VỀ cận SAI số của hàm nửa LIÊN tục dưới

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC TRẦN THỊ HẰNG VỀ CẬN SAI SỐ CỦA HÀM NỬA LIÊN TỤC DƯỚI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC TRẦN THỊ HẰNG VỀ CẬN SAI SỐ CỦA HÀM NỬA LIÊN TỤC DƯỚI Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS.TRƯƠNG XUÂN ĐỨC HÀ Hà Nội – Năm 2015 Mục lục Lời nói đầu Danh mục kí hiệu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm nửa liên tục 1.2 Nguyên lý biến phân Ekeland 1.3 Tập lồi hàm lồi 10 Một số đặc trưng cận sai số hàm nửa liên tục 18 2.1 Khái niệm cận sai số 18 2.2 Điều kiện độ dốc mạnh vi phân 20 2.3 2.2.1 Điều kiện độ dốc mạnh 20 2.2.2 Điều kiện vi phân 25 Toán tử vi phân trừu tượng 36 Tính quy metric ánh xạ đa trị 44 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 Lời nói đầu Bài toán tìm điều kiện tồn cận sai số cho khoảng cách từ điểm tới tập mức hàm nửa liên tục Hoffman nghiên cứu lần đầu từ năm 1952 Bài toán phát biểu sau: Cho hàm nửa liên tục f : X → R ∪ {+∞} xác định không gian metric đủ X, nói f có cận sai số toàn cục mức α tồn số thực dương σ thỏa mãn σd (x, [f ≤ α]) ≤ (f (x) − α)+ , ∀x ∈ X (1) [f ≤ α] := {x ∈ X : f (x) ≤ α}, d (x, [f ≤ α]) khoảng cách từ điểm x đến tập [f ≤ α], t+ = max (t, 0) Hoffman thu kết cho hàm lồi đa diện dạng f (x) = max aTj x + bj , a1 , , am ∈ Rn b1 , , bm ∈ R Trong 1≤j≤m trường hợp hàm lồi không gian định chuẩn thỏa mãn điều kiện inf f ≤ α với X tập [f ≤ α] bị chặn ta thu bất đẳng thức (1) Thật vậy, giả sử f (x0 ) = α − θ < α với θ > lấy x ∈ X, f (x) > α xt := x + t (x0 − x) ∈ [f ≤ α] với t= f (x) − α ∈ [0, 1] θ + f (x) − α ||x − x0 || ≤ ||x − xt || + ||xt − x0 || ≤ t||x − x0 || + r + ||x0 ||, r bán kính hình cầu gốc chứa tập [f ≤ α] Như ta thu kết sau d (x, [f ≤ α]) ≤ r + ||x0 || (f (x) − α) θ Lời nói đầu Tiếp đó, Mangasarian, Auslender - Crouzeix Klatte-Li tìm điều kiện đủ cho tồn cận sai số hệ tuyến tính với điều kiện tiệm cận Trong trường hợp không lồi, kết cận sai số thuộc Ioffe, Ng-Zheng Wu-Ye Penot người nhận kết trường hợp hàm tựa lồi Các đặc trưng cận sai số trường hợp hàm lồi công bố Corneia-Jourari-Zalinesco, số tính chất khác thiết lập Lewis-Pang, Lemaire, Zalinesco Sau Azé tìm đặc trưng cận sai số hàm nửa liên tục không gian metric đầy đủ (xem tài liệu tham khảo báo [4]) Mục đích luận văn trình bày lại cách tổng quan số kết báo [4], [5] [6], [7] cận sai số hàm nửa liên tục Ngoài tác giả