Bao hàm thức vi phân bậc phân số với trễ vô hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————————————– NGUYỄN VĂN QUANG BAO HÀM THỨC VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ VỚI TRỄ VÔ HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————– * ——————— NGUYỄN VĂN QUANG BAO HÀM THỨC VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ VỚI TRỄ VÔ HẠN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Đình Kế Hà Nội, 2012 1 Lời cảm ơn Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Trần Đình Kế đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Cũng qua luận văn này, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong tổ Giải tích - khoa Toán - trường Đại học Sư phạm Hà nội 2, gia đình, bạn bè và các bạn học viên lớp K14 Toán giải tích đợt 1, những người đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Hà Nội, tháng 7 năm 2012 Tác giả Nguyễn Văn Quang 2 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn này là do tôi tự làm dưới sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của TS. Trần Đình Kế. Tôi xin cam đoan số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Các thông tin trích dẫn, các tài liệu tham khảo trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Luận văn chưa được công bố trên bất kì tạp chí, phương tiện thông tin nào. Hà Nội, tháng 7 năm 2012 Tác giả Nguyễn Văn Quang Mục lục 1 Kiến thức chuẩn bị 8 1.1 Giải tích bậc phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Không gian pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Độ đo không compact và ánh xạ đa trị . . . . . . . . . 10 2 Bài toán Cô-si với phương trình vi phân bậc phân số 16 2.1 Tính giải được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Tính chất của tập nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3 Các kí hiệu N tập hợp số tự nhiên N ∗ tập hợp số tự nhiên khác 0 Z tập hợp số nguyên Q tập hợp số hữu tỉ R tập hợp số thực C tập hợp số phức MNC độ đo không compact (u.s.c) nửa liên tục trên 4 5 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phương trình vi phân bậc phân số là một hướng nghiên cứu của giải tích bậc phân số( fractional calculus) được đề xuất bởi Leibniz và Euler cuối thế kỉ XIX sau đó được phát triển tiếp bởi nhiều nhà toán học trong đó có Laplace, Fourier, Abel, Liouville và Riemann. Trên thực tế các phương trình tiến hóa bậc không nguyên có nhiều ứng dụng trong các bài toán liên quan đến tính nhớt đàn hồi, điện động học, Ở đó đạo hàm theo biến thời gian được thay bằng đạo hàm bậc không nguyên. Trong một thập kỷ trở lại đây, lý thuyết phương trình tiến hóa bậc phân số đã có những bước biến mạnh mẽ. Đã có rất nhiều kết quả về tính giải được, dáng điệu nghiệm của những phương trình dạng c D α u(t) = f(t, u(t)), hay bao hàm thức vi phân dạng c D α u(t) ∈ F (t, u(t)), trong trường hợp α ∈ (0, 1] hoặc α ∈ (1, 2]. Ở đây c D α 0 f(t) = 1 Γ(N − α)  t 0 (t − s) N−α−1 f (N) (s)ds là đạo hàm bậc phân số theo nghĩa Caputo, N là số nguyên dương sao cho α ∈ (N − 1, N]. 