolic Định nghĩa 2.2.1 Đa tạp X gọi hyperbolic điểm x có lân cận U x số dương c cho FX (y, η) ≥ c.||η||, ∀y ∈ U Ta nói X hyperbolic hyperbolic điểm x ∈ X Ví dụ 2.2.1 i) Đĩa ∆r đa đĩa ∆m r đa tạp Hyperbolic ii) Miền bị chặn ∆m đa tạp Hyperbolic Định nghĩa 2.2.2 Đa tạp X gọi hyperbolic Kobayashi dX metric Trong phần tính hyperbolic hyperbolic Kobayashi tương đương Sau đó, Wu (xem [5]) đưa định nghĩa: Định nghĩa 2.2.3 Đa tạp phức X với metric d tương thích với topo tight họ ánh xạ chỉnh hình đĩa ∆ vào X đồng liên tục Định nghĩa 2.2.4 Họ F ánh xạ không gian topo M vào không gian topo N gọi họ even lấy x ∈ M, y ∈ N lân cận U y , tồn lân cận V x lân cận W y cho với f ∈ F , ta có f [V ] ⊂ U với f (x) ∈ W Sự đồng liên tục F metric cảm sinh topo Y , kéo theo F họ even( xem Kelley[2], p.237) 36 Footer Page 36 of 149 Header Page 37 of 149 Định lý 2.2.1 Giả sử X đa tạp phức Khi điều kiện sau tương đương: i) Họ Hol(∆, X) ánh xạ chỉnh hình từ đĩa ∆ vào X đồng liên tục với metric d cảm sinh topo X , tức (X, d) tight; ii) Họ Hol(∆, X) họ even; iii) X Hyperbolic; iv) dX metric, tức X hyperbolic Kobayashi; v) Metric Kobayashi dX cảm sinh topo X Chứng minh (i) ⇒ (ii) suy từ Kelley( xem [2], p.237) (ii) ⇒ (iii) Giả sử D đa đĩa điểm x Từ ánh xạ đĩa đơn vị ∆ vào X họ even, tồn đĩa ∆δ lân cận W x cho, φ(0) = y ∈ W φ[∆δ ] ⊂ D Nếu ánh xạ φ từ ∆R vào X với φ(0) = y ∈ W φ[∆δR ] ⊂ D Do với y ∈ W, ta có δFD (y, η) ≤ FX (y, η) Ta giả sử W tập compact D Khi với y ∈ W, ta có FX (y, η) ≥ δFD (y, η) ≥ c.||η||, với c > X hyperbolic x (iii) ⇒ (iv) suy từ Định lý 2.1.1 (iv) ⇒ (v) Cho ρ metric cảm sinh topo chuẩn X Topo cảm sinh dX yếu topo thông thường để chứng minh chúng tương đương ta cần rằng, với lân cận D điểm x, tồn ε > cho dX (x, y) < ε, kéo theo y ∈ D Ta lấy D đa đĩa ||z|| < a, với x = Lấy S = z ∈ D : ||z|| = a Khi đó, S compact Từ dX (x, y) liên tục hàm y topo thông thường, tồn 37 Footer Page 37 of 149 Header Page 38 of 149 y0 ∈ S cho inf dX (x, y) = dX (x, y0 ) y∈S Bởi (iv), dX (x, y0 ) = ε > Nếu u không thuộc đĩa D = z ∈ D : ||z|| ≤ a đường cong khả vi γ nối x với u phải qua điểm y ∈ S Vì vậy, độ dài γ phải lớn độ dài phần từ x đến y mà nhỏ ε Do dX (x, u) ≥ ε, {v : dX (x, v) < ε} ⊂ D Do vậy, dX cảm sinh topo thông thường (v) ⇒ (i) suy từ tính chất ánh xạ chỉnh hình giảm khoảng cách với metric Kobayashi Hệ 2.2.1 Nếu X hyperbolic họ Hol(Y, X) ánh xạ chỉnh hình từ Y vào X họ even Mệnh đề 2.2.1 Giả sử X đa tạp hyperbolic m chiều Y đa tạp n chiều với n ≤ m Nếu tồn ánh xạ chỉnh hình f : Y → X mà Jacobian có hạng n nơi Y hyperbolic Trong trường hợp đặc biệt, miền đa tạp hyperbolic hyperbolic, miền bị chặn Cn hyperbolic Tích X × Y hai đa tạp hyperbolic hyperbolic Chứng minh Điều suy trực tiếp từ Định lý 2.1.1 định nghĩa hyperbolic Sau số kết biết tính taut tính đầy 2.3 Tính taut tính đầy Định nghĩa 2.3.1 Họ F ⊂ Hol(∆, X) họ chuẩn tắc dãy F có dãy hội tụ phân kì compact Định nghĩa 2.3.2 Đa tạp phức Hyperbolic gọi Hyperbolic đầy dãy Cauchy dX hội tụ X 38 Footer Page 38 of 149 Header Page 39 of 149 Wu (xem [5]) đưa định nghĩa đa tạp taut sau: Định nghĩa 2.3.3 Đa tạp phức X taut họ Hol(∆, X) ánh xạ chỉnh hình từ đĩa ∆ vào X họ chuẩn tắc Nghĩa dãy {fn } ⊂ Hol(∆, X) tồn dãy {fnk } hội tụ Hol(∆, X), tập compact K ⊂ ∆ tập L ⊂ X , tồn n0 ∈ Z cho: fn (K) ∩ L = ∅, với n > n0 Mệnh