3 TÍNH KHẢ VI THEO HƯỚNG CỦA HÀM GIÁ TRỊ
3.3Tính khả vi theo hướng của hàm giá trị tối ưu
đưa ra công thức cụ thể để tính đạo hàm theo hướng của ϕ(.)
Định lí 3.3.1. Choω = (Q, A, c, b) ∈ Ωcho trước và ω0 = (Q0, A0, c0, b0) ∈
Ω là một hướng cho trước. Nếu điều kiện (G) và hai điều kiện sau: i, Hệ Ax ≥ b là hệ chính quy.
ii, Sol(Q, A,0,0) = {0} được thỏa mãn thì hàm giá trị tối ưu ϕ khả vi theo hướng tại ω = (Q, A, c, b) theo hướng ω0 = (Q0, A0, c0, b0) và
ϕ0(ω, ω0) = inf
x∈Sol(Q,A,c,b) max λ∈Λ(x,ω)[1
2hx, Q0xi+hc0, xi+hb0−A0x, λi] (3.29)
Trong đó, Λ(x, ω) là tập hằng số Lagrange tương ứng với nghiệm x ∈
Sol(Q, A, c, b).
Chứng minh. 1) Giả sử điều kiện (i) và (ii) thỏa mãn.
Theo bổ đề (2.1.3), Sol(Q, A, c, b) là một tập compact khác rỗng.
Lấy bất kỳ x ∈ Sol(Q, A, c, b). Do (i) và bổ đề (3.1.1), F(x, ω, ω0) 6= φ. Lấy bất kỳ v ∈ F(x, ω, ω0), với t > 0 đủ nhỏ, ta có:
≤ 1 2(x+tv) T(Q+tQ0)(x+tv) + (c+tc0)T(x+tv)−(1 2hx, Qxi+hc, xi) = thQx+c, vi+t(1 2hx, Q0xi+hc0, xi) +1 2t 2 hv, Qvi+t2vTQx+1 2t 3 vTQ0v.
Nhân hai vế bất đẳng thức trên với t−1 và lấy limt→0+sup ta thu được:
ϕ+(ω, ω0) ≤ 1
2hx, Q0xi+hQx+c, vi+hc0, xi.
Bất đẳng thức này thỏa mãn với∀v ∈ F(x, ω, ω0) và∀x ∈ Sol(Q, A, c, b). Kéo theo:
ϕ+(ω, ω0) ≤ inf
x∈Sol(Q,A,c,b) inf v∈F(x,ω,ω0)[1 2hx, Q0xi+hc0, xi +hQx+c, vi] Theo bổ đề 3.1.2 và 3.1.3, infv∈F(x,ω,ω0)hQx+ c, vi = infv∈R(x,ω,ω0)hQx+c, vi = maxλ∈Λ(x,ω)hb0 −A0x, λi. Do đó, ϕ+(ω, ω0) ≤ inf
x∈Sol(Q,A,c,b) max λ∈Λ(x,ω)[1
2hx, Q0xi+hc0, xi+ hb0 −A0x, λi]
2) Cho {tk} là một dãy số thực sao cho tk ↓0 và
ϕ−(ω, ω0) = lim k→∞
ϕ(ω +tkω0)−ϕ(ω)
tk .
Do giả thiết (i) và (ii), lấy kết quả của bổ đề 2.1.1 và 2.1.3 và mở rộng tập G định nghĩa trong (2.3) ta có thể giả sử rằng:
Sol(ω +tkω0) 6= φ với ∀k.
