Một số kết quả về tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng

Bậ GIO DệC V O TO TRìNG I HC VINH L VN HIN MậT Sẩ KT QU V TNH DìẻI CH•NH QUY M–TRIC TRONG GIƒI T•CH BI˜N PH…N V€ ÙNG DƯNG LUŠN •N TI˜N Sž TO•N HÅC NGH› AN - 2019 Bậ GIO DệC V O TO TRìNG I HC VINH L– V‹N HIšN MËT SÈ K˜T QUƒ V— T•NH DìẻI CHNH QUY MTRIC TRONG GII TCH BIN PHN V NG DệNG Chuyản ng nh: ToĂn GiÊi tẵch M số: 46 01 02 LUŠN •N TI˜N Sž TO•N HÅC NGìI HìẻNG DN KHOA HC TS Nguyạn Huy Chiảu PGS TS inh Huy Ho ng NGH› AN - 2019 LÍI CAM OAN Tỉi xin cam oan luªn ¡n tián sắ Mởt số kát quÊ vã tẵnh dữợi chẵnh quy mảtric giÊi tẵch bián phƠn v ựng dửng l cổng trẳnh nghiản cựu cừa riảng tổi, dữợi sỹ hữợng dăn cừa TS Nguyạn Huy Chiảu v PGS TS inh Huy Ho ng CĂc kát quÊ viát chung vợi cĂc tĂc giÊ khĂc  ữủc sỹ cho php cừa ỗng tĂc giÊ ữa v o luên Ăn CĂc kát quÊ ữủc trẳnh b y luên Ăn l mợi v chữa cổng bố bĐt kẳ cổng trẳnh nghiản cựu n o tứ trữợc án TĂc giÊ Lả Vôn Hin LI CM èN TĂc giÊ xin ữủc b y tọ lỏng cÊm ỡn sƠu s-c nhĐt án cĂc thƯy hữợng dăn TS Nguyạn Huy Chiảu l ngữới  t b i toĂn v tên tẳnh ch bÊo tĂc giÊ suốt quĂ trẳnh nghiản cựu PGS TS inh Huy Ho ng l ngữới  hữợng dăn, ởng viản v tÔo iãu kiằn thuên lủi cho tĂc giÊ suốt quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu tÔi trữớng Ôi hồc Vinh TĂc giÊ xin chƠn th nh cÊm ỡn quỵ thƯy cổ Bở mổn ToĂn GiÊi tẵch, Hởi ỗng khoa hồc ng nh ToĂn, Viằn Sữ phÔm Tỹ nhiản, Trữớng Ôi hồc Vinh  tÔo iãu ki»n thuªn lđi º t¡c gi£ ho n th nh nhiằm vử cừa nghiản cựu sinh Xin chƠn th nh cÊm ỡn TS TrƯn ThĂi An Nghắa ( Ôi hồc Oakland, M)  chia s kinh nghiằm nghiản cựu v õng gõp nhiãu ỵ kián quỵ bĂu cho tĂc giÊ suốt quĂ trẳnh thỹc hiằn luên Ăn TĂc giÊ xin gûi líi c£m ìn Ban gi¡m hi»u, Ban chõ nhi»m khoa v c¡c th¦y cỉ, anh chà em v bÔn b ỗng nghiằp Trữớng Ôi hồc H Tắnh, Khoa Sữ phÔm  quan tƠm ởng viản cụng nhữ tÔo mồi iãu kiằn thuên lủi cổng viằc cho t¡c gi£ tªp trung håc tªp v ho n th nh luªn ¡n Ci còng, t¡c gi£ xin b y tọ lỏng biát ỡn sƠu s-c tợi cĂc th nh viản gia ẳnh, bÔn b, ỗng nghiằp  luổn ëng vi¶n, chia s´ v gióp ï t¡c gi£ suốt quĂ trẳnh d i hồc têp v nghiản cựu Ngh» An, ng y 03 th¡ng n«m 2019 T¡c giÊ Lả Vôn Hin MệC LệC M Ưu Chữỡng Kián thực chuân b 21 1.1 Mởt số khĂi niằm v tẵnh chĐt bờ trủ 21 1.2 Tẵnh chĐt chẵnh quy v iãu kiằn chuân hâa 25 1.3 Kát luên Chữỡng 31 Ch÷ìng Ôo h m cừa Ănh xÔ nõn phĂp tuyán vợi iãu kiằn dữợi chẵnh quy mảtric 32 2.1 Tẵnh toĂn Ôo h m cừa Ănh xÔ nõn phĂp tuyán 32 2.2 •p dửng v o lỵ thuyát phữỡng trẳnh suy rởng 52 2.3 K¸t luên Chữỡng 60 Ch÷ìng Ên ành xiản thổng qua Ôo h m cừa Ănh xÔ dữợi vi phƠn cho mởt lợp b i toĂn tối ữu vợi giÊ thiát chẵnh quy gƯn kã 62 3.1 c trững bêc hai cừa tẵnh ờn nh xiản cho mởt lợp b i toĂn tối ữu khổng r ng buởc 63 3.2 ấn nh xiản quy hoÔch phi tuyán vợi giÊ thiát dữợi chẵnh quy mảtric 74 3.3 Kát luên Chữỡng 102 Kát luên chung v kián ngh 104 Danh mửc cổng trẳnh cừa NCS cõ liản quan án luên Ăn 106 T i liằu tham kh£o 107 MËT SÈ K• HI›U DỊNG TRONG LUN N 9x tỗn tÔi x 8x