Sự tồn tại và dáng tiệm cận nghiệm đối với bao hàm thức vi phân điều kiện không cục bộ

B GIO DC V O TO TRNG I HC s PH M H NI BI TH K S TN TI V DNG IU TIM CN NGHIM I VI BAO HM THC VI PH N VI IU KIN KHễNG CC B L U N V N T H C S T O N H C H N I, 2015 B GIO D C V O TO T R N G I HC s P H M H N I BI TH K S TN TI V DNG IU TIM CN NGHIM I VI BAO HM THC VI PH N VI IU KIN KHễNG CC B C h u y n n g n h : T o ỏ n g i i t c h M ó s : 6 01 02 L U N V N T H C S T O N H C N g i h n g d n k h o a hc: TS N G U Y N T H N H A N H H N I, 2015 Li Cm n Trc trỡnh by ni dung chớnh ca lun vn, tỏc gi xin gi li cm n sõu sc n TS Nguyn T hnh Anh ngi thy ó luụn tn tỡnh hng dn, ch bo v giỳp tỏc gi quỏ trỡnh lm lun Tỏc gi xin gi li cm n chõn thnh ti cỏc thy, cụ phũng sau i hc v thy cụ ging dy lp K17 toỏn gii tớch t trng i hc S phm H Ni ó ging dy v giỳp tỏc gi sut quỏ trỡnh hc ti trng Qua õy, tỏc gi xin chõn thnh cm n ti bn bố v ngi thõn gia ỡnh ó luụn ng viờn, to iu kin giỳp tỏc gi v mi m t sut quỏ trỡnh hc v thc hin lun ny Mc dự tỏc gi ó rt c gng quỏ trỡnh thc hin lun vn, nhiờn khú trỏn h nhng thiu sút Tỏc gi rt mong c s úng gúp ý kin ca cỏc quý thy cụ, lun c hon thin hn X in t r õ n t r n g c m n! H Ni, ngy thỏng 12 nm 2015 Hc viờn Bựi T h K Li Cam oan Tụi xin cam oan rng s liu v kt qu nghiờn cu lun ny l trung thc v khụng trựng lp vi cỏc ti khỏc Tụi cng xin cam oan rng mi s giỳp cho vic thc hin lun ny ó c cm n v cỏc thụng tin trớch dn lun ó c ch rừ ngun gc Tỏc gi Bựi T h K M c lc Li cm n Li cam o a n Mc l c M u M t 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 s k i n t h c c h u n b Mt s tớnh cht hỡnh hc ca khụng gian B a n a c h o k h ụ n g -c o m p a c t Lý thuyt na n h ú m Lý thuyt im bt ng cho ỏnh x a tr n ộ n Toỏn t m-tiờu t ỏ n Mt s kt qu i vi bi toỏn vi iu kin ban u cc b S t n t i v d ỏ n g i u ti m c n n g h i m i vi b a o h m t h c vi p h õ n vi i u k i n k h ụ n g c c b 2.1 P h ỏt biu bi t o ỏ n 2.2 S tn ti nghim trng hp S(t) ng liờn tc 2.3 S tn ti nghim trng hp S(t) khụng compact, khụng ng liờn t c 2.4 Dỏng iu tim cn n g h i m 2.5 Vớ d ỏp d n g Ti liu tham k h o 7 10 11 13 14 16 16 17 22 25 28 32 M u Lý chn ti Lý thuyt bao hm thc vi phõn, hay cũn gi l phng trỡnh vi phõn a tr l lnh vc nghiờn cu c phỏt trin rt mnh lý thuyt tng quỏt v phng trỡnh vi phõn hin Nh chỳng ta ó bit, mi lnh vc mi toỏn hc u xut hin v phỏt trin, hoc l mc ớch phỏt trin t nhiờn ca toỏn hc hng n cỏc khỏi nim v kt qu ngy cng tng quỏt hn, hoc l nhu cu ng dng ũi hi Lý thuyt bao hm thc vi phõn khụng phi l trng hp ngoi l ca qui lut ny