Một số kết quả nghiên cứu gần đây về các ánh xạ chỉnh hình tách biến

Header Page of 16 AI HOC THAI NGUYấN TRNG AI HOC S PHAM DNG TH HNG NGC MT S KT QU NGHIấN CU GN Y V CC NH X CHNH HèNH TCH BIN CHUYấN NGANH : TON GII TICH MA S : 60.46.01 LUN VN THAC SI TON HC NGI HNG DN KHOA HOC: TS NGUYN TH TUYT MAI Thỏi Nguyờn- 2010 Footer Page 1Sofhúa 16.bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 AI HOC THAI NGUYấN TRNG AI HOC S PHAM DNG TH HNG NGC MT S KT QU NGHIấN CU GN Y V CC NH X CHNH HèNH TCH BIN LUN VN THAC SI TON HC Thỏi Nguyờn- 2010 Footer Page 2Sofhúa 16.bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 Footer Page 3Sofhúa 16.bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 MC LC Trang M u .1 Chng Kin thc chun b 1.1 Min xp x 1.2 Tp a cc .9 1.3 Hm cc tr tng i 1.4 o a iu ho di .10 1.5 nh x chnh hỡnh tỏch .11 1.6 Tớnh cht thỏc trin Hartogs 14 1.7 Lý thuyt Poletsky v cỏc a v nh lý ca Rosay trờn cỏc a chnh hỡnh 15 Chng Mt s kt qu nghiờn cu gn õy v ỏnh x chnh hỡnh tỏch bin 17 2.1 Dng tng quỏt ca nh lý Alehyane - Zeriehi trng hp A D , B G 17 2.2 Bi toỏn trng hp A D , B G .23 2.3 Bi toỏn trng hp tng quỏt 36 2.4 Bi toỏn 51 2.5 Mt s ỏp dng 55 Kt lun .58 Ti liu tham kho 59 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 M U Nghiờn cu v ỏnh x chnh hỡnh tỏch bin l mt nhng hng nghiờn cu quan trng ca gii tớch phc Nhng kt qu c bn lnh vc ny gn lin vi cỏc tờn tui nh Riemann, Hartogs, Oka, Bernstein Ngy nay, nhiu nh toỏn hc trờn th gii tip tc quan tõm n trờn bng nhng cỏch tip cn khỏc nhm gii quyt c nhng bi toỏn c th t lnh vc ú Trong ú cú hai bi toỏn c bn sau: Bi toỏn 1: Cho X ,Y l hai a phc, gi s D ( tng ng G ) l mt m ca X (tng ng Y ), A (tng ng B ) l mt ca D (tng ng G ) v Z l khụng gian gii tớch phc Ta nh ngha ch thp nh sau: W : ((D ẩ A ) B ) ẩ (A (G ẩ B )) Bao chnh hỡnh ca ch thpW l mt m ''ti u'' ca c c trng bi cỏc tớnh cht sau: X Y ký hiu l W Vi mi ỏnh x f :W Z tho f (a , ) ẻ C(G ẩ B , Z ) ầ O (G , Z ), a ẻ A , f (,b) ẻ C(D ẩ A , Z ) ầ O (D , Z ), b ẻ B , ,Z ) cho vi mi (z,h ) ẻ W , f (z , w ) dn ti thỡ tn ti mt ỏnh x f ẻ O (W dn ti (z, h ) f (z , h ) (z ,w ) ẻ W Trc núi n bi toỏn th hai ta a mt vi thut ng v ký hiu sau: Cho X ,Y , D ,G , A , B v Z vW nh bi toỏn 1.Gi s M W , hp M a : w ẻ G : (a ,w ) ẻ M ,a ẻ A , c gi l th thng ng ca M trờn a (tng ng M b : z ẻ D : (z ,b) ẻ M ,b ẻ B , c gi l th nm ngang ca M trờn b ) S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 Ta núi rng M cú tớnh cht no ú cỏc th trờn A (tng ng B ) nu tt c cỏc th thng ng M a ,a ẻ A , (tng ng tt c cỏc th nm ngang M b ,b ẻ B , ) cú tớnh cht ny l bao chnh hỡnh ca W c Bi toỏn 2: Vi gi thit trờn v ký hiu W a bi toỏn Vi mi M W a cc a phng úng tng i(tng ng mng) cỏc th trờn A v B (cú th M ặ) thỡ W l a cc a phng úng tn ti mt tp"ti u" cỏc im k d M tng i (tng ng l gii tớch úng tng i) c c trng bi cỏc tớnh cht sau Vi mi ỏnh x f :W Z tho f (a , ) ẻ C((G ẩ B ) \ M a ,Z ) ầ O (G \ M a ,Z ), a ẻ A, f (,b) ẻ C((D ẩ A ) \ M b ,Z ) ầ O (D \ M b ,Z ), bẻ B, ,Z ) cho vi mi (z,h) ẻ W \ M , f (z , w ) dn \M thỡ tn