Dưới vi phân của hàm giá trị tối ưu trong quy hoạch của nửa vô hạn

LỜI CẢM ƠN Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Quang Huy, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình thực hiện luận văn này. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này. Hà Nội, ngày 5 tháng 8 năm 2010 Tác giả Nguyễn Đình Giang i LỜI CAM ĐOAN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Quang Huy. Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác. Hà Nội, ngày 5 tháng 8 năm 2010 Tác giả Nguyễn Đình Giang ii Mục lục MỞ ĐẦU 1 Chương 1. Điều kiện chính quy ràng buộc 4 1.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Các điều kiện chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Chương 2. Dưới vi phân của hàm giá trị tối ưu 21 2.1. Đánh giá dưới vi phân của hàm giá trị tối ưu . . . . . . . 21 2.2. Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 KẾT LUẬN 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO 27 PHỤ LỤC 30 BẢNG KÍ HIỆU R đường thẳng thực R n không gian Euclid n-chiều F : X ⇒ Y ánh xạ đa trị từ X vào Y domF miền hữu hiệu của F gphF đồ thị của F x chuẩn của véc tơ x B hình cầu đơn vị đóng cone Ω nón sinh bởi Ω Limsup giới hạn trên theo nghĩa Painlevé - Kuratowski N(¯x, Ω) nón pháp tuyến giới hạn/Mordukhovich của Ω tại ¯x  N(¯x, Ω) nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại ¯x ∂f(x) dưới vi phân giới hạn/Mordukhovich của f tại x ∂ ∞ f(x) dưới vi phân suy biến của f tại x ˆ ∂f(x) dưới vi phân Fréchet của f tại x D ∗ F (¯x, ¯y) đối đạo hàm Mordukhovich của F tại (¯x, ¯y)  D ∗ F (¯x, ¯y) đối đạo hàm Fréchet của F tại (¯x, ¯y) x Ω −→ ¯x x → ¯x, và x ∈ Ω x f −→ ¯x x → ¯x, và f(x) → f(¯x) α ↓ ¯α α → ¯α, α  ¯α  kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết tối ưu là một ngành toán học đang phát triển mạnh với nhiều hướng nghiên cứu khác nhau: Quy hoạch toán học, Giải tích biến phân, Vi phân suy rộng, và ngày càng có nhiều ứng dụng quan trọng trong mọi lĩnh vực khoa học, kĩ thuật, công nghệ Các hàm giá trị tối ưu đóng vai trò quan trọng trong giải tích biến phân, tối ưu, lý thuyết điều khiển, và nhiều ứng dụng khác nhau của lý thuyết đó. Trong trường hợp các hàm giá trị tối ưu không trơn, để có được các thông tin cốt yếu về độ nhạy và tính ổn định của các bài toán tối ưu và điều khiển có nhiễu, về điều kiện cực trị, về tính điểu khiển được địa phương,. . . ta cần nghiên cứu các tính chất vi phân theo nghĩa suy rộng của hàm giá trị tối ưu, và người ta ngày càng tìm được nhiều ứng dụng mới của giải tích biến phân và vi phân tổng quát. Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị được đề xuất vào khoảng năm 1976 bởi Mordukhovich đã được nhận biết như là một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu nhiều vấn đề quan trọng trong giải tích biến phân và tối ưu (xem [2], [11] và các tài liệu tham khảo trích dẫn trong đó). Gần đây, Mordukhovich, Nam và Yen [12] đã tìm ra các công thức đánh giá dưới vi phân Fréchet và dưới vi phân Mordukhovich của hàm giá trị tối ưu trong không gian