Một số kết quả nghiên cứu gần đây về các ánh xạ chỉnh hình tách biến .pdf

Một số kết quả nghiên cứu gần đây về các ánh xạ chỉnh hình tách biến .pdf

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI

Thái Nguyên- 2010

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

2.2 Bài toán 1 trong trường hợp A  D B,  G 23

2.3 Bài toán 1 trong trường hợp tổng quát 36

MỞ ĐẦU

Nghiên cứu về ánh xạ chỉnh hình tách biến là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích phức Những kết quả cơ bản trong lĩnh vực này gắn liền với các tên tuổi như Riemann, Hartogs, Oka, Bernstein Ngày nay, nhiều nhà toán học trên thế giới vẫn tiếp tục quan tâm đến vấn đề trên bằng những cách tiếp cận khác nhau nhằm giải quyết được những bài toán cụ thể đặt ra trong lĩnh vực đó Trong đó có hai bài toán cơ bản sau:

Bài toán 1: Cho X Y, là hai đa tạp phức, giả sử D( tương ứng G) là một tập con mở của X(tương ứng Y),A (tương ứng B) là một tập con của D (tương ứng G ) vàZlà không gian giải tích phức Ta định nghĩa chữ thập như sau: W : (( DÈA)B)È(A(G ÈB)).

Bao chỉnh hình của chữ thậpWlà một tập con mở ''tối ưu'' của

X Y ký hiệu là W được đặc trưng bởi các tính chất sau:

Với mỗi ánh xạ f W: Z thoả mãn

( , ) ( , ) ( , ), ,

( , ) ( , ) ( , ), ,



Ta nói rằng M có tính chất nào đó trong các thớ trên A(tương ứngB ) nếu tất cả các thớ thẳng đứng M aa, Î A, (tương ứng tất cả các thớ nằm ngang

( , ) (( ) , ) ( , ), ,

kết quả là W  D G Sử dụng hàm cực trị tương đối, Siciak đã giải quyết bài toán 1 trong trường hợp A D B, G X,  Y , Z  Các bước nghiên cứu tiếp theo được bắt đầu bởi Zahariuta vào năm 1976 sau đó là Nguyễn Thanh Vân và Zeriahi Shiffman là người đầu tiên tổng quát hoá một số kết quả của Siciak đối với các ánh xạ chỉnh hình tách với giá trị trong không gian giải tích phức (xem [33])

Vào năm 2001 Alehyane và Zeriahi đã giải quyết bài toán 1 trong trường hợp A D B, Gvà X Y, là các đa tạp Stein, Z là không gian giải tích phức có tính chất thác triển Hartogs Bao chỉnh hình W được cho bởi

 :( , )  ) : ( , , )  ( , , ) 1

Wz w Î D Gwz A Dww B G < ,

trong đó w( , , ) A D và w( , , ) B G là các hàm độ đo đa điều hoà dưới

Bài toán 2 được bắt đầu với một bài báo của Oktem năm 1998 (xem [24, 26]) Trong công trình gần đây của mình Henkin và Shananin đã đưa ra một vài áp dụng kết quả của Bernstein trong lý thuyết chỉnh hình tách mà cụ thể là đối với bài toán 2 Đó là kết quả chung nhất trong hướng nghiên cứu này

Nguyễn Việt Anh đã tổng quát hoá các kết quả nghiên cứu xung quanh hai bài toán 1 và bài toán 2 trong trường hợp X Y, là các đa tạp tuỳ ý Chủ yếu tác giả sử dụng lý thuyết Poletsky về các đĩa, định lý Rosay trên các đĩa chỉnh hình và định lý Alehyane - Zeriehi Ngoài ra, tác giả đã vận dụng một kỹ thuật quan trọng khác là sử dụng các tập mức của độ đo đa điều hoà dưới, định lý chữ thập hỗn hợp

Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày lại, cùng những chứng minh chi tiết một số kết quả nghiên cứu gần đây về ánh xạ chỉnh hình tách biến Nội dung luận văn gồm phần mở đầu, hai chương chính, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm miền xấp xỉ, tập đa cực, hàm cực trị tương đối, độ đo đa điều hoà dưới, chữ thập và ánh xạ chỉnh hình tách, không gian phức có tính chất thác triển Hartogs

Phần cuối chương, chúng tôi trình bày các kết quả liên quan và một số vấn đề của lý thuyết đa thế vị như lý thuyết Poletsky về các đĩa và định lý Rosay trên các đĩa chỉnh hình

Chương 2: Một số kết quả nghiên cứu gần đây về ánh xạ chỉnh hình

Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán trường Đại học sư phạm Thái Nguyên cùng các thầy cô giáo đã tận tình giảng dạy chúng em trong suốt khoá học

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường THPT Phú Bình và Tổ Toán đã hết sức quan tâm tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Xin chân thành cảm ơn gia đình, đồng nghiệp và bạn bè đã động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình hoàn thành, bảo vệ luận văn này

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong luận văn này, ta giả thiết tất cả các đa tạp phức là hữu hạn chiều và đếm được ở vô cực, tất cả các không gian giải tích phức được thu gọn, bất khả quy và đếm được ở vô cực Với một tập con S của không gian tôpô M , ký hiệu S là bao đóng của S trong M Với hai không gian giải tích phức

(tương ứng, hai không gian tôpô) D và Z , O( , )D Z ( tương ứng ( , )CD Z ) là ký hiệu tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình ( tương ứng, liên tục) từ D vào Z

(i) Với mọi z Î D, hệ (A ( )) I

Aaz thường được gọi là một miền xấp xỉ tại z

Hơn nữaAđược gọi là chính tắc nếu nó thoả mãn (i) và tính chất sau (mạnh hơn (ii))

(ii') Với mọi điểm zÎ D tồn tại một cơ sở gồm các lân cận mở

(U) I

a a của z trong Xsao cho Aa( )z Ua ÇD, a Î Iz.

Nhiều loại hệ của các miền xấp xỉ khác nhau thường gặp trong giải tích phức sẽ được mô tả trong phần tiếp theo Các hệ của các miền xấp xỉ của

D được sử dụng để giải quyết vấn đề giới hạn tại các điểm trong D của các

ánh xạ xác định trên một số tập con mở của D Hơn nữa từ định nghĩa 1.1.1 suy ra rằng trong một vài trường hợp đặc biệt họ con (A ( ))D, I

azza không phụ thuộc vào việc chọn hệ các miền xấp xỉ A Vì vậy hai hệ chính tắc của các miền xấp xỉ bất kỳ là tương đương, ta có quy ước như sau:

Với mỗi tập mở DXchúng ta cố định một hệ chính tắc của các miền xấp xỉ Khi đó muốn xác định một hệ các miền xấp xỉ A của một tập mở

DX ta chỉ cần chỉ rõ họ con (A ( )) D, I

zazza

Nếu ta cố định một tập con mở D X và một hệ các miền xấp xỉ

Từ định nghĩa 1.1.1(i), (A limsup )u |D trùng với khái niệm hàm

chính quy hoá nửa liên tục trên thông thường củau.

1.1 2 Một số hệ các miền xấp xỉ

Có rất nhiều hệ các miền xấp xỉ có ứng dụng trong giải tích phức

Trong phần này chúng ta sẽ giới thiệu một số các hệ đó

1.1.2.1 Hệ chính tắc của các miền xấp xỉ

Hệ chính tắc của các miền xấp xỉ được đưa ra trong định nghĩa 1.1.1 (i)-(ii')