có trình bày số ví dụ để minh họa kết Luận văn gồm chương: Chương 1: Trình bày kiến thức sở hàm nửa liên tục dưới, Nguyên lý biến phân Ekeland giải tích lồi Chương 2: Trình bày số đặc trưng cận sai số hàm nửa liên tục thông qua khái niệm độ dốc mạnh vi phân Chương 3: Trình bày ứng dụng số kết cận sai số để nghiên cứu tính quy metric ánh xạ đa trị Luận văn thực hoàn thành Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, hướng dẫn khoa học PGS TS Trương Xuân Đức Hà Qua đây, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô giáo, người hướng dẫn khoa học mình, PGS TS Trương Xuân Đức Hà, người đưa đề tài tận tình Lời nói đầu hướng dẫn suốt trình thực luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ban lãnh đạo Viện Toán học, Trung tâm Đào tạo Sau đại học tập thể cán Viện Toán học tạo điều kiện thuận lợi cho thời gian học Cao học Tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình bạn bè khuyến khích giúp đỡ trình học tập nghiên cứu Do thời gian khối lượng kiến thức lớn, chắn luận văn tránh khỏi thiếu sót, mong nhận bảo tận tình thầy cô bạn bè đồng nghiệp, xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 08 năm 2015 Trần Thị Hằng Danh mục kí hiệu R Đường thẳng thực Rn Không gian Euclide n-chiều x∈M Phần tử x thuộc tập M y∈ /M Phần tử y không thuộc tập M ∀x Với x ∃x Tồn x A∩B Giao hai tập A B A∪B Hợp hai tập A B A\B Tập điểm thuộc tập A mà không thuộc tập B A×B Tích đề hai tập A B A+B Tổng hai tập A B || · || Chuẩn không gian Banach || · ||∗ Chuẩn không gian đối ngẫu < x∗ , x > Giá trị hàm x∗ x f :X→Y Ánh xạ đơn trị từ X vào Y F :X⇒Y Ánh xạ đa trị từ X vào Y intD Phần tập D inf f (x) infimum tập {f (x) : x ∈ A} sup f (x) supremum tập {f (x) : x ∈ A} x∈A x∈A t+ max {t, 0} Kết thúc chứng minh t.ư tương ứng Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày khái quát số kiến thức hàm nửa liên tục dưới, nguyên lý biến phân Ekeland giải tích lồi Những kiến thức trình bày chương chọn chủ yếu từ tài liệu [1], [2] 1.1 Hàm nửa liên tục Cho (X, d) không gian metric f : X → R ∪ {+∞} hàm số xác định X Kí hiệu dom(f ) = {x ∈ X : f (x) < +∞} miền hữu hiệu f , Cα (f ) = {x ∈ X : f (x) ≤ α} tập mức f α, epi(f ) = {(x, α) ∈ X × R : f (x) ≤ α} tập đồ thị f Hàm f gọi thường domf = ∅ Định nghĩa 1.1 Cho (X, d) không gian metric, hàm f : X → R ∪ {+∞} Chương Kiến thức chuẩn bị gọi hàm nửa liên tục x0 ∈ X thỏa mãn f (x0 ) ≤ lim inf f (x) , x→x0 lim inf f (x) = inf {y : ∃ {xi } ∈ domf, {xi } → x0 , f (xi ) → y} x→x0 Ta có định nghĩa khác hàm nửa liên tục sau: Định nghĩa 1.2 Cho (X, d) không gian metric, hàm f : X → R ∪ {+∞} gọi nửa liên tục x0 ∈ X với ε > tồn δ > cho f (x) > f (x0 ) − ε, với x ∈ X thỏa mãn d (x, x0 ) ≤ δ Hàm f gọi nửa liên tục X liên tục điểm X Ví dụ 1.1 Hàm f : R → R cho    x2    f (x) = 2x     1 x < 1, x > 1, x = liên tục điểm trừ điểm x = Tại x = 1, hàm f nửa liên tục Định lý 1.1 Cho (X, d) không gian metric hàm f : X → R ∪ {+∞} Khi khẳng định sau tương đương: (i) f hàm nửa liên tục X (ii) Tập đồ thị f tập đóng X × R (iii) Với α ∈ R, tập mức Cα (f ) tập đóng X Chương Kiến thức chuẩn bị Chứng minh (i) =⇒ (ii) Giả sử f nửa liên tục X Ta lấy dãy {(xn , αn )} ⊂ epif cho lim (xn , αn ) = (x0 , α0 ) Ta cần (x0 , α0 ) ∈ epif n→∞ Thật vậy, ta có lim xn = x0 , lim αn = α0 f hàm nửa liên tục x0 n→∞ n→∞ nên lim inf f (xn ) ≥ f (x0 ) Vì dãy {(xn , αn )} ⊂ epif nên f (xn ) ≤ αn với n, suy n→∞ lim inf f (xn ) ≤ lim (αn ) Do f (x0 ) ≤ lim inf f (xn ) ≤ lim (αn ) = α0 Chứng tỏ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ (x0 , α0 ) ∈ epif (ii) =⇒ (iii) Giả sử epif tập đóng X × R Ta chứng minh tập mức f đóng X Thật vậy, giả sử Cα (f ) = {x ∈ X : f (x) ≤ α} tập mức f Lấy {xn } ⊂ Cα (f ) thỏa mãn lim xn = x0 Do {xn } ⊂ Cα (f ) nên f (xn ) ≤ α, tức n→∞ (xn , α) ∈ epif, ∀n ∈ N Mà lim xn = x0 suy lim (xn , α) = (x0 , α) Hơn nữa, epif n→∞ n→∞ đóng X × R suy (x0 , α) ∈ epif , f (x0 ) ≤ α Vậy x0 ∈ Cα (f ) (iii) =⇒ (i) Giả sử Cα (f ) đóng X, ta cần chứng minh f hàm nửa liên tục tập X Giả sử phản chứng, f không hàm nửa liên tục x0 ∈ X Khi tồn dãy {xn } ⊂ X cho lim xn = x0 lim inf f (xn ) < f (x0 ) Chọn n→∞ n→∞ ε > đủ nhỏ cho có k ∈ N để f (xn ) ≤ f (x0 ) − ε, ∀n > k Xét tập mức C = {x ∈ X | f (x) ≤ f (x0 ) − ε} Do C đóng lim xn = x0 nên suy x0 ∈ C Do ta n→∞ có, f (x0 ) ≤ f (x0 ) − ε (vô lý) Vậy f hàm nửa liên tục X Định lý 1.2 Một hàm f nửa liên tục tập compact U thuộc không gian metric phải đạt cực tiểu tập Tuy nhiên, U tập compact điều không Chẳng hạn ta xét ví dụ đây: Chương Một số đặc trưng cận sai số hàm nửa liên tục với λ > Chúng ta dùng toán tử vi phân trừu tượng để đưa điều kiện đủ cho tồn cận sai số hàm không lồi theo định lý Định lý 2.7 Cho f : X → R ∪ {+∞} hàm nửa liên tục không gian Banach X Giả sử x0 ∈ S := {x ∈ X : f (x) ≤ 0} đồng thời giả sử tồn số µ > < ε ≤ ∞ thỏa mãn ||ξ||∗ ≥ µ−1 với ξ ∈ ∂ω f (x) với