vợi mồi x f:X!Y F:X Y gphF Ănh xÔ ỡn tr tứ X v o Y Ănh xÔ a tr tứ X v o Y ỗ th cừa Ănh xÔ F : X Y domF miãn hỳu hiằu cừa Ănh xÔ F : X Y rgeF Ênh cừa Ănh xÔ F : X Y Br(x) B hẳnh cƯu õng tƠm x bĂn kẵnh r > rf(x) : X ! Y Ôo h m cừa f tÔi x () h m ch cừa tªp R R tªp sè thüc tªp sè thüc khỉng dữỡng R têp số thỹc suy rởng R [ f 1g têp tĐt cÊ cĂc ma thỹc ối xựng cĐp n khổng gian èclit n chiãu hẳnh cƯu ỡn âng n S n R R+ n R n têp hủp cĂc vctỡ vợi tồa khổng Ơm R n têp hủp cĂc vctỡ vợi tồa khổng dữỡng R têp rộng ; n x2R n C R h:; :i x l phƯn tỷ cừa têp R n n C l têp cừa R tẵch vổ hữợng R n n k:k int chuân èclit R phƯn cừa têp conv bao lỗi cừa têp n C ? n phƯn bũ trỹc giao cừa C R , tùc l ? n C := u R j hu; xi = vỵi måi x C nân n cüc cõa C R , tùc l Co posC o n C := u R j hu; xi vỵi måi x C n tờ hủp tuyán tẵnh dữỡng cừa C R , tùc l n posC := {xi} ' x!x x!x "#0 [ ]+ d (x) o(t) P := Q lim inf ' lim sup ' Nb (x) N (x) T (x) Db F DF @'b @' P k i=1 ici j i 0; ci C [ f0g; o i = 1; : : : k; k N d¢y v²ctì x ! x v '(x) ! '(x) x!xv x2 "!0v " phƯn dữỡng cừa , tực l [ ]+ := maxf ; 0g kho£ng c¡ch tø x ¸n h m ch¿ cõa tªp vỉ còng b² bªc cao hìn t (tùc l lim o(t) = 0) t!0 t P ữủc nh nghắa bơng Q kát thúc chựng minh giợi hÔn dữợi cừa h m số ' giợi hÔn trản cừa h m số ' nõn phĂp tuyán Frchet cừa tÔi x nõn phĂp tuyán qua giợi hÔn cừa tÔi x nõn tiáp tuyán Bouligand-Severi cừa tÔi x ối Ôo h m Frchet cừa Ănh xÔ F Ôo h m ỗ th cừa Ănh xÔ F dữợi vi phƠn Frchet cừa h m ' dữợi vi phƠn qua giợi hÔn cừa h m ' I (x) + I ( ) (x; x ) (x; x ; v) K(x; x ) L(x; ) g têp ch số hoÔt tÔi x têp cĂc ch số bũ cht têp cĂc nhƠn tỷ KKT tữỡng ựng vợi (x; x ) têp nhƠn tỷ nhƠn tỷ theo hữợng v nõn tợi hÔn cừa tÔi (x; x ) L (x; ; ) LP(v) h m Lagrange DP(v) b i toĂn quy hoÔch tuyán t½nh phư thc tham sè v subregF (x; y) b i toĂn ối ngău cừa LP(v) tilt(f; x) mổ un tẵnh dữợi chẵnh quy mảtric cừa F tÔi (x; y) h m Lagrange suy rëng mỉ un ch½nh x¡c cõa tẵnh ờn nh xiản cừa f tÔi x DANH MệC CC CH VIT TT BEPP tẵnh chĐt im cỹc biản b chn CPLD chuân hõa r ng buởc ởc lêp tuyán tẵnh dữỡng CRCQ chuân hõa r ng buởc hÔng hơng KKT Karush-Kuhn-Tucker LICQ chuân hõa r ng buởc ởc lêp tuyán tẵnh MFCQ chuân hõa r ng buởc Mangasaria-Fromivitz MSCQ chuân hõa r ng buởc dữợi chẵnh quy mảtric CPLD chuân hõa r ng buởc ởc lêp tuyán tẵnh dữỡng nợi lọng RCQ chuân hõa r ng buởc Robinson RUSOSC iãu kiằn bêc hai ãu nợi lọng SSOSC iãu kiằn bêc hai mÔnh USOSC iãu kiằn õ bªc hai ·u b0 = B0x; T T = T T x B0x b x = x B0x: Vẳ B0 l ma nỷa xĂc nh d÷ìng, ta câ T x B0 x + b x + n T T T =2 x B0x x B0x + x B0x =1 (x x)T B0(x x) 0; n vỵi måi x R : Vẳ vêy = R : iãu n y vợi tẵnh xĂc nh dữỡng cừa A suy iºm døng x l cüc tiºu àa ph÷ìng ờn nh xiản cừa (3.41) 3.2.24 Nhên xt Trong [29, Example 8.5], Gfrerer v Mordukhovich  ữa nhên xt: Khổng hy vồng cõ ữủc mởt c trững bêc hai tÔi im ang xt cho tẵnh ờn nh xiản cừa B i toĂn quy hoÔch phi tuyán (3.11) dữợi iãu kiằn MSCQ (ngay cÊ dữợi MFCQ) Những nhên xt n y, theo kát quÊ trản, phÊi loÔi