Dưới vi phân của hàm giá trị tối ưu trong quy hoạch của nửa vô hạn

LỜI CẢM ƠN Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo nhà trường thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích giúp đỡ tác giả suốt trình học tập Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Quang Huy, người quan tâm, động viên tận tình hướng dẫn tác giả trình thực luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân động viên tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày tháng năm 2010 Tác giả Nguyễn Đình Giang i LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Nguyễn Quang Huy Một số kết đạt luận văn chưa công bố công trình khoa học khác Hà Nội, ngày tháng năm 2010 Tác giả Nguyễn Đình Giang ii Mục lục MỞ ĐẦU Chương Điều kiện quy ràng buộc 1.1 Các khái niệm 1.2 Các điều kiện quy Chương Dưới vi phân hàm giá trị tối ưu 21 2.1 Đánh giá vi phân hàm giá trị tối ưu 21 2.2 Áp dụng 25 KẾT LUẬN 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO 27 PHỤ LỤC 30 BẢNG KÍ HIỆU R đường thẳng thực Rn không gian Euclid n-chiều F :X⇒Y ánh xạ đa trị từ X vào Y domF miền hữu hiệu F gphF đồ thị F x chuẩn véc tơ x B hình cầu đơn vị đóng cone Ω nón sinh Ω Limsup giới hạn theo nghĩa Painlevé - Kuratowski N (¯ x, Ω) nón pháp tuyến giới hạn/Mordukhovich Ω x¯ N (¯ x, Ω) nón pháp tuyến Fréchet Ω x¯ ∂f (x) vi phân giới hạn/Mordukhovich f x ∂ ∞ f (x) ˆ (x) ∂f vi phân suy biến f x vi phân Fréchet f x D∗ F (¯ x, y¯) đối đạo hàm Mordukhovich F (¯ x, y¯) D∗ F (¯ x, y¯) đối đạo hàm Fréchet F (¯ x, y¯) Ω x → x¯, x ∈ Ω x −→ x¯ f x → x¯, f (x) → f (¯ x) α↓α ¯ α→α ¯, α x −→ x¯ α ¯ kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết tối ưu ngành toán học phát triển mạnh với nhiều hướng nghiên cứu khác nhau: Quy hoạch toán học, Giải tích biến phân, Vi phân suy rộng, ngày có nhiều ứng dụng quan trọng lĩnh vực khoa học, kĩ thuật, công nghệ Các hàm giá trị tối ưu đóng vai trò quan trọng giải tích biến phân, tối ưu, lý thuyết điều khiển, nhiều ứng dụng khác lý thuyết Trong trường hợp hàm giá trị tối ưu không trơn, để có thông tin cốt yếu độ nhạy tính ổn định toán tối ưu điều khiển có nhiễu, điều kiện cực trị, tính điểu khiển địa phương, ta cần nghiên cứu tính chất vi phân theo nghĩa suy rộng hàm giá trị tối ưu, người ta ngày tìm nhiều ứng dụng giải tích biến phân vi phân tổng quát Đối đạo hàm ánh xạ đa trị đề xuất vào khoảng năm 1976 Mordukhovich nhận biết công cụ hữu hiệu để nghiên cứu nhiều vấn đề quan trọng giải tích biến phân tối ưu (xem [2], [11] tài liệu tham khảo trích dẫn đó) Gần đây, Mordukhovich, Nam Yen [12] tìm công thức đánh giá vi phân Fréchet vi phân Mordukhovich hàm giá trị tối ưu không gian Asplund thực cho lớp toán tối ưu có tham số với hữu hạn ràng buộc bất đẳng thức kiện trơn không trơn