x cho < f (x) < ε (hay ||x − x0 || < ε < f (x) < +∞) Khi ta có dS (x) ≤ µf (x)+ với x ∈ X : f (x) < ε ε hay ||x − x0 || < 2 Chứng minh Giả sử phản chứng tồn u cho f (u) < ε ε ( hay u ∈ x0 + B ) 2 dS (u) > µf (u)+ Khi u ∈ / S < f (u) < +∞ Lấy α > t > cho f (u) ≤ ε ε ε ε < ( hay||u − x0 || ≤ < ) 2+α 2+α (2.7) dS (u) > tµf (u) := γ Như f (u)+ = f (u) = γ (tµ)−1 Suy f (u)+ ≤ inf f (v)+ + γ (tµ)−1 v∈X Vì f (.)+ hàm nửa liên tục bị chặn dưới, áp dụng Nguyên lý biến phân Ekeland cho hàm f (.)+ với σ = γ (tµ)−1 , λ = γ, ta tìm x ∈ X cho ||x − u|| ≤ γ , f (v)+ + (tµ)−1 h (v) ≥ f (x)+ ∀v ∈ X, 40 (2.8) Chương Một số đặc trưng cận sai số hàm nửa liên tục h (v) := ||v − x|| Từ (2.7) (2.8) ta x ∈ X, x ∈ / S < f (x) < +∞ Do f (v)+ + (tµ)−1 h (v) đạt cực tiểu x ∈ X, nên theo (ω2 ) ta ∈ ∂ω f (x)+ + (tµ)−1 h (x) Như theo (ω1 ) ta ∈ ∂ω f + (tµ)−1 h (x) Do f hàm nửa liên tục f (x) > nên tồn δ1 > cho < f (y) ∀y ∈ x + δ1 B Đặt δ := f (x) , (1 − t−1 ) µ−1 , δ1 , αε (2 + α)−1 Khi theo (ω4 ), tồn x1 , x2 ∈ x + δB thỏa mãn f (x) − δ < f (x1 ) < f (x) + δ, ∈ ∂ω f (x1 ) + ∂ω (tµ)−1 h (x2 ) + δB ∗ Vậy x1 ∈ x + δB < f (x1 ) < +∞, theo (ω3 ) suy tồn ξ ∈ ∂ω f (x1 ) thỏa mãn ||ξ||∗ < (tµ)−1 + δ ≤ (tµ)−1 + − t−1 µ−1 = µ−1 Điều mâu thuẫn với giả thiết Định lý ta có < f (x1 ) < f (x) + δ ≤ f (u)+ + (tµ)−1 ||u − x|| + δ ≤ f (u) + (tµ)−1 γ + δ ≤ 2f (u) + δ ≤ αε 2ε + = ε 2+α 2+α 41 Chương Một số đặc trưng cận sai số hàm nửa liên tục Hệ 2.2 Cho f : X → R ∪ {+∞} hàm nửa liên tục không gian Banach X Giả sử x0 ∈ S := {x ∈ X : f (x) ≤ 0} tồn số µ > , < ε ≤ ∞ thỏa mãn f có vi phân Fréchet x mà < f (x) < ε (hay ||x − x0 || < ε < f (x) < +∞) cho ||∇f (x) ||∗ ≥ µ−1 Khi ta dS (x) ≤ µf (x)+ ∀x ∈ X : f (x) < ε ε hay ||x − x0 || < 2 Định lý 2.8 Cho C tập đóng X, fi , |gj | : X → R ∪ {+∞} hàm nửa liên tục dưới, với i = 1, r, j = s Giả sử x0 ∈ S := {x ∈ C : f1 (x) ≤ 0, , fr (x) ≤ 0; g1 (x) = 0, , gs (x) = 0} , đặt f (x) = max {f1 (x) , , fr (x) ≤ 0; |g1 (x) |, , |gs (x) |} Giả sử tồn số µ > < ε < ∞ cho ||ξ||∗ ≥ µ−1 với ξ ∈ ∂ω (f + ψC ) (x), với x ∈ C, < f (x) < ε (hay ||x − x0 || < ε , < f (x) < +∞ Khi ta có dS (x) ≤ µf (x)+ ≤ µ ||F (x)+ || + ||G (x) || ε với x ∈ C, f (x) < Mệnh đề 2.8 Cho X không gian Banach ∂ toán tử vi phân thỏa mãn (P1 ) − (P2 ) Khi đó, với hàm nửa liên tục f : X → R ∪ {+∞}, với x, ta 42 Chương Một số đặc trưng cận sai số hàm nửa liên tục có |∇f | (x) ≥ lim inf (y,f (y))→(x,f (x)) d∗ (0, ∂f (y)) Chứng minh Giả sử x không cực tiểu địa phương f suy |∇f | (x) < +∞ Lấy σ > |∇f | (x) ε > 0, r > cho f (x) ≤ f (y) + σ||y − x||, ∀y ∈ Br (x) Suy hàm f + σ||· −x|| đạt cực tiểu địa phương x Theo tính chất (P2 ) ta tìm y, z ∈ X, y ∗ ∈ ∂f (y) , z ∈ ∂ (σ||· −x||) (z) thỏa mãn ||y − x|| ≤ ε, f (y) ≤ f (x) + ε ||y ∗ + z ∗ ||∗ ≤ ε Vì hàm σ||· −x|| hàm lồi nên theo tính chất (P1 ) ta ||z ∗ ||∗ ≤ σ Suy ||y ∗ ||∗ = ||y ∗ + z ∗ − z ∗ ||∗ ≤ ||y ∗ + z ∗ ||∗ + ||z ∗ ||∗ ≤ ε + σ 43 Chương Tính quy metric ánh xạ đa trị Trong phần này, tác giả trình bày ứng dụng số kết cận sai số để nghiên cứu tính quy metric ánh xạ đa tri Định nghĩa 3.1 Cho X, Y hai tập ký hiệu 2Y họ tập tập Y Khi ta nói F ánh xạ đa trị từ tập X vào tập Y với x ∈ X F (x) tập Y , kí hiệu F : X ⇒ Y hay F : X → 2Y Xét ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y Với x ∈ X y ∈ Y , ta đặt grF := {(x, y) : y ∈ F (x)} , F (x) := {y ∈ Y : (x, y) ∈ grF } , F −1 (y) := {x ∈ X : (x, y) ∈ grF } Cho z ∈ Y , định nghĩa hàm fz : X × Y → R ∪ {+∞} fz (x, y) := d (z, y) + IF (x, y) , 44 Chương Tính quy metric ánh xạ đa trị IF hàm grF IF (x, y) :=   0 (x, y) ∈ grF ,  +∞ lại (3.1) Ta nghiên cứu tính chất ánh xạ đa trị F thông qua tính chất cận sai số hàm fz Ví dụ 3.1 Cho f hàm lồi, ánh xạ F : R ⇒ R cho F (x) := ∂f (x), x ∈ R ánh xạ đa trị Mệnh đề 3.1 fz hàm nửa liên tục F ánh xạ đa trị đóng Mệnh đề 3.2 Với γ > ta có F −1 (y) × {y} [fz ≤ γ] = y∈B γ (z) Cho X, Y hai không gian metric Trong không gian tích X × Y ta đặt metric dρ ((x, y) , (x , y )) := max {d (x, x ) , ρd (y, y )}, với ρ > Nếu f : X × Y → R ∪ {+∞} hàm nửa liên tục dưới, ta đặt |∇δ f | độ dốc mạnh f ứng với metric dδ Định nghĩa 3.2 Ta nói ánh xạ đa trị F metric quy (x0 , y0 ) ∈ grF tồn τ > lân cận W (x0 , y0 ) cho τ d (x, F −1 (y)) ≤ d (y, F (x)) với (x, y) ∈ W Định nghĩa 3.3 Cho z ∈ X, ta đặt dz : X → R xác định dz (x) := d (z, x) Ta nói không gian metric X coherent z ∈ X |∇dz | (x) = với x ∈ X\ {z} 45 Chương Tính quy metric ánh xạ đa trị Nếu X coherent điểm z ∈ X ta nói X coherent Ví dụ 3.2 Cho X không gian định chuẩn, M tập lồi X Với z ∈ M cố định, xét hàm số dz : M → R cho dz (x) = ||x − z|| với x ∈ M Khi theo định nghĩa độ dốc mạnh ta có |∇dz | (x) = lim sup y→x dz (x) − dz (y) ||x − z|| − ||y − z|| = lim sup ≤ ||x − y|| ||x − y|| y→x n→∞ Vì M tập lồi nên ta chọn yn = λn z+(1 − λn ) x ∈ M , λ ∈ (0, 1], λn −→ 0, ta có ||x − z|| − ||yn − z|| ||x − z|| − ||λn z + (1 − λn ) x − z|| = lim = yn →x λn →0 ||x − yn || ||x − λn z − (1 − λn ) x|| lim Vậy |∇dz | (x) = Từ ví dụ ta rút nhận xét sau: Nhận xét 3.1 Mọi tập lồi không gian định chuẩn coherent Tiếp theo tìm hiểu Định lý thể mối liên hệ cận sai số hàm fz với tính quy metric ánh xạ đa trị F Định lý 3.1 Cho X, Y không gian metric đầy đủ, F ⊂ X × Y ánh xạ đa trị đóng, (x, y) ∈ F , V W lân cận tương ứng x¯ y, σ > 0, < δ ≤ (a) Giả sử |∇δ fz | (x, y) ≥ σ với (x, y, z) ∈ V × W × W , y = z, Khi đó, tồn ε > thỏa mãn 46 σ Chương Tính quy metric ánh xạ đa trị d (z, F (x)) ≥ σd (x, F −1 (z)) với (x, z) ∈ Bε (x) × Bε (y) (b) Ngược lại, giả sử Y coherent lân cận y thỏa mãn d (z, F (x)) ≥ σd (x, F −1 (z)) với (x, z) ∈ V × W , Khi tồn τ > cho |∇δ fz | (x, y) ≥ σd x, F −1 (z) , y ) y = z với (x, y, z) ∈ Br (x) × Br (y) × Br (¯ Chứng minh (a) Lấy ρ > cho B2ρ (x, y) ⊂ V × W z ∈ Bρσ (y) ⊂ W Ta có (x, y) ∈ Bρ (x, y) fz (x, y) = d (y, z) + iF (x, y) < ρσ (vì (x, y) ∈ F, z ∈ Bρσ (y)) Suy (x, y) ∈ Bρ (x, y) ∩ [fz < ρσ] Xét (x, y) ∈ [fz > 0] ∩ Bρ (U ) với U := Bρ (x, y) Do (x, y) ∈ Bρ (U ) suy dδ ((x, y) , U ) = inf (x ,y )∈U dρ ((x, y) , (x , y )) < ρ Do inf max {d (x, x ) , δd (y, y )} < ρ (x ,y )∈U Suy inf d (x, x ) < ρ (x ,y )∈U ρ d (y, y ) < (x ,y )∈U δ inf Mặt khác (x , y ) ∈ U = Bρ (x, y) nên ta dρ ((x , y ) , (x, y)) < ρ 47 Chương Tính quy metric ánh xạ đa trị Suy d (x , x) < ρ d (y , y) < ρ Từ ta có σ d (x, x) ≤ d (x, x ) + d (x , x) , ∀ (x , y ) ∈ U d (y, y) ≤ d (y, y ) + d (y , y) , ∀ (x , y ) ∈ U Suy d (x, x) ≤ inf d (x, x ) + ρ < ρ + ρ = 2ρ (x ,y )∈U d (y, y) ≤ inf d (y, y ) + (x ,y )∈U ρ ρ 2ρ ρ < + = σ σ σ σ Do dδ ((x, y) , (x, y)) < 2ρ Suy (x, y) ∈ B2ρ (x, y) ⊂ V × W Như theo giả thiết ta suy |∇δ fz | (x, y) ≥ σ với (x, y) ∈ [fz > 0] ∩ Bρ (U ) với U := Bρ (x, y) Từ ta suy fz (x, y) ≥ σ (x,y)∈U ∩[fz 0, tồn dãy (xn , yn ) ⊂ F (zn ) ⊂ Bσr (y) cho d (xn , x) → 0, d (zn , y) → d (zn , F (xn )) < σd xn , F −1 (zn ) suy d (zn , yn ) < σd xn , F −1 (zn ) (3.4) Áp dụng (3.4) với zn = y ta d (yn , y) < σd zn , F −1 (y) ≤ σd (xn , x) Do ta có dδ ((x, y) , (xn , yn )) := max {d (xn , x) , δd (yn y)} ≤ max {d (xn , x) , δσd (xn , x)} = d (xn , x) max {1, δσ} = d (xn , x) < r Suy (xn , yn ) ∈ Br (x, y) ∩ F nên theo (3.3) ta có d (zn , yn ) ≥ σd xn , F −1 (zn ) 49 (3.5) Chương Tính quy metric ánh xạ đa trị Vậy (3.4) mâu thuẫn với (3.5) suy điều phải chứng minh (b) Lấy r > thỏa mãn Br (x) ⊂ V, B3r (y) ⊂ W Y coherent Br (y) Lấy z ∈ Br (y) điểm cố định, γ ≥ (x, y) ∈ F ∩ (Br (x) × Br (y)) ∩ [fz > γ] cho γ < d (z, y) ≤ 2r Khi với y ∈ B γ (z) ⊂ V theo giả thiết ta d (y , F (x)) ≥ σd x, F −1 (y ) suy d (y , y) ≥ σd x, F −1 (y ) F −1 (y ) = ∅ với y, F −1 (y ) = ∅ d (y , y) = +∞ Ta có dδ (x, y) , F −1 (y ) × {y } = max d x, F −1 (y ) , δd (y, y ) d (y , y) , δd (y, y ) σ = d (y, y ) max ,δ σ ≤ d (y , y) σ ≤ max Suy d (y, y ) ≥ σdδ ((x, y) , F −1 (y ) × {y }) Do y ∈ B γ (z) tùy ý, nên ta có d y, B γ (z) ≥ σdδ ((x, y) , [fz ≤ γ]) Vì Y coherent Br (y) nên ta fz (x, y) − γ ≥ σdδ ((x, y) , [fz ≤ γ]) Đặt U := Br (x) × Br (y) ta fz (x, y) − γ ≥σ γ>0 (x,y)∈U ∩[fz >γ] dδ ((x, y) , [fz ≤ γ]) inf inf 50 Chương Tính quy metric ánh xạ đa trị Do z phần tử tùy ý Br (y) suy tồn τ > cho |∇δ fz | (x, y) ≥ σd (x, F −1 (z)) , ∀ (x, y, z) ∈ Br (x) × Br (y) × Br (¯ y ), y = z 51 KẾT LUẬN Dựa hai báo tổng quan D Azé (2003), A Survey on error bounds for lower semicontinuous functions D Azé, J.-N Corvellec, (2004), Characterizations of error bounds for lower semicontinuous functions on metric spaces, preprint University of Toulouse kiến thức giải tích lồi Nguyên lý biến phân Ekeland, luận văn trình bày lại số kết số đặc trưng cận sai số hàm nửa liên tục dưới, cách sử dụng công cụ Nguyên lý biến phân Ekeland Luận văn đạt kết sau: • Trình bày số kiến thức sở hàm nửa liên tục dưới, Nguyên lý biến phân Ekeland giải tích lồi • Trình bày số đặc trưng cận sai số hàm nửa liên tục thông qua khái niệm độ dốc mạnh vi phân • Trình bày tính quy metric ánh xạ đa trị Ngoài tác giả có tính toán số ví dụ minh họa kết 52 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật Hà Nội [2] Hoàng Tụy (2006), Lý Thuyết Tối Ưu, Viện Toán Học [B] Tài liệu tiếng Anh [3] Clarke F., Optimization and Nonsmooth Analysis, John Willey - Sons, New York, (1983) [4] D Azé(2003), A Survey on error bounds for lower semicontinuous functions, Proceedings of 2003 MODE-SMAI Conference, 1-17, ESAIM Proc., 13, EDP Sci., Les Ulis, 2003 [5] D Azé(2004), Characterizations of error bounds for lower semicontinuous functions on metric spaces, ESAIM Control Optim Calc Var 10(2004), no.3, 409425 [6] Z Wu and J Ye, Sufficient conditions for error bounds, SIAM J Optim 12 (2001/02), no.02, 421 − 435 53 Tài liệu tham khảo [7] Z Wu and J Ye, On error bounds for lower semicontinuous functions, Math Program 92, (2002), 301 − 314 54