1.1.2.2 Hệ các miền xấp xỉ góc với đĩa đơn vị mở

Cho E là một đĩa đơn vị mở của  Đặt

Trong đó arg : C ( , ]là hàm argument thông thường

Cho X là một đa tạp phức của chiều 1( trong các phát biểu khácX là diện Riemann) và D X là một tập mở, khi đó D được gọi là tốt tại một điểm z Î D nếu tồn tại một miền Jordan U X sao cho zÎ U và U ÇD

là phần trong của một cung Jordan

Giả sử D được gọi là tốt tại z, điểm này được gọi là kiểu 1 nếu tồn

tại một lân cận V của z sao cho V0 V ÇD là một miền Jordan Nếu không tồn tại lân cận V như vậy thì zđược gọi là kiểu 2 Dễ dàng nhận thấy nếu z

là kiểu 2 thì tồn tại một lân cận mở V của z và hai miền Jordan rời nhau

1, 2

V V sao cho V ÇD V 1ÈV2 Hơn nữa D được gọi là tốt trên một tập con

A của D nếu D là tốt tại tất cả các điểm của A

Sau đây là một ví dụ đơn giản mà có thể minh hoạ cho định nghĩa trên Cho G là hình vuông mở trong  với các đỉnh là 1    i, 1i, 1i,1i Định nghĩa miền

: 1 1,2 2

DG \

Khi đó D là tốt trên 1 1,2 2

• Nếu zÎ D A\ thì (( )) 

za z aI

A trùng với các miền xấp xỉ chính tắc

• Nếu Î Az thì bằng cách sử dụng ánh xạ bảo giác từ V0 (tương ứng V V1, 2) tới E khi z là kiểu 1(tương ứng kiểu 2), ta có thể ''chuyển" các miền xấp xỉ góc tại điểm

• Nếu z Î D \ A thì (( )) 

za z aI

A trùng với các miền xấp xỉ chính tắc

• Nếu Î Az thì Aa( ) :z z Î D z: z < a.dist( ,zTz) ,

trong đó Iz : (1,)và dist( ,zTz) là ký hiệu khoảng cách Euclid từ

điểmz tới Tz

Ta có thể khái quát việc xây dựng hệ các miền xấp xỉ nón giá trênA

trong trường hợp tổng quát:

X là một đa tạp phức tuỳ ý, DXlà một tập mở và A  Dlà một tập con với tính chất: tại mọi điểm Î Az thì tồn tại không gian tiếp xúc (thực)

Tz của D

Ta cũng có thể xây dựng các khái niệm các điểm kiểu 1 hoặc các điểm kiểu 2 trong trường hợp tổng quát bằng cách tương tự như trong phần 1.1.2.3

1.2 Tập đa cực

Cho X là một đa tạp phức, DX là một tập con mở, ký hiệu ( )D

P SH là tập của tất cả các hàm đa điều hoà dưới trên D Khi đó

+ A Dđược gọi là mỏng trongDnếu mọi điểm aÎ D, tồn tại lân cận liên thông U Ua D và một hàm chỉnh hình f trênD không đồng nhất bằng không sao cho 1

U ÇAf

+ A D được gọi là đa cực trong D nếu có uÎ P SH( )D sao cho

u không đồng nhất bằng  trên mọi thành phần liên thông củaDvà

 : ( ) 

AzD u z

+ A D được gọi là đa cực địa phương trong D nếu với mỗi zÎ A

có một lân cận mở V Dcủa z sao cho A VÇ là đa cực trong V

+ A được gọi là không đa cực (tương ứng không đa cực địa phương)

nếu nó không đa cực (tương ứng không đa cực địa phương)

Theo một kết quả cổ điển của Josefson và Bedford (xem [20] và [4]) ta thấy nếuD là một miền Riemann- Stein thì A D là đa cực địa phương nếu và chỉ nếu nó là đa cực

Định nghĩa 1.3.1 Với một tập A D hàm cực trị tương đối của A đối với

D là hàm w A D( , , ) được xác định bởi

w( , , )z A D wA( , , ) : (z A D  A limsup hA D, )( ), zz Î D.