ti ỏnh x f ẻ O (W dn ti (z, h ) \M ti f (z , h ) (z ,w ) ẻ W Cú rt nhiu nh toỏn hc ó nghiờn cu gii quyt hai bi toỏn trờn mt s trng hp c th Kt qu ch yu u tiờn ca chnh hỡnh tỏch l nh lý thỏc trin Hartogs i vi cỏc hm chnh hỡnh tỏch (xem [9]) gii quyt bi toỏn trng hp X n ,Y m , A D , B G , Z v D G S dng hm cc tr tng i, Siciak ó gii quyt kt qu l W bi toỏn trng hp A D , B G , X Y , Z Cỏc bc nghiờn cu tip theo c bt u bi Zahariuta vo nm 1976 sau ú l Nguyn Thanh Võn v Zeriahi Shiffman l ngi u tiờn tng quỏt hoỏ mt s kt qu ca Siciak i vi cỏc ỏnh x chnh hỡnh tỏch vi giỏ tr khụng gian gii tớch phc (xem [33]) S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 Vo nm 2001 Alehyane v Zeriahi ó gii quyt bi toỏn trng hp A D , B G v X ,Y l cỏc a Stein, Z l khụng gian gii c cho bi tớch phc cú tớnh cht thỏc trin Hartogs Bao chnh hỡnh W : (z , w ) ẻ D G ) : w (z , A , D ) w (w , B ,G ) < , W (, A , D ) v w (, B ,G ) l cỏc hm o a iu ho di ú w Bi toỏn c bt u vi mt bi bỏo ca Oktem nm 1998 (xem [24, 26]) Trong cụng trỡnh gn õy ca mỡnh Henkin v Shananin ó a mt vi ỏp dng kt qu ca Bernstein lý thuyt chnh hỡnh tỏch m c th l i vi bi toỏn ú l kt qu chung nht hng nghiờn cu ny Nguyn Vit Anh ó tng quỏt hoỏ cỏc kt qu nghiờn cu xung quanh hai bi toỏn v bi toỏn trng hp X ,Y l cỏc a tu ý Ch yu tỏc gi s dng lý thuyt Poletsky v cỏc a, nh lý Rosay trờn cỏc a chnh hỡnh v nh lý Alehyane - Zeriehi Ngoi ra, tỏc gi ó dng mt k thut quan trng khỏc l s dng cỏc mc ca o a iu ho di, nh lý ch thp hn hp Mc ớch ca lun l nghiờn cu v trỡnh by li, cựng nhng chng minh chi tit mt s kt qu nghiờn cu gn õy v ỏnh x chnh hỡnh tỏch bin Ni dung lun gm phn m u, hai chng chớnh, kt lun v danh mc cỏc ti liu tham kho Chng 1: Kin thc chun b Trong chng ny chỳng tụi trỡnh by cỏc khỏi nim xp x, a cc, hm cc tr tng i, o a iu ho di, ch thp v ỏnh x chnh hỡnh tỏch, khụng gian phc cú tớnh cht thỏc trin Hartogs S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 Phn cui chng, chỳng tụi trỡnh by cỏc kt qu liờn quan v mt s ca lý thuyt a th v nh lý thuyt Poletsky v cỏc a v nh lý Rosay trờn cỏc a chnh hỡnh Chng 2: Mt s kt qu nghiờn cu gn õy v ỏnh x chnh hỡnh tỏch bin Chỳng tụi trỡnh by cỏc nh lý l cỏc trng hp riờng v trng hp tng quỏt ca bi toỏn 1v bi toỏn Lun c hon thnh di s hng dn tn tỡnh ca cụ giỏo T.S Nguyn Th Tuyt Mai Nhõn dp ny em xin by t lũng bit n sõu sc nht i vi cụ Em xin chõn thnh cm n Ban ch nhim Khoa Toỏn trng i hc s phm Thỏi Nguyờn cựng cỏc thy cụ giỏo ó tn tỡnh ging dy chỳng em sut khoỏ hc Tụi xin chõn thnh cm n Ban giỏm hiu Trng THPT Phỳ Bỡnh v T Toỏn ó ht sc quan tõm to mi iu kin thun li nht cho tụi sut quỏ trỡnh hc v nghiờn cu Xin chõn thnh cm n gia ỡnh, ng nghip v bn bố ó ng viờn khớch l tụi sut quỏ trỡnh hon thnh, bo v lun ny S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 CHNG KIN THC CHUN B Trong lun ny, ta gi thit tt c cỏc a phc l hu hn chiu v m c vụ cc, tt c cỏc khụng gian gii tớch phc c thu gn, bt kh quy v m c vụ cc Vi mt S ca khụng gian tụpụ M , ký hiu S l bao úng ca S M Vi hai khụng gian gii tớch phc (tng ng, hai khụng gian