Cho {xk} là một dãy trong Rn sao cho xk ∈ Sol(ω+ tkω0) với mọi k. Theo bổ đề 3.1.4, không giảm tổng quát ta có thể giả sử xk → xˆ ∈
Sol(Q, A, c, b) khi k → ∞. Ta có: ϕ(ω +tkω0)−ϕ(ω) = 1 2hxk,(Q+tkQ0)xki+hc+ tkc0, xki+ +(−1 2hx, Qˆˆ xi − hc,xˆi) (3.31)
Lấy λ ∈ Λ(x, ω). Do λT(Aˆx−b) = 0, λ≥ 0 và (A+tkA0)xk ≥ b+tkb0, từ (3.31) ta có: ϕ(ω +tkω0)−ϕ(ω) ≥ ≥ 1 2hxk,(Q+tkQ0)xki+hc+tkc0, xki − 1 2hx, Qˆ xˆi − hc,xˆi+hλ, Aˆx−bi− h(A+tkA0)xk −b−tkb0, λi. = hQˆx− hA, λi+c, xk−xˆi+ 1 2hxk−x, Q(xˆ k −x)ˆ i+ +tk[1 2hxk, Q0xki +hc0, xki+hb0 −A0xk, λ]i Từ λ ∈ Λ(x, ω), Qˆx− hA, λi+c = 0 ta có: ϕ(ω +tkω0)−ϕ(ω) ≥ 1 2hxk−x, Q(xˆ k −x)ˆ i+ +tk[1 2hxk, Q0xki +hc0, xki+hb0 −A0xk, λi.]
Nhân cả hai vế của bất đẳng thức này với (tk)−1, lấy limk→∞inf và sử dụng điều kiện (G), ta thu được: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
ϕ−(ω, ω0) ≥ h1 2hx, Qˆ 0xˆi+c0,xˆi+hb0 −A0x, λˆ i. Vì λ ∈ Λ(x, ω) có thể chọn tùy ý, ta rút ra được rằng: ϕ−(ω, ω0) ≥ max λ∈Λ(ˆx,ω)[1 2hx, Qˆ 0xˆi+hc0,xˆi+ hb0 −A0x, λˆ i] ≥ inf
x∈Sol(Q,A,c,b) max λ∈Λ(x,ω)[1
2hx, Q0xi+hc0, xi+hb0 −A0x, λi]
Kết hợp điều này với (3.30), ta có:
ϕ−(ω, ω0) = ϕ+(ω, ω0). và do đó, ϕ0(ω, ω0) = inf x∈Sol(w) max λ∈Λ(x,ω) [1 2hx, Q0xi +hc0, xi+hb0 −A0x, λi]. Định lý được chứng minh.
Bây giờ ta áp dụng định lý 3.3.1 cho ví dụ sau: Ví dụ 3.3.1. Cho n= 2, m = 3. Q = 1 0 0 −1 ;AT = 1 −1 0 −1 0 1 ;bT = (0,−1,0);c = 0 0 . Q0 = 1 0 0 −1 ; (A0)T = 0 0 0 0 0 0 ; (b0)T = (0,−1,0);c0 = 0 0 . ω = (Q, A, c, b);ω0 = (Q0, A0, c0, b0)
Dễ dàng kiểm tra Ax ≥ b là hệ chính quy, Sol(Q, A,0,0) = {0} và
Sol(Q, A, c, b) = Sol(ω) = {(x1, x2)T ∈ R2 : x1 = x2; 0 ≤x1 ≤1}
Sol(ω +tω0) ={(x1, x2)T ∈ R2 : x1 = x2 : 0 ≤x1 ≤1 +t} (với ∀t≥ 0)
Cho x = (x1, x2) ∈ Sol(ω), ta có:
Λ(x, ω) ={(λ1, λ2, λ3) ∈ R3 : λ1 = x1;λ2 = λ3 = 0}.
Giả sử xk = (xk1, xk2) ∈ Sol(ω+tkω0) và dãy {xk}hội tụ tới x = (x1, x2) ∈
Sol(ω). Ta có xk1 = xk2 và x1 = x2 và: hxk −x, Q(xk −x)i tk = (x k 1 −x1)2 −(xk2 −x2)2 tk = 0.
Do vậy, điều kiện (G) được thỏa mãn. Theo định lý 3.3.1, ϕ0(ω, ω0) = inf x∈Sol(ω) max λ∈Λ(x,ω) [(1 2hx, Q0xi+hc0, xi) + b0]Tλ = inf x∈Sol(ω) 0 = 0.
Lưu ý trong ví dụ 3.3.1, hx, Qxi là một dạng toàn phương bất định (dấu của biểu thức hx, Qxi phụ thuộc vào cách chọn x), và nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương không duy nhất toàn cục. Do đó, giả thiết của dịnh lý 3.2.1 không thỏa mãn.