trứ trữớng hủp b i toĂn quy hoÔch to n phữỡng vợi mởt r ng buởc to n phữỡng: nh lỵ 3.2.23  chựng tọ rơng tỗn tÔi c trững bêc hai tÔi im ang xt cho tẵnh ờn nh xiản cừa B i toĂn quy hoÔch to n phữỡng (3.41) dữợi iãu kiằn MSCQ kát thúc, chúng tổi ữa cĂc vẵ dử minh hồa cho cĂc trữớng hủp cừa nh lỵ 3.2.23 xÊy v chựng tọ sỷ dửng nh lỵ n y cõ th d ng nhên biát ữủc cỹc tiu a phữỡng ờn nh xiản cõa iºm døng 3.2.25 V½ dư X²t b i to¡n quy hoÔch to n phữỡng sau: g(x) := 2x + 2x 2 Ta thĐy rơng x = (0; 0) l câ q(x) = (0; 0); rq(x) = (2; 2) 6= (0; 0); rg(x) = (0; 0) v A = j q(x) := x x 2 + 2x1 + 2x2 : (3.44) iºm dứng cừa (3.44) Tẵnh toĂn trỹc tiáp ta 10 101 l ma xĂc nh dữỡng Theo khng nh (i) nh lỵ 3.2.23 thẳ x l cỹc tiu a phữỡng ờn nh xiản cừa (3.44) 3.2.26 Vẵ dử Xt b i toĂn quy hoÔch to n ph÷ìng R : g(x) := 4x 2x 2 x1 x2 j q(x) := 2x 2x 2 + 2x1 + 2x2 : x2R (3.45) Ta câ x = (0; 0) l rg(x) = ( 1; 1); A = ; B0 = iºm døng cõa (3.45), q(x) = 0; rq(x) = (2; 2); p kB0x + b0kA + kAx + akB0 = ; b = (2; 2) v ; 502 p 2 fw R jhB0x + b0; wi = 0g = fw R jw1 + w2 = 0g: 2 Vẳ thá, vợi mội x R vỵi w fw R jhB0x + b0; wi = 0g; ta câ p p p > 0: w; kB0x + b0kA + kAx + akB0 w = 2w1 2w2 = 2w1 cüc tiu a Theo khng nh (ii) nh lỵ 3.2.23 thẳ x = (0; 0) l phữỡng ờn nh xiản cõa (3.45) 3.2.27 V½ dư X²t b i to¡n: g(x) := x2 + x2R x2 jqx ( ) := x2 x2 : (3.46) Ta thĐy rơng MSCQ thọa mÂn tÔi x = (0; 0); q(x) = 0; rq(x) = R2 v A l ma xĂc nh dữỡng Theo khng nh (iii) nh lỵ 3.2.23 thẳ x l cỹc tiu a phữỡng ờn nh xiản cừa (3.46) 102 3.3 Kát luên Chữỡng Trong chữỡng n y, chúng tổi  thu ữủc cĂc kát quÊ sau: - ữa mởt c trững bêc hai mợi vã tẵnh ờn nh xiản thổng qua Ôo h m ỗ th dữợi gradient ( nh lỵ 3.1.3), Ơy l mởt cĂch tiáp cên ho n to n mợi trản khổng gian nãn c trững tẵnh ờn nh xiản, kát quÊ n y l cỡ s quan trồng thu ữủc nhỳng hiu biát vã tẵnh ờn nh xiản cừa b i toĂn quy hoÔch phi tuyán - ữa cĂc vẵ dử chựng tọ tẵnh chẵnh quy gƯn kã l tẵnh chĐt quan trång, m§u chèt £m b£o c¡c chi·u k²o theo cõa nh lỵ 3.1.3 (xem cĂc vẵ dử 3.1.4, 3.1.5) - Thiát lêp ữủc c trững cừa cỹc tiu a phữỡng ên ành xi¶n cõa B i to¡n (3.11) qua i·u kiằn bêc hai ãu nợi lọng (RUSOSC) v mởt phiản bÊn sỷa ời cừa nõ ( nh lỵ 3.2.5) - Thiát lêp ữủc iãu kiằn bêc hai tÔi im ang xt cho tẵnh ờn nh xiản cừa B i toĂn (3.11) vợi mổ un ( nh lỵ 3.2.9) v khổng quan tƠm án mổ un ( nh lỵ 3.2.11) vợi iãu kiằn MSCQ - ữa khng ành SSOSC l i·u ki»n õ cho t½nh ên ành xiản ch dữợi iãu kiằn MSCQ (Hằ quÊ 3.2.13), Hằ quÊ n y thu ữủc kát luên giống vợi kát quÊ m Mordukhovich v Outrata ([59])  thiát lêp dữợi iãu kiằn yáu hỡn rĐt nhiãu - ữa vẵ dử chựng tọ tẵnh ữu viằt cừa cĂc kát quÊ cĂc nh lỵ 3.2.9, 3.2.11 v Hằ quÊ 3.2.13 so vợi cĂc kát quÊ Â ữủc thiát lêp [29] v [59] (Vẵ dử 3.2.14) - Khi thảm v o i·u ki»n 2-ch½nh quy ho°c khỉng suy tho¡i chúng tổi thu ữủc iãu kiằn cƯn bêc hai tÔi iºm ang x²t cho cüc tiºu àa ph÷ìng 103 ên nh xiản cừa B i toĂn (3.11) vợi iãu kiằn MSCQ, iãu kiằn cƯn n y cụng rĐt gƯn vợi iãu kiằn  ữủc thiát lêp ( nh lỵ 