tụpụ) D v Z , O (D ,Z ) ( tng ng C(D , Z ) ) l ký hiu tt c cỏc ỏnh x chnh hỡnh ( tng ng, liờn tc) t D vo Z 1.1 Min xp x 1.1.1 nh ngha Cho X l mt a phc v D X l mt m Mt h cỏc xp x ca D l mt hp A= (Aa (z ))z D ,a I (I z vi z mi z ẻ D ) cỏc m ca D cú cỏc tớnh cht sau: (i) Vi mi z ẻ D , h (Aa (z ))a I z to nờn mt c s cỏc lõn cn m ca z (tc l vi mi lõn cn m U ca mt im z ẻ D tn ti a ẻ I z cho z ẻ Aa (z ) U ) (ii) Vi mi z ẻ D v a ẻ I z , z ẻ Aa (z ) Aa (z ) thng c gi l mt xp x ti z Hn na A c gi l chớnh tc nu nú tho (i) v tớnh cht sau (mnh hn (ii)) (ii') Vi mi im z ẻ D tn ti mt c s gm cỏc lõn cn m (U a )a I z ca z X cho Aa (z ) U a ầ D , a ẻ I z Nhiu loi h ca cỏc xp x khỏc thng gp gii tớch phc s c mụ t phn tip theo Cỏc h ca cỏc xp x ca S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 10 of 16 D c s dng gii quyt gii hn ti cỏc im D ca cỏc ỏnh x xỏc nh trờn mt s m ca D Hn na t nh ngha 1.1.1 suy rng mt vi trng hp c bit h (Aa (z ))z D ,a I z khụng ph thuc vo vic chn h cỏc xp x A Vỡ vy hai h chớnh tc ca cỏc xp x bt k l tng ng, ta cú quy c nh sau: Vi mi m D X chỳng ta c nh mt h chớnh tc ca cỏc xp x Khi ú mun xỏc nh mt h cỏc xp x A ca mt m D X ta ch cn ch rừ h (Aa (z ))z D ,a I z Nu ta c nh mt m D X v mt h cỏc xp x A= (Aa (z ))z D ,a I ca D thỡ vi mi hm u : D , nh ngha z (A limsup u )(z ) : sup limsup u (w ) , z ẻ D a Iz ,wAa (z ), w z T nh ngha 1.1.1(i), (A limsup u ) |D trựng vi khỏi nim hm chớnh quy hoỏ na liờn tc trờn thụng thng ca u 1.1 Mt s h cỏc xp x Cú rt nhiu h cỏc xp x cú ng dng gii tớch phc Trong phn ny chỳng ta s gii thiu mt s cỏc h ú 1.1.2.1 H chớnh tc ca cỏc xp x H chớnh tc ca cỏc xp x c a nh ngha 1.1.1 (i)-(ii') 1.1.2.2 H cỏc xp x gúc vi a n v m Cho E l mt a n v m ca t z t Aa (z ) : t ẻ E : arg < a , z ẻ E ,0 < a < , z S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 10 of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 52 of 16 48 G Â: w ẻ G : w(w , B ầV ,G ) < (2.50) T (2.49) v (2.50) ta cú f (z , w ) f (z , h0 ) ( 02 )1w (w ,B ầV ,G ) , z ẻ A ầU , w ẻ G ' Vy f f (z , h0 ) X (A ầU ,B ầV ;D Â ,G Â ) < (2.51) Xột hm g : X(A ầU , B ầV ;E ' ,G ' ) cho bi g(z ,w ) (z ,w ) (z , h0 ) (2.52) p dng kt qu ca bc ta cú th xõy dng mt hm (A ầU , B ầV ; D Â ,G Â ), ) t g ging nh cỏch xõy dng g ẻ O (X hm , ) t f Hn na kt hp (2.41) v (2.52) ta cú f ẻ O (W (A ầU , B ầV ; D ' ,G ' ) g f f (z , h0 ) trờn X (2.53) Mt khỏc t cụng thc (2.52) v (2.51) ta thy | g |X (A ầU ,B ầV ;D ' ,G ' ) kt hp vi (2.53) v (2.50) suy ( A limsup f (z , w ) f (z , h0 ) )(z , h0 ) Vy A lim f f trờn A B Bõy gi ta xột (z , h0 ) ẻ A G , s dng gii hn cui v cỏch chng minh bc ta cú th thy rng A lim f (z , h0 ) f (z , h0 ) Bc 4: Chng minh tớnh nht ca f S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 52 of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 53 of 16 49 , ) l mt hm b chn nhn A - gii Chng minh bc 4: Gi s g ẻ O (W ta hn f (z , h ) ti mi im (z , h ) ẻ W C nh mt im tu ý (z , w ) ẻ W tho f (z ,w ) g (z ,w ) Vỡ c hai hm f (z ,) v cn ch rng g 0 0 g (z , ) u b chn v chnh hỡnh trờn - mc ca G