Xét bài toán (2.1) và giả sử x ∈ Sol(Q, A, c, b) là một nghiệm của nó. Cho u = ω0 = (Q0, A0, c0, b0) ∈ Ω là một hướng cho trước. Áp dụng với nghiệm x của bài toán (2.1), điều kiện (SOSC)u trong Auslender và Cominetti (1990) được viết dưới dạng sau:
(SOSC)u{với mọi véctơ v ∈ Fx\{0}, nếu hQx+c, vi = 0 thì hv, Qvi > 0.} Trong đó, Fx là nón của hướng cho trước của C(A, b) tại x. Đó là:
Fx = {v ∈ Rn : (Av)i ≥0 với ∀i thỏa mãn (Ax)i = bi}.
Chú ý, trong bài toán quy hoạch toàn phương, điều kiện (SOSC)u tương đương với điều kiện x là nghiệm duy nhất toàn cục của (2.1)
Ghi chú này cho ta suy ra từ định lý 1 trong Auslender và Coutat (1990) ra kết quả sau:
Mệnh đề 3.3.1. Cho ω = (Q, A, c, b) ∈ Ω là một điểm cho trước và
u = ω0 = (Q0, A0, c0, b0) ∈ Ω là một hướng cho trước.
Nếu mọi nghiệm của bài toán (2.1) là duy nhất toàn cục và hai điều kiện:
(i) Hệ Ax ≥b chính quy.
(ii) Sol(Q, A, 0, 0)={0} được thỏa mãn thì hàm giá trị tối ưu ϕ là khả vi theo hướng tại ω = (Q, A, c, b) theo hướng u = ω0 = (Q0, A0, c0, b0) và công thức (3.29) được thỏa mãn.
Chứng minh. Từ giả thiết (i) và (ii) suy ra bản đồ Sol(.) là nửa liên tục trên tại (Q, A, c, b). Ngoài ra, theo bổ đề 2.1.3 Sol(Q, A, c, b) là tập compact khác rỗng. Khi đó, tồn tại một tập compact B ⊂ Rn và một hằng số > 0 sao cho φ 6= Sol(ω +tω0) ⊂ B với ∀t∈ [0;].
Dưới điều kiện của mệnh đề này, mọi giả thiết của định lý 1, trong Auslender và Coutat (1990) đều thỏa mãn.
Do vậy kết luận được suy ra theo định lý 1 trong Auslender và Coutat (1990).
Chú ý rằng mệnh đề 3.3.1 là một hệ quả của định lý 3.2.1 và 3.3.1. Một điều đáng chú ý là kết quả được phát biểu trong mệnh đề 3.3.1 không thể áp dụng cho bài toán mô tả trong ví dụ 3.3.1 ( vì điều kiện
(SOSC)u với u := ω0 không được thỏa mãn tại mọi x ∈ Sol(ω)). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Kết quả này cũng không được áp dụng trong bài toán quy hoạch toàn phương lồi khi tập nghiệm của nó có nhiều hơn một phần tử. Sử dụng chú ý 3.2.1 ta có thể kết luận định lý 3.3.1 có thể áp dụng cho bài toán quy hoạch toàn phương lồi.
Xét bài toán (2.1) và ký hiệu ω = (Q, A, c, b).
Giả sử ω0 = (Q0, A0, c0, b0) ∈ Ω là một hướng cho trước. Trong trường hợp này điều kiện (H3) trong Minchenko và Sakolchik (1996) được viết dưới dạng:
(H3): Với mọi dãy{tk}, tk ↓ 0và mọi dãy {xk}, xk →x ∈ Sol(Q, A, c, b), xk ∈
Sol(ω +tkω0) với mỗi k, bất đẳng thức sau được thỏa mãn:
lim
k→∞supk xk −x k2
tk < +∞.