3.2.20) - Tờng hủp cĂc kát quÊ trản chúng tổi ữa c trững bêc hai tÔi im cho tẵnh ên ành xi¶n cõa B i to¡n (3.11) (H» qu£ 3.2.21) - Thiát lêp c trững cừa cỹc tiu a phữỡng ờn nh xiản cừa b i toĂn quy hoÔch to n phữỡng vợi mởt r ng buởc bĐt ng thực to n phữỡng vợi iãu kiằn MSCQ thổng qua iãu kiằn tữớng minh hỡn hỡn ( nh lỵ 3.2.23) v ữa cĂc vẵ dử minh hồa cho nh lỵ n y (Vẵ dử 3.2.25, 3.2.26 v 3.2.27) 104 KT LUN CHUNG V KIN NGH Kát luên chung Luên Ăn n y ữủc d nh nghiản cựu tẵnh dữợi chẵnh quy mảtric vợi cĂc ựng dửng cừa nõ Kát quÊ chẵnh cừa luên Ăn bao gỗm: - Thiát lêp ữủc cổng thực tẵnh Ôo h m ỗ th cho mởt lợp Ănh xÔ nõn phĂp tuyán vợi iãu kiằn chuân hõa dữợi chẵnh quy mảtric çng thíi, sû dưng cỉng thùc n y, thu ÷đc cĂc cổng thực tẵnh Ôo h m ỗ th cừa Ănh xÔ nghiằm v c trững ữủc tẵnh ờn nh tắnh lng cổ lêp cho mởt lợp phữỡng trẳnh suy rởng Kát quÊ cừa chúng tổi hủp nhĐt ữủc nhiãu kát quÊ quan trồng theo hữợng nghiản cựu n y - Thiát lêp ữủc c trững cừa cỹc tiu a phữỡng ờn nh xiản cho lợp b i toĂn tối ữu khổng r ng buởc vợi h m mửc tiảu chẵnh quy gƯn kã v liản tửc dữợi vi phƠn thổng qua tẵnh xĂc nh dữỡng ãu cừa Ôo h m ỗ th dữợi gradient cừa h m mửc tiảu Thay vẳ sỷ dửng dữợi vi phƠn bêc hai, Ơy chúng tổi  sỷ dửng Ôo h m dữợi gradient nghiản cựu tẵnh ờn nh xiản Ơy l cĂch tiáp cên mợi, chữa tứng ữủc sỷ dửng bi cĂc tĂc giÊ trữợc õ Hỡn nỳa, chúng tổi chựng minh ữủc rơng giÊ thiát chẵnh quy gƯn kã l thiát yáu cho cÊ iãu kiằn cƯn v iãu kiằn - Thu ữủc mởt số iãu kiằn cƯn, iãu ki»n õ º mët iºm døng cõa b i to¡n quy hoÔch phi tuyán vợi giÊ thiát dữợi chẵnh quy mảtric l cỹc tiu a phữỡng ờn nh xiản c biằt, chúng tổi chựng minh ữủc rơng 105 im dứng cừa quy hoÔch phi tuyán l cỹc tiu a phữỡng ờn nh xiản náu iãu kiằn bêc hai mÔnh v chuân hõa dữợi chẵnh quy mảtric ữủc thọa mÂn Thảm v o õ, vợi quy hoÔch to n phữỡng câ mët r ng buëc b§t ¯ng thùc to n phữỡng thọa mÂn iãu kiằn chuân hõa dữợi chẵnh quy mảtric, bơng cĂch khai thĂc tẵnh c thũ cừa b i toĂn, chúng tổi  ữa ữủc c trững ìn gi£n, t÷íng minh hìn cho cüc tiºu àa ph÷ìng ờn nh xiản Kián ngh vã nhỳng hữợng nghiản cựu tiáp theo Chúng tổi thĐy rơng ã t i cừa luên Ăn n y văn cõ th tiáp tửc phĂt trin theo cĂc hữợng sau: - Sỷ dửng cĂch tiáp cên ờn nh xiản qua Ôo h m ỗ th, khÊo sĂt tẵnh ờn nh xiản cho b i toĂn quy hoÔch nõn khổng a diằn GƯn Ơy, M Benko v c¡c cëng sü ([7]) thu ÷đc mët sè kát quÊ theo cĂch tiáp cên n y cho quy hoÔch nõn bêc hai ối vợi cĂc lợp quy hoÔch nõn khĂc, vĐn ãny ang cƯn ữủc nghiản cựu thảm - KhÊo sĂt xem cõ th nghiản cựu tẵnh ờn nh Ưy theo nghắa Levy-Poliquin-Rockafellar ([50]) bơng cĂch sỷ dửng Ôo h m ỗ th dữợi gradient khổng? Hiằn nay, văn chữa cõ kát quÊ n o ữủc thiát lêp theo hữợng nghiản cựu n y, ch cõ mởt số c trững ờn nh Ưy thổng qua dữợi vi phƠn bêc hai 106 DANH MệC CặNG TRNH CÕA NGHI–N CÙU SINH C LI– N QUAN ˜N LUŠN •N N H Chieu and L V Hien (2017), Computation of graphical deriva-tive for a class of normal cone mappings under a very weak condition, SIAM J Optim., 27, 190 204 N H Chieu, L V Hien and T T A Nghia (2018), Characterization of tilt stability via subgradient graphical derivative with applications to nonlinear programming, SIAM J Optim., 28, 2246 2273 N H Chieu, L V Hien and N T Q Trang (2018), Tilt stability for quadratic programs with one or two quadratic inequality constraints, submitted 107 T€I LI›U THAM KHƒO [1] S Adly, F Nacry and L Thibault (2016), Preservation of proxregularity of sets with applications to constrained optimization, SIAM J Optim., 26, 448 473 [2] R Andreani, G Haeser, M L Schuverdt and P J S Silva (2012), A relaxed constrant positive linear dependence contraint qualification and applications, Math Program 135, 255 273 [3] J.-P Aubin (1981), Contingent derivatives of set-valued maps and existence of solutions to nonlinear inclusions and differential inclusions Mathematical analysis and applications, Part A, pp 159-229, Adv in Math Suppl Stud., 7a, Academic Press, New York-London [4] J.-P Aubin, H Frankowska (1990), Set-valued analysis, Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA [5] D Azzam-Laouira, A Makhloufa and L Thibault (2016), On perturbed sweeping process, Applicable Analysis, 95, 303 322 [6] B Bank, J Guddat, D Klatte, B Kummer and K Tammer (1982), Non-Linear Parametric Optimization, Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, Berlin [7] M Benko, H Gfrerer and B S Mordukhovich (2018), Characterizations of tilt-stable minimizers in second-order programming, submitted, http://arxiv.org/abs/1809.03607 cone 108 [8] J F Bonnans and A Shapiro (2000), Perturbation Analysis of Op-timization Problems, Springer, New York [9] J M Borwein (1986), Stability and regular points of inequality sys-tems, J Optim Theory Appl., 48, 52 [10] J M Borwein and D M Zhuang (1988), Verifiable necessary and sufficient conditions for openness and regularity of set-valued and single-valued maps, J Math Anal Appl., 134, 441 459 [11] J V Burke (1991), Calmness and exact penalization, SIAM J Con-trol Optim., 29, 493 497 [12] N H Chieu and L V Hien (2017), Computation of graphical deriva-tive for a class of normal cone mappings under a very weak condition, SIAM J Optim., 27, 190 204 [13] N H Chieu, L V Hien and T T A Nghia (2018), Characterization of tilt stability via subgradient graphical derivative with applications to nonlinear programming, SIAM J Optim., 28, 2246 2273 [14] N H Chieu, L V Hien and N T Q Trang (2018), Tilt stability for quadratic programs with one or two quadratic inequality constraints, submited [15] G Colombo and L Thibault (2010), Prox-regular sets and applica-tions, in Handbook of Nonconvex Analysis, D Y Gao and D Motre-anu, eds., International Press, Boston, 99 182 [16] R Correa, D.Salas and L Thibault (2018), Smoothness of the metric projection onto nonconvex bodies in Hilbert spaces, J Math Anal Appl., 457, 1307-1332 109 [17] A L Dontchev (1995), Characterizations of Lipschitz stability in optimization In: Recent developments in