Asplund thực cho lớp bài toán tối ưu có tham số với hữu hạn ràng buộc bất đẳng thức dưới các dữ kiện trơn và không trơn. Dinh, Mordukhovich và Nghia [6, 7] đã đưa ra một vài ước lượng trên cho dưới vi phân Fréchet và dưới vi phân Mordukhovich của hàm giá trị tối ưu trong quy hoạch nửa vô hạn có tham số với ràng buộc cho bởi vô hạn các bất đẳng thức lồi dưới các điều kiện chính quy hợp lý. Gần đây hơn, Chuong, Huy và Yao [4] đã khảo sát lớp bài toán tối 2 ưu nửa vô hạn không lồi và đề xuất hai điều kiện chính quy ràng buộc mới mà nó hữu ích cho việc đồng nhất nghiên cứu các điều kiện chính quy ràng buộc từ cả hai quan điểm của giải tích lồi và giải tích không trơn. Các điều kiện chính quy ràng buộc được đề xuất trong [4] bao hàm cả sự tồn tại của các điều kiện chính quy quen thuộc như Mangasarian- Fromovitz hoặc Farkas-Minkowski. Trong [4] các tác giả cũng đưa ra một số điều kiện đủ cho tính hiệu lực của các điều kiện chính quy được đề xuất trong không gian hữu hạn chiều dưới giả thiết tập chỉ số ràng buộc phải là tập compact thưa (scattered compact). Một câu hỏi mở được nêu ra trong [4] rằng có thể loại bỏ giả thiết về tính compact thưa của tập chỉ số ràng buộc hay không?Mặt khác, một trong những lý do mà các kết quả về điều kiện đủ cho tính chính quy hóa tập ràng buộc trong [4] phải giới hạn trong các không gian hữu hạn chiều là trong kỹ thuật chứng minh sử dụng định lý tách tập lồi và tính chất bao lồi của một tập compact là một tập compact. Như ta đã biết rằng điều này không còn đúng với tập compact trong không gian vô hạn chiều. Một câu hỏi tự nhiên nảy sinh rằng liệu có thể mở rộng được các kết quả về điều kiện đủ cho tính chính quy hóa tập ràng buộc trong [4] sang các không gian vô hạn chiều được hay không? Đề tài "Dưới vi phân của hàm giá trị tối ưu trong quy hoạch nửa vô hạn"nhằm mục đích tìm hiểu về lý thuyết tối ưu, tối ưu nửa vô hạn và tìm hiểu câu trả lời cho hai câu hỏi vừa nêu trên. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu về việc loại bỏ giả thiết về tính compact thưa của tập chỉ số ràng buộc trong quy hoạch nửa vô hạn; đồng thời tìm hiểu về khả năng mở rộng các kết quả đó sang không gian vô hạn chiều. Đưa ra công thức cho việc đánh giá dưới vi phân (Mordukhovich và suy biến) của hàm giá trị tối ưu trong quy hoạch nửa vô hạn dưới các điều kiện chính 3 quy hóa tập ràng buộc trong không gian Banach tổng quát. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu các kết quả cơ bản đã đạt được trong lý thuyết tối ưu, tối ưu nửa vô hạn, giải tích biến phân hiện đại và vi phân suy rộng. Áp dụng các kết quả này để nghiên cứu điều kiện đủ cho tính hiệu lực của các điều kiện chính quy hóa tập ràng buộc và đưa ra công thức đánh giá dưới vi phân (Mordukhovich và suy biến) của hàm giá trị tối ưu dưới các điều kiện chính quy này. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Quy hoạch toán học, lý thuyết tối ưu, giải tích biến phân hiện đại và vi phân suy rộng. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích lồi, giải tích không trơn, giải tích đa trị, giải tích biến phân hiện đại và vi phân suy rộng. 6. Đóng góp mới Các kết quả đạt được trong luận văn giải đáp trọn vẹn cho hai câu hỏi đã nêu ra trong Mục 1, và giúp ta có những hiểu biết mới về tối ưu nửa vô hạn. Kết quả này cũng được trình bày trong bài báo chung của tác giả với người hướng dẫn và Giáo sư Jen-Chih Yao "Subdifferentials of optimal value function in nonlinear infinite programming" [9]. Chương 1 Điều kiện chính quy ràng buộc 1.1. Các khái niệm cơ bản Trong luận văn chúng ta sẽ sử dụng các khái niệm, kí hiệu của giải tích biến phân, và vi phân suy rộng. Chi tiết đọc giả có thể tham khảo bộ sách của Mordukhovich [11]. Nếu không nói gì thêm, tất cả các không gian được xét là không gian Banach với chuẩn ký hiệu là  · , và ta xét không gian đối ngẫu của nó X ∗ với tôpô yếu ∗ được kí hiệu bởi w ∗ . Như thường lệ, B X và B X ∗ kí hiệu tương ứng là hình cầu đơn vị đóng trong không gian Banach X và không gian đối ngẫu của nó. Kí hiệu A ∗ toán tử liên hợp của toán tử tuyến tính liên tục A. Hình cầu đóng tâm x bán kính ρ được kí hiệu bởi B ρ (x) hoặc B(x, ρ). cl M hoặc M ký hiệu bao đóng của M. Với mỗi tập Ω ⊂ X, cl Ω, int Ω, co Ω và coneΩ kí hiệu tương ứng là bao đóng, phần trong, bao lồi và nón sinh của Ω. Ta nhắc lại rằng Ω ∈ X là đóng địa phương tại ¯x ∈ Ω nếu có một lân cận U của ¯x sao cho Ω ∩ clU là tập đóng. Cho F : X ⇒ X ∗ là ánh xạ đa trị giữa không gian Banach X và không gian đối ngẫu X ∗ của nó. Kí hiệu Lim sup x→¯x F (x) := {x ∗ ∈ X ∗ : ∃x k → ¯x, x ∗ k ω ∗ −→ x ∗ , x ∗ k ∈ F (x k ), ∀k ∈ N}, được dùng để chỉ giới hạn trên theo dãy theo nghĩa Painlevé-Kuratowski đối với tôpô chuẩn của X và tôpô yếu* của X ∗ , và N:={1,2,3, }. Định nghĩa 1.1.1. (Nón pháp tuyến). Cho Ω ⊂ X và ε  0. 5 (i) Tập các véctơ ε- pháp tuyến của Ω tại ¯x được xác định bởi  N ε (¯x; Ω) :=  x ∗ ∈ X ∗ : lim sup x Ω →¯x x ∗ , x − ¯x  x − ¯x   ε  , (1.1) Khi ε = 0, tập  N(¯x; Ω) :=  N 0 (¯x; Ω) được gọi là nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại điểm ¯x. (ii) Nón pháp tuyến Mordukhovich N(¯x; Ω) thu được từ  N ε (¯x; Ω) bằng việc lấy giới hạn trên theo nghĩa Painlevé-Kuratowski trong tô pô yếu ∗ của X ∗ : N(¯x; Ω) := Lim sup x Ω →¯x ε↓0  N ε (x; Ω), (1.2) ở đó có thể đặt ε = 0 khi Ω là tập đóng trong lân cận của ¯x và X là không gian Asplund. Cho Ω ⊂ R n là tập đóng trong một lân cận của điểm ¯x ∈ Ω. Khi đó, ta có N(¯x; Ω) = Lim sup x→¯x [cone (x − Π (x; Ω))] , (1.3) ở đây Π(x; Ω) là hình chiếu Euclid của x trên Ω. Định nghĩa 1.1.2. (Đối đạo hàm). Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị giữa các không gian Banach. (i) Đối đạo hàm Mordukhovich D ∗ F (¯x, ¯y) : Y ∗ ⇒ X ∗ của F tại (¯x, ¯y) ∈ gphF được xác định bởi D ∗ F (¯x, ¯y)(y ∗ ) := {x ∗ ∈ X ∗ |(x ∗ , −y ∗ ) ∈ N((¯x, ¯y); gphF )} , ∀y ∗ ∈ Y ∗ . (1.4) (ii) Đối đạo hàm Fréchet của F tại (¯x, ¯y) ∈ gphF được xác định bởi  D ∗ F (¯x, ¯y)(y ∗ ) :=  x ∗ ∈ X ∗ |(x ∗ , −y ∗ ) ∈  N((¯x, ¯y); gphF )  , ∀y ∗ ∈ Y ∗ . (1.5) Nếu F là ánh xạ đơn trị thì ta có thể viết ngắn gọn D ∗ F (¯x)(y ∗ ) (tương ứng,  D ∗ F (¯x)(y ∗ )) thay cho D ∗ F (¯x, F (¯x))(y ∗ ) (tương ứng,  D ∗ F (¯x, F (¯x))(y ∗ )). 