tng ng i vi B : G ,B : w ẻ G : w(w , B ,G ) < w(z , A , D ) Trong ú : w(z , A , D ) Mt khỏc chỳng nhn A - gii hn f (z , h) ti mi im h B v f (z , ) g (z , ) trờn G ,B suy (z , w ) f (z , w ) g 0 Vy f l hm nht Ta cú iu phi chng minh Chng minh nh lý 2.3.1: Theo gi thit ca Ư ta thy Ư thỏc trin ti ỏnh x (cng ký hiu bi) Ư xỏc nh trờn X(A ẩ A , B ẩ B ;D ,G ) cho Ư l chnh hỡnh tỏch trờn X0 (A ẩ A , B ẩ B ;D ,G ) v f ẵ b chn a phng X ( A ,B ;D ,G ) Vi mi P ẻ (A ),U P l song chnh hỡnh ti mt m dP Hn na ỏnh x f P : f ẵX ( P ,B ;U P ,G ) tho gi thit ca mnh 2.3.4 (P , B ;U ,G ),Z ) tho Khi ú ta xỏc nh c nht ỏnh x f P ẻ O (X P ầ B ;U ,G ) (A lim f P )(z , w ) f (z , w ), (z , w ) ẻ X(P , B P Cho < (2.54) s dng (2.54) ta cú th hp h ( f P ẵ UP , G )P ( A) A c ỏnh x f ẻ O (A G , Z ) (A ,Q ;D ,V ),Z ) tho Tng t vi mi Q ẻ (B ) cú nht ỏnh x fQ ẻ O (X Q S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 53 of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 54 of 16 50 (A lim fQ )(z , w ) f (z , w ), (z , w ) ẻ X(A ầ A ,Q ; D ,V Q ) (2.55) Hn na ta cú th hp h ( fQ ẵ c ỏnh x D V )Q (B ) Q, B f ẻ O (D B , Z ) Tip theo Nguyn Vit Anh chng minh A B f f trờn A B (2.56) Thc vy t (2.54) v (2.55) rừ rng vi mi P ẻ (A ) v Q ẻ (B ) v mi 0< ta cú f P (z ,w ) fQ (z , w ), (z , w ) ẻ U P , VQ , Mt khỏc t (2.54) v (2.55) thỡ (A lim f P )(z , w ) (A lim fQ )(z , w ) f (z , w ), (z , w ) ẻ X(P ,Q ;U P ,V Q ) Vỡ U P (tng ng V Q ) l song chnh hỡnh ti mt dP (tng ng dQ ) nờn ỏp dng tớnh nht ca mnh 2.3.4 ta cú (P ,Q ;U ,V ) f P (z , w ) fQ (z ,w ), (z ,w ) X P Q suy (2.56) c chng minh T (2.56) chỳng ta cú th nh ngha mt ỏnh x mi f : X0 (A , B ; D ,G ) Z nh sau f A , trờn A G , f : B f ,trờn D B (2.57) S dng cụng thc (2.57) ta cú th kim tra f ẻ Os (X0 (A , B ; D ,G ),Z ) Do A (tng ng B ) l mt m ca D (tng ng G ) nờn ta cú th ỏp dng nh lý 2.1 cho f vi mi < T ú ta cú ỏnh x (A , B ; D ,G ), Z ) cho nht f ẻ O (X S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 54 of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 55 of 16 51 f f trờn X0 (A , B ;D ,G ) (2.58) T (2.54)-(2.55) v (2.57)-(2.58) ta cú A lim f f trờn X(A ầ A , B ầ B ;D ,G ) Vi mi < v mi (z ,w ) ẻ A B cú P ẻ (A ) cho A z ẻ U P ,0 vỡ th ta xõy dng c ỏnh x f (2.57) v (2.58) nh sau f (z , w ) f P (z , w ) f (z , w ) Suy f f trờn A B vi < Khi ú f f trờn X(A , B ;D0 ,G0 ) , < Vy f : lim f trờn W k k 2.4 Bi toỏn Bi toỏn khỏi quỏt hoỏ bi toỏn i vi trng hp ta thờm mt cỏc im k d M i vi ch thp Jarnicki - Pflug ó gii quyt c bi toỏn trng hp X ,Y l cỏc Riemann-Stein, D X ,G Y l cỏc nh lý 2.4.1(Jarnicki-Pflug) Cho X ,Y l cỏc Riemann-Stein, D X ,G Y l cỏc v A D , B G l cỏc khụng a cc Gi s O (D , Z ) ( tng ng O (G , ) ) tỏch cỏc im D (tng ng trongG ) Cho M W l mt úng tng i m l a cc (tng ng mng) cỏc th trờn A v B S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 55 of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 56 of 16 52 Khi ú tn ti mt a cc úng tng i ( tng ng gii W cho tớch úng tng i ) M ầW ầW M (i) M (ii) Vi mi hm f nh gi thit ca bi toỏn vi Z thỡ , ) cho f f trờn (W ầW )\M \M tn ti mt hm nht f ẻ O (W Mt cỏc hng nghiờn cu cỏc nh lý ch thp vi gii tớch hoc cỏc im k d a cc l cỏc ch thp trng hp A D , B G (xem vớ d [14,15,16,18]) Cõu hi ny sinh mt cỏch t nhiờn rng liu cú tn ti mt nh lý ch thp tng quỏt vi cỏc im k d khụng? Tc l tn ti dng tng quỏt ca nh lý 2.4.1 tinh thn ca nh lý 2.3.1 Mt s kt qu gn õy cụng trỡnh chung ca Nguyn Vit Anh v P.Pflug (xem [23, 24]) ó a mt li gii hp lý cho ny T ú Nguyn Vit Anh ó ny sinh ý tng l nghiờn cu nh trng hp khụng k d Tc l, trc ht chỳng ta nghiờn cu trng hp c th m cỏc ch thp biờn c nh ngha trờn song a, sau ú s m rng trng hp ny ti trng hp tng quỏt Bng cỏch s dng ý tng Jarnicki v Pflug [15, 17], ỏp dng k thut cỏc ỏnh x bo giỏc, k thut cỏc mc v cỏc kt qu ca Chirka (xem [6]), Imomkulov- Khujamov( xem [10]) v Imomkulov (xem [11]) Nguyn Vit Anh ó chng minh c phiờn bn "o c" vi cỏc im k d ca nh lý 1.6.5 nh sau nh lý 2.4.2 Cho D G E v A D , B G l cỏc m c cho mes(A ) > 0, mes(B ) > Gi s D v G c trang b vi h cỏc xp x gúc Xột ch thp W : X(A , B ;D ,G ) , M l úng tng i ca W tho món: S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 56 of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 57 of 16 53 M a l i cc ( tng ng ri rc) G vi mi a ẻ A v M b l i cc ( tng ng ri rc) D vi mi b ẻ B M ầ (A B ) Khi ú tn ti mt a cc úng tng i ( tung ng gii ca W vi hai tớnh cht sau: tớch) M \M cha ((A ' G ) ẩ (D B ' )) \ M (i) Tp cỏc im cui ca W ú A ' (tng ng B ' ) l ký hiu cỏc im trự mt ca A ( tng ng B ) (ii) Cho f : W \ M l hm b chn a phng tho Vi mi a ẻ A , f (a , )ẵ G \ M a chnh hỡnh v nhn gii hn gúc f (a ,b ) ti mi im b ẻ B Vi mi b ẻ B , f (,b)ẵ chnh hỡnh v nhn gii hn gúc f (a ,b) ti D \M b mi im a ẻ A fẵ A B l o c \M , ) cho f nhn gii hn gúc f ti thỡ cú mt hm nht f O (W mi im ca ((A '' G ) ẩ (D B '' )) \ M , ú A '' (tng ng B '' ) l ca A ' (tngng B ' )vi mes(A ' \ A '' ) (tngng mes(B ' \ B '' ) ) Hn na nu M thỡ M Hnh trỡnh i t nh lý 2.4.2 ti dng tng quỏt ca nú khú hn nhiu trng hp khụng cú im k d Khú khn xut hin chỳng ta mun ch f nhn A - gii hn mun cú Trong trng hp khụng cú im k d ta cú th chng minh nh lý tng quỏt da trờn nh lý hai hng s nhng trng hp vi cỏc im k d thỡ khụng c Nguyn Vit Anh ó tỡm mt cỏch khc phc khú khn ny l s dng mt s nh lý ch thp hn hp c bit vi cỏc im k d (xem [24]) S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 57 of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 58 of 16 54 Ta nh rng mt S ca mt a phc M c gi l mng nu vi mi x ẻ M cú mt lõn cn liờn thụng U U (x) M v mt hm chnh hỡnh f trờn U khụng ng nht khụng cho U ầ S f (0) Sau õy l kt qu chớnh ca Nguyn Vit Anh l nh lý 2.4.3 Cho X ,Y l hai a phc, cho D X ,G Y l hai m, A (tng ng B ) l mt ca D (tng ngG ), D (tng ngG ) c trang b mt h cỏc xp x Aa (z ) z D , a I (tng ng Ab (h ) hG , b ẻ I ) z h (, A , D ) < trờn D v w (, B ,G ) < trờnG Gi s A A v B B v w Cho Z l mt khụng gian gii tớch phc cú tớnh cht thỏc trin Hartogs M l mt úng tng i ca W vi cỏc tớnh cht sau: M l mng cỏc th (tng ng l a cc a phng cỏc th) trờn A v trờn B M ầ ((A ầ D ) B ) M