Luận văn về bao hàm thức vi phân cho mô hình moreau bậc nhất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRỊNH QUỐC NGHĨA VỀ BAO HÀM THỨC VI PHÂN CHO MƠ HÌNH MOREAU BẬC NHẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC CHUN NGÀNH TỐN GIẢI TÍCH HÀ NỘI, 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRỊNH QUỐC NGHĨA VỀ BAO HÀM THỨC VI PHÂN CHO MƠ HÌNH MOREAU BẬC NHẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: PGS TSKH Nguyễn Văn Lợi HÀ NỘI, 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các kết sử dụng luận văn trích dẫn đầy đủ rõ ràng Hà Nội, ngày 28 tháng năm 2018 Học viên Trịnh Quốc Nghĩa i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành định hướng chọn đề tài nhiệt tình hướng dẫn PGS.TSKH.Nguyễn Văn Lợi Trong suốt mơ hình học tập, Thầy cho kiến thức khoa học mà học sống Tơi xin gửi đến Thầy lòng kính trọng lòng biết ơn sâu sắc Tôi xin gửi lời cảm ơn đến q Thầy Cơ giáo giảng dạy lớp Cao học Tốn giải tích khóa 20 trường Đại học Sư phạm Hà Nội tận tình truyền đạt kiến thức suốt mơ hình học tập vừa qua Tơi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo sau Đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện để hồn thành cơng việc học tập Cuối cùng, tơi xin gửi trân trọng lòng biết ơn đến tất đồng nghiệp, người thân, bạn bè quan tâm, động viên, giúp đỡ mơ hình học tập vừa qua Hà Nội, ngày 28 tháng năm 2018 Học viên Trịnh Quốc Nghĩa ii MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ MỞ ĐẦU MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số kiến thức giải tích lồi giải tích hàm 1.2 Khoảng cách Hausdorff số định lí liên quan 1.3 Định lí hội tụ yếu 11 MƠ HÌNH MOREAU BẬC NHẤT 14 2.1 Định lí tồn nghiệm 14 2.2 Định lí phụ thuộc nghiệm 22 2.3 Lưu đồ giải số không gian hữu hạn chiều 24 2.4 Ứng dụng 26 KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 iii DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU NC (x ) : nón chuẩn tới C vị trí x proj(x,C ) : hình chiếu x C intC : phần C dist(x,C ) : khoảng cách x đến C * (x,C ) : hàm hỗ trợ tập C var(x ) : biến thiên hàm x w : giới hạn yếu lim Br (x ) : hình cầu đóng bán kính r tâm x U : phần bù trực giao U dH (C 1,C ) : khoảng cách Hausdorff hai tập C 1,C L1([0,T ] : H ) : khơng gian hàm khả tích f : 0, T   H L ([0,T ]; H ) : không gian hàm bị chặn f : 0, T   H DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ HÌNH Minh họa mơ hình Moreau bậc HÌNH Ví dụ nón chuẩn HÌNH Minh họa vecto uin 13 HÌNH Minh họa hàm un 14 HÌNH Một ví dụ hệ hệ học gần tĩnh 25 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mơ hình Moreau bậc hiểu sau (xem [1,5]): có hình tròn bóng nhỏ bên Hình tròn bắt đầu di chuyển thời điểm t bóng chưa chạm vào biên hình tròn đứng n, biên hình tròn chạm vào bóng thời điểm t1 (xem hình 1) v HÌNH Minh họa mơ hình Moreau bậc [5] Khi đó, bóng chuyển động với véctơ vận tốc hướng vào phía hình tròn Mơ hình Moreau ứng dụng nhiều học, lý thuyết hệ động lực học… Về mặt tốn học, mơ hình Moreau bậc biểu diễn u (t ) NC (t )(u(t )) với t [0, T], u(0) u0 C (0), (1) đó, u(t) C(t) vị trí tương ứng bóng hình tròn thời điểm t; NC (t )(u(t )) nón chuẩn tới C(t) vị trí u(t) Từ ứng dụng thực tế mơ hình