6 Các bài toán tương tự với đạo hàm bậc phân số Riemann-Liouville cũng được nghiên cứu, trong đó đạo hàm Caputo được thay bởi đạo hàm Riemann-Liouville: D α 0 f(t) = 1 Γ(N − α) d N dt N  t 0 (t − s) N−α−1 f(s)ds. Cũng giống như với phương trình vi phân thường bậc cao u (n) (t) = f(t, u(t), u  (t), , u (n−1) (t)), các kết quả về bao hàm thức vi phân bậc phân số tổng quát dạng c D α 0 u(t) ∈ F (t, u t , ∇ N u) trong đó ∇ N u = (u, u  , , u N−1 ), u t là trễ, tức trạng thái lịch sử của u tính đến thời điểm t : u t (s) = u(t + s) với s ∈ (−∞, 0], còn ít được biết đến. Với mục đích tiếp cận một hướng nghiên cứu của toán học hiện đại, được sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của Tiến sĩ Trần Đình Kế, tôi đã chọn đề tài: "BAO HÀM THỨC VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ VỚI TRỄ VÔ HẠN". 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận văn là nghiên cứu một lớp bài toán Cô-si nửa tuyến tính đối với bao hàm thức bậc phân số với trễ vô hạn, tìm điều kiện giải được và tính chất nghiệm của lớp bài toán này. 7 3. Nhiệm vụ nghiên cứu + Xác lập điều kiện tồn tại nghiệm và cấu trúc tập hợp nghiệm; + Tính nửa liên tục trên của ánh xạ nghiệm. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Bao hàm thức vi phân bậc phân số tổng quát với trễ vô hạn. + Phạm vi nghiên cứu: Điều kiện giải được và các tính chất của ánh xạ nghiệm. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các công cụ và các kết quả của giải tích đa trị, giải tích bậc phân số và độ đo không compact(MNC). 6. Dự kiến đóng góp mới Tìm những điều kiện thích hợp đảm bảo giải được của bài toán Cô-si đối với bao hàm thức vi phân bậc phân số tổng quát. Chứng minh tính ổn định của tập hợp nghiệm theo nghĩa ánh xạ nghiệm là nửa liên tục trên theo tập giá trị ban đầu. Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Giải tích bậc phân số Ta bắt đầu với một số khái niệm của giải tích bậc phân số. Về lịch sử của các khái niệm này, có thể tham khảo các tài liệu [21], [22], [26], và [29]. Định nghĩa 1.1. Tích phân bậc α > 0 của hàm f ∈ L 1 (0, T; E) được định nghĩa bởi I α 0 f(t) = 1 Γ(α)  t 0 (t − s) α−1 f(s)ds, trong đó Γ là hàm Gamma. Tích phân sử dụng trong luận văn được hiểu theo nghĩa tích phân Bochner. Định nghĩa 1.2. Với f ∈ C N ([0, T]; E), đạo hàm Caputo bậc α ∈ (N − 1, N] được định nghĩa bởi C D α 0 f(t) = 1 Γ(N − α)  t 0 (t − s) N−α−1 f (N) (s)ds. 8 [...]... rằng có một số khái niệm về đạo hàm bậc phân số khác nhau, trong đó hai khái niệm được sử dụng nhiều là đạo hàm Caputo và đạo hàm Riemann-Liouville Trong các bài toán ứng dụng liên quan đến phương trình vi phân bậc phân số, điều kiện ban đầu thường liên quan đến các đạo hàm nguyên u(0), u (0), , do đó đạo hàm Caputo là khái niệm phù hợp vì quá trình cầu phương làm xuất hiện các biểu thức đối với u(0),... chặn thì hàm χ(G(·)) khả tích và, t χ G(s)ds 0 với mọi t ∈ [0, d] t χ(G(s))ds 0 Chương 2 Bài toán Cô-si với phương trình vi phân bậc phân số 2.1 Tính giải được Giả sử E là không gian Banach Xét bài toán Cô-si sau C Dα u(t) ∈ F (t, ut , N N u), t ∈ J := [0, T ], u(0) = U0 , (2.1) (2.2) u(s) = ϕ(s), s ∈ (−∞, 0), (2.3) trong đó N ≥ 1 là số nguyên dương, α ∈ (N − 1, N ], u : (−∞, T ] → E là ẩn hàm, C Dα... cho G(t) := sup{ g E : g ∈ G(t)} ξ(t) với hầu khắp t ∈ [0, T ] 14 p Tập các hàm chọn khả tích bậc p của G được ký hiệu là SG Hàm đa trị G gọi là đo được nếu G−1 (V ) đo được (ứng với độ đo Lebesgue trên J := [0, T ]) với mỗi tập mở V của E Ta nói G là đo được mạnh nếu có một dãy các hàm bậc thang Gn : [0, T ] → K(E), n = 1, 2, sao cho lim H(Gn (t), G(t)) = 0 với hầu khắp t ∈ [0, T ], n→∞ trong đó... đối với u(0), u (0), Cụ thể, với u ∈ C N ([0, T ]; E), ta có công thức C α α D0 I0 u(t) = u(t), (1.1) N −1 α α I0 C D0 u(t) = u(t) − k=0 1.2 u(k) (0) k t k! (1.2) Không gian pha Cho B là một không gian tuyến tính, với nửa chuẩn | · |B , bao gồm các hàm số từ (−∞, 0] vào E Khái niệm không gian pha B cho các phương trình với trễ, được đưa ra bởi Hale và Kato (xem [19]), bao gồm các tiên đề: Nếu v :... 