Chú ý rằng khi A Dđịnh nghĩa trên trùng với định nghĩa cổ điển về hàm cực trị tương đối của Siciak Khi D là đa tạp phức 1 chiều và Alà hệ chính tắc thì hàm w A D( , , ) thường được gọi là hàm độ đo điều hoà củaA

tương đối với D

Định nghĩa 1.3.2

+ Một tập A D là đa chính quy địa phương tại một điểm aÎ A

nếu w a A( , ÇU D, ÇU)0 với mọi lân cận mở U của a

+ TậpA được gọi là đa chính quy địa phương nếu nó là đa chính quy

địa phương tại mọi điểm aÎA Ta ký hiệuA là tập hợp sau

(AÇD)È a Î AÇD A: là đa chính quy địa phương tại a

Nếu A D không đa cực địa phương thì một kết quả cổ điển của Bedford và Taylor (xem [4], [5]) chỉ ra rằng A là đa chính quy địa phương và A A\  là đa cực địa phương Hơn nữaAlà địa phương kiểu G ( nghĩa là với mỗi a Î Acó một lân cận mở U Dcủa a thoả mãn AÇU là giao đếm được của các tập mở )

1.4 Độ đo đa điều hoà dưới

Với một tập A D , đặt  

( )

( )

A A A P trong đó

( ) ( , ) : :

 A  A A {P D là đa chính quy địa phương, P A } ,

Hàm độ đo đa điều hoà dưới của A đối với D là hàm w A D( , , ) được định nghĩa bởi :

w( , , ) :z A D w( , , ), z A D z Î D

Suy ra ( , , )w A D Î P SH( )D và 0w( , , ) 1, z A D  z Î D Hơn nữa

(A limsup ( , ,w A D))( )z 0, z Î A (1.1) Alehyane và Zeriahi đã đưa ra phản ví dụ chứng tỏ rằng (xem [3]) w( , , )z A D w( , , ) z A D trên D

Ta sẽ so sánh hàm độ đo đa điều hoà dưới w A D( , , ) với hàm cực trị tương đối của Siciak w A D( , , ) trong hai trường hợp đặc biệt quan trọng:

w( , , )z A D w( ,z A D, ), zD Từ đó dưới giả thiết

w( , , )z A D w( , , ), z A Dz Î D

chúng ta có thể kết luận ít nhất trong trường hợp A D khái niệm độ đo đa

điều hoà dưới là công cụ tốt với hàm cực trị tương đối Siciak tổng quát đối với các đa tạp phức trong lý thuyết chỉnh hình tách

1.5 Ánh xạ chỉnh hình tách

1.5.1 Chữ thập 2- lá

Cho X Y, là hai đa tạp phức, DX và G Y là các tập mở khác rỗng, cho AD B, G Hơn nữaD(tương ứngG ) được trang bị một hệ các miền xấp xỉ

( ) (D  ( ))D I

( )G ( ( )) G I

WA B D GDABAGB

( , ) : ( , , ) ( , , ), ( , ) ,( , ) : ( , , ) ( , , ), ( , )

z wz A Dw B Gz wD Gz wz A Dw B Gz wD G

WA B D Gz wD Gz wWA B D Gz wD Gz w

f a | \ (tương ứng ( , )

fW \M Z nếu với mỗiaÎ A(tương ứng bÎ B) ánh xạ ( , ) |(GÈ )

aBM

Cho W là một tập con mở của D G , một điểm ( , )z hÎ D G được

gọi là một điểm cuối của W tương ứng với A= A ( )D A( )G nếu với mỗi( , )a bÎ Iz Ihtồn tại các lân cận mở U của z trongX và V của h trong

Y sao cho

(U ÇAa( )) (z  V ÇAb( ))h W Tập tất cả các điểm cuối của W ký hiệu là End(W) Từ (1.1) ta suy ra nếu A B ,   thì WEnd(W).

Cho M là một không gian tô pô

+ Một ánh xạ f : M Zđược gọi là bị chặn nếu tồn tại một lân

cận mở U của (f M trong ) Z và một phép nhúng chỉnh hình f của U

trong đa đĩa đơn vị của  k sao cho ( ) U là tập giải tích trong đa đĩa này +f được gọi là bị chặn địa phương dọc theo N M nếu với mỗi điểm zÎ N có một lân cận mở U của z ( trong M ) thoả mãn f |U: U Z bị chặn

+f được gọi là bị chặn địa phương nếu nó bị chặn với N= M Hiển nhiên nếu Z thì các khái niệm bị chặn ở trên trùng với khái niệm bị chặn thông thường

1:1 , ( ) (0, 0).