Áp dụng định lý 4.1 trong Minchenko và Sakolchik (1996) cho bài toán (2.1) ta có kết quả sau:
Mệnh đề 3.3.2. Cho ω = (Q, A, c, b) ∈ Ω là một điểm cho trước và
u = ω0 = (Q0, A0, c0, b0) ∈ Ω là một hướng cho trước. Nếu (H3)và hai điều kiện sau:
(i) Hệ Ax ≥b chính quy.
(ii) Tồn tại một tập compact B ⊂ Rn và một lân cận U của (A, b) ∈
Rm×n ×Rm sao cho C(A0, b0) ⊂ B với ∀(A0, b0) ∈ U.
được thỏa mãn thì hàm giá trị tối ưu ϕ là khả vi theo hướng tại ω = (Q, A, c, b) theo hướng u= ω0 = (Q0, A0, c0, b0) và công thức (3.29) được thỏa mãn.
Xét bài toán đã đề cập trong (3.1). Chọn x = (0,0) ∈ Sol(ω), tk = k−1. xk = (k−14, k−14) ∈ Sol(ω+ tkω0). Ta có xk →x khi k → ∞ và: lim k→∞supk xk −x k2 tk = lim k→∞supk −1 2 + k−12 k−1 = +∞
Do vậy, (H3) không được thỏa mãn và mệnh đề (3.3.2) không áp dụng được cho bài toán quy hoạch toàn phương.
Ta vừa chỉ ra rằng định lý 3.3.1 có thể áp dụng cho cả một số bài toán quy hoạch toàn phương mà kết quả sự tồn tại trên tính ổn định vi phân trong quy hoạch phi tuyến không sử dụng được.
Bây giờ ta muốn chỉ ra với bài toán (2.1) nếu hệ Ax ≥ b chính quy thì (H3) kéo theo (G).
Mệnh đề 3.3.3. Cho ω = (Q, A, c, b) ∈ Ω là một điểm cho trước và
u = ω0 = (Q0, A0, c0, b0) ∈ Ω là một hướng cho trước.
Nếu hệ Ax ≥b chính quy thì điều kiện (H3) kéo theo điều kiện (G). Chứng minh. Giả sử (H3) thỏa mãn. Cho {tk}, tk ↓ 0 và {xk} với xk ∈
Sol(ω +tkω0) với mọi k là một dãy tùy ý.
Nếu xk →x ∈ Sol(Q, A, c, b) thì theo (H3), ta có:
lim
k→∞supk xk−x k2
Ta phải chứng minh rằng bất đẳng trong điều kiện (G) thỏa mãn. Lấy{(tk0)−1hxk0−x, Q(xk0−x)i}là một dãy con của{(tk)−1hxk−x, Q(xk−
x)i} thỏa mãn: lim k→∞inf(tk)−1hxk −x, Q(xk −x)i = lim k0→∞inf(tk0)−1hxk0 −x, Q(xk0 −x)i. (3.33) Từ (3.32) ta suy ra {(tk)−1 k xk−x k2} bị chặn. Khi đó, dãy {(tk)−12 k xk −x k} bị chặn.
Không giảm tổng quát, ta có thể giả sử rằng
(tk)−12 k xk −x k→ v ∈ Rn. (3.34) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Vì xk ∈ Sol(Q+tkQ0, A+tkA0, c+tkc0, b +tkb0), nên ta có:
(AI + tkA0I)xk ≥bI +tkb0I,
với I = {i : (Ax)i = bi}. Từ bI = AIx, AI(xk−x) ≥ tk(b0I −A0Ixk).
Nhân cả hai vế của bất đẳng thức trên với (tk)−12 và cho k → ∞, suy ra (3.34). Ta có thể kết luận rằng AIv ≥ 0.
Do đó, v ∈ Fx, ở đó Fx được định nghĩa là công thức của điều kiện
(SOSC)u.
Hơn nữa, chú ý rằng biểu thức (3.24) thỏa mãn. Do Ax ≥0 là hệ chính quy, theo bổ đề 3.1.1 ta có F(x, ω, ω0) 6= φ.
Lấy bất kỳ v ∈ F(x, ω, ω0), khi đó với k đủ lớn,
x+tkv ∈ C(A+tkA0, b+tkb0).
Do đó với k đủ lớn ta có (3.25).
Từ (3.24) và (3.25) ta có được (3.26).