ầ ((A (B ầ G )) Khi ú tn ti mt gii tớch úng tng i (tng ng mt a cc a phng úng tng ) ca W cho M ầW M M v ) v vi mi ỏnh x f : W \ M Z tho cỏc iu \ M End(W \M W kin sau: (i) f Cs (W \ M ,Z ) ầ Os (W \ M ,Z ) (ii) f b chn a phng dc theo X(A ầ D , B ầ G ;D ,G ) \ M ; (iii) f ẵ (A B )\ M l liờn tc ti tt c cỏc im ca (A ầ D ) (B ầ G ) ,Z \M thỡ tn ti ỏnh x nht f O W nhn A - gii hn f (z , h) ti mi \M im (z , h ) W S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 58 of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 59 of 16 55 2.5 Mt s ng dng Trong phn ny chỳng tụi ch gii thiu mt s ỏp dng ca nh lý 2.4.3 vi h cỏc xp x nún Cho X l mt a phc tu ý v D X l mt m + Ta núi rng mt A D l cha c a phng mt a tng quỏt nu tn ti mt ch ( ớt nht m c) J , mt h cỏc m (U j ) jJ ca X v mt h cỏc a tng quỏt (M j ) jJ cho A ầU j M j , j ẻ J v A j ẻ J U j S chiu ca M j cú th khỏc vi jẻ J + Gi s A D l cha c mt a tng quỏt Khi ú ta núi rng A cú c dng nu j J mesM j (A ầU j ) > ú mesM j l ký hiu ca o Lebesgue trờn M j + Mt im a ẻ A c gi l im trự mt tng i vi A nu nú l im trự mt tng i vi A ầU j trờn M j vi j ẻ J Ký hiu A ' l tt c cỏc im trự mt tng i vi A Gi s A D cú c dng, ta trang b cho D h cỏc xp x nún giỏ trờn A S dng cỏc kt qu nghiờn cu ca B Coupet v B.Joricke (xem [7,19]) ta cú th thy rng A l a chớnh qui a phng ti tt c cỏc im trự mt tng i vi A v A ' A Do ú t nh ngha o a iu ho di ta cú (z , A ,D ) w(z ,A ' ,D ), z D w c lng ny kt hp vi nh lý 2.4.3 ta cú h qu sau H qu 2.5.1 Cho X ,Y l hai a phc, cho D X ,G Y l hai m liờn thụng, A (tng ng B ) l mt ca D (tng ng G ) D (tng S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 59 of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 60 of 16 56 ngG ) c trang b mt h cỏc xp x nún Aa (z ) z D , a I (tng z ng Ab (h ) hG , bI ) giỏ trờn A (tng ng B ) Gi s A v B cú c dng h nh ngha W Â : X(A ' , B ' ; D ,G ), Â : (z , w ) D G : w(z , A ' , D ) w(w , B ' ,G ) < W ú A Â (tng ng B Â ) l cỏc im trự mt tng i vi A (tng ng B ) Cho M l m úng tng i ca W vi cỏc tớnh cht sau: M l mng cỏc th (tng ng a cc a phng cỏc th) trờn A v trờn B M ầ (A B ) Khi ú tn ti mt gii tớch úng tng i (tng ng mt a ' cho vi mi ỏnh x ca W cc a phng úng tng i) M f :W \ M Z tho cỏc iu kin sau: (i) f Cs (W \ M ,Z ) ầ Os (W \ M ,Z ) (ii) f b chn a phng dc theo X(A , B ;D ,G ) \ M ; (iii) f ẵ (A B )\ M l liờn tc '\ M ,Z nhn A - gii hn f (z , h ) ti mi thỡ tn ti nht ỏnh x f O W im (z , h) (W ầW ' ) \ M p dng th hai l mt nh lý ch thp hn hp rt tng quỏt sau H qu 2.5.2: Cho X ,Y l hai a phc, cho D X ,G Y l cỏc m liờn thụng, A l mt ca D v B l mt ca G , D c trang b mt h cỏc xp x nún Aa (z ) z D , a I z giỏ trờn A vG c trang S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 60 of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 61 of 16 57 b mt h cỏc xp x nún Ab (h ) hG , b I h Gi s A cú c dng v B B nh ngha W Â : X(A ' , B ' ; D ,G ), Â : (z , w ) D G : w(z , A ' , D ) w(w , B ' ,G ) < W ú A Â l cỏc im trự mt tng i vi A Cho M l úng tng i ca W vi cỏc tớnh cht sau: M l mng cỏc th ( tng ng a cc a phng cỏc