well-posed variational prob-lems Kluwer, Dordrecht, 95 115 [18] A L Dontchev and R T Rockafellar (1996), Characterizations of strong regularity for variational inequalities over polyhedral convex sets, SIAM J Optim., 6, 1087 1105 [19] A L Dontchev and R T Rockafellar (2001), Ample parameterization of variational inclusions, SIAM J Optim., 12, 170 187 [20] A L Dontchev and R T Rockafellar (2004), Regularity and condi-tioning of solution mappings in variational analysis, SetValued Anal-ysis, 12, 79 109 [21] A L Dontchev and R T Rockafellar (2014), Implicit functions and solution mappings A view from variational analysis Second edition Springer Series in Operations Research and Financial Engineering Springer, New York [22] A L Dontchev, A S Lewis and R T Rockafellar (2003), The radius of metric regularity, Trans Amer Math Soc., 355, 493 517 [23] A L Dontchev, M Quincampoix and N Zlateva (2006), Aubin criterion for metric regularity, J Convex Anal., 13, 281 297 [24] D Drusvyatskiy and A S Lewis (2013), Tilt stability, uniform quadratic growth, and strong metric regularity of the subdifferential, SIAM J Optim., 23, 256 267 [25] D Drusvyatskiy, B Mordukhovich and T T A Nghia (2014), Second-order growth, tilt stability, and metric regularity of the subdifferential, J Convex Anal., 21, 1165 1192 110 [26] A C Eberhard and R Wenczel (2012), A study of tilt-stable optimality and suffcient conditions, Nonlinear Anal., 75, 1260 1281 [27] J F Edmond and L Thibault (2005), Relaxation of an optimal control problem involving a perturbed sweeping process, Math Pro-gram., 104, 347 373 [28] H Gfrerer and J V Outrata (2016), On computation of generalized derivatives of the normal cone mapping and their applications, Math Oper Res., 41, 1535 1556 [29] H Gfrerer and B S Mordukhovich (2015), Complete characteriza-tions of tilt stability in nonlinear programming under weakest quali-fication conditions SIAM J Optim., 25, 2081 2119 [30] H Gfrerer and B S Mordukhovich (2017), Robinson stability of parametric constraint systems via variational analysis, SIAM J Op-tim., 27, 438 465 [31] H Gfrerer and B S Mordukhovich (2018), Second-order variational analysis of parametric constraint and variational systems, to appear in SIAM J Optim.; arXiv:1711.07082 [32] H Gfrerer and J J Ye (2017), New constraint qualifications for mathematical programs with equilibrium constraints via variational analysis, SIAM J Optim., 27, 842 865 [33] L Guo, J Zhang and G.-H Lin (2014), New results on constraint qualifications for nonlinear extremum problems and extensions, J Optim Theory Appl., 163, 737 754 [34] N T V Hang, B S Mordukhovich and M E Sarabi (2018), Second-order variational analysis in second-order cone programming, to ap-pear in Math Program., arXiv:1707.07766 111 [35] R Henrion, A Kruger and J V Outrata (2013), Some remarks on stability of generalized equations, J Optim Theory Appl., 159, 681 697 [36] R Henrion and J V Outrata (2005), Calmness of constraint