Dinh, Mordukhovich Nghia [6, 7] đưa vài ước lượng cho vi phân Fréchet vi phân Mordukhovich hàm giá trị tối ưu quy hoạch nửa vô hạn có tham số với ràng buộc cho vô hạn bất đẳng thức lồi điều kiện quy hợp lý Gần hơn, Chuong, Huy Yao [4] khảo sát lớp toán tối ưu nửa vô hạn không lồi đề xuất hai điều kiện quy ràng buộc mà hữu ích cho việc đồng nghiên cứu điều kiện quy ràng buộc từ hai quan điểm giải tích lồi giải tích không trơn Các điều kiện quy ràng buộc đề xuất [4] bao hàm tồn điều kiện quy quen thuộc MangasarianFromovitz Farkas-Minkowski Trong [4] tác giả đưa số điều kiện đủ cho tính hiệu lực điều kiện quy đề xuất không gian hữu hạn chiều giả thiết tập số ràng buộc phải tập compact thưa (scattered compact) Một câu hỏi mở nêu [4] loại bỏ giả thiết tính compact thưa tập số ràng buộc hay không? Mặt khác, lý mà kết điều kiện đủ cho tính quy hóa tập ràng buộc [4] phải giới hạn không gian hữu hạn chiều kỹ thuật chứng minh sử dụng định lý tách tập lồi tính chất bao lồi tập compact tập compact Như ta biết điều không với tập compact không gian vô hạn chiều Một câu hỏi tự nhiên nảy sinh liệu mở rộng kết điều kiện đủ cho tính quy hóa tập ràng buộc [4] sang không gian vô hạn chiều hay không? Đề tài "Dưới vi phân hàm giá trị tối ưu quy hoạch nửa vô hạn"nhằm mục đích tìm hiểu lý thuyết tối ưu, tối ưu nửa vô hạn tìm hiểu câu trả lời cho hai câu hỏi vừa nêu Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu việc loại bỏ giả thiết tính compact thưa tập số ràng buộc quy hoạch nửa vô hạn; đồng thời tìm hiểu khả mở rộng kết sang không gian vô hạn chiều Đưa công thức cho việc đánh giá vi phân (Mordukhovich suy biến) hàm giá trị tối ưu quy hoạch nửa vô hạn điều kiện quy hóa tập ràng buộc không gian Banach tổng quát Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu kết đạt lý thuyết tối ưu, tối ưu nửa vô hạn, giải tích biến phân đại vi phân suy rộng Áp dụng kết để nghiên cứu điều kiện đủ cho tính hiệu lực điều kiện quy hóa tập ràng buộc đưa công thức đánh giá vi phân (Mordukhovich suy biến) hàm giá trị tối ưu điều kiện quy Đối tượng phạm vi nghiên cứu Quy hoạch toán học, lý thuyết tối ưu, giải tích biến phân đại vi phân suy rộng Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu giải tích lồi, giải tích không trơn, giải tích đa trị, giải tích biến phân đại vi phân suy rộng Đóng góp Các kết đạt luận văn giải đáp trọn vẹn cho hai câu hỏi nêu Mục 1, giúp ta có hiểu biết tối ưu nửa vô hạn Kết trình bày báo chung tác giả với người hướng dẫn Giáo sư Jen-Chih Yao "Subdifferentials of optimal value function in nonlinear infinite programming" [9] Chương Điều kiện quy ràng buộc 1.1 Các khái niệm Trong luận văn sử dụng khái niệm, kí hiệu giải tích biến phân, vi phân suy rộng Chi tiết đọc giả tham khảo sách