16 17 Xét hàm phi tuyến đa trị F : [0, T ] × B × E N → Kv(E) trong bài toán (2.1)-(2.3) Định nghĩa 2.1 Ta nói rằng F thỏa mãn điều kiện Carathéodory nếu 1 hàm F (., ζ, U) : [0, T ] → Kv(E) có hàm chọn đo được mạnh với mỗi (ζ, U) ∈ B × E N , và 2 hàm F (t, , ) : B × E N → Kv(E) là nửa liên tục trên với hầu khắp t ∈ [0, T ] Hàm F được gọi là Lp -bị chặn địa phương nếu với mỗi r > 0, tồn tại hàm ωr ∈ Lp... vt ∈ B với mọi t ∈ [0, T ]; (B2) hàm t → vt liên tục trên [0, T ]; (B3) |vt |B K(t) sup{ v(s) E : 0 s t} + M (t)|v0 |B , trong đó K, M : [0, T ] → [0, ∞), K là hàm liên tục, M là hàm bị chặn, cả hai hàm này không phụ thuộc v 10 Sau đây là các ví dụ về không gian pha thỏa mãn các tiên đề nêu trên (1) Với η > 0, ký hiệu B = Cη là không gian các hàm liên tục ψ : (−∞; 0] → E thỏa mãn lim eηθ ψ(θ) với θ→−∞... dãy {ξn } ⊂ Lp (0, τ ; E) là Lp -bị chặn tích phân: ξn (t) E ν(t), với mọi n = 1, 2, và khầu khắp t ∈ [0, τ ], ở đó ν ∈ Lp (0, τ ) Giả sử rằng χ({ξn (t)}) q(t) 23 với hầu khắp t ∈ [0, τ ], với q ∈ Lp (0, τ ) Khi đó với mọi δ > 0 tồn tại tập compact Kδ ⊂ E, tập mδ ⊂ [0, τ ], meas(mδ ) < δ và một dãy hàm Gδ ⊂ Lp (0, τ ; E) với giá trị trong Kδ , sao cho với mọi n 1 tồn tại bn ∈ Gδ thỏa mãn ξn (t) −... kiện biên x − a ∈ λ(F(x) − a) với mọi x ∈ ∂UD và 0 < λ 1 Khi đó Fix F là tập khác rỗng và compact Định nghĩa 1.6 Giả sử G : [0, T ] → K(E) là hàm đa trị và p 1 Khi đó G được gọi là • Lp -khả tích, nếu nó có hàm chọn khả tích bậc p theo nghĩa Bochner Nghĩa là có hàm g : [0, T ] → E, g(t) ∈ G(t) với hầu khắp T t ∈ [0, T ] sao cho g(s) 0 p E ds < ∞; • Lp -bị chặn, nếu có hàm ξ ∈ Lp ([0, T ]) sao cho G(t)... U)} với mọi (ζ, U) ∈ B × E N thỏa mãn |ζ|B + U EN ωr (t) r Ký hiệu CE (−∞, T ) là không gian tuyến tính bao gồm các hàm u : (−∞, T ] → E thỏa mãn điều kiện u0 ∈ B và u|[0,T ] ∈ C N −1 ([0, T ]; E), với nửa chuẩn u CE (−∞,T ) = |u0 |B + u C N −1 ([0,T ];E) Với u ∈ CE (−∞, T ), xét hàm hợp đa trị ΦF : [0, T ] → Kv(E), ΦF (t) = F (t, ut , N u(t)) Theo các tiên đề về không gian pha, ta có t → ut ∈ B là hàm. .. yếu của bài toán (2.1)-(2.3), dựa trên công thức (1.2), như sau: Định nghĩa 2.2 Với τ ∈ (0, T ], hàm u ∈ CE (−∞, τ ) gọi là một nghiệm yếu của bài toán (2.1)-(2.3) trong khoảng (−∞, τ ] nếu nó thỏa mãn phương trình tích phân   ϕ(t),   u(t) = N −1 tk 1   uk +   k! Γ(α) k=0 với t 0, t (t − s)α−1 φ(s)ds với t ∈ [0, τ ], 0 trong đó φ ∈ PF (u) Ta giả thiết hàm đa trị F trong bài toán (2.1)-(2.3) có . tài: " ;BAO HÀM THỨC VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ VỚI TRỄ VÔ HẠN". 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận văn là nghiên cứu một lớp bài toán Cô-si nửa tuyến tính đối với bao hàm thức bậc phân số với trễ. QUANG BAO HÀM THỨC VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ VỚI TRỄ VÔ HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————– * ——————— NGUYỄN VĂN QUANG BAO HÀM THỨC VI. trên của ánh xạ nghiệm. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Bao hàm thức vi phân bậc phân số tổng quát với trễ vô hạn. + Phạm vi nghiên cứu: Điều kiện giải được và các tính