3 Một số áp dụng
3.2Phân tích độ nhạy
Trong mục này chúng ta xét bài toán tối ưu (P) dưới dạng tổng quát min{f(x, y) : g(x, y) = 0,(x, y) ∈ C ×D}.
Bài tốn (P) thường được nhúng trong họ các bài tốn tối ưu (Pu)trong đó u là tham số
trong đóf : X×Y ×U →R là hàm nửa liên tục dưới, g : X×Y ×U → Z
là ánh xạ, C và D là các tập đóng trong X và Y
Giá trị tối ưu của bài toán (Pu) được kí hiệu là v(u), v gọi là hàm giá trị. Với mọi u ∈ U trong miền của v, chúng ta xét tập các lời giải
S(u) ={(x, y) ∈ C ×D : g(x, y, u) = 0, f(x, y, u) = v(u)}.
Trong mục này chúng ta sẽ kiểm tra một số tích chất đặc trưng của hàm
v có liên quan đến bài tốn (P). Để đảm bảo cho tính ổn định nghiệm của bài toán (Pu) chúng ta cần giả thiết ổn định (SA) về tính compact sau: Tồn tại một tập compact H sao cho với u trong lân cận của 0 S(u) 6= ∅
và
S(u) ⊂ H +B(0, ρ(u)),
trong đó lim
u→0ρ(u) = 0.
Đầu tiên, chúng ta kiểm tra tính nửa liên tục dưới của v.
Mệnh đề 3.2.1. [3] Giả sử giả thiết (SA) đúng và f, g là các hàm liên tục trên S(0)× {0}. Khi đó
(a) Hàm giá trị v là hàm nửa liên tục dưới tại 0. (b) Các khẳng định sau là tương đương
(i) Ánh xạ đa trị S là nửa liên tục trên tại 0, tức là
∀ε > 0,∃η >0, S(u) ⊂ S(0) +B(0, ε),∀u ∈ B(0, η).
(ii) Hàm giá trị v là nửa liên tục trên tại 0.
Chứng minh. Giả sử ngược lại, khi đó tồn tại ε > 0 và dãy (un) hội tụ tới 0 và với n đủ lớn ta có
v(0)> v(un) +.
Theo giả thiết (SA), tồn tại (xn, yn) ∈ S(un),(xn, yn) → (¯x.¯y). Do f, g
liên tục, ta có
v(0) ≥ f(¯x,y,¯ 0) +ε,
trong đó (¯x,y)¯ ∈ C × D, g(¯x,y,¯ 0) = 0 Từ đây suy ra v(0) ≥ v(0) +ε.
b) Giả sử khẳng định (i) đúng, cho (un) là dãy tùy ý hội tụ tới 0 và thỏa mãn giới hạn tồn tại. Chúng ta sẽ chứng minh
lim
n→∞v(un) =v(0).
Do giả thiết (SA) nên ta có (xn, yn) ∈ S(un),(xn, yn) → (¯x,y). Do giả¯ thiết (i) nên với n đủ lớn thì un ∈ B(0, η) và
S(un) ⊂ S(0) +B(0, ε).
Suy ra
(xn, yn) ∈ S(un) ⊂ S(0) +B(0, ε). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Cho n→ ∞ ta được (¯x,y)¯ ∈ S(0) +B(0, ε). Do ε > 0 tùy ý nên (¯x,y)¯ ∈ S(0). Từ đó ta có f(¯x,y,¯ 0) = v(0). (3.6) Mặt khác, ta có v(un) =f(xn, yn, un),(xn, yn) ∈ C ×D, g(xn, yn, un) = 0. Do f, g liên tục nên lim n→∞v(un) = f(¯x,y,¯ 0),(¯x,y)¯ ∈ C ×D, g(¯x,y,¯ 0) = 0. Do (3.6) ta có lim
n→∞v(un) =v(0), từ đó ta thu được kết quả
lim sup
u→0
f(u) =v(0).
