Bài toán cô-si với bao hàm thức tiến hoá bậc cao

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————————————– NGUYỄN VĂN ĐIỂN BÀI TOÁN CÔ-SI VỚI BAO HÀM THỨC TIẾN HÓA BẬC CAO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————– * ——————— NGUYỄN VĂN ĐIỂN BÀI TOÁN CÔ-SI VỚI BAO HÀM THỨC TIẾN HÓA BẬC CAO Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Đình Kế Hà Nội, 2012 Lời cảm ơn Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Trần Đình Kế đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Cũng qua luận văn này, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong tổ Giải tích - khoa Toán - trường Đại học Sư phạm Hà nội 2, gia đình, bạn bè và các bạn học viên lớp K14 Toán giải tích đợt 2, những người đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Hà Nội, tháng 9 năm 2012 Tác giả Nguyễn Văn Điển 1 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn này là do tôi tự làm dưới sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của TS. Trần Đình Kế. Tôi xin cam đoan số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Các thông tin trích dẫn, các tài liệu tham khảo trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Luận văn chưa được công bố trên bất kì tạp chí, phương tiện thông tin nào. Hà Nội, tháng 9 năm 2012 Tác giả Nguyễn Văn Điển 2 Mục lục 1 Kiến thức chuẩn bị 8 1.1 Họ giải thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Không gian pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Độ đo không compact và ánh xạ đa trị nén . . . . . . . 14 2 Bài toán tổng quát 19 3 Ứng dụng giải thức suy rộng cho phương trình tiến hóa cấp hai dạng đầy đủ 29 3 Các kí hiệu N tập hợp số tự nhiên N ∗ tập hợp số tự nhiên khác 0 R tập hợp số thực R + tập hợp số thực không âm C tập hợp số phức i đơn vị ảo trong tập số phức ∆ toán tử Laplace MNC độ đo không compact (u.s.c) nửa liên tục trên 4 MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài Lý thuyết nửa nhóm là một công cụ mạnh cho việc nghiên cứu tính đặt đúng của các lớp bài toán liên quan đến phương trình vi tích phân. Cụ thể, tính đặt đúng của bài toán Cô-si đối với phương trình vi phân cấp một (CP1)  u  (t) = Au(t), t > 0 u(0) = ξ liên quan chặt chẽ với việc A sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh, ở đây hàm trạng thái u lấy giá trị trong một không gian Banach X nào đó. Để nghiên cứu tính đặt đúng của các bài toán với phương trình vi phân bậc cao, ví dụ (CP2)  u  (t) + Au  (t) + Bu(t) = 0, t > 0 u(0) = ξ, u  (0) = η, người ta tìm cách đưa nó về hệ phương trình bậc nhất để có thể áp dụng các kết quả của lý thuyết nửa nhóm. Tuy nhiên công việc này không phải bao giờ cũng thực hiện được bởi sau khi chuyển về hệ bậc nhất, toán tử ma trận không có các tính chất đủ tốt để sinh ra nửa nhóm. Do vậy người ta đặt vấn đề xây dựng một giải thức suy rộng cho các phương trình bậc cao, tương tự như nửa nhóm đối với phương trình bậc nhất để nghiên cứu tính giải được của các bài toán liên quan. Các kết quả đối với bài toán tuyến tính tổng quát có thể tìm thấy trong các tài liệu [38]. Cho đến nay, vì lý do kỹ thuật, các kết quả đối với bài toán nửa tuyến tính còn ít được biết đến, nhất là đối với bài toán Cô-si với bao hàm thức vi phân bậc cao. Với kỳ vọng tiếp cận một vấn đề nghiên cứu của toán học hiện đại, tôi chọn đề tài: "Bài toán Cô-si đối với bao hàm thức tiến hóa bậc cao" Mục tiêu của luận văn là nghiên cứu một lớp bài toán Cô-si tổng quát với bao hàm thức vi phân bậc cao có trễ vô hạn dựa trên các kết quả về giải thức suy rộng đã được thiết lập cho phương trình tuyến tính. 5 Mục đích nghiên cứu Áp dụng lý thuyết giải thức suy rộng để tìm điều kiện tồn tại nghiệm cho các bài toán Cô-si với bao hàm thức vi phân bậc cao. Trong đó chú trọng đến lớp bài toán (CP2). Nhiệm vụ nghiên cứu 1. Nghiên cứu lý thuyết giải thức suy rộng cho phương trình vi phân tuyến tính bậc cao. 2. Nghiên cứu lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ đa trị. 3. Tìm điều kiện giải được cho các bài toán Cô-si nửa tuyến tính. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Phương trình và bao hàm thức vi phân bậc cao. • Phạm vi nghiên cứu: Tính giải được, cấu trúc tập hợp nghiệm của bài toán Cô-si đối với phương trình và bao hàm thức vi phân bậc cao. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các công cụ và các kết quả của giải tích đa trị, lý thuyết nửa nhóm, giải thức suy rộng và độ đo không compact (MNC). Dự kiến đóng góp mới và hướng nghiên cứu tiếp theo Xác lập các điều kiện đủ cho tính giải được của một lớp bài toán đối với bao hàm thức vi phân bậc cao. Một số vấn đề đặt ra cho những nghiên cứu tiếp theo: 1. Sự tồn nghiệm tuần hoàn của bài toán: nghiệm có tính chất u(0) = u(T ); 2. Sự tồn tại nghiệm ràng buộc của bài toán: nghiệm có tính chất u(t) ∈ K, ∀t ∈ [0, T ], trong đó K là một tập đóng trong không gian pha; 6 3. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi t → +∞. 7 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Bài toán tổng quát Xét bài toán Cô-si với phương trình vi phân bậc cao: u (N) (t) + N−1  i=0 A i u (i) (t) ∈ F (t, u(t), u t ), t ∈ [0, T ], (1.1) u (i) (0) = u i , i = 1, , N − 1, (1.2) u(s) = ϕ(s), s ∈ (−∞, 0], (1.3) trong đó N  1, A i , i=0, ,N-1, là các toán tử tuyến tính trên không gian Banach (X, .) và F là một ánh xạ đa trị, sẽ được mô tả chi tiết ở phần sau. Ở đây u t mô tả trạng thái lịch sử của hàm u tính đến thời điểm t, nghĩa là u t (s) = u(t + s) với s ∈ (−∞, 0]. Có thể thấy phương trình vi phân bậc cao dạng (1.1) xuất hiện trong nhiều mô hình thực tế của cơ học, vật lý, công nghệ cũng như điều khiển, trong đó A i là các toán tử vi phân đạo hàm riêng. Một cách tiếp cận phổ biến là đưa phương trình (1.1) về hệ phương trình bậc nhất trong không gian hàm thích hợp và nghiên cứu hệ này bằng công cụ lý thuyết nửa nhóm. Tuy nhiên, như đã chỉ ra trong các tài liệu [13, 34, 38], phương pháp này khó thực hiện khi mà không gian nghiệm không thể xây dựng được một cách tường minh hoặc là không gian nghiệm được xây dựng rất khó ứng dụng trong thực tế. Ngoài ra, như đã đề cập trong các công trình [13, 39], việc nghiên cứu trực tiếp phương trình bậc cao có thể nhận được các kết quả tổng quát hơn. Bài toán Cô-si trong trường hợp N = 1 đã được nghiên cứu rộng rãi bằng cách tiếp cận nửa nhóm. Phương pháp này được trình bày chi tiết trong các tài liệu [12, 25, 34, 37]. Tiếp theo, người ra tổng 8 [...]... cho bài toán (3.7)-(3.8) Định lý 3.1 ([39]) Cho P (x), Q(x) là các đa thức phức với bậc lần lượt là k, Giả sử sup Re − P (x) + P 2 (x) − 4Q(x) < ∞ (3.9) x∈Rm Với A1 = P (D), A0 = Q(D), bài toán Cô-si (3.7)-(3.8) là (I − ∆)−γ đặt đúng với 1 γ (np + 1)dM (3.10) 4 31 1 trong đó np = n| 1 − p | và dM = max{2k, } Thêm nữa, nếu tồn tại 2 r ∈ (0, dM ] sao cho |P 2 (x) − 4Q(x)| C0 |x|r , |x| L0 (3.11) với. .. Ứng dụng giải thức suy rộng cho phương trình tiến hóa cấp hai dạng đầy đủ Cho α = (α1 , , αm ) ∈ Nm , m m 1 là một đa chỉ số Ký hiệu ∂ αi , D = ∂x1 α |α| = i=1 α1 ∂ ∂xm αm Với đa thức với hệ số phức bậc k trong Rm aα (ix)α , P (x) = (3.1) |α| k ta định nghĩa aα D α P (D) = |α| k Trong chương này, với X = Lp (Rm ), 1 < p < ∞, và D(P (D)) = {f ∈ Lp (Rm ) : P (D)f ∈ Lp (Rm )}, xét bài toán Cô-si trong... sao cho G(t) := sup{ g E : g ∈ G(t)} ξ(t) với hầu khắp t ∈ [0, T ] p Tập các hàm chọn khả tích bậc p của G được ký hiệu là SG Hàm đa trị G gọi là