 

zwzwz wf z w

z w

thì fÎOs(X0( ,   ;,),P1)nhưng f không liên tục tại (0,0)

Định nghĩa 1.6.1 Cho số nguyên p2, với 0<r<1 tập hợp ( ) :( , ) Ep: 1 ,

H rz z¢ Î ½½½½<z¢ r z½ ½> r

được gọi là lược đồ Hartogs p chiều

Trong đóE là đĩa đơn vị mở của  và 1 1

fE Z Hơn nữa, Z được gọi là có tính chất thác triển Hartogs nếu nó có tính chất thác triển Hartogs với mọi chiều p2

Ivashkovich đã chứng minh được nếu Z có tính chất thác triển Hartogs trong chiều 2 thì nó sẽ đúng với mọi chiềup2 (xem[12])

Shiffman (xem [33]) đã chứng minh được một đặc trưng quan trọng của không gian có tính chất thác triển Hartogs như sau:

Định lý 1.6.3 (Shiffman)

Không gian giải tích phức Z có tính chất thác triển Hartogs nếu và chỉ nếu với mọi miền D của đa tạp Stein M , mọi ánh xạ f Î O( , )D Zđều thác triển được thành ánh xạ f Î O( , )D Z , trong đó D là bao chỉnh hình của D

Alehyane và Zeriahi đã giải quyết được bài toán 1 trong trường hợp ,

AD BG và X Y, là các đa tạp Stein, Z là không gian giải tích phức có

tính chất thác triển Hartogs Cụ thể ta có định lý sau: hoặc

sao cho ff trên W ÇW

Định lý 1.6.4 vẫn đúng với chữ thập N- lá (N 2)

Sau đó Gonchar đã chứng minh được một kết quả tổng quát hơn các

kết quả trước đó của bài toán 1, đó là: D và G là các miền Jordan trong ,

A ( tương ứng )B là một tập con mở củaD(tương ứng G), và Z  Ta có định lý

Định lý 1.6.5( Gonchar)

Cho X  Y  , và DX G, Ylà các miền Jordan, và A( tương ứngB )là một tập mở khác rỗng củaD (tương ứng G). Khi đó với mỗi hàm f Î C(W , ) thoả mãn giả thiết của bài toán 1 với Z  thì tồn tại một hàm duy nhất f Î C(W ÈW , ) ÇO(W, ) sao cho ff trên W Trong đó W :( , )z w Î D G : ( , , )wz A D w( , , )w B G <1 ,

và w( , , )A D và ( , , )w  B Glà các hàm độ đo điều hoà

1.7 Lý thuyết Poletsky về các đĩa và định lý của Rosay trên các đĩa chỉnh hình

Lý thuyết Poletsky về các đĩa được phát minh bởi Poletsky (xem [30,31]) vào cuối những năm 1980 Nguyễn Việt Anh đã đưa ra một cách tiếp cận mới tới lý thuyết chỉnh hình tách dựa trên lý thuyết Poletsky về các đĩa Chúng tôi sẽ trình bày lại một số nội dung trong lý thuyết này

Ký hiệu E là đĩa đơn vị mở trong  Với một đa tạp phức M , ký hiệu O( ,E M) là tập hợp tất cả các ánh xạ chỉnh hình f : E M có tính chất

thác triển chỉnh hình trong một lân cận cuả E Ánh xạ f như vậy được gọi là

đĩa chỉnh hình trên M Hơn nữa, với một tập con A của M , đặt 1 , ( ) : 1, ,

0, .