Mordukhovich [11] Nếu không nói thêm, tất không gian xét không gian Banach với chuẩn ký hiệu · , ta xét không gian đối ngẫu X ∗ với tôpô yếu∗ kí hiệu w∗ Như thường lệ, BX BX ∗ kí hiệu tương ứng hình cầu đơn vị đóng không gian Banach X không gian đối ngẫu Kí hiệu A∗ toán tử liên hợp toán tử tuyến tính liên tục A Hình cầu đóng tâm x bán kính ρ kí hiệu Bρ (x) B(x, ρ) cl M M ký hiệu bao đóng M Với tập Ω ⊂ X, cl Ω, int Ω, co Ω cone Ω kí hiệu tương ứng bao đóng, phần trong, bao lồi nón sinh Ω Ta nhắc lại Ω ∈ X đóng địa phương x¯ ∈ Ω có lân cận U x¯ cho Ω ∩ clU tập đóng Cho F : X ⇒ X ∗ ánh xạ đa trị không gian Banach X không gian đối ngẫu X ∗ Kí hiệu ω∗ Lim sup F (x) := {x∗ ∈ X ∗ : ∃xk → x¯, x∗k −→ x∗ , x∗k ∈ F (xk ), ∀k ∈ N}, x→¯ x dùng để giới hạn theo dãy theo nghĩa Painlevé-Kuratowski tôpô chuẩn X tôpô yếu* X ∗ , N:={1,2,3, } Định nghĩa 1.1.1 (Nón pháp tuyến) Cho Ω ⊂ X ε (i) Tập véctơ ε- pháp tuyến Ω x¯ xác định Nε (¯ x; Ω) := x∗ , x − x¯ x ∈ X : lim sup x − x¯ Ω x→¯ x ∗ ∗ ε , (1.1) Khi ε = 0, tập N (¯ x; Ω) := N0 (¯ x; Ω) gọi nón pháp tuyến Fréchet Ω điểm x¯ (ii) Nón pháp tuyến Mordukhovich N (¯ x; Ω) thu từ Nε (¯ x; Ω) việc lấy giới hạn theo nghĩa Painlevé-Kuratowski tô pô yếu∗ X ∗ : N (¯ x; Ω) := Lim sup Nε (x; Ω), (1.2) Ω x→¯ x ε↓0 đặt ε = Ω tập đóng lân cận x¯ X không gian Asplund Cho Ω ⊂ Rn tập đóng lân cận điểm x¯ ∈ Ω Khi đó, ta có N (¯ x; Ω) = Lim sup [cone (x − Π (x; Ω))] , (1.3) x→¯ x Π(x; Ω) hình chiếu Euclid x Ω Định nghĩa 1.1.2 (Đối đạo hàm) Cho F : X ⇒ Y ánh xạ đa trị không gian Banach (i) Đối đạo hàm Mordukhovich D∗ F (¯ x, y¯) : Y ∗ ⇒ X ∗ F (¯ x, y¯) ∈ gphF xác định D∗ F (¯ x, y¯)(y ∗ ) := {x∗ ∈ X ∗ |(x∗ , −y ∗ ) ∈ N ((¯ x, y¯); gphF )} , ∀y ∗ ∈ Y ∗ (1.4) (ii) Đối đạo hàm Fréchet F (¯ x, y¯) ∈ gphF xác định D∗ F (¯ x, y¯)(y ∗ ) := x∗ ∈ X ∗ |(x∗ , −y ∗ ) ∈ N ((¯ x, y¯); gphF ) , ∀y ∗ ∈ Y ∗ (1.5) Nếu F ánh xạ đơn trị ta viết ngắn gọn D∗ F (¯ x)(y ∗ ) (tương ứng, D∗ F (¯ x)(y ∗ )) thay cho D∗ F (¯ x, F (¯ x))(y ∗ ) (tương ứng, D∗ F (¯ x, F (¯ x))(y ∗ )) Ta nhắc lại ánh xạ đơn trị f : X → Y gọi khả vi chặt x¯ tồn toán tử tuyến tính liên tục ∇f (¯ x) : X → Y f (x) − f (u) − f (¯ x)(x − u) cho lim = x→¯ x x−u u→¯ x Đối với ánh xạ khả vi chặt x¯ ta có D∗ f (¯ x)(y ∗ ) = D∗ f (¯ x)(y ∗ ) = {(∇f (¯ x))∗ y ∗ }, ∀y ∗ ∈ Y ∗ , tức đối đạo hàm Mordukhovich (tương ứng, đối đạo hàm Fréchet ) mở rộng toán tử liên hợp đạo hàm cổ điển Cho hàm giá trị ¯ := [−∞, ∞] Ta xác định thực mở rộng ϕ : X → R dom ϕ = {x ∈ X | |ϕ(x)| < ∞}, epi ϕ(x) = {(x, µ) ∈ X×R | µ ≥ ϕ(x)} Xét Φ : X ⇒ R ánh xạ đồ thị liên kết với ϕ định nghĩa Φ(x) = Eϕ (x) := {µ ∈ R | µ ≥ ϕ(x)}, ∀x ∈ X Định nghĩa 1.1.3 (Dưới vi phân) Cho X không gian Banach, ¯ hàm giá trị thực mở rộng hữu hạn x¯ ϕ:X→R (i) Với ε ∂ˆε ϕ(¯ x) := 0, đặt ϕ(x) − ϕ(¯ x) − x∗ , x − x¯ x ∈ X : lim inf x→¯ x x − x¯ ∗ ∗ −ε (1.6) Các phần tử tập hợp vế trái công thức gọi ε− gradient Fréchet ϕ x¯, thân tập hợp gọi ε− vi phân Fréchet ϕ x¯ Tập hợp ˆ x) := ∂ˆ0 ϕ(¯ ∂ϕ(¯ x) gọi vi phân Fréchet ϕ x¯ (ii) Tập hợp ∂ϕ(¯ x) := Limsup ∂ˆε ϕ(x) ϕ x→ − x¯ ε↓0 (1.7) 16 (λ1 ∇g1 (0, 0) + λ0 ∇g0 (0, 0)) = R × {0} λ∈A(0,0) Do đó, bao hàm thức "⊂" (1.14) không Định lý 1.2.2 Cho P , X không gian Banach (¯ p, x¯) ∈ gphG Giả thiết với t ∈ T , hàm gt : P × X → R khả vi, hàm (p, x, t) → gt (p, x) (p, x, t) → ∇gt (p, x) liên tục P × X × T , nữa, giả sử co (∪t∈I(p,x) ∇gt (¯ p, x¯)) đóng yếu∗ P ∗ × X ∗ Khi h : P × X → C(T ) có đạo hàm toàn ánh (¯ p, x¯) RCQ thỏa mãn (¯ p, x¯) Chứng minh Ta suy từ giả thiết định lý [3, Proposition 2.174] h khả vi liên tục (¯ p, x¯), h khả vi chặt (¯ p, x¯) ∇h(¯ p, x¯)(p, x)(t) = ∇gt (¯ p, x¯), (p, x) ∀(p, x) ∈ P × X, ∀t ∈ T (1.36) Nhận xét đồ thị ánh xạ ràng buộc G (1.18) có biểu diễn dạng gph G = h−1 (K) := (p, x) ∈ P × X h(p, x) ∈ K (1.37) Bởi [11, Theorem 1.17] tính toàn ánh ∇h(¯ p, x¯), ta có N (¯ p, x¯); gph G = ∇h(¯ p, x¯)∗ N (h(¯ p, x¯); K) (1.38) Mặt khác, từ [11, Corollary 1.15] ta suy N (¯ p, x¯); gph G = ∇h(¯ p, x¯)∗ N (h(¯ p, x¯); K) (1.39) Do tính lồi K nên N h(¯ p, x¯); K = N (h(¯ p, x¯); K) (1.40) 17 Kết hợp (1.38), (1.39) (1.40) ta có N (¯ p, x¯); gph G = N ((¯ p, x¯); gph G) Lập luận tương tự chứng minh Định lý 1.2.1, ta suy ∇h(¯ p, x¯)∗ N (h(¯ p, x¯); K) = λt ∇gt (¯ p, x¯) , λ∈A(¯ p,¯ x) (1.41) t∈supp λ điều cần chứng minh Dễ dàng nhận khó khăn việc áp dụng Định lý 1.2.2 kiểm tra tính toán ánh ∇h (1.17) Tiếp theo ta xét ánh xạ tập ràng buộc G (1.10) T có hữu hạn phần tử : G(p) := x ∈ X | gi (p, x) ≤ 0, i = 1, , m, gi (p, x) = 0, i = m + 1, , m + r (1.42) Ta thấy (1.42) viết lại dạng G(p) := x ∈ X | gi (p, x) ≤ 0, i = 1, , m, gi (p, x) ≤ 0, i = m + 1, , m + r (1.43) − gi (p, x) ≤ 0, i = m + 1, , m + r Rõ ràng ánh xạ G cho (1.43) trường hợp riêng (1.18) với T := {1, 2, , m + 2r}, h(p, x)(t) := gt (p, x) t ∈ {1, 2, , m + r}, h(p, x)(t) := −gt (p, x) t ∈ {m + r + 1, , m + 2r}, K = −Rm+2r + Ta nói điều kiện quy Mangasarian-Fromovitz thỏa mãn (¯ p, x¯) ∈ gphG gradient ∇gm+1 (¯ p, x¯), , ∇gm+r (¯ p, x¯) độc lập tuyến tính tồn u ∈ P × X cho ∇gi (¯ p, x¯), u = với i = m + 1, , m + r ∇gi (¯ p, x¯), u < với i = 1, , m mà gi (¯ p, x¯) = (1.44) Kết sau điều kiện quy Mangasarian-Fromovitz đảm bảo tính hiệu lực RCQ 18 Định lý 1.2.3 Cho P , X không gian Asplund Lấy (¯ p, x¯) ∈ gphG Giả sử gi (i = 1, 2, , m + r) liên tục Lipschitz lân cận (¯ p, x¯), (λ1 , , λm+r ) = ∈ Rm+r véc tơ thỏa mãn điều kiện: m 0∈ m+r λi ∂gi (¯ p, x¯) ∪ ∂(−gi )(¯ p, x¯) , λi ∂gi (¯ p, x¯) + m+1 i=1 m+r (λ1 , , λm+r ) ∈ R+ , λi gi (¯ p, x¯) = với i = 1, , m (1.45) Khi LCQ thỏa