Ngược lại, giả sử v là hàm nửa liên tục trên tại 0 và S không nửa liên tục trên. Khi đó có ε > 0 và dãy (un),((xn, yn)) sao cho (xn, yn) ∈ S(un)
và
(xn, yn) ∈/ S(0) +B(0, ε). (3.7)
Bởi giả thiết (SA) chúng ta có thể giả sử (xn, yn) → (¯x,y). Do¯ v(un) =
f(xn, yn, un),(xn, yn) ∈ C×D, g(xn, yn, un) = 0. Từ tính liên tục của f, g
và v liên tục trên tại 0 chúng ta thu được
v(0) ≥lim sup
n→+∞
Từ đó ta có (¯x,y)¯ ∈ S(0). Do đó với n đủ lớn thì (xn, yn) ∈ S(0) +B(0, ε).
Điều này mâu thuẫn với (3.7).
Tiếp theo, chúng ta sẽ kiểm tra tính Lipschitz của hàm giá trị v.
Định lý 3.2.2. [3] Giả sử
(i) Với mỗi dãy (un) hội tụ tới 0, chúng ta có
∅ 6= lim sup
n→+∞
S(un) ⊂ S(0).
(ii) f, g là Lipschitz trong lân cận của (¯x,y,¯ 0) với hằng số Lipschitz là
k(¯x,y).¯
(iii) g thuộc lớp C1 theo (x, y) với u tương ứng và toàn ánh đạo hàm riêng
Dxg(¯x,y,¯ 0).
(iv) f thuộc lớp C1 tại (¯x,y,¯ 0) theo (x, y) với u tương ứng. (v) C là compact epi - Lipschitz tại x.¯
(vi) Khẳng định (β) của Định lý 2.2.11 đúng.
Khi đó v là Lipschitz địa phương trong lân cận của 0.
Chứng minh. Chúng ta sẽ chứng minh v là Lipschitz địa phương trong lân cận của 0. Giả sử ngược lại, khi đó có dãy un → 0 và u0n →0 sao cho với
n đủ lớn (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
|v(un)−v(u0n)| ≥ nd(un, u0n).
Chúng ta có thể giả sử tập I = {n : v(un) −v(u0n > nd(un, u0n)} là vơ hạn (vì (un) và (u0n) giữa vai trị đối xứng). Với mọi n∈ I bởi giả thiết (i), tồn tại(x0n, yn0 ))n∈J⊂I hội tụ tới (¯x,y)¯ ∈ S(0) và (x0n, yn0) ∈ S(u0n),∀n∈ J.
Theo Định lý 2.2.11 với n đủ lớn ta có
và do đó tồn tại (xn, yn) ∈ S3(un) thỏa mãn
||(x0n, yn0)−(xn, yn)|| ≤ a||g(x0n, y0n, un)||.
Do g là Lipschitz địa phương trong lân cận của 0 với hằng số Lipschitz
k(¯x,y)¯ nên chúng ta có
||x0n, yn0 )−(xn, yn)|| ≤ a||g(x0n, yn0 , un)−g(x0n, y0n, u0n)|| ≤ak(¯x,y)d(u¯ n, u0n). Do đó chúng ta có
nd(un, u0n) < vn(un)−vn(u0n) = f(xn, yn, un)−f(x0n, y0n, u0n)
≤ |f(xn, yn, un)−f(xn, yn, u0n)|+|f(xn, yn, u0n)−f(x0n, yn0 , u0n)|
≤ k(¯x,y)d(u¯ n, u0n) +k(¯x,y)||(x¯ n, yn)−(x0n, yn0 )||
≤ k(¯x,y)d(u¯ n, u0n) +k(¯x,y).a.k(¯¯ x,y)d(u¯ n, u0n) = k(¯x,y)(1 +¯ a.k(¯x,y))d(u¯ n, u0n)
Từ đó suy ra mâu thuẫn với n đủ lớn.
Hệ quả 3.2.3. Định lý 3.2.2 vẫn đúng nếu ta thay giả thiết (i) bằng giả thiết:
i’) (SA) đúng và S là nửa liên tục dưới tại 0.
Trong phần tiếp theo chúng ta sử dụng định nghĩa sau về tập nhân tử Karush - Kuhr - Tucker: Tập các nhân tử Karush - Kuhr - Tucker
KKT(¯x,y)¯ của bài toán (P0) tại (¯x,y)¯ là tập gồm các phần tử z∗ ∈ Z∗
thỏa mãn
−∇xf(¯x,y,¯ 0)−z∗ ◦Dxg(¯x,y,¯ 0) ∈ 6(1 + a.kg)(kv + kg).∂Ad(C,x);¯
−∇yf(¯x,y,¯ 0)−z∗ ◦Dyg(¯x,y,¯ 0) ∈ 6(1 +a.kg)(kv +kf)∂Ad(D,y),¯
trong đó kv, kf và kg là các hằng số Lipschitz của v trong lân cận của 0, của f và g trong lân cận của (¯x,y,¯ 0), a là hằng số trong Định lý 2.2.11. Các hằng số này giả thiết luôn lớn hơn hoặc bằng 1. Dưới vi phân của hàm giá trị v được đánh giá qua định lý sau.