6 Ta nhắc lại rằng một ánh xạ đơn trị f : X → Y được gọi là khả vi chặt tại ¯x nếu tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục ∇f(¯x): X → Y sao cho lim x→¯x u→¯x f(x) − f(u) − f(¯x)(x − u) x − u = 0. Đối với ánh xạ khả vi chặt tại ¯x ta luôn có D ∗ f(¯x)(y ∗ ) =  D ∗ f(¯x)(y ∗ ) = {(∇f(¯x)) ∗ y ∗ }, ∀y ∗ ∈ Y ∗ , tức là đối đạo hàm Mordukhovich (tương ứng, đối đạo hàm Fréchet ) là một sự mở rộng toán tử liên hợp của đạo hàm cổ điển . Cho hàm giá trị thực mở rộng ϕ : X → ¯ R := [−∞, ∞]. Ta xác định dom ϕ = {x ∈ X | |ϕ(x)| < ∞}, epi ϕ(x) = {(x, µ) ∈ X×R | µ ≥ ϕ(x)}. Xét Φ : X ⇒ R là một ánh xạ trên đồ thị liên kết với ϕ được định nghĩa bởi Φ(x) = E ϕ (x) := {µ ∈ R | µ ≥ ϕ(x)}, ∀x ∈ X. Định nghĩa 1.1.3. (Dưới vi phân). Cho X là không gian Banach, ϕ : X → ¯ R là hàm giá trị thực mở rộng và hữu hạn tại ¯x. (i) Với mỗi ε  0, đặt ˆ ∂ ε ϕ(¯x) :=  x ∗ ∈ X ∗ : lim inf x→¯x ϕ(x) − ϕ(¯x) − x ∗ , x − ¯x x − ¯x  −ε  . (1.6) Các phần tử của tập hợp ở vế trái công thức này được gọi là các ε− dưới gradient Fréchet của ϕ tại ¯x, còn bản thân tập hợp đó được gọi là ε− dưới vi phân Fréchet của ϕ tại ¯x. Tập hợp ˆ ∂ϕ(¯x) := ˆ ∂ 0 ϕ(¯x) được gọi là dưới vi phân Fréchet của ϕ tại ¯x. (ii) Tập hợp ∂ϕ(¯x) := Limsup x ϕ −→¯x ε↓0 ˆ ∂ ε ϕ(x) (1.7) [...]... lượng trên hoặc tính toán chính xác dưới vi phân Mordukhovich và dưới vi phân suy biến của hàm giá trị tối ưu (1.11) trong quy hoạch nửa vô hạn Kết quả sau đây đã được trình bày trong [4] Định lý 2.1.1 Cho M (·) là ánh xạ nghiệm định nghĩa trong (1.12) với ánh xạ ràng buộc G xác định bởi (1.10), và µ(·) là hàm giá trị tối ưu định nghĩa trong (1.11) Giả sử rằng M (·) là µ- nửa liên tục nội bộ tại (¯, x)... ¯ p ¯ λ∈A(¯,¯) px Định lý được chứng minh t∈supp λ Chương 2 Dưới vi phân của hàm giá trị tối ưu 2.1 Đánh giá dưới vi phân của hàm giá trị tối ưu Trong phần này, các không gian P , X luôn giả thiết là Asplund Xét ánh xạ nghiệm M (·) được định nghĩa như trong (1.12) Lấy p ∈ P ¯ và x ∈ M (¯) Ta nhắc lại từ [12, Sect 5] rằng M (·) được gọi là µ -nửa ¯ p µ ¯ liên tục nội bộ tại (¯, x) nếu với mỗi dãy pk →...7 được gọi là dưới vi phân Mordukhovich của ϕ tại x ¯ (iii) Tập hợp ˆ ∂ ∞ ϕ(¯) := Limsup λ∂ε f (x) x ϕ x→x −¯ (1.8) ε,λ↓0 được gọi là dưới vi phân suy biến của ϕ tại x ¯ Dưới vi phân Mordukhovich ∂ϕ(¯) (tương ứng, dưới vi phân suy x biến ∂ ∞ ϕ(¯)) của ϕ tại x ∈ dom ϕ cũng có thể được xác định qua đối x ¯ đạo hàm của ánh xạ trên đồ thị liên kết nó D∗ Φ(¯, y ) như... lớp các bài toán tối ưu rộng hơn so với các kết quả đã có Các vấn đề cần được tiếp tục nghiên cứu như : làm thế nào tìm được các đánh giá trong cho dưới vi phân của hàm giá trị tối ưu, hoặc thay điều kiện ánh xạ nghiệm có lát cắt Lipschitz trên bằng một điều kiện khác mà vi c kiểm tra tính hiệu lực của nó đơn giản hơn Một số kết quả trong Chương 1 đã được trình bày trong bài báo chung của tác giả với... trị f : P × X → R Xét bài