mãn (¯ p, x¯) Hơn nữa, thêm giả thiết gi (i = 1, 2, , m + r) hàm khả vi chặt (¯ p, x¯) (1.45) thay (1.44) RCQ thoả mãn (¯ p, x¯) Chứng minh Đặt T := {1, 2, , m + 2r} lấy tùy ý (p∗ , x∗ ) ∈ N ((¯ p, x¯); gph G) Khi p∗ ∈ D∗ G(¯ p, x¯)(−x∗ ) Từ [11, Corollary 4.36] ta suy m ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ D G(¯ p, x¯)(−x ) ⊂ p ∈ P | (p , x ) ∈ λi ∂gi (¯ p, x¯) i=1 m+r λi ∂gi (¯ p, x¯) ∪ ∂(−gi )(¯ p, x¯) với + m+1 (λ1 , , λm+r ) ∈ Rm+r p, x¯) = i = 1, , m + , λi gi (¯ (1.46) Do m N ((¯ p, x¯); gph G) ⊂ λi ∂gi (¯ p, x¯) i=1 m+r λi ∂gi (¯ p, x¯) ∪ ∂(−gi )(¯ p, x¯) với + m+1 (λ1 , , λm+r ) ∈ Rm+r p, x¯) = i = 1, , m , + , λi gi (¯ LCQ thỏa mãn (¯ p, x¯) Nếu thêm giả thiết gi (i ∈ {1, 2, , m + r}) khả vi chặt (¯ p, x¯) điều kiện quy (1.45) 19 thay (1.44) ta suy từ [11, Corollary 4.35] G quy pháp tuyến (¯ p, x¯) D∗ G(¯ p, x¯)(x∗ ) = p∗ ∈ P ∗ | (p∗ , −x∗ ) = λi ∇gi (¯ p, x¯), λi ≥ i∈I(¯ p,¯ x) (1.47) Từ định nghĩa đối đạo hàm tính quy pháp tuyến G (¯ p, x¯) ta có λi ∇gi (¯ p, x¯), λi ≥ N (¯ p, x¯); gph G = N (¯ p, x¯); gph G = i∈I(¯ p,¯ x) Vì RCQ thỏa mãn (¯ p, x¯) Định lý chứng minh Cuối chương này, trình bày mối quan hệ RCQ điều kiện quy Farkas-Minkowski [7] định nghĩa sau: Giả sử với t ∈ T, gt xác định (1.10) hàm lồi thường nửa liên tục P ×X Ta nói hệ ràng buộc bất đẳng thức (1.10) thỏa mãn điều kiện quy Farkas-Minkowski (FM) tập epigt∗ cone t∈T đóng yếu∗ P ∗ × X ∗ × R, gt∗ hàm liên hợp gt , t ∈ T Đây dạng điều kiện quy mở rộng điều kiện Farkas quen thuộc giải tích lồi Để có thêm thông tin dạng mở rộng này, đọc giả xem tài liệu tham khảo [6, 7, 14] Định lý 1.2.4 Cho P , X không gian Banach (¯ p, x¯) ∈ gphG Giả sử với t ∈ T, gt xác định (1.10) hàm lồi thường nửa liên tục P × X Nếu hệ ràng buộc (1.10) thỏa mãn điều kiện quy FM RCQ thỏa mãn (¯ p, x¯) 20 Chứng minh Vì với t ∈ T, gt hàm lồi nên gph G = P × X gt (p, x) ≤ với t ∈ T (p, x) ∈ tập lồi P × X Do đó, N (¯ p, x¯); gph G = N ((¯ p, x¯); gph G) (1.48) Từ [7, Corollary 3.6], ta suy λt ∂gt (¯ p, x¯) N (¯ p, x¯); gph G = λ∈A(¯ p,¯ x) (1.49) t∈supp λ Kết hợp (1.48) (1.49) ta có λt ∂gt (¯ p, x¯) N (¯ p, x¯); gph G = N (¯ p, x¯); gph G = λ∈A(¯ p,¯ x) Định lý chứng minh t∈supp λ Chương Dưới vi phân hàm giá trị tối ưu 2.1 Đánh giá vi phân hàm giá trị tối ưu Trong phần này, không gian P , X giả thiết Asplund Xét ánh xạ nghiệm M (·) định nghĩa (1.12) Lấy p¯ ∈ P x¯ ∈ M (¯ p) Ta nhắc lại từ [12, Sect 5] M (·) gọi µ-nửa µ liên tục nội (¯ p, x¯) với dãy pk → p¯ k → ∞ tồn dãy xk ∈ M (pk ), k ∈ N, cho dãy {xk } chứa dãy hội tụ tới x¯ Ở µ pk → p¯ nghĩa pk → p¯ µ(pk ) → µ(¯ p) Định nghĩa 2.1.1 Cho h : Ω ⊂ X → Y ánh xạ đơn trị x¯ ∈ Ω h gọi Lipschitz (địa phương) x¯ ∃η > ≥ cho h(x) − h(¯ x) ≤ x − x¯ , ∀x ∈ Ω ∩ B(¯ x, η) Định nghĩa 2.1.2 Ta nói