Định lý 3.2.4. [3] Giả sử chúng ta thêm vào các giả thiết của Định lý 3.2.2 giả thiết f và g thuộc lớp C1 tại (¯x,y,¯ 0) với mỗi (¯x,y)¯ ∈ S(0) và tập tham số nhiễu U là khơng gian compact. Khi đó
∂Av(0) ⊂ [
(¯x,¯y)∈S(0)
{∇uf(¯x,y,¯ 0) +z∗ ◦Dug(¯x,y,¯ 0) : z∗ ∈ KKT(¯x,y)}¯ .
Chứng minh. Gọi kv là hằng số Lipschitz của v trong lân cận của 0 (ln tồn tại vì theo Định lý 3.2.2). Cho u∗ ∈ ∂Av(0), theo Định lý 1.4.16 với
mọiL ∈ F(U) tồn tại ui →0, ε → 0+, u∗i → u∗ với||ui|| ≤ (kv+ 1)(1 +εi) và ri →0+ sao cho với mọi u ∈ B(ui, ri) chúng ta có
v(u)−v(ui)− < u∗i, u−ui > +εi||u−ui||+ 2(kv + εi)d(ui, ui +L) ≥ 0 Từ giả thiết (i) của Định lý 3.2.2 suy ra tồn tại (¯x,y)¯ ∈ S(0) và (xi, yi) ∈ S(ui) với (xi, yi) →(¯x,y)¯ thỏa mãn
∀(x, y, u) ∈ C ×D ×B(ui, ri), g(x, y, u) = 0.
Chúng ta có (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
f(x, y, u)−f(xi, yi, ui)− < u∗i, u−ui > +εi||u−ui||+2(kv+εi)d(u, ui+L) ≥ 0. Theo Định lý 2.2.11 suy ra
3a(kf +kv)||g(x, y, u)||+f(x, y, u)−f(xi, yi, ui)−< u∗i, u−ui >
+εi||u−ui||+ (kv +εi)d(u, ui +L) ≥0,
với mọi (x, y, u) ∈ C ∩B(xi, ri)×D ∩B(yi, ri)×B(ui, ri). Do đó hàm
(x, y, u) 7−→6(1 + a.kg)(kf +kv) [d(x, C) +d(y, D)] + 2a(kf +kv).||g(x, y, u)|| +f(x, y, u)−f(xi, yi, ui)− < u∗i, u−ui > +εi||u−ui||+ 3kvd(u, ui +L)
có cực tiểu địa phương tại (xi, yi, ui). Áp dụng công thức dưới vi phân ta thu được
0∈ 6(1+a.kg)(kf+kv)∂Ad(xi, C)+2a(kf+kv)z∗◦Dxg(xi, yi, ui)+∇xf(xi, yi, ui); 0∈ 6(1+a.kg)(kf+kv)∂∂Ad(yi, D)+2a(kf+kv)z∗◦Dyg(xi, yi, ui)+∇yf(xi, yi, ui). Cho i → ∞ ta được điều phải chứng minh.
Kết luận
Luận văn trình bày một số kết quả cận sai số của các hàm nửa liên tục dưới và một số ứng dụng của cận sai số. Các kết quả chính của luận văn gồm có:
• Trình bày một số điều kiện đủ tồn tại cận sai số thông qua độ dốc mạnh (Định lý 2.1.10), dưới vi phân của hàm lồi (Định lý 2.1.15), dưới vi phân Fréchet (Định lý 2.2.7,Định lý 2.2.9 ), dưới vi phân xấp xỉ (Định lý 2.2.11).
• Trình bày mối liên hệ giữa tính tính quy metric của ánh xạ đa trị và cận sai số của một hàm số đơn trị (Định lý 3.1.6).