Moreau, hướng dẫn PGS.TSKH.Nguyễn Văn Lợi, chọn đề tài: “Về bao hàm thức vi phân cho mơ hình Moreau bậc nhất” để thực luận văn với mong muốn làm rõ kết lý thuyết ứng dụng để nghiên cứu toán hệ học gần tĩnh Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức chuẩn bị cần cho chương : định lí hội tụ yếu, tập lồi, nón, nón chuẩn, khoảng cách Hausdorff số định lí liên quan Chương 2: Mơ hình Moreau bậc Trong chương luận văn, chúng tơi trình bày chứng minh định lí tồn nghiệm ; phụ thuộc nghiệm; lưu đồ giải số không gian hữu hạn chiều Một số ứng dụng cho kết lý thuyết đưa cuối chương Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu định lí tồn nghiệm nghiệm cho toán (1) - Lưu đồ giải số cho toán (1) - Áp dụng kết lí thuyết nghiên cứu toán hệ học gần tĩnh Nhiệm vụ nghiên cứu - Tổng hợp kết lý thuyết liên quan tới mục đích nghiên cứu - Xây dựng lưu đồ giải số - Nghiên cứu ứng dụng kết lý thuyết cho toán hệ học gần tĩnh Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Giải tích hàm - Giải tích biến phân - Mơ hình Moreau - Lý thuyết giải số - Hệ học gần tĩnh Phạm vi nghiên cứu : Mô hình Moreau bậc khơng gian Hilbert Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích tổng hợp tài liệu có hệ thống lại vấn đề liên quan tới đề tài Đóng góp luận văn Hệ thống số kết lý thuyết quan trọng tồn nghiệm, tồn nghiệm cho mơ hình Moreau bậc không gian Hilbert, đưa lưu đồ giải số cho toán Ứng dụng kết để nghiên cứu hệ học gần tĩnh Theo Định lý 2, u (t ) LC v (t ) LD hầu khắp nơi, nên lấy tích phân ta thu (2.19) 2.3 Lưu đồ giải số không gian hữu hạn chiều Như chứng minh trên, với điều kiện nêu định lý tốn (1) có nghiệm Lưu đồ trình bày cách tính xấp xỉ nghiệm u(t) tốn (1) khơng gian hữu hạn chiều số điểm cố định cho trước h1 hk T 24 Bắt đầu hq (với q) n N = [2nT], x  phần nguyên x t0n (tin t1n tin ) tNn ,0 2n i u0n uin proj(uin ,C (tin )) un (q ) ui n hq tin ti ti n n 1 T, N C (tin ), i u0 uin uin , hq N tin , tin ; Tìm dãy hội tụ u n( q ) n Tính xấp xỉ giá trị hội tụ dãy theo tiêu chuẩn Cô-si u(hq) Kết thúc 25 2.4 Ứng dụng nghiên cứu hệ học gần tĩnh Trong phần áp dụng kết lý thuyết trình bày phần trước để nghiên cứu hệ học gần tĩnh Hệ gồm thành phần chính: trạng thái lực Lực f tác động lên vận tốc u trạng thái u sinh u , f - lượng trạng thái f Khi t1 t0 t2 u (t ), f dt t1 d u(t ), f dt dt u(t2 ), f u(t1 ), f u, f công sinh lực f tương ứng với quãng dịch chuyển u Trạng thái u (x, p) bao gồm thành phần (chất điểm) x p chuyển động mặt phẳng H Kí hiệu U {0} trục hoành qua gốc tọa độ Trục di chuyển tịnh tiến theo hàm số g(t ) , x bị hạn chế để trì vị trí tập, tức x U g Điểm p tác động đến chuyển động x , giả định kết hợp với x lò xo (xem hình bên dưới) Ngoài ra, trạng thái bên c(t ) tác động lên x 26 HÌNH Ví dụ hệ học gần tĩnh [5] Ngoài ra, coi x chuyển động mà không chịu ảnh hưởng lực ma sát Giả sử thêm thời điểm t lực cân với Bây xét chi tiết lực tác động lên p x (p-1) Như đề cập trên, có lực f H mơ tả “tính kháng dẻo” vận tốc p p Điều thể theo định luật p Với C NC ( f ), (2.20) H tập cố định, không rỗng đóng lồi H gồm giá trị âm fˆ lực fˆ Định luật (2.20) hiểu sau: p , c c C Lấy c f với fˆ với lực fˆ khác, ta thay (2.20) p , fˆ p , f với lực fˆ Do f lấy lực tác động lên p cho tối thiểu hóa lượng p , fˆ với lực tác động fˆ khác 27 (p-2) Lực thứ hai mà p trải qua lực s “sự khôi phục đàn hồi hướng tới x”, mô tả s A(e),e x e gọi độ lệch Ở A : H p (2.21) H ma trận khả nghịch (x-1) Lực tác động lên x “phản ứng” r ràng buộc U g(t ) Để x không rời khỏi tập này, ta cần r NU g (t ) (x ) (2.22) (x-2) Cũng có “tải trọng” c lên x (x-3) Cuối x trải qua lực s “sự khôi phục đàn hồi hướng tới p ”, theo (p- 2) Hàm số cho trước g c phụ thuộc vào thời gian Ta mong muốn tìm hiểu biến đổi trạng thái x (t ) p(t ) giả thiết chuyển động đủ chậm để khơng phải tính đến tượng qn tính, lực cân với Vì lý hệ gọi gần tĩnh Do (p-1), (p-2) (x-1) – (x-3) ta giả sử s f 0, r c s 0, (2.23) Bây ta chuyển toán dạng mơ hình Moreau Để cho đơn giản, ta coi A I (ma trận đồng nhất) (2.21) Do s Lưu ý rằng, trường hợp tổng quát A cách lấy tích vơ hướng H : u, v lượng đàn hồi u 28 e x p I , giải tương tự (Au, v) Đại lượng (Au, u ) Bài toán x U g s f 0, r c s 0, tóm tắt thành x (t ) U g(t ), p (t ) NC (s(t )), x (t ) p(t ) s(t ), c(t ) s(t ) NU 0,T , T với (hầu mọi) t Kí hiệu V g (t ) (2.24) (x (t )) cố định U phần bù trực giao U không gian Hilbert H , ta có dạng tương đương x (t ) U g(t ), s(t ) V c(t ), x (t ) p(t ) s(t ), p (t ) N C (s(t )) với (hầu mọi) t (2.25) 0,T Thật vậy, giả sử trước hết (2.24) Khi đó, x c s, u g x c u0, c Giả sử tồn u1 s, u s u, c c U , s với u s, u U , c s, u U (2.26) Khơng làm tính tổng , ngồi ta thay u1 u1 x , hệ c ta thấy thực tế (2.26) tương đương với (2.25) 29 s, x s g U Vậy c V Ngược lại, s V , trường hợp đặc biệt c g U U , , điều dẫn tới mâu thuẫn với (2.26) u U , c u s s u0 U ; nhắc lại U khơng gian H Khi đó, u với u, s s ,u U cho u1, c quát, ta giả sử u1, c u1 u0 với u g c Vì NU g (x ) Do Để giải (2.25) với hàm chưa biết x (t ) p(t ) , ta đưa giải thiết tổng quát sau: (H1) H khơng gian Hilbert tách được, U H không gian con; (H2) C H không rỗng, đóng, lồi bị chặn; V c : 0,T (H3) g : 0,T (H4) intC (V c(t )) U hàm số liên tục Lipschitz; Ø với t 0,T Giả thiết (H3) g(t ) V c(t ) U không hạn chế thực sự, ví dụ với g(t ) tổng qt ta phân tích g(t ) gV (t ) V , giải với x (t ) U (t ) : U U gU (t ) gU (t ) gV (t ) với gU (t ) U gV (t ) Điều cho phép gU (t ) chuyển động liên tục Lipschitz theo thời gian Điều kiện (H4) cần cho (2.25) để có nghiệm C s(t ) C (V (V c(t )) Ø với t 0,T , c(t )) Ta thêm biến z y với projU (p) y z projV (p) (2.27) Khi đó, (2.25) tương đương với z (t ) y (t ) NC (y(t ) với (hầu hết mọi) t thỏa mãn Thì (x p g(t )), z(t ) U , y(t ) V (2.28) 0,T Để thấy điều này, trước hết giả sử (2.25) g ) U ,(s c c(t ) g (x c) V , g) (c s) U 30 V Do x g projU (p g ) c c s projV (p Do tốn tử chiếu tuyến tính, g x g projU (p tương tự y c g) projV (p) Từ suy ra, z y c , từ z projU (p) s p c c g) c V projU (p) U , ta có x c g g NC (s ) NC (y c g ) Ngược lại, giả sử (2.28) thỏa mãn định nghĩa p z y, x z Khi đó, x g z c U ,s p NC (y c g) z y g, s c c y g y V,x c g p (2.29) s , thêm NC (s ) Theo đó, ta thấy (2.28) (2.25) tương đương Bổ đề Nếu z : 0,T U y : 0,T y nghiệm mơ hình Moreau y (t ) C (t ) (C c(t ) V nghiệm (2.28), NC (t )(y(t )) với g(t )) V