 

là đa điều hoà dưới trên M

Định lý của Rosay mở ra một sự phát triển quan trọng trong lý thuyết Poletsky về các đĩa Các trường hợp đặc biệt của định lý đã được xét đến trong các công trình nghiên cứu của Poletsky, La'ransson-Sigurdsson và Edigarian

Từ W  D G khái niệmA-giới hạn tại một điểm của W trùng với khái niệm giới hạn thông thường nghĩa làA là hệ chính tắc Hơn nữa ta có thể thấy rằngW W\  là tập con đa cực địa phương củaD G Vì thế theo quan điểm của lý thuyết đa thế vị thì W ÇW "gần như" bằng với W Định lý sau là một dạng tổng

quát của định lý Alehyane - Zeriahi

Định lý 2.1(Nguyễn Việt Anh)

Cho X Y, là các đa tạp phức tuỳ ý, D Xvà G Ylà các tập mở và

Trong giả thiết của định lý trên Nguyễn Việt Anh đã bỏ đi các giả thiết giả lồi của các không gian nguồn X Y, trong định lý 1.6.4 Tức làX và

Y có thể là các đa tạp phức tuỳ ý Để chứng minh định lý này Nguyễn Việt Anh đã sử dụng lý thuyết Poletsky về các đĩa và định lý Rosay Chứng minh của định lý được chia làm bốn bước, trong bước 3 và bước 4 có sử dụng một số kết quả trong công trình chung của Nguyễn Việt Anh với Pflug (xem[ 27])

Chứng minh:

Bước 1: Trường hợp D là một đa tạp phức tuỳ ý,A là tập con mở của D và

G là tập con mở bị chặn của n

Sơ lược chứng minh bước 1: Ta xác định f như sau

Giả sử W= là tập tất cả các điểm ( , )z w Î D G với tính chất tồn tại 

một đĩa chỉnh hìnhf Î O( , )E D vàt Î E sao cho ( )ft z và  1

( , )t w Î X(f  ( )A ÇE B E G , ; , )Theo định lý 1.6.4 thì ff là ánh xạ duy nhất trong  1

f z w( , ) :ff ( , )t w (2.2) Sử dụng tính duy nhất của định lý 1.6.4 ta có thể chứng minh ¦ hoàn toàn xác định trên W Từ bổ đề 1.7.2 và bổ đề 1.7.3 suy ra

W=W

Hơn nữa từ cách xây dựng ¦, cố định mọi z Î D , ánh xạ thu hẹp ( ,.)

f z là chỉnh hình trên một tập mở wÎ G : ( , )z w ÎW Tuy nhiên là rất khó 

để chỉ ra f chỉnh hình đối với cả hai biến( , )z w Một chứng minh đầy đủ của kết luận này được đưa ra trong định lý 4.1 trong [21] Ở đây chúng ta chỉ giải thích ngắn gọn tại saofchỉnh hình trong một lân cận của một điểm cố định

( ,z w )ÎW Với mục đích này ta "thêm" một chiều phức của một lân cận phù hợp của ( ,z w0 0) để chữ thập 2- lá ban đầu thành chữ thập 3- lá Cuối cùng ta áp dụng định lý 1.6.4 với chữ thập 3 lá để hoàn thành chứng minh

Bước 2: Trường hợp D,G là các đa tạp phức tuỳ ý nhưng A D B, G

(tương ứngy Î O E G( , )) sao cho f(0)z0(tương ứng y(0) =w0)và

h t( , ) :tf( ( ), ( ))fty t , ( , )tt Î X(f 1( )A ÇE,y1( )B ÇE E E ; , )

( (X  ( ) ,  ( ) ; , ), )OsfA ÇEyB ÇE E E Z

từ định lý 1.6.4 ta có   11

( (  ( ) ,  ( ) ; , ), )

hÎ O X fA ÇEyB ÇE E E Z là ánh xạ duy nhất sao cho

Từ đó dễ dàng chỉ ra ƒ hoàn toàn xác định trên W Sau đây chúng tôi

giải thích tại sao ƒÎ O W Z , , nếu ta cố định f và cho y thay đổi (hoặc ngược lại cho y cố định còn f thay đổi) trong xây dựng ở trên sau đó ta thực hiện tương tự như (2.1) và (2.2) và áp dụng kết quả của bước 1 hai lần ta có kết luận: với mọi( ,z w0 0) Î W thì 