đề 2.3.1 Nếu X taut hyperbolic FX liên tục phân thớ tiếp xúc Định lý 2.3.1 Giả sử X đa tạp phức, phát biểu sau tương đương: i) X taut; ii) Với số nguyên k ≥ 2, số thực dương r điểm x ∈ X , tập (k) y : dX (x, y) ≤ r compact; iii) Với r > x ∈ X , tập: y : d(2) (x, y) ≤ r compact Định nghĩa 2.3.4 Đa tạp X gọi đa tạp hyperbolic đầy hyperbolic dX metric đầy Định lý Hopf-Rinow-Myers trình bày sau: Định lý 2.3.2 Giả sử X đa tạp hyperbolic, phát biểu sau tương đương: i) X đa tạp hyperbolic đầy; ii) Với x ∈ X r > 0, tập {y : dX (x, y) ≤ r} compact; iii) Mỗi phép đẳng cự [0, a) vào X thác triển đến phép đẳng cự [0, a] Hệ 2.3.1 Đa tạp hyperbolic đầy taut 39 Footer Page 39 of 149 Header Page 40 of 149 ∼ ∼ Định lý 2.3.3 Nếu X đa tạp phủ X X hyperbolic đầy X hyperbolic đầy Tích hai đa tạp hyperbolic đầy đa tạp hyperbolic đầy Nếu X Y đa tạp hyperbolic đầy đa tạp V X ∩ Y hyperbolic đầy Bổ đề 2.3.1 Giả sử U V miền đa tạp hyperbolic X Với x ∈ U , định nghĩa d∗ (x) = d∗V (x, V ∼ U ) = inf d∗V (x, y) y∈V ∼U Khi FV (x, ξ) ≤ FU ∩V (x, ξ) ≤ ctghd∗ (x).FV (x, ξ) Định lý 2.3.4 Giả sử X đa tạp hyperbolic V miền cho V đầy dX Khi V đa tạp hyperbolic đầy điểm biên V ( tức là, điểm V ∼ V ) tồn lân cận U mà U ∩ V đa tạp hyperbolic đầy Chú ý V đầy V compact X đầy Do V miền bị chặn Cn , ta có V đầy metric Kobayashi đa đĩa lớn chứa V Định lý 2.3.5 Giả sử V miền đa tạp hyperbolic X giả sử V đầy dX Khi V đa tạp hyperbolic đầy với điểm biên x V , tồn đa đĩa D chứa x hàm f D, với f (x) = f = D ∩ V 40 Footer Page 40 of 149 Header Page 41 of 149 Kết luận Qua trình tìm hiểu, luận văn hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu đề Luận văn trình bày cách hệ thống khái niệm như: Hàm chỉnh hình, hàm điều hòa dưới, số tính chất hàm chỉnh hình hàm điều hòa Giới thiệu định lý Hartogs nhắc lại định nghĩa đa tạp phức Luận văn trình bày số ý metric Kobayashi số kết liên quan Do lực nghiên cứu trình độ thân tác giả hạn chế nên luận văn chắn khó tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong góp ý thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện 41 Footer Page 41 of 149 Header Page 42 of 149 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2005), Hàm biến phức, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội [B] Tài liệu Tiếng Anh [2] J L Kelley (1955), General topology, Van Nostrand, Princeton, N J [3] S Kobayashi (1967), Invarriant distances on complex manifolds and holomorphic mappings, J Math Soc Japan 19, 460 – 480 [4] H L Royden (1971), Remarks on the Kobayashi metric, Springer Berlin Heidelberg, 125 – 137 [5] H Wu(1967), Normal families of holomorphic mappings, Acta Math 119, 193 – 233 42 Footer Page 42 of 149 ... giải tích Mục đích nghiên cứu Hệ thống lại số kết biết metric Kobayashi trình bày số ý metric Kobayashi Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu metric Kobayashi, số ý metric Kobayashi Đối tượng phạm vi... of 149 Header Page of 149 Những đóng góp đề tài Hệ thống lại số kết biết metric Kobayashi, tính hyperbolic đa tạp phức Trình bày số ý metric Kobayashi Footer Page of 149 Header Page of 149 Chương... Nghiên cứu metric Kobayashi số ý metric Kobayashi Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu metric Kobayashi đa tạp phức Phương pháp nghiên cứu Áp dụng số phương pháp Giải tích phức, vận dụng kết hình học