ánh xạ đa trị L : Ω ⊂ X ⇒ Y có lát cắt Lipschitz lân cận (¯ p, y¯) ∈ gph L tồn lân cận U x¯ ánh xạ đơn trị h : Ω ∩ U → Y Lipschitz x¯ cho h(¯ x) = y¯, h(x) ∈ L(x) với ∀x ∈ Ω ∩ U Bổ đề sau chìa khóa để chứng minh kết phần Bổ đề 2.1.1 [12, Theorem 7] Cho M (·) ánh xạ nghiệm định nghĩa (1.12) µ(·) hàm giá trị tối ưu định nghĩa (1.11), p¯ ∈ 22 dom M Giả sử M (·) µ- nửa liên tục nội (¯ p, x¯) ∈ gph M , f SNEC (¯ p, x¯) G SNC (¯ p, x¯) điều kiện ∂ ∞ f (¯ p, x¯) ∩ (−N ((¯ p, x¯); gph G)) = {0} (2.1) thỏa mãn Khi ∂µ(¯ p) ⊂ ∂ ∞ µ(¯ p) ⊂ p∗ + D∗ G(¯ p, x¯)(x∗ ) | (p∗ , x∗ ) ∈ ∂f (¯ p, x¯) , (2.2) p∗ + D∗ G(¯ p, x¯)(x∗ ) | (p∗ , x∗ ) ∈ ∂ ∞ f (¯ p, x¯) (2.3) Nếu thêm giả thiết f khả vi chặt (¯ p, x¯), M : dom M ⇒ X có lát cắt Lipschitz lân cận (¯ p, x¯), G quy pháp tuyến (¯ p, x¯) hàm giá trị tối ưu µ(·) quy p¯ bao hàm thức (2.2) trở thành đẳng thức ∂µ(¯ p) = ∇p f (¯ p, x¯) + D∗ G(¯ p, x¯)(∇x f (¯ p, x¯)) (2.4) Với điều kiện quy RCQ LCQ xem xét chương trước, thiết lập công thức cho ước lượng tính toán xác vi phân Mordukhovich vi phân suy biến hàm giá trị tối ưu (1.11) quy hoạch nửa vô hạn Kết sau trình bày [4] Định lý 2.1.1 Cho M (·) ánh xạ nghiệm định nghĩa (1.12) với ánh xạ ràng buộc G xác định (1.10), µ(·) hàm giá trị tối ưu định nghĩa (1.11) Giả sử M (·) µ- nửa liên tục nội (¯ p, x¯) ∈ gph M , f gt (∀t ∈ T ) hàm liên tục Lipschitz lân cận (¯ p, x¯), điều kiện quy LCQ thỏa mãn (¯ p, x¯) Khi ta có bao hàm thức sau : ∂µ(¯ p) ⊂ p∗ ∈ P ∗ | (p∗ , 0) ∈ ∂f (¯ p, x¯) + λt ∂gt (¯ p, x¯) λ∈A(¯ p,¯ x) , t∈supp λ (2.5) ∂ ∞ µ(¯ p) ⊂ p∗ ∈ P ∗ | (p∗ , 0) ∈ λt ∂gt (¯ p, x¯) λ∈A(¯ p,¯ x) t∈supp λ (2.6) 23 Giả thiết thêm f gt (∀t ∈ T ) hàm khả vi chặt (¯ p, x¯), ánh xạ nghiệm M : dom G ⇒ X có lát cắt Lipschitz lân cận (¯ p, x¯) điều kiện quy LCQ thay RCQ Khi hàm giá trị tối ưu µ(·) quy p¯ (2.5) thoả mãn dạng đẳng thức λt ∇p gt (¯ p, x¯) , ∂µ(¯ p) = ∇p f (¯ p, x¯) + λ∈Λ(¯ p,¯ x) (2.7) t∈supp λ (T ) λt ∇x gt (¯ p, x¯) = 0, λt gt (¯ p, x¯) = 0, p, x¯) + Λ(¯ p, x¯) := λ ∈ R+ | ∇x f (¯ t∈supp λ ∀t ∈ supp λ Chứng minh Trước tiên ta chứng minh bao hàm thức (2.5) (2.6) việc sử dụng bao hàm thức (2.2) (2.3) Bổ đề 2.1.1 với G xác định (1.10) Lưu ý điều kiện (2.1) tính chất SNEC f thỏa mãn f Lipschitz địa phương p¯, x¯) Lấy tuỳ ý p∗ ∈ ∂µ(¯ p) Từ (2.2) ta suy tồn (u∗ , x∗ ) ∈ ∂f (¯ p, x¯) cho p∗ − u∗ ∈ D∗ G(¯ p, x¯)(x∗ ) Mặt khác, từ định nghĩa đối đạo hàm ta có p∗ − u∗ ∈ D∗ G(¯ p, x¯)(x∗ ) ⇐⇒ (p∗ − u∗ , −x∗ ) ∈ N ((¯ p, x¯); gph G) (2.8) Vì LCQ thỏa mãn p¯, x¯) nên suy N (¯ p, x¯); gph G ⊂ λt ∂gt (¯ p, x¯) λ∈A(¯ p,¯ x) t∈supp λ Kết hợp (2.8) (2.9) ta kết luận (p∗ − u∗ , −x∗ ) ∈ λt ∂gt (¯ p, x¯) λ∈A(¯ p,¯ x) t∈supp λ (2.9) 24 Điều tương đương với (p∗ , 0) ∈ (u∗ , x∗ ) + λt ∂gt (¯ p, x¯) λ∈A(¯ p,¯ x) t∈supp λ ⊂ ∂f (¯ p, x¯) + λt ∂gt (¯ p, x¯) , λ∈A(¯ p,¯ x) t∈supp λ ta có bao hàm thức (2.5) Bao hàm thức (2.6) chứng minh tương tự với lưu ý ∂ ∞ f (¯ p, x¯) = {0} Hơn nữa, giả thiết thêm điều kiện quy RCQ thỏa mãn p¯, x¯) G quy pháp tuyến p¯, x¯) Suy µ(·) quy p¯ Bổ đề 2.1.1, đẳng thức (2.7) suy trực tiếp từ (2.4) Định lý chứng minh Hệ 2.1.1 Cho M (·) ánh xạ nghiệm định nghĩa (1.12) với ánh xạ ràng buộc G xác định (1.10), µ(·) hàm giá trị tối ưu định nghĩa (1.11) Giả sử M (·) µ-nửa liên tục nội (¯ p, x¯) ∈ gph M, f gt (∀t ∈ T ) hàm khả vi chặt (¯ p, x¯) Nếu điều kiện quy LCQ thỏa mãn (¯ p, x¯), ta có bao hàm thức: ∂µ(¯ p) ⊂∇p f (¯ p, x¯) + λt ∇p gt (¯ p, x¯) , λ∈Λ(¯ p,¯ x) ∂ ∞ µ(¯ p) ⊂ t∈supp λ λt ∇p gt (¯ p, x¯) λ∈Λ∞ (¯ p,¯ x) t∈supp λ (T ) Λ(¯ p, x¯) = {λ ∈ R+ | ∇x f (¯ p, x¯) + λt ∇x gt (¯ p, x¯) = 0, λt gt (¯ p, x¯) = 0, t∈supp λ ∀t ∈ supp λ}, (T ) Λ∞ (¯ p, x¯) = {λ ∈ R+ | λt ∇x gt (¯ p, x¯) = 0, λt gt (¯ p, x¯) = 0, t∈supp λ ∀t ∈ supp λ} 25 Chứng minh Các kết luận hệ suy trực tiếp từ định lý 2.1.1 với lưu ý ∂φ(¯ x) = {∇φ(¯ x)} với hàm φ khả vi chặt x¯ 2.2 Áp dụng Ví dụ sau trình bày để minh họa kết đạt áp dụng cho lớp toán tối ưu rộng so với kết có trước Ví dụ 2.2.1 Xét toán quy hoạch nửa vô hạn có tham số (1.9) với hàm mục tiêu f : R × R2 → R có dạng f (p, x) = (x1 − p)3 + (x2 − p)3 ∀x = (x1 , x2 ) ∈ R2 , ∀p ∈ R ánh xạ tập ràng buộc G : R ⇒ R2 (1.10) xác định G(p) := {x ∈ R2 | gt (p, x) ≤ 0, t ∈ T }, gt : R × R2 → R,  −tx1 − (1 − t)x2 + p, t ∈ T \ {2} gt (p, x) = x − x2 + x − − 4p, t = 2, 1 T = { n1 | n = 1, 2, }∪{0, 2} Vì T vô hạn, suy điều kiện quy Mangasarian-Fromovitz không kiểm tra [12, Corollary 4] Tương tự, không kiểm tra điều kiện quy Farkas-Minkowski [7, Corollary 3.6] g2 không hàm lồi Từ [8, Theorem 12.29] ta suy C(T ) không gian Asplund Lấy p¯ = Ta có G(¯ p) = {(x1 , x2 ) ∈ R2 | x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1 − x21 + x2 − ≤ 0} M (¯ p) = {(0, 0)} Lấy x¯ = (0, 0) ∈ M (¯ p) Rõ ràng, I(¯ p, x¯) = { n1 | n = 1, 2, } ∪ {0} Chọn u = ( 32 , 1, 1) ∈ R3 , ta có ∇gt (¯ p, x¯), u < ∀t ∈ I(¯ p, x¯) 26 Từ Định lý 1.2.2 ta suy điều kiện quy LCQ thỏa mãn (¯ p, x¯) Dễ dàng kiểm tra với p ∈ R, ta có M (p) = {(p, p)} Suy ra, M (·) µ-nửa liên tục (¯ p, x¯) ∈ gph M Mặt khác, ta tính (T ) λt ∇x gt (¯ p, x¯) = 0, Λ(¯ p, x¯) := λ ∈ R+ | ∇x f (¯ p, x¯) + t∈supp λ λt gt (¯ p, x¯) = 0, ∀t ∈ supp λ (T ) λt (−t, t − 1) = (0, 0), λt gt (¯ p, x¯) = 0, = λ ∈ R+ | (0, 0) + t∈supp λ ∀t ∈ supp λ = {0}, (T ) Λ∞ (¯ p, x¯) : = {λ ∈ R+ | λt ∇x gt (¯ p, x¯) = 0, λt gt (¯ p, x¯) = 0, ∀t ∈ suppλ} t∈suppλ = {0} Áp dụng Hệ 2.1.1, ta thu ∂µ(¯ p) ⊂ {0} ∂ ∞ µ(¯ p) ⊂ {0} Thực tế, ta có ∈ ∂µ(¯ p) ∈ ∂ ∞ µ(¯ p) Vì ∂µ(¯ p) = ∂ ∞ µ(¯ p) = {0} 27 KẾT LUẬN Luận văn trình bày cách ngắn gọn khái niệm đối đạo hàm, vi phân nón pháp