( , )

f z là hàm chỉnh hình trong 

w GÎ : ( , )z w0 ÎW (tương ứng 

( , )

fw là hàm chỉnh hình trong 

z Î D: ( ,z w0)Î W  Áp dụng định lý thác triển Hartogs cổ điển ta có   ,

f Î O W Z

Để tiếp tục chứng minh ta cần giới thiệu một số ký hiệu

Không mất tính chất tổng quát giả sử D và G là các miền có số chiều lần lượt là m,n Với mỗi a Î A ( tương ứngbÎ B),cố định một lân cận mở

U của a (tương ứng Vbcủa b ) sao cho Ua(tương ứngVb) là song chỉnh hình tới một miền bị chặn trong m(tương ứng n

 )

Với mỗi 0 12 

< định nghĩa 

Bước 3: Trường hợp G là một tập con mở bị chặn trong n

Sơ lược chứng minh bước 3 Chúng tôi chỉ mô tả cách xây dựngf Với mỗi aÎ AÇA cho  : ( , ; , )

aA UB U G

ff½X Ç , từ f Î OsWo,Zsuy ra fa Î Os( (X A U B U G ZÇ a, ; a, ), )

Vì Ua(tương ứngVb) là song chỉnh hình tới một tập mở bị chặn trong m

(tương ứngn) nên áp dụng định lý 1.6.4 cho fa thì có một ánh xạ duy nhất fa Î O( (X A U B U G ZÇ a, ; a, ), )sao cho

 ( , )a  a( , ) ( , ),

f z wf z wf z w ( , )z w Î X(AÇAÇU Ba, ÇB U G; a, ) (2.5)

2 

trên

ff trên W Thực ra đẳng thức  

Bước 4: Hoàn thành chứng minh định lý

Sơ lược chứng minh bước 4 Với mỗi aÎ AÇA cho  : ( , ; , )

aaaA U B U G

 ( , )fbz w f z w( , ), ( , )z w Î X(AÇA B, ÇBÇV D V (2.8) b; , b)Hơn nữa ta có thể dán họ ánh xạ 

, , :

sử dụng công thức trên ta có thể kiểm tra f¦ Î OS( (X A B D G, ; , ), )Z Từ (2.4) ta có A (tương ứng B ) là một tập con mở của  Df (tương ứngGf ) nên áp dụng bước 2 cho ¦ với mỗi 0 1

2 

< ta được một ánh xạ  ( ( , ; , ), )

: lim 

¦¦ trên W 

Thực ra đẳng thức  

2.2 Bài toán 1 trong trường hợp A  D B,  G

Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày hai trường hợp riêng của bài toán 1 với mục đích sử dụng hai hệ các miền xấp xỉ khác nhau được định

trên trên

nghĩa trong phần 1.1.2 Các kết quả này là công trình nghiên cứu chung của Nguyễn Việt Anh và Pflug (xem [27,28,29])

2.2.1 Trường hợp X Y, là các đa tạp một chiều

Định lý 2.2.1 ChoX Y, là các diện Riemann và DXvà G Ylà các tập con mở,A (tương ứngB) là tập con của D (tương ứngG ) sao cho D

(tương ứngG) là tốt trên A(tương ứngB), cảAvàBđều là các tập có chiều dài dương Đặt

: ( , ; , ), : ( , ; , ),: ( , ) : , , ) ( , , ) 1 ,

: ( , ) : , , ) ( , , ) 1

X A B D G X A B D Gz wD Gz A Dw B G

Khi đó với mỗi hàm ¦: W  thoả mãn các điều kiện sau:

(i) Với mọi aÎ A hàm f a ½( , ) G là hàm chỉnh hình và có giới hạn góc

fW nhận giới hạn gócf tại mọi điểm của W ÇW¢

Nếu , A B là các tập Borel hoặc nếu X  Y  thì W W ¢

Chứng minh:

Chứng minh của định lý này gồm hai bước Trước hết P Pflug và Nguyễn Việt Anh chứng minh định lý trong trường hợpD và G là các miền Jordan trong . Sau đó họ chứng minh định lý trong trường hợp tổng quát