toán quy hoạch nửa vô hạn có tham số min f (p, x), x ∈ G(p) với ánh xạ tập ràng buộc bị nhiễu G : P (1.9) X xác định bởi G(p) := {x ∈ X | gt (p, x) ≤ 0, t ∈ T }, (1.10) ở đó với mỗi t ∈ T, gt : P × X → R là một hàm giá trị thực mở rộng Ở đây "min" được lấy đối với biến x và p là tham số nhiễu Hàm giá trị ¯ ¯ tối ưu của bài toán tối ưu có tham số (1.9) có dạng µ(p) := inf{f... giả thiết rằng f khả vi chặt tại (¯, x), M : dom M p ¯ X có ∂µ(¯) ⊂ p ∂ ∞ µ(¯) ⊂ p lát cắt Lipschitz trên trong lân cận (¯, x), và G là chính quy pháp tuyến p ¯ tại (¯, x) thì hàm giá trị tối ưu µ(·) là chính quy dưới tại p và bao hàm p ¯ ¯ thức (2.2) trở thành đẳng thức ∂µ(¯) = p p ¯ p f (¯, x) + D∗ G(¯, x)( p ¯ p ¯ x f (¯, x)) (2.4) Với điều kiện chính quy RCQ và LCQ được xem xét trong chương trước,... 2.1.1 Cho M (·) là ánh xạ nghiệm được định nghĩa trong (1.12) với ánh xạ ràng buộc G xác định bởi (1.10), và µ(·) là hàm giá trị tối ưu được định nghĩa trong (1.11) Giả sử rằng M (·) là µ -nửa liên tục nội bộ tại (¯, x) ∈ gph M, f và gt (∀t ∈ T ) là các hàm khả vi chặt tại (¯, x) p ¯ p ¯ Nếu điều kiện chính quy LCQ thỏa mãn tại (¯, x), thì ta có các bao hàm p ¯ thức: ∂µ(¯) ⊂ p p ¯ p f (¯, x) + λt λ∈Λ(¯,¯)... 25 Chứng minh Các kết luận của hệ quả này suy ra trực tiếp từ định lý 2.1.1 với lưu ý rằng ∂φ(¯) = { φ(¯)} với mọi hàm φ khả vi chặt tại x x x ¯ 2.2 Áp dụng Ví dụ sau được trình bày để minh họa rằng các kết quả đạt được có thể áp dụng cho một lớp các bài toán tối ưu rộng hơn so với các kết quả đã có trước đây Ví dụ 2.2.1 Xét bài toán quy hoạch nửa vô hạn có tham số (1.9) với hàm mục tiêu f : R × R2 →... niệm cơ bản nhất về đối đạo hàm, dưới vi phân và nón pháp tuyến Mordukhovich Khảo sát các điều kiện chính quy đã được đề xuất trong [4] Các kết quả đạt được trong luận văn chứng tỏ rằng các điều kiện đủ chính quy ràng buộc trong [4] vẫn còn đúng khi không gian nền và không gian tham số là các không gian Banach Hơn nữa, đòi hỏi về tính compact thưa của tập chỉ số ràng buộc trong [4] là không cần thiết... epiϕ)}) x x x x x Nếu x ∈ domϕ thì đặt ∂ϕ(¯) = ∂ ∞ ϕ(¯) = ∅ Ta có nhận xét rằng ¯ / x x với mọi hàm Lipschitz ϕ ta luôn có ∂ϕ(¯) = ∅ Tuy nhiên với hàm không x Lipschitz tại một điểm đang xét, dưới vi phân Mordukhovich tại điểm 1 đó có thể bằng rỗng Chẳng hạn, xét hàm ϕ(x) = x 3 Ta có dưới vi phân Mordukhovich tại x = 0 bằng rỗng Thật vậy, áp dụng công thức (1.3) ¯ ta có thể tính được N ((0, 0); gphϕ) . chiều được hay không? Đề tài " ;Dưới vi phân của hàm giá trị tối ưu trong quy hoạch nửa vô hạn& quot;nhằm mục đích tìm hiểu về lý thuyết tối ưu, tối ưu nửa vô hạn và tìm hiểu câu trả lời cho hai. Đưa ra công thức cho vi c đánh giá dưới vi phân (Mordukhovich và suy biến) của hàm giá trị tối ưu trong quy hoạch nửa vô hạn dưới các điều kiện chính 3 quy hóa tập ràng buộc trong không gian Banach. trơn. Dinh, Mordukhovich và Nghia [6, 7] đã đưa ra một vài ước lượng trên cho dưới vi phân Fréchet và dưới vi phân Mordukhovich của hàm giá trị tối ưu trong quy hoạch nửa vô hạn có tham số với