th) trờn A v trờn B M ầ (A B ) Khi ú tn ti mt gii tớch úng tng i ( tng ng mt a cc a phng úng tng i )M ca ' W cho ' \M ) v vi mi ỏnh x f :W \ M Z tho cỏc iu W ' \ M End(W kin sau: (i) f Cs (W \ M ,Z ) ầ Os (W \ M ,Z ) (ii) f b chn a phng dc theo (A G ) \ M '\ M ,Z thỡ tn ti nht ỏnh x f O W nhn A - gii hn f (z , h) ti mi im (z , h)W ' \ M S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 61 of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 62 of 16 58 KT LUN Bi toỏn nghiờn cu v cỏc ỏnh x chnh hỡnh tỏch bin luụn l mt bi toỏn m vi nhng ngi nghiờn cu Vi mc ớch bc u tỡm hiu v hng nghiờn cu ny, lun trỡnh by mt s kt qu nghiờn cu gn õy v ỏnh x chnh hỡnh tỏch bin m c th l cỏc kt qu nghiờn cu gn õy ca NguynVit Anh Vi mc ớch ú, lun ó t c cỏc kt qu sau õy: + H thng kin thc c bn liờn quan n nghiờn cu + Trỡnh by lý thuyt Poletsky v cỏc a v nh lý Rosay trờn cỏc a chnh hỡnh + Trỡnh by mt cỏch h thng chi tit mt s kt qu nghiờn cu gn õy v ỏnh x chnh hỡnh tỏch bin S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 62 of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 63 of 16 59 TI LIU THAM KHO Nguyn Vn Khuờ - Lờ Mu Hi, Hm bin phc, NXB H Quc gia H Ni O Alehyane et J M Hecart (2004), Propriete de stabilite de la fonction extremale relative, Potential Anal., 21, no 363-373 O Alehyane et A Zeriahi (2001), Une nouvelle version du theoreme d'extension de Hartogs pour les applications separement holomorphes entre espaces analytiques, Ann Polon Math., 76, 245-278 E Bedford (1982), The operator (dd c )n on complex spaces, Semin P Lelong - H Skoda, Analyse,Annees 1980/81, Lect Notes Math., 47, 1-4 E Bedford, B A Taylor (1982), A new capacity for plurisubharmonic function, Acta Math., 149, 1-40 E M Chirka (1993), The extension of pluripolar singularity sets, Proc Steklov Inst Math 200, 369-373 B Coupet (1992), Construction de disques analytiques et regularite de fonctions holomorphes au bord, Math Z 209, no 2, 179-204 A A Gonchar (2000), On Bogolyubov's "edge-of-the-wedge" theorem, Proc Steklov Inst Math., 228,18-24 F Hartogs (1906), Zur Theorie der analytischen Funktionen mehrer unabhangiger Veranderlichen, insbesondere uber die Darstellung derselben durch Reihen, welche nach Potenzen einer Veranderlichen fortschreiten, Math Ann., 62, 1-88 10 S A Imomkulov, J U Khujamov (2005), On holomorphic continuation of functions along boundary sections, Math Bohem., 130, no 3, 309322 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 63 of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 64 of 16 60 11 S A Imomkulov (2005), On the holomorphic continuation of functions defined on a boundary pencil of complex lines, (Russian) Izv Ross Akad Nauk Ser Mat., 69, no 2, 125-144; translation in Izv Math 69, no 2, 345-363 12 S M Ivashkovich (1987), The Hartogs phenomenon for holomorphically convex Kahler manifold, Math USSR-Izv., 29, 225232 13 M Jarnicki and P Pflug (2000), Extention of Holomorphic Function, de Gruyter Expositions in Mathematics 34, Walter de Gruyter 14 M Jarnicki and P Pflug (2003), An extension theorem for separately holomorphic functions with analytic singularities, Ann Pol Math., 80, 143-161 15 M Jarnicki and P Pflug (2003), An extension theorem for separately holomorphic functions with pluripolar singularities, Trans Amer Math Soc., 355, No 3, 1251-1267 16 M Jarnicki and P Pflug (2003), An extension theorem for separately meromorphic functions with pluripolar singularities, Kyushu J Math., 57, No 2, 291-302 17 M Jarnicki and P Pflug (2006), A remark on separate holomorphy, Studia Math., 174 (3), 309-317 18 M Jarnicki and P Pflug (2007), A general cross theorem with singularities, Analysis (Munich), 27, no 2-3, 181-212 19 B Joricke (1982), The two - constants theorem for functions of several complex variables, (Russian), Math Nachr 107, 17-52 20 B Josefson (1978), On the equivalờnc between polar and globally polar sets for plurisubharmonic functions on n , Ark Mat 16, 109-115 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 64 of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 65 of 16 61 21 N V Anh (2005), A general version of the Hartogs extension theorem for separately holomorphic mappings between complex analytic spaces, Ann Scuola Norm Sup Pisa Cl Sci., serie V, Vol IV(2), 219-254 22 N V Anh (2008), A unified approach to the theory of separately holomorphic mappings, Ann Scuola Norm Sup Pisa Cl Sci., serie V, Vol VII(2), 181-240 23 N V Anh and P Pflug, Boundary cross theorem in dimension with singularities, Indiana Univ Math J 24.N.V Anh and P Pflug, Cross theorems with singularities, arXiv:math.CV.0901 25 O Oktem (1998), Extension of separately analytic functions and applications to range characterization of exponential Radon transform, Ann Polon Math., 195-214 26 O Oktem (1999), Extension of separately analytic functions in nm with singularities, Extension of separately analytic functions and applications to mathematical tomography ( Thesis), Dep Math Stockholm Univ 27 P Pflug and V-A Nguyờn (2004), A boundary cross theorem for separately holomorphic functions, Ann Polon Math., 84, 237-271 28 P Pflug and V-A Nguyờn (2007), Boundary cross theorem in dimension 1, Ann Polon Math., 90(2),149-192 29 P Pflug and V-A Nguyờn (2007), Generalization of a theorem of Gonchar, Ark Mat., 105-122 30 E A Poletsky (1991), Plurisubharmonic functions as solutions of variational problems, Several complex variables and complex geometry, Proc Summer Res Inst., Santa Cruz/CA (USA) 1998, Proc Symp Pure Math 52, Part 1, 163-171 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 65 of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 66 of 16 62 31 E A Poletsky (1993), Holomorphic currents, Indiana Univ Math J., 42, No.1, 85-144 32 J P Rosay (2003), Poletsky theory of disks on holomorphic manifolds, Indiana Univ Math J., 52, No.1, 157-169 33 B Shiffman (1971), Extension of holomorphic maps into Hermitian manifolds, Math Ann., 194, 249-258 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 66 of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn