Tính tự nhiên Tôpô của định lý Noguchi về dãy các ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức

Trần Thị Kim Liên: Tính tự nhiên tôpô định lý Noguchi dãy ánh xạ chỉnh hình không gian phức – Toán giải tích MỤC LỤC Mở đầu…………….…………………………………………………… Chương : Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Ánh xạ chỉnh hình…………………………………… …………… 1.2 Đa tạp phức………………………………………………………… 1.3 Giả khoảng cách Kobayashi không gian phức………………… 1.4 Không gian phức hyperbolic ………… …………………………… Chương : Tính tự nhiên tôpô định lí Noguchi dãy ánh xạ chỉnh hình không gian phức 2.1 Mở đầu…………………….……………………………………… 19 2.2 Tổng quát tôpô kết Kiernan, Kobayashi, Kwack Noguchi không gian phức……………………………………… 20 2.3 Một số đặc trƣng tính chất  ứng dụng……………………… 32 Kết luận……………………………………………………………… 46 Tài liệu tham khảo…………………………………………………… 47 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Vào đầu năm 70, S.Kobayashi đƣa lý thuyết không gian phƣ́c hyperbolic và trở thành một nhƣ̃ng hƣớng nghiên cƣ́u quan trọng giải tích phức Trong nhƣ̃ng năm gần , lý thuyết thu hút quan tâm nghiên cƣ́u của nhiều nhà toán học thế giới Bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình không gian phức với kết quan trọng gắn liền với tên tuổi các nhà toán học nhƣ Kiernan , Kobayashi, Kwack và Noguchi Tƣ̀ việc khái quát hóa đị nh lý Picard lớn để đƣợc k ết K3 – đị nh lý (đị nh lý Kiernan , Kobayashi, Kwack), tiếp sau định lý thác triển hội tụ Noguchi Sau kết quả của Noguchi , tƣ̀ năm 1994 đến năm 2000, J.Joseph M.Kwack đã chƣ́ng tỏ đƣợc tất cả các kết quả đều có thể chứng minh mở rộng đƣợc bằng phƣơng pháp túy tôpô Tƣ̀ đó đã đƣa một số đặc trƣng của tí nh nhúng hyperbolic của các không gian phƣ́c Các nghiên cƣ́u này đã góp phần thúc đẩy sƣ̣ phát triển của lý thuyết các không gian phƣ́c hyperbolic và mở nhƣ̃ng hƣớng nghiên cƣ́u mới Trong luận văn này, chúng đặt vấn đề tì m hiểu các kết quả của J.Joseph M Kwack theo các hƣớng đã nêu Luận văn gồm có hai chƣơng Chƣơng 1, chúng trình bày vấn đề giải tích phức nhiều biến giải tích hyperbolic nhằm chuẩn bị cho chƣơng sau Bao gồm đị nh nghĩa số khái niệm đa tạp phức , không gian phƣ́c hyperbolic và tí nh nhúng hyperbolic không gian phức Tiếp theo l kết Kiernan, Kobayashi, Kwack và Noguchi về thác triển ánh xạ chỉnh hì nh giƣ̃a không gian phức Chƣơng nội dung luận văn Trong chƣơng chúng trình bày số đặc trƣng của tí nh chất , chứng minh và tổng quát các kết quả của Kiernan , Kobayashi, Kwack và Noguchi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Các kết trình bày chƣơng đã đƣợc J Joseph M Kwack trình bày  4 Tuy nhiên luận văn chúng đã cố gắng trì nh bày một cách tƣơng đối chi tiết các chứng minh của các đị nh lý và trì nh bày các vấn đề theo cách hiểu Ngoài chúng còn chứng minh đƣợc số ví dụ mà J Joseph M Kwack đã đƣa nhằm làm rõ các vấn đề đƣợc trì nh bày luận văn Luận văn đƣợc hoàn thành dƣới hƣớng dẫn tận tình PGS.TS Phạm Việt Đức Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Nhân dịp em xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy , Cô giảng dạy cho em kiến thức khoa học suốt trình học tập trƣờng Xin chân thành cảm ơn Trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi cho việc học tập Cuối xin cảm ơn gia đình, ngƣời thân bạn bè động viên giúp đỡ suốt trình khoá học và hoàn thành luận văn này Thái Nguyên, tháng 08 năm 2010 Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn CHƢƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Ánh xạ chỉnh hình 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập mở  n f : X   hàm tùy ý (1) Hàm f đƣợc gọi khả vi phức x0  X tồn ánh xạ tuyến tính  :  n   cho : lim h 0 f ( x0  h)  f ( x0 )   (h) 0 h h  (h1, h2 , , hn )  n h  h1  h2   hn 2 (2) Hàm f gọi chỉnh hình x0  X f khả vi phức lân cận x0 đƣợc gọi chỉnh hình X f chỉnh hình mọi điểm thuộc X (3) Cho X tập mở  n Khi ánh xạ f : X   m có thể đƣợc biểu diễn dƣới dạng f  ( f1, f , , f m ) fi   i  f : X   ; f đƣợc gọi chỉnh hình X fi chỉnh hình X với mọi i  1,2, , m 1.1.2 Định nghĩa Cho X tập mở  n , hàm f : X  f ( X )   n song chỉnh hình f song ánh chỉnh hình f 1 ánh xạ chỉnh hình 1.2 Đa tạp phức 1.2.1 Định nghĩa ví dụ 1.2.1.1 Định nghĩa Cho X không gian tôpô Hausdorff (1) Cặp U ,  đƣợc gọi đồ địa phƣơng X U Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tập mở X,  : U   n điều kiện sau đƣợc thỏa mãn : (i)  (U ) tập mở  n (ii)  : U   (U ) đồng phôi (2) Họ A  U i ,i iI đồ địa phƣơng X đƣợc gọi tập đồ giải tích (atlas) X điều kiện sau đƣợc thỏa mãn: (i) U i iI phủ mở X (ii) Với mọi U i ,U j mà Ui  U j   ánh xạ  j  i1 : i U i  U j    j U i  U j  ánh xạ chỉnh hình Xét họ atlas X Hai atlas A1, A2 đƣợc gọi tƣơng đƣơng hợp A1  A2 atlas Đây quan hệ tƣơng đƣơng tập atlas Mỗi lớp tƣơng đƣơng xác định cấu trúc khả vi phức X, X với cấu trúc khả vi phức đƣợc gọi đa tạp phức n chiều 1.2.1.2 Ví dụ (1) Giả sử D miền  n , D đa tạp phức n chiều với đồ địa phƣơng  D, Id  D (2) Đa tạp xạ ảnh Pn ( )   Xét U i   z0 : z1 : : zn   P n ( ) zi  với i  0,1,2, , n Rõ ràng U i i 1 phủ mở Pn ( ) n Xét đồng phôi i : Ui  C n  z0 z z z  , , i 1 , i 1 , , n  zi zi zi   zi  z0 : z1 : : zn    Ta có : Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn  zk z  j  j  i1 :  z0 , , zi 1 , zi 1 , zn     ,  kk 0,j n zi  ánh xạ chỉnh hình.Vậy Pn ( ) đa tạp phức n chiều 1.2.2 Ánh xạ chỉnh hình đa tạp phức (1) Cho M,N hai đa tạp phức Ánh xạ liên tục f : M  N gọi chỉnh hình M với mọi đồ địa phƣơng U ,  M đồ địa phƣơng V ,  N cho f (U )  V ánh xạ   f   1 :  (U )  (V ) chỉnh hình Ta ký hiệu H ( M , N ) tập ánh xạ chỉnh hình từ đa tạp phức M đến đa tạp phức N (2) Cho M,N hai đa tạp phức f : M  N song ánh Nếu f , f 1 ánh xạ chỉnh hình f đƣợc gọi ánh xạ song chỉnh hình M N 1.2.3 Định nghĩa (1) Cho M đa tạp phức, không gian phức đóng X tập đóng M mà mặt địa phƣơng có thể xác định không điểm số hữu hạn hàm chỉnh hình, nghĩa với x0  X tồn lân cận mở V x0 M số hữu hạn hàm chỉnh hình 1,2 , ,n V cho X  V tập điểm x  X thỏa mãn : 1 ( x)  2 ( x)   n ( x)  (2) Cho M đa tạp phức, không gian phức đóng A M đƣợc gọi divisor M mặt địa phƣơng không điểm hàm chỉnh hình, nghĩa với x  A có lân cận V x M cho A  V tập không điểm hàm f chỉnh hình V Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Khi dim M  m divisor A đƣợc gọi có giao chuẩn tắc mặt địa phƣơng : M  A  ( D* )r  Ds , với r + s = m, D đĩa đơn vị  1.3 Giả khoảng cách Kobayashi không gian phức 1.3.1 Khoảng cách Bergman – Poincaré đĩa đơn vị Giả sử D   z   , z  1 đĩa đơn vị mở  a b  ba Xét ánh xạ D : D  D    xác định  D (a, b)  ln ; a, b  D a b 1  ba 1 Ta có  D khoảng cách D gọi khoảng cách Bergman – Poincaré đĩa đơn vị 1.3.2 Giả khoảng cách Kobayashi không gian phức 1.3.2.1 Định nghĩa Giả sử X không gian phức, x y hai điểm tùy ý X H ( D, X ) tập tất ánh xạ chỉnh hình từ đĩa đơn vị D vào không gian phức X đƣợc trang bị tôpô compact mở Xét dãy điểm p0  x, p1, , pk  y X, dãy điểm a1, a2 , , ak D dãy ánh xạ f1, f , , f k H ( D, X ) thỏa mãn fi (0)  pi 1, fi (ai )  pi , i  1,2, , k Ta gọi dây chuyền chỉnh hình  nối x với y tập hợp :    p0 , , pk , a1, , ak , f1, , fk  thỏa mãn điều kiện n Ta đặt : L    D (0; ) định nghĩa d X ( x, y)  inf L i 1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn infimum lấy theo tất dây chuyền chỉnh hình  nối x với y Dễ thấy d X thỏa mãn tiên đề giả khoảng cách, tức : i ) d X ( x, y )  0, x, y  X ii ) d X ( x, y )  d X ( y, x), x, y  X iii ) d X ( x, z )  d X ( x, y )  d X ( y, z ), x, y, z  X Nói cách khác d X giả khoảng cách X Giả khoảng cách d X đƣợc gọi giả khoảng cách Kobayashi không gian phức X 1.3.2.2 Tính chất Ta có thể dễ dàng chứng minh tính chất sau d X : i) d D   D d (( zi ),( w j )) Dn  max  ( zi , w j ) với mọi ( zi ),( w j )  Dn j 1, n ii) Nếu f : X  Y ánh xạ chỉnh hình không gian phức X,Y d X ( p, q)  dY ( f ( p), f (q)), p, q  X Từ suy rằng f : X  Y song chỉnh hình d X ( p, q)  dY ( f ( p), f (q)), p, q  X iii) Đối với không gian phức X tùy ý, hàm khoảng cách d X liên tục X  X iv) Nếu X,Y không gian phức với mọi x1, x2  X ; y1, y2 Y ta có max d X ( x1, x2 ), dY ( y1, y2 )  d X Y (( x1, y1),( x2 , y2 )) 1.4 Không gian phức hyperbolic 1.4.1 Không gian phức hyperbolic 1.4.1.1 Định nghĩa Không gian phức X đƣợc gọi không gian hyperbolic giả khoảng cách Kobayashi d X khoảng cách X, nghĩa là: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn d X ( p, q)   p  q , p, q  X 1.4.1.2 Ví dụ (a) D hyperbolic d D   D mà  D khoảng cách D nên d D khoảng cách D (b)  n không hyperbolic Thật vậy, giả sử d cách Kobayashi  n , ta rằng d n n giả khoảng  d n không khoảng cách  n Với x, y  n p  D ( p  0) , xét ánh xạ : f :D n z x yx z p Khi f ánh xạ chỉnh hình, f (0)  x f ( p )  y Do f làm giảm khoảng cách đối với d D d nên ta có: n d D (0; p )  d d Cho p dần tới ta có d n n n ( f (0); f ( p )) ( x, y )   D (0; p ) ( x, y )  Vậy  n không đa tạp hyperbolic 1.4.1.3 Tính chất i) Nếu X,Y không gian phức, X  Y không gian hyperbolic X Y không gian hyperbolic ii) Giả sử X không gian phức, Y không gian hyperbolic f : X  Y ánh xạ chỉnh hình đơn ánh X không gian hyperbolic Đặc biệt, X không gian phức không gian hyperbolic Y X hyperbolic Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Với mọi x, x '  X , x  x ' ta có : d X ( x, x ')  dY  f ( x), f ( x ')  Mặt khác f đơn ánh nên f ( x)  f ( x ') Y không gian hyperbolic nên ta có : dY  f ( x), f ( x ')    d X ( x, x ')   X không gian hyperbolic iii) Định lý Barth (xem 8 ) Giả sử X không gian phức liên thông Nếu X hyperbolic d X sinh tô pô tự nhiên X 1.4.1.4 Mệnh đề (Bổ đề Eastwood) Giả sử  : X  Y ánh xạ chỉnh hình không gian phức Giả sử Y hyperbolic với điểm y  Y có lân cận U y cho  1 (U ) hyperbolic X hyperbolic 1.4.2 Không gian phức hyperbolic đầy 1.4.2.1 Định nghĩa Không gian phức X đƣợc gọi hyperbolic đầy X hyperbolic mọi dãy Cauchy với khoảng cách d X hội tụ 1.4.2.2 Mệnh đề Giả sử X không gian hyperbolic liên thông Khi X hyperbolic đầy với x  X r  hình cầu đóng B( x, r ) compact 1.4.2.3 Mệnh đề (a) Các đĩa đa đĩa hyperbolic đầy Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... gọi chỉnh hình X fi chỉnh hình X với mọi i  1,2, , m 1.1.2 Định nghĩa Cho X tập mở  n , hàm f : X  f ( X )   n song chỉnh hình f song ánh chỉnh hình f 1 ánh xạ chỉnh hình 1.2 Đa tạp phức. ..  kk 0,j n zi  ánh xạ chỉnh hình. Vậy Pn ( ) đa tạp phức n chiều 1.2.2 Ánh xạ chỉnh hình đa tạp phức (1) Cho M,N hai đa tạp phức Ánh xạ liên tục f : M  N gọi chỉnh hình M với mọi đồ... xạ chỉnh hình f đƣợc gọi ánh xạ song chỉnh hình M N 1.2.3 Định nghĩa (1) Cho M đa tạp phức, không gian phức đóng X tập đóng M mà mặt địa phƣơng có thể xác định không điểm số hữu hạn hàm chỉnh