Với mỗi 0< < 1tập hợpD :zÎ D: ( , , )wz A D <1(tương ứngG :w GÎ : ( , , )ww B G <1)được gọi là một tập mức của hàm độ đo

điều hoà ( , , )w A D (tương ứng w( , , )B G ) Trong bước thứ nhất P Pflug và Nguyễn Việt Anh cải tiến phương pháp của Gonchar (xem [8, 9]) bằng việc vận dụng công thức của Carleman (xem [3]) và các tính chất hình học của các tập mức của các hàm độ đo điều hoà Trong bước thứ hai họ áp dụng định lý kiểu chữ thập hỗn hợp để chứng minh định lý 2.2.1 vớiD(tương ứngG ) được thay thế bởiD (tương ứng G) Khi đó họ đi đến kết luận với các tập mở gốc

D(tương ứng G ) bằng kỹ thuật dán

Bước 1: Giả sử D và G là các miền Jordan

Cho { }ajj JÎ là dãy hữu hạn hoặc tập con đếm được củaAvới các tính chất sau:

(i) Với bất kỳ j Î J có một lân cận mở Uj của aj sao cho D UÇ jcũng là một miền Jordan hoặc là hợp rời nhau của hai miền Jordan

jj J

UzD Uz AU D UjJ,AU

 

f Î W¢ , một tập con Aj của (D UÇ )ÇA, một tập con Bjcủa

( , ; , ),( , ; , ).

WA B D GWA B D G

:

lim ( , ) ( , ), 0 , , 2

(2.14)

Từ (2.12) và (2.14) suy ra có một hàm ()

fÎW ¢ với mọi 0 12

Bổ đề: Với mỗi ( , )z w Î W¢ đặt

( , )

1 ( , , ) ( , , )2

Chứng minh tính duy nhất của hàm f

Thực vậy cho f Î O(W¢) có các tính chất sau:

i) Có một tập con A (hoặc  B ) của AÇA(tương ứng 

Vậy định lý được chứng minh

2.2.2 Dạng tổng quát của định lý Gonchar

Trước hết ta có một vài định nghĩa sau +) Với mỗi tập con mở 2n1

một siêu mặt tôpô trong n

+) ChoXlà một đa tạp phức có số chiềun , một tập con A X được

gọi là một siêu mặt tôpô nếu với mỗi điểm aÎ A có một bản đồ địa phương ( , : UfU n) quanh a sao cho f (A UÇ ) là một siêu mặt tôpô trong n

+) Cho DX là một tập con mở và cho A D là một tập con mở (với phương diện tôpô phát sinh trên D ) Giả sử A là siêu mặt tôpô , một điểm aÎ Ađược gọi là kiểu 1(tương ứng với D) nếu với mỗi lân cận U của

a có một lân cận mở Vcủa a sao cho V U và V ÇD là một miền Nếu a

không thoả mãn điều kiện trên thì ađược gọi là kiểu 2 Dễ dàng thấy rằng nếu

a là kiểu 2 thì với mỗi lân cận U của a có một lân cận mở V của a và hai miền V V1, 2 sao cho V U V, ÇD V 1ÈV2 và tất cả các điểm trong A VÇ là kiểu 1 tương ứng với V1 và V2

P Pflug và Nguyễn Việt Anh đã chứng minh đã chứng minh được mệnh đề sau:

Cho X là một đa tạp phức vàDlà một tập con mở củaX, A Dlà một tập con mở bị chặn và là siêu mặt tôpô Với mọi 0 <1đặt

z

2) Hơn nữa,

( , , ) ( , , ), 1

z, thì f 0.

Từ mệnh đề trên Nguyễn Việt Anh đưa ra mệnh đề sau

Mệnh đề 2.2.2.1 Cho X là một đa tạp phức và Dlà một tập con mở củaX,

Dđược trang bị hệ chính tắc của các miền xấp xỉ Giả sử A Dlà tập con mở bị chặn và là siêu mặt tôpô Khi đó A là đa chính quy địa phương và

 

AA