X ut hin ban u nh l s m rng ca khỏi nim phng trỡnh vi phõn thng, lý thuyt bao hm thc vi phõn ngy cng thõm nhp mnh m vo cỏc lnh vc khỏc ca toỏn hc v cỏc ngnh khoa hc khỏc nhiu ng dng to ln ca nú Trong lch s phỏt trin ca lý thuyt bao hm thc vi phõn trc ht phi k n cỏc cụng trỡnh nghiờn cu ca Marchaud v Zaremba t nhng nm 30 ó cp n bi toỏn tn ti nghim v cỏc tớnh cht nghim ca bao hm thc vi phõn khụng gian hu hn chiu Cỏc cụng trỡnh ch yu t nn múng cho s phỏt trin mnh m ca lý thuyt bao hm thc vi phõn nh mt lnh vc nghiờn cu c lp c cụng b trung vo nhng nm 60 bi cỏc tỏc gi nh Filippov, Plis, W azewsk Lý thuyt ny tip tc c y m nh nghiờn cu vo nhng nm 70, 80 hng lot cỏc cụng trỡnh nghiờn cu ca cỏc tỏc gi nh Castaing, Valadier, Aubin, Tolstonogov Cỏc c nghiờn cu bao hm thc vi phõn l tn ti nghim, cỏc tớnh cht nh tớnh v cu trỳc ca nghim Cỏc tớnh cht ph thuc liờn tc vo tham s v iu kin ban u, cỏc nghim tun hon, lý thuyt r n h ỏ n h Trong ú s tn ti nghim l mt nhng chớnh c nhiu nh khoa hc quan tõm Vi mong mun tỡm hiu sõu v ny, cựng vi s giỳp tn tỡnh ca thy TS.Nguyn T hnh Anh tụi ó chn nghiờn cu ti S t n t i v d ỏ n g i u t i m c n n g h i m i vi b a o h m t h c v i p h õ n vi i u k i n k h ụ n g c c b Lun s c hon thnh da ch yu vocỏc kt qu c cụng b bi bỏo Existence and asymptotic properties of solutions of nonlinear multivalued differential inclusions with nonlocal conditions, J Math Anal Appl 390 (2012) 523-534, ca cỏc tỏc gi Lanping Zhu, Qianglian Huang, Gang Li M c ớch nghiờn cu Chng minh c s tn ti v dỏng iu tim cn nghim ca bao hm thc vi phõn N h im v nghiờn cu + + + + + tng Tỡm hiu v khụng gian Banach Tỡm hiu v lý thuyt na nhúm, toỏn t m-tiờu tỏn Tỡm hiu lý thuyt v o khụng compact Tỡm hiu lý thuyt im bt ng Chng minh s tn ti v dỏng iu tim cn nghim ca bi toỏn quỏt i tng v phm vi nghiờn cu + i tng nghiờn cu: bao hm thc vi phõn vi iu kin khụng cc b + Phm vi nghiờn cu: s tn ti v dỏng iu tim cn nghim ca bi toỏn Phng phỏp nghiờn cu Lun s dng mt s phng phỏp v cụng c gii tớch bao gm: + Lý thuyt na nhúm + Lý thuyt im bt ng D kin úng gúp Chng minh chi tit v trỡnh by h thng nhng kt qu bi bỏo trớch dn trờn Chng M t s kin th c chun b 1.1 M t s tớn h cht hỡnh hc ca khụng nach gian Daư Cho X l khụng gian Banach vi chun ||.|| v X * l i ngu ca nú Chỳng ta kớ hiu hi t yu X bi ^ J : X ỡ X* c nh ngha bi nh x a tr i ngu J ( x ) = {x* e X : z*(:r) = ||:r2 = :r*2} , Vz e X u tiờn, chỳng ta a vo khỏi nim tớnh li ca khụng gian Banach X Khụng gian Banach X c gi l li ngt v ch S ( X ) = {x G X : ||x|| = lk h ụ n g cha cỏc on khụng tm thng no Khụng gian Banach c gi l li u v ch cho > cho Va;, y G S ( x ) m ||a; y\\ > Ê ta cú Ê> Khụng gian Banach X c gi l trn u nu /Oz(0) = lim H y t t ^ ^ = X* l li u v ch X l trn u Mt s tớnh cht hỡnh hc ca khụng gian Banach X i) Nu X l trn u, thỡ J l n tr v liờn tc u trờn cỏc b chn ca X 0tn ti ii) Nu X l phn x v li ngt, mi khỏc rng li úng ca X l mt Chebyshev Trong trng hp ny, chỳng ta gi P k l phộp chiu im gn nht ỏnh x t X lờn K iii) Chun ca X l kh vi Frộchet vi mi X S ( x ) , ||ổ + ty II 11 v v lim - tn ti u theo y s - t iv)Khụng gian i ngu X * cú chun kh vi Frộchet nu v ch nu X l phn x, li ngt v tha tớnh cht sau: Nu x n *X n > + 0 v |||| ằ |||| n > + 0 , thỡ I I II > n > + 0 Khi ú X cú chun Kadec-Klee Kớ hiu C ( [ ,T ];X ) l khụng gian ca hm liờn tc t [0,T] ti X vi chun IHIoo = s u p { ||u (ớ)|| : t e [0,T]} v L 1([0 ,T ];X ) l khụng gian ca hm kh tớch Bochner X t [0,T] ti X vi chun m || i 1.2 = / ||w(Ê)||ct o khụng-com pact Cho X l khụng gian Banach Kớ hiu: V ( X ) = { X : 0}, V b ( X ) = { G V { X ) : b chn}, V f X = { G V { X ) : úng}, V b f X = { G V f ( x ) : b chn}, V b f X = { G V f { X ) : li}, K ( X ) = { G V ( X ) : compact}, K V{ X ) = { G ) : li} n h n g h a 1.1 Hm ò : V b ( x ) Ơ ]R+ c gi mt o khụng compact trờn X nu òicửQj) = /3(ớ) viMQ, G Vb (X), ú, Cế2 l bao li úng ca o khụng-compact ò c gi l B 2.1 Nu X * l mt hm li u v A tha mn (H a ), thỡ i vi bt k dy kh tớch u {Wk}^=1 -^1( [ ngha l lim sup / \\wk(t)\\dt = 0, 00 {11 > Al v compact tng i D ( A ) , chỳng ta cú x ( { ( K Xkw k) : > 1}) < [ x { { w k(s) : > 1} ) d s , t e [0,T] ' Chng minh Vỡ W G L 1([0 ,T ];X ) l dóy o c mnh vi 1, chỳng ta cú th gi s x s p a n (Uj^iỹjfcQO, T )) l tỏch c Do X l phn x, theo nh lớ v.2.3 [11], cú mt khụng gian úng tỏch c Y ca X cha x 0, v mt phộp chiu tuyn tớnh liờn tc V t X vo Y vi IIPII = Vi b chn Y , chỳng ta cú x ( B ) = X y (B) Do y l tỏch c, tn ti mt dóy tng {Ym}m=i c^c khụng gian hu hn chiu cho Y = L nh ngha V m : Y >Ym bi v mx = {y e Y m : || - y II = d(x, Ym)} l compact li v ||T^mặII < 2|||| vi bt kỡ X G Y Cho w(t) ^ ( [ , ] ; Y ) , v mw ( t ) = Ym n (w ( t ) + d ( w ( t ) , Ym) S ( Y ) ( 2 ) ú '( ) l hỡnh cu n v ca Y iu ú suy S pmv{.) = { v e L l ([, T b Ym),v{t) e v mw ( t ) } nh ngha Qm : ([0, ]; ) -ằ { {[0, T]; Ym)) bi Qm = s w{ ) T (2.2) v bt ng thc (1.2) B 1.8 chỳng ta cú c d ( ( K Xkw k) ( t ) , ( K XkQmw k)(t) < / d(wk( s ) , Y m)ds J 18 vi b t k > T { K XkW] : < n } C ( [ ,T ];X ) l compact, chỳng ta cú x ( { { K Xkw k)(t) : k ^ l } ) = x { { K Xkw k : ^ n}) Theo B 1.9 