Nhân hai vế của (3.26) với (tk)−12, cho k → ∞ và lấy kết quả của (3.24), ta có (3.27).
Vì x là một nghiệm của bài toán (2.1) và v ∈ Fx nên trường hợp
hQx+c, vi < 0 không thể xảy ra. Do vậy, hQx+ c, vi = 0.
Vì x ∈ Sol(ω) ta phải có hv, Qvi ≥ 0. Từ (3.33) và (3.34),
lim
= lim
k→∞h(tk0)−12(xk0 −x)), Q((tk0)−12(xk0 −x))i.
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày tính liên tục, tính khả vi và khả vi theo hướng của hàm giá trị tối ưu. Song song là việc đưa ra các ví dụ minh họa cho từng trường hợp.
Nội dung chính của luận văn bao gồm:
1. Tìm hiểu và trình bày điều kiện cần và đủ cho tính liên tục của hàm giá trị tối ưu.
2. Trình bày điều kiện đủ để hàm giá trị tối ưu nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới.
3. Trình bày công thức cụ thể để tính đạo hàm theo hướng của hàm giá trị tối ưu trong bài toán quy hoạch toàn phương bất định. Tuy nhiên do khả năng có hạn và thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, còn có những sai sót, tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc.
[A] Tài liệu tiếng Việt
[1] Đậu Thế Cấp (2002), Giải tích hàm, Nhà xuất bản Giáo dục. [2] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình giải tích đa trị, Nhà xuất bản Khoa học tự nhiên và Công nghệ.
[B] Tài liệu tiếng Anh
[3] A. Auslender and R. Cominetti (1990), "First- and second- order sensitivity analysis of nonlinear programs under directional constraint qualification conditions", Optimization, 21, 351 - 363.
[4] J. F. Bonnans and A. Shapiro (2000), Analysis of Optimization Problems, Springer-Verlag, New York.
[5] P. H. Dien (1985), "On the regularity condition for the extremal problem under locally Lipschitz inclusion constraint", Applied Mathe- matics and Optimization, 13, 151 - 161. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[6] M. Frank and P. Wolfe (1956), "An algorithm for quadratic pro- gramming", Naval Research Logistics Quarterly, 3, 95 - 110.
[7] J. Gauvin (1977), "A Necessary and sufficient regularity condition to have bounded multipliers in nonconvex programming", Mathematical Programming, 12, 136 - 138.
[8] J. Gauvin and F. Dubeau (1982), Differential properties of the marginal function in mathematical programming, Mathematical Program- ming Study 19, 101-119.
[9] R. Jasnin (1984), Directional derivative of the marginal function in nonlinear programming, Mathematical Programming Study 21, 110-126. [10] G. M. Lee, N. N. Tam, and N. D. Yen (2005), Quadratic program- ming and affine variational inequalities: A qualitative study, Springer- Verlag, New York.
function of a linearly perturbed quadratic program, Journal of Global Op- timization Vol. 32.
[12] G. M. Lee, N. N. Tam, N. D. Yen (2012), Stability of linear quadratic minimization over Euclidean balls, SIAM J. Optim. 22, No. 3, 936–952.
[13] O. L. Mangasarian (1980), "Locally unique solutions of quadratic programs, linear and nonlinear complementarity problems", Mathemat- ical Programming, 19, 200 - 212.
[14] L. I. Minchenko and P. P. Sakolchik (1996), H¨o lder behavior of optimal solutions and directional differentiability of marginal functions in nonlinear programming, J. Optimization Theory Appl. 90, 555–580.
[15] S. M. Robinson (1977), " A characterization of stability in linear programming", Operations Research, 25, 435 - 477.
[16] A. Seeger (1988), "Second order directional derivative in paramet- ric optimization problems",Mathematics of Operations Research, 13, 124 - 139.
[17] N. N. Tam (2001),Directional differentiability of the optimal value function in indefinite quadratic programming, Acta Math. Vietnamica 26, 377-394.
[18] N. N. Tam (2002), Continuity of the optimal value function in indefinite quadratic programming, Journal of Global Optimization 23, 43-61.