systems with applications, Math Program., 104, 437 464 [37] R Henrion, J V Outrata and T Surowiec (2012), On regular coderivatives in parametric equilibria with non-unique multipliers, Math Program., 136, 111 131 [38] A D Ioffe (1979), Necessary and sufficient conditions for a local minimum 1: A reduction theorem and first order conditions, SIAM J Control Optim., 17, 245 250 [39] A D Ioffe (1979), Regular points of Lipschitz functions, Trans Amer Math Soc., 251, 61 69 [40] A D Ioffe (2000), Metric regularity and subdifferential calculus Rus-sian Math Surveys, 55, 501 558 [41] A D Ioffe (2016), Metric regularity-A survey part I Theory, J Aust Math Soc., 101, 188 243 [42] A D Ioffe (2016), Metric regularity-A survey part II Applications, J Aust Math Soc., 101, 376 417 [43] A D Ioffe and J V Outrata (2008), On metric and calmness qual-ification conditions in subdifferential calculus, Set-Valued Analysis, 16, 199 227 [44] D Klatte and B Kummer (2002), Nonsmooth equations in optimiza-tion: Regularity, calculus, methods and applications, Kluwer Aca-demic Publishers, Dordrecht 112 [45] D Klatte and B Kummer (2002), Constrained minima and Lipschitzian penalties in metric spaces, SIAM J Optim., 13, 619 633 [46] D Klatte and B Kummer (2009), Optimization methods and stability of inclusions in Banach spaces, Math Program., 117, 305 330 [47] A J King and R T Rockafellar (1992), Sensitivity analysis for non-smooth generalized equations, Math Program., 55, 193 212 [48] A B Levy (1996), Implicit multifunction theorems for the sensitivity analysis of variational conditions, Math Program., 74, 333 350 [49] A B Levy (2001), Solution sensitivity from general principles SIAM J Control Optim., 40, 38 [50] A B Levy, R A Poliquin and R T Rockafellar (2000), Stability of locally optimal solutions, SIAM J Optim., 10, 580 604 [51] H V Ngai and M Th²ra (2001) Metric Inequality, subdifferential calculus and applications, Set-valued Analysis, 9, 187-216 [52] H V Ngai and P N Tinh (2015), Metric subregularity of multifunc-tions: first and second order infinitesimal characterizations, Math Oper Res., 40, 703 724 [53] L Minchenko and S Stakhovski (2011), On relaxed constant rank regularity condition in mathematical programming, Optimization, 60, 429 440 [54] B S Mordukhovich (2003), Complete characterization of openness, metric regularity, and Lipschitzian properties of multifunctions, Trans Amer Math Soc., 340, 35 [55] B S Mordukhovich (2006), Variational Analysis and Generalized Differentiation, I: Basic Theory, II: Applications, Springer, Berlin 113 [56] B S Mordukhovich (2018), Variational Analysis and Applications, Springer International Publishing AG [57] B S Mordukhovich and T T A Nghia (2015), Second-order char-acterizations of tilt stability with applications to nonlinear program-ming, Math Program., 149, 83 104 [58] B S Mordukhovich and T T A Nghia (2014), Full Lipschitzian and Holderian stability in optimization with applications to