v nh lớ 2.1 [4], ta cú iu sau x { { { K Xkw k){t) : ^ 1}) < p ( { K Xkw k(t) : k ^ n } {(K Xk(Q mw k) ) ( t ) : /c ^ 1}) < d(w k( s ) ) , Y m) d s , k ^ n | Cho n , m Ơ oo, ỏp dng B 1.1 ta cú { ( K Xk(wk))(t) : ^ 1}) < = J J Y {{wk{s) : / > l} )d s x ( { w k{s) : > } ) d s B ó c chng minh n h lý 2.1 i s cỏc gi thit (), (Hg)( 1) (2) v ( i / p ) ( l ) (4) c tha mn Khi ú bi toỏn (2.1) cú ớt nht mt nghim tớch phõn vi iu kin + ||a ||i < ú II1 = a(t)d t Chng minh Cho G : C([0,T]] X ) ( [ ,T ] ; X ) xỏc nh bi G { y ) = { G C([0,T]; X ) :u l nghim tớch phõn ca (1.4) vi / S e l ( v ) v lớ(o) = g(v)} Ngha l, G(v) = { K g{v)f : / G Sel( v)} Vi mi [x, y] thuc A c nh v G G(v), ta cú \\u(t)\\ < a|M | + b + 2\\x\\ + T\\y\\ + II77II1 + a ( s ) ||v ( s ) ||d s J vi t [ , T] ,khi a+ IICKII1 < 1, t = g M + b + T \\y\\ IMIi II1 19 ú \\ri\\ớ = /0 T](s)ds Khi ú < r ^oo < r t lV = { ô C ( [ , T ] ; A - ) : | | u | | 0< r } VJ XCIi vU i l l Civ -/ II/ / a l/ \J J ICu VAV/ilg l l v l l u Li vy VCli \J. J XCIi VI Li l l g ^ V ng liờn tc theo B 1.10 Hn th na, chỳng ta t W n+1 = c o n v ( G W n), vi n = ,2 , , thỡ chỳng ta cú c W n+1 W n vi n = ,2 , W Wq Rừ rng l {Wn}=1 l dóy gim ca ng liờn tc li úng v b chn ca Wq C([0, T]; X ).T heo bt ng thc (2) trang 673 ca [3] ,vi bt k Ê > 0, tn ti dóy {Wjfe}Ê^ W n v {fk}k=i L 1([0 ,T ];X ) cho fk & S e l ( u k) VA: > v x ( W n+1(t)) = x ( { K g{u)f : f e S e ( u ) , u Ê W n}) < 2x { { K g[uJ k : > 1}) + e Do g l ỏnh x compact, kt hp B 2.1 ta cú x { W n+1{t)) < x { { f k { s ) d s : > l} )d s + Ê Jo < / x ( F { s , W n {s)))ds + e Jo < ò ( s ) x ( W n (s))ds + Ê JQ Do Ê > tựy ý, chỳng ta cú x ( W u+1(t)) < t ( s ) x ( W n (s))ds Jo Cho n > 0 , cho nờn lim x ( W n(t) < [ i ( s ) ( ỡ i m ( W n( s ) ) ) d s , v ú i t & [0,] n Ơ00 n Ơ00 t bt ng thc Gronwall, cho ta kt qu lim x ( W n(t) = vi mi t Ê 71 >00 20 [, T ] Hn th na, chỳng ta bit rng { W n} n>0 l dóy gim cỏc b chn v ng liờn tc ca ( [ ,T ] ; X ) iu ny cú ngha l lim X c { W n) = n >00 ú Xc l o Hausdorff ca QO, T]; X ) T Chng [4], chỳng ta cú c w = n^oVl^i l compac li, khỏc rng ( [ , T ] ; X ) v G ( W ) c w Bõy gi chỳng ta hóy kim tra g r a p h ( G ) úng Chng minh c chia lm bc u tiờn, cho c w vi ỡ V CQO, T]; X ) v u n Ơ u C ( [ ,T ];X ) v cho { / } _! C L 1( [ , ;X ) l dóy tha f n G S e l( v n) vi n > v u n = Kg(v ) / n Theo (IF) ( ) , { f n}= c L 1([0 ,T ];X ) l kh tớch u Hn na, f n tha fn(t) G C ( t ) := F ( t , {vn (t) : n > 1}) Do X * l li u, chỳng ta bit rng X l phn x, vỡ th F cú giỏ tr compact yu v C ( t ) l compact yu