đo được nếu G−1 (V ) đo được (ứng với độ đo Lebesgue trên J := [0, T ]) với mỗi tập mở V của E Ta nói G là đo được mạnh nếu có một dãy các hàm bậc thang Gn : [0, T ] → K(E), n = 1, 2, sao cho lim H(Gn (t), G(t)) = 0 với hầu khắp t ∈ [0, T ], n→∞ trong đó H... 1.7 Ta nói rằng hàm đa trị G : [0, T ] × X × B → K(X) thỏa mãn điều kiện Carathéodory nếu 1 hàm G(., η, ζ) : [0, T ] → K(X) là đo được mạnh với mỗi (η, ζ) ∈ X × B, 2 hàm G(t, , ) : X × B → K(X) là nửa liên tục trên với hầu khắp t ∈ [0, T ] Hàm đa trị G được gọi là bị chặn tích phân cục bộ nếu với mỗi r > 0, tồn tại một hàm ωr ∈ L1 ([0, T ]) sao cho G(t, η, ζ) = sup{ z X : z ∈ G(t, η, ζ)} với mọi (η, ζ)... → S(ξ0 ) Với mỗi hàm v ∈ C([0, τ ]; X) thuộc một tập lồi đóng, tập hợp D0 = {v ∈ C([0, τ ]; X) : v(0) = ϕ(0)}, (2.4) trong đó ϕ là hàm giá trị ban đầu, ta định nghĩa hàm v[ϕ] ∈ CX (−∞, τ ) như sau ϕ(t), nếu t 0, v[ϕ](t) = (2.5) v(t), nếu t ∈ [0, τ ] Khi đó ta thấy rằng hàm u ∈ CX (−∞, τ ) là nghiệm tích phân của bài toán (1.1)-(1.3) nếu nó có dạng u = v[ϕ], với v ∈ D0 là điểm bất động của toán tử G... của bài toán (1.1)-(1.3) Định lý 2.1 Cho ui ∈ Di , i = 0, , N − 1 với u0 = ϕ(0) Giả sử các điều kiện (F1)-(F3) được thỏa mãn và tồn tại E0 -họ giải thức của tập toán tử (Ai )N −1 Khi đó tồn tại τ ∈ (0, T ] sao cho bài toán (1.1)-(1.3) i=0 có ít nhất một nghiệm tích phân trong khoảng (−∞, τ ] Chứng minh Chọn số dương ρ sao cho N −1 ρ>R i ui + i=0 Aj ui [R(E0 )] j=0 với R = supt∈[0,T ] R(t), R(t) là hàm. .. hóa, sinh bởi A Nếu 0 W (s)xds ∈ D(A) với t 0, x ∈ X thì {W (t)}t 0 là một C-họ giải thức của A Điều kiện đảm bảo sự tồn tại của E0 -họ giải thức đối với tập toán tử (Ai )N −1 được trình bày trong định lý sau i=0 11 Định lý 1.2 ([40]) Giả sử các toán tử Ai , i = 0, , N − 1, là đóng và Pλ là đơn ánh với λ > ω Khi đó tập các toán tử (Ai )N −1 có một i=0 E0 -họ giải thức {E(t)}t 0 ⊂ L(X) thỏa mãn E (N −1)... | (3.6) với mọi t ∈ [0, T ] và uj , vj ∈ R, j = 1, 2, trong đó ζ, µ ∈ L1 (0, T ) Chú ý rằng dạng thuần nhất của bài toán (3.2)-(3.4) đã được nghiên cứu trong [39] Với bài toán nêu trên, ta sử dụng không gian pha B = CLp xác định bởi (1.9) với g(θ) = ehθ , h ∈ (0, h0 ] Rõ ràng g thỏa g mãn các điều kiện (1.10)-(1.11) Trước tiên ta chứng minh rằng, với các giả thiết phù hợp, tồn tại họ giải thức cho... u(t) = S0 (t)C −1 u0 + S1 (t)C −1 u1 , t 0 Bài toán Cô-si (3.7)-(3.8) được gọi là C-đặt đúng nếu tồn tại họ C-lan truyền cho (A0 , A1 ) Mệnh đề 3.1 ([39, Mệnh đề 1.6]) Nếu bài toán Cô-si (3.7)-(3.8) là C-đặt đúng thì λRλ Cx, A1 Rλ Cx ∈ LTw − L(X), x ∈ X Áp dụng Định lý 1.2 và Mệnh đề 3.1, ta thấy nếu bài toán (3.7)(3.8) là C-đặt đúng, thì tồn tại C-họ giải thức cho cặp (A0 , A1 ) Khẳng định sau đây... Giả sử tồn tại một E0 -họ giải thức {E(t)}t 0 đối với tập toán tử (Ai )N −1 , khi đó với u0 ∈ D0 , , uN −1 ∈ DN −1 , bài toán i=0 (1.6)-(1.7) có một nghiệm cho bởi N −1 u(t) = i=0 ti ui − i! i j=0 t 0 (t − s)i−j E(s)vij ds , t (i − j)! 0, trong đó vij ∈ X là các phần tử sao cho Aj ui = E0 vij , 0 j i, 0 N − 1 i Nghiệm cho bởi công thức trên thỏa mãn các ước lượng, với hàm bị chặn cục bộ R(t): N −1 N . chọn đề tài: " ;Bài toán Cô-si đối với bao hàm thức tiến hóa bậc cao& quot; Mục tiêu của luận văn là nghiên cứu một lớp bài toán Cô-si tổng quát với bao hàm thức vi phân bậc cao có trễ vô hạn. các kết quả đối với bài toán nửa tuyến tính còn ít được biết đến, nhất là đối với bài toán Cô-si với bao hàm thức vi phân bậc cao. Với kỳ vọng tiếp cận một vấn đề nghiên cứu của toán học hiện đại,. ĐIỂN BÀI TOÁN CÔ-SI VỚI BAO HÀM THỨC TIẾN HÓA BẬC CAO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————– * ——————— NGUYỄN VĂN ĐIỂN BÀI TOÁN CÔ-SI VỚI