mathematical programming and optimal control, SIAM J Optim., 24, 1344 1381 [59] B S Mordukhovich and J V Outrata (2012), Tilt stability in nonlinear programming under Mangasarian-Fromovitz constraint quali-fication, Kybernetika, 49, 446 464 [60] B S Mordukhovich, J V Outrata and H Ram½rez C (2015), Second-order variational analysis in conic programming with applications to optimality and stability, SIAM J Optim., 25, 76 101 [61] B S Mordukhovich, J V Outrata and H Ram½rez C (2015), Graph-ical derivatives and stability analysis for parameterized equilibria with conic constraints, Set-Valued Var Anal., 23, 687 704 [62] B S Mordukhovich and R T Rockafellar (2012), Second-order sub-differential calculus with applications to tilt stability in optimization, SIAM J Optim., 22, 953 986 [63] B.S Mordukhovich and M E Sarabi (2017), Critical multipliers in variational systems via second-order generalized differentiation, Math Program., 169, 605 648 [64] J.-P Penot (1989), Metric regularity, openness and Lipschitzian be-havior of multifunctions, Nonlinear Anal, 13, 629 643 114 [65] R A Poliquin and R T Rockafellar (1996), Prox-regular functions in variational analysis, Trans Amer Math Soc., 348, 1805 1838 [66] R A Poliquin and R T Rockafellar (1998), Tilt stability of a local minimum, SIAM J Optim., 8, 287 299 [67] R A Poliquin, R T Rockafellar and L Thibault (2000), Local dif- ferentiability of distance functions, Trans Amer Math Soc., 352, 5231 5241 [68] L Qi and Z Wei (2000), On the constant positive linear dependence condition and its application to SQP methods, SIAM J Optim., 10, 963 981 [69] S M Robinson (1980), Strongly regular generalized equations, Math Oper Res., 5, 43 62 [70] R T Rockafellar and R J.-B Wets (1998), Variational Analysis, Springer, Berlin [71] R T Rockafellar and D Zagrodny (1997), A derivative- coderivative inclusion in second-order nonsmooth analysis, SetValued Analysis, 5, 89 105 [72] M Studniarski and D E Ward (1999), Weak sharp minima: Char- acterizations and sufficient conditions, SIAM J Control Optim., 38, 219 236 [73] L Thibault (1983), Tangent cones and quasi-interiorly tangent cones to multifunctions, Trans Amer Math Soc., 277, 601 621 [74] J J Ye (2000), Constraint qualifications and necessary optimality conditions for optimization problems with variational inequality con-straints, SIAM J Optim., 10, 943 962 ... triºn h» thèng quy t-c t½nh to¡n giÊi tẵch bián phƠn Ngo i ra, tẵnh chĐt chẵnh quy cơng ÷đc dòng º kh£o s¡t sü hëi tư cừa cĂc thuêt toĂn tối ữu số ([29], [54], [55], [57], [58]) Trong giÊi tẵch... chẵnh quy cho h m giĂ tr thỹc m rởng v Ănh xÔ a tr Chng hÔn, h m giĂ tr thỹc m rởng l chẵnh quy dữợi vi phƠn náu trản ỗ th cừa nõ l chẵnh quy Clarke ([70, Definition 7.25]); Ănh xÔ a tr l chẵnh quy. .. ch½nh quy Clarke ([70, Definition 8.38]); h m giĂ tr thỹc m rởng l chẵnh quy gƯn kã náu v ch náu trản ỗ th cừa nõ l chẵnh quy gƯn kã ([65, Theorem 3.5]) ối vợi Ănh xÔ a tr, cĂc khĂi niằm chẵnh quy