• Trình bày một số tính chất của hàm nhận giá trị tối ưu của bài tốn tối ưu tổng qt: tính nửa liên tục dưới (Mệnh đề 3.2.1), tính Lipschitz địa phương (Định lý 3.2.2), đánh giá dưới vi phân của hàm giá trị v (Định lý 3.2.4).
Hướng nghiên cứu tiếp theo của luận văn là tiếp tục tìm hiểu những khái niệm có liên quan chặt chẽ tới cận sai số trong giải tích phi tuyến như tính chính quy metric, tính mở và tính chất Aubin của ánh xạ đa trị.
Tài liệu tham khảo
[1] D.Azé (2003), A survey on error bounds for lower semicontinuous functions, ESAIM: proceedings, vol. 13, 1-17.
[2] D.Azé and J-N.Corvellec (2004), Characterzations of error bounds for lower semicontinuous functions on metric spaces, ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, Vol. 10, 409-425.
[3] Paul Bosch, Abderrahim and Rene Henrion (2004), Suffcient condi- tions for error bound and applications, Applied Mathematics and Op- timization, 161-181.
[4] D.Azé (2006), A unified theory for metric regularity of multifunctions, Journal of Convex Analysis 13, No. 2, 225-252.
[5] Zili Wu and Jane J. Ye (2002), On error bounds for lower semicontin- uous functions, Math. Program. Ser. A, 301-314.
[6] Hồng Tụy (2006), Lý Thuyết tối ưu, Viện Tốn Học Việt Nam. [7] F. H. Clarke (1983), Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley-
Interscience, New York.
[8] D. G. De Figueiredo (1989), Lectures on The Ekeland Variational Principle with Applications and Detours, Tata Institute of Fundamen- tal Research, Bombay.
[9] A. Ya. Kruger (2003), On Fréchet subdifferentials, Journal of Mathe- matical Sciences, Vol. 116, No. 3, 3325-3358.
[10] A.J Hoffman (1952), On approximate solutions of systems of linear inequalities, J.Res. Nat. Bur. Stand. 49, 233-238.
[11] S.M. Robinson (1975), An application of error bounds for convex pro- gramming in a linear space, SIAM J. Control 13, 271-273.
[12] O. L. Mangasarian (1985), A condition number for differentiable con- vex inequalities, Math. Oper. Res. 10, no. 2, 175-179.
[13] A. Auslender and J.-P. Crouzeix (1988), Global regularity theorems, Math. Oper. Res. 13, no. 2, 243-253.
[14] D. Klatte, W. Li (1999), Asymptotic constraint qualifications and global error bounds for convex inequalities, Math. Program. 84, no. 1, Ser. A, 137-160.
[15] A. Ioffe (1979), Regular points of Lipschitz functions, Trans. Amer. Math. Soc. 251, 61-69.
[16] K. F. Ng and X. Y. Zheng (2001),Error bounds for lower semicontin- uous functions in normed spaces,SIAMJ.Optim. 12, 1-17. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[17] O. Cornejo, A. Jourani, and C. Zalinescu (1997), Conditioning and upper-Lipschitz inverse subdifferentials in nonsmooth optimization problems, J. Optim. Theory Appl. 95, 127-148.
[18] A. S. Lewis and J. S. Pang (1998), Error bounds for convex inequality systems, Nonconvex Optim. Appl., J.-P. Crouzeix et al. Eds.,Kluwer Acad. Publ. 27, 75-110.
[19] B. Lemaire, Well-posedness (1998), conditioning and regularization of minimization, inclusion and fixed-point problems, Pliska Stud.Math. Bulgar. 12, 71-84.
[20] C. Zalinescu (2001), Weak sharp minima, well behaving functions and global error bounds for convex inequalities in Banach spaces, Proc. 12- th Baikal Int. Conf. on Optimization Methods and their Applications, V. Bulatov and V. Baturin Eds., Institute of System Dynamics and Control Theory of SB RAS, Irkutsk, 272-284.
[21] E. De Giorgi, A. Marino and M. Tosques (1980), Problemi di evoluzione in spazi metrici e curve di massima pendenza (Evolution
problems in metric spaces and curves of maximal slope),Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. 68, 180-187.
[22] A. Jourani and L. Thibault (2002),Metric regularity for strongly com- pactly Lipschitzian mappings, Nonlinear Anal. TMA, 24, 229–240.