vi mi t [0, T] theo B 1.5 Vỡ th chỳng ta cú th gi thit rng f n ^ f L 1([0 , T ) ] X ) theo B 1.2 Tip theo, chỳng ta chng minh rng / G Sel(v) T h t võy f n co n v{fk : k > n } cho f n > f L 1([0, T]; X ) theo nh lớ Mazur Vỡ th cú dóy f n , f n > f ( t ) trờn [0, T\ Gi s G [0,T] tha f n (t) G F ( t , v n (t) vi mi n > v f n (t ) > f ( t ) Vỡ X* X*, X* o F ( t , ) l na liờn tc trờn yu vi giỏ tr compact li Do ú vi bt k Ê > 0, chỳng ta cú x * ( f n {t)) E x*(F (t, v(t))) + (Ê,Ê) vi mi n ln Hn na, g l liờn tc, nờn g(vn) > g(v) Theo (1.3) B 1.8, chỳng ta cú IM ) < II9 = (K,M f n {t) - ( J f ,w / ) ( ) II2 - s ( ằ ) ||2 + [ ( u J ^0 t) - ( K M f ) ( T ) , , J t ) - / ( r ) > ,d r Do ú, n > 00, kt hp bt ng thc trờn vi B 1.11 cho thy u = Kg(v)f vi / e S e ly ) Ngha l lớ G(v) Do ú G l na liờn tc 21 trờn trờn w Tip theo chỳng ta s cho thy G cú giỏ tr kh co Gi S c = G ( v ) vi mi V G M no ú, c nh / G S e l y ) v nh ngha h : [0,1] X c > c bi h(s u)(t) = { _ )K ) \ ( t \ sT, u ( s T ) ) , nu e nu t e [sT, T], ú (t] t , x 0) l nghim ca l (ớ) G A w ( t ) + f ( t ) trờn [t0, T ] , w ( t 0) = x T u = K g ^ f vi mi / Sel(v), chỳng ta cú h ( s , u ) = Kg(v) f vi / := / X [ ,sT] + X[sT,T] e -5 e / ( ? ; ) ú h ỏnh x vo c Hn na, h l liờn tc s ph thuc liờn tc ca w ( ; o ^o) y o i u k i n b a n u (to, Xo) e [ ,T ] X ^ ( ^ ) v h ( ,u ) = K g{v)J , h ( l , u ) = K g{v)f = u Cui cựng, kt hp vi B 1.1 cho thy G cú mt im c nh u E C ([0 ,T ];X ) Rừ rng im c nh u cng l nghim tớch phõn ca bi toỏn (2.1) nh lớ c chng minh C h ỳ ý 2.2 Di vi trng hp phi tuyn khụng cc b, B 2.1 l mi khụng gian Banach khụng tỏch c, m cng rt quan trng chng minh nh lớ 2.1 2.3 S t n t i nghim trng hp S (t) khụng com pact, khụng ng liờn t c Trong phn ny chỳng ta gi s X l tỏch c, chỳng ta trung chỳ ý vo trng hp S ( t ) khụng compact v khụng ng liờn tc, ú l mi quan tõm ln lý thuyt bao hm thc vi phõn khụng cc b Bõy gi chỳng ta chun b trỡnh by kt qu chớnh n h lý 2.2 Cho X * l li u Gi thit iu kin (H p)( 1) (2) v cỏc i u k i n s a u (H g) v ( H ) tha m ó n : (H g) g : C ([0 ,T ];X ) > D ( A ) l Lipschitz liờn tc vi h s Lipschitz k ; (H) tn t i p ( t ) , q ( t ) Ê T]; M+) cho )) < 22 pt)\\x - 2/ 11, v ||.F (ớ,z)|| < q(t){ + INI) vi mi t Ê [,T] v x , y Ê X Khi ú bi toỏn (2.1) cú ớt nht mt nghim tớch phõn trờn [0,T] vi iu kin + Q < 1,trong ú Q = J q p(s)ds Chng minh Chỳng ta kớ hiu toỏn t N :([0,]-)^([0,]-) bng N v = { y G C7([0, T]; X ) : y l nghim tớch phõn ca (2.1) vi lớ(o) = g ( v ) v / Sel( v)} Rừ rng im c nh ca N l nghim tớch phõn ca bi toỏn (2.1) Vỡ vy ta ch cm ch tn ti mt im E ([0, T]; X ) cho G F i x N Vi mc ớch ny, trc ht ta thy rng, bi v phn th hai ca (Hi ), vi mi V ([0,]', X ) , Se l(v ) vỡ F cú hm chn o c ([15], nh lớ III.6) Ngoi ra, s dng lp lun tng t vi cỏch chng minh ca nh lớ 2.1, chỳng ta cú th d dng suy rng toỏn t a tr N nh ngha trờn cú giỏ tr úng Tip theo, chỳng ta chng minh rng N l co c Cho >1 , >2 G ( [ , T ] ; X ) v U G N ( v i) Khi ú tn ti f i ( t ) G F ( t , V ( t )) cho Ml l nghim tớch phõn ca (1.1) trờn [0,T] vi Wi(0) = g (v i) v / = / i Theo (H ) cú H ( F { t , v 1( t ) , F ( t , v 2{t))) < p (ớ)|| i(ớ) - v2{t)\\ Vỡ vy nờn cú z Ê F ( t, v2(t)) cho ||/i(ớ) - z\\ T]p ( x ) xỏc nh bi p(ớ)||vi(ớ) - v2(t)\\} Chỳng ta cng cú th vit {t) = ^ + *) - ^(ớ)l|SpO23 Rừ rng l hm o c vi giỏ tr úng Ngoi F ( t , V 2(t)) cng l hm o c vi giỏ tr úng Do ú toỏn t a tr (*) = (t) n F ( t , v 2{t)) l hm o c vi giỏ tr úng, v ú tn ti hm chn /2 (ớ) l o c ca cho II/ (t) - / (t)II < p ( ) |K ( ) - v2(ớ)II, vi mi t R u {+oo} Hn th na , nu j khụng phi l mt hm dng, thỡ A sinh na nhúm S ( t ) trờn X , cú th ch l ng liờn tc Tip theo, chỳng ta nh ngha F : [ , T ] x I - > P { X ) bi F ( t , v ) = {u Ê X : < u ( x ) < h ( t , x , v ( x ) ) , x e ri}, v g : C([0,T; X ]) > X bi g(v)(x)=f J G ( t , x , , v ( t , ) ) d t d Ê , x [...]... - v k( s ) , f n( s ) - f ' k( s ) ) sd s = n,fc->+ oc J a 15 u ( s ) - v ( s ) , f ( s ) - f ' ( s ) ) sds Chng 2 S t n t i v dỏng iu tim cn nghim i vi bao hm th c vi phõn vi iu kin khụng cc b 2.1 P h ỏ t biu bi toỏn Gi s X l mt khụng gian Banach vi chun II II Chỳng tụi nghiờn cu bi toỏn sau õy: u ' ( t ) e A u ( t ) + F ( t u ( t )), 0 < t < T, \u (0 )= g (u ), trong ú A : D ( A ) c X X l toỏn... ) || t khi t Ơ + 0 0 vi h > 0 (2) Nu X l phn x v li ngt, thỡ _A 1 p t h 0 * khi t > + 0 0 v ,,u(t) 1 11 ớ 11^ ftl|Pc*011 khi t ằ + 0 0 vi h > 0 (3) Nu X* l kh vi Frộchet, thỡ u(t) 1 t - -hp^ khi t > + 0 0 v i h > 0 n h lý 2.4 Nu l nghim tớch phõn ca h (2. ) trờn [0, + oo ), thỡ l nghim tớch phõn ca h ( l l) t r ờ n [0,+oo) vi w(0) = g{u) Hn na khi f f 00Ê L p ((0, +oo; X ) vi foo G X v 1 < p + 0 0 vi h > 0 (2) Nu X l phn x v li ngt, thỡ u(t) t 1 h P cfi khi t >+ 0 0 v Uu ( t ) u 11 ớ 1 11 ^ ftl|Pc*011 khi t > + 0 0 vi h > 0 (3) Nu X * kh vi Frộchet, thỡ u ( t) 1 h Ch khi t > + 0 0 vi h > 0 27 Chng minh Theo nh ngha 2.2, nu u l nghim tớch phõn ca h (2.4), khi ú tn ti / S e l ự ) sao cho u l nghim tớch phõn ca (1.1) vi w(0) = g(u) Hn na / tha món(2.5), suy... JQ Jq ](t,x,)dtdÊ V ètỡX iQ dtd , L 2([0, T] X ri X ri; K + ), b t n g t h c tr ờ n ch o t h y g t h a m ó n iu kin (Hg)(2) vi a = - Vm(^) v b = (T m (ớớ))a lMlL2([0,T]xớxn;R+)- 30 K t lun Lun vn xột bi toỏn s tn ti v dỏng iu tim cn nghim i vi bao hm thc vi phõn vi iu kin khụng cc b Cỏc kt qu chớnh c trỡnh by trong lun vn l: -nh lớ s tn ti nghim tớch phõn ca bi toỏn trong hai trng hp S ( t )... nht mt nghim tớch phõn vi iu kin + ||a ||i < 1 trong ú II1 = a(t)d t Chng minh Cho G : C([0,T]] X ) ( [ 0 ,T ] ; X ) xỏc nh bi G { y ) = { G C([0,T]; X ) :u l nghim tớch phõn ca (1.4) vi / S e l ( v ) v lớ(o) = g(v)} Ngha l, G(v) = { K g{v)f : / G Sel( v)} Vi mi [x, y] thuc A c nh v G G(v), ta cú \\u(t)\\ < a|M | + b + 2\\x\\ + T\\y\\ + II77II1 + ớ a ( s ) ||v ( s ) ||d s J vi t [ , T] ,khi a+ IICKII1... II/ / a l/ \J J ICu VAV/ilg l l v l l u Li vy VCli \J. J XCIi VI Li l l g ^ V ng liờn tc theo B 1.10 Hn th na, chỳng ta t W n+1 = c o n v ( G W n), vi n = 1 ,2 , , thỡ chỳng ta cú c W n+1 W n vi n = 1 ,2 , khi W Wq Rừ rng l {Wn}=1 l dóy gim ca tp ng liờn tc li úng v b chn ca Wq C([0, T]; X ).T heo bt ng thc (2) trang 673 ca [3] ,vi bt k Ê > 0, tn ti dóy {Wjfe}Ê^ W n v {fk}k=i L 1([0 ,T ];X... theo nh lớ Mazur Vỡ th cú dóy con f n , f n > f ( t ) trờn [0, T\ Gi s ớ G [0,T] tha món f n (t) G F ( t , v n (t) vi mi n > 1 v f n (t ) > f ( t ) Vỡ X* X*, X* o F ( t , ) l na liờn tc trờn yu vi giỏ tr compact li Do ú vi bt k Ê > 0, chỳng ta cú x * ( f n {t)) E x*(F (t, v(t))) + (Ê,Ê) vi mi n ln Hn na, do g l liờn tc, nờn g(vn) > g(v) Theo (1.3) trong B 1.8, chỳng ta cú IM ) < II9 = (K,M f n {t)... Lipschitz liờn tc vi h s Lipschitz k ; (H) tn t i p ( t ) , q ( t ) Ê T]; M+) sao cho )) < 22 pt)\\x - 2/ 11, v ||.F (ớ,z)|| < q(t){ 1 + INI) vi mi t Ê [,T] v x , y Ê X Khi ú bi toỏn (2.1) cú ớt nht mt nghim tớch phõn trờn [0,T] vi iu kin + Q < 1,trong ú Q = J q p(s)ds Chng minh Chỳng ta kớ hiu toỏn t N :([0,]-)^([0,]-) bng N v = { y G C7([0, T]; X ) : y l nghim tớch phõn ca (2.1) vi lớ(o) = g ( v... phõn ca (1.1) trờn [0,T] vi Wi(0) = g (v i) v / = / i Theo (H ) cú H ( F { t , v 1( t ) , F ( t , v 2{t))) < p (ớ)|| i(ớ) - v2{t)\\ Vỡ vy nờn cú z Ê F ( t, v2(t)) sao cho ||/i(ớ) - z\\ T]p ( x ) xỏc nh bi p(ớ)| |vi( ớ) - v2(t)\\} Chỳng ta cng cú th vit {t) = ^ + *) - ^(ớ)l|SpO23 Rừ rng l hm o c vi giỏ tr úng Ngoi ra F... ^(ớ)l|SpO23 Rừ rng l hm o c vi giỏ tr úng Ngoi ra F ( t , V 2(t)) cng l hm o c vi giỏ tr úng Do ú toỏn t a tr (*) = (t) n F ( t , v 2{t)) l hm o c vi giỏ tr úng, v do ú tn ti hm chn /2 (ớ) l o c ca sao cho II/ 1 (t) - / 2 (t)II < p ( ớ ) |K ( ớ ) - v2(ớ)II, vi mi t