tuyến Mordukhovich Khảo sát điều kiện quy đề xuất [4] Các kết đạt luận văn chứng tỏ điều kiện đủ quy ràng buộc [4] không gian không gian tham số không gian Banach Hơn nữa, đòi hỏi tính compact thưa tập số ràng buộc [4] không cần thiết Ví dụ trình bày áp dụng để minh họa kết đạt áp dụng cho lớp toán tối ưu rộng so với kết có Các vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu : làm tìm đánh giá cho vi phân hàm giá trị tối ưu, thay điều kiện ánh xạ nghiệm có lát cắt Lipschitz điều kiện khác mà việc kiểm tra tính hiệu lực đơn giản Một số kết Chương trình bày báo chung tác giả với người hướng dẫn Giáo sư Jen - Chih Yao "Subdifferentials of optimal value function in nonlinear infinite programming" phần Phụ lục Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình giải tích đa trị, Nhà xuất Khoa học tự nhiên Công nghệ [B] Tài liệu tiếng Anh [3] J F Bonnans, A Shapiro (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problems Springer, New York [4] T D Chuong, N Q Huy, J -C Yao (2009), "Subdifferentials of marginal functions in semi-infinite programming", SIAM J Optim.20, no 3, 1462-1477 [5] F H Clarke (1983), Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley, New York [6] N Dinh, B S Mordukhovich, T T Nghia (2010), "Sudifferentials of value functions and optimality conditions for some classes of DC and bilevel infinite and semi-infinite programs", Math Program.123, no.1, Ser B, 101-138 [7] N Dinh, B S Mordukhovich, T T Nghia (2009), "Qualification and optimality conditions for DC programs with infinite constraints", Acta Math Vietnam 34 no.1, 125-155 [8] M Fabian, P Habala, P Hájek, V Montesinos Santalucía, J Pelant, 29 V Zizler (2001), Functional Analysis and Infinite-Dimensional Geometry, Springer-Verlag, New York [9] N Q Huy, N D Giang, J.-C Yao (2010), "Subdifferentials of optimal value function in nonlinear infinite programming" [10] B S Mordukhovich (1994), "Gerneralized diferential calculus for nonsmooth and set-valued mapping," Journal of Mathematical Analysis and Application, 183, 250-188 [11] B S Mordukhovich (2006), Variational Analysis and Generalized Differentiation, I: Basic Theory, Springer [12] B S Mordukhovich, N M Nam, N D Yen (2009), "Subgradients of marginal functions in parametric mathematical programming", Math Prog., Ser B 116, 369–396 [13] R R Phelps (1993), Convex Function, Monotone Operators and Differentiability, Second Edition, Springer, Berlin [14] R T Rockafellar (1970), Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey [15] W Rudin (1991), Functional Analysis, 2nd Ed., McGraw-Hill, Inc [16] W Schirotzek (2006), Nonsmooth Analysis, Springer [17] H Tuy (1998), Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer Academic Publishers 30 PHỤ LỤC