Chứng minh: Đầu tiên, từ (2.28) ta có y(t ) V y(t ) (2.30) c(t ) tức y(t ) C (t ) Tiếp theo, cố định cˆ C cho cˆ c(t ) g(t ) C , g(t ) V Do ảnh z chứa U U không gian vectơ, nên z (t ) U với hầu hết t 0,T Do z (t ), cˆ c(t ) g(t ) y(t ) với y(t ) V , kết hợp với (2.28) 31 y (t ),[cˆ c(t ) Suy ra, g(t )] y(t ) z (t ) y (t ), cˆ c(t ) g(t ) y(t ) y (t ) NC (t )(y(t )) thời điểm t y (t ) tồn Định lý Giả sử thỏa mãn điều kiện (H1) - (H4) z0 U , y0 V , y0 c(0) g(0) C (2.31) với giá trị z y ban đầu Khi đó, tồn nghiệm liên tục Lipschitz z : 0,T y(0) U y : 0,T V (2.28) với z (0) z y0 Chứng minh: Đầu tiên ta giải toán y (t ) NC (t )(y(t )) 0,T , y(0) y0 (2.32) với C (t ) từ (2.30) Theo (2.31) ta có y0 (C c(0) g(0)) V C (0) Hơn nữa, V khơng gian vectơ g(t ) V , (H4) cho thấy C (t ) Ø với t 0,T , theo (H2) C (t ) tập đóng lồi Từ bổ đề (xem bên C (t ) liên tục Lipschitz với số số L dưới) ánh xạ t áp dụng định lí 2, (2.32) có nghiệm liên tục Lipschitz y : 0,T y(t ) V , y(t ) F (t ) với {w * C (t ) với t H: * (w,C ) Do H , 0,T Đặt w, y(t ) c(t ) g(t ) }, t 0,T , định nghĩa Chương Ta chứng minh (t ) F (t ) (U y (t )) Ø 0,T Thật vậy, cho t điểm mà (2.32) Dễ thấy 32 (2.33) int(C c(t ) g(t )) V g(t ) V int(C ) (V y(t ) int(C ) c(t ) NC NC Ø, Ø (xem điều kiện (H4)) Hơn c(t )) c (t ) g (t ) V c (t ) g (t ) (y(t )) NC Do w u c (t ) g (t ) w NV (y(t )) u y (t ) , w y (t ) U w, c(t ) g(t ) y(t ) w, cˆ , nghĩa là, w, c(t ) g(t ) y(t ) * y(t ) (y(t )) (y(t )) U Theo ta phân tích y (t ) g(t ) V V Do từ Bổ đề (b) (a) có C (t ) NC (t )(y(t )) c(t ) g(t ) (w,C ) Do F (t ) , với cˆ C ta y(t ) C , ta đến kết luận w C (t ) C c(t ) g(t ) F (t ) Điều hồn thành chứng minh (2.33) Tiếp theo, khơng tính tổng qt ta giả sử Ø với t (t ) 0,T Do F (t ) đóng với t (t ) đóng Ngồi ra, ánh xạ đa trị kì tập mở B H tập hợp {t 2H đo được, tức là, với bất : 0,T [0,T ] : (t ) B Ø} đo Do H không gian khả li, nên tồn lát cắt đo Nghĩa (t ) * (t ) với hầu hết t ( (t ),C ) với hầu hết t z (t ) (t ), y(t ) 0,T , nên ta có : 0,T H 0,T , theo định nghĩa c(t ) g(t ) (t ) y (t ) U (t ) , (2.34) 0,T Ta đặt z0 t (s ) y (s ) ds, t 33 0,T , (2.35) tích phân tồn Trong trường hợp đó, z minh z (t ) y (t ) hầu khắp nơi từ (2.34) Ta chứng (t ) y (t ) (t ) y (s) U 0,T , U khơng gian với hầu hết s , ta có z (t ) U với t Hơn nữa, z (t ) U (s) NC (y(t ) c(t ) g(t )) hầu khắp nơi 0,T , tức là, (z, y) nghiệm cần tìm (2.28) Ta chứng minh tính bị chặn (s ) , điều cho thấy tích phân đặt (2.35) tồn Với C {w (V } C cho Ta khẳng định tồn C H : dist(w, H \ C ) c(t )) Ø với t 0,T (2.36) Thật vậy, giả sử ngược lại, ta chọn chuỗi thời gian t j 0,T cho C C , dist(v j sử t j 0,T j t0 là, V c(t j ), H \ C ) j (V j c(t j )) với v Khi v j tìm Ø với j Từ định nghĩa V Không tính tổng quát giả c(t0 ) H \C H \ intC , tức H \ intC , điều mâu thuẫn với (H4) Suy ra, (2.36) c(t0 ) thỏa mãn với đủ nhỏ Rõ ràng C đóng, tập lồi bổ đề 1(d) Hơn nữa, từ bổ đề tập chuyển động t H (t ) C (V c(t )) liên tục Lipschitz intC Ø với nhỏ Bằng cách giải mơ hình qt tương ứng với giá trị chọn tùy ý H (0) , suy tồn hàm liên tục (Lipschitz) h : 0,T H cho 34 h(t ) C c(t )) với t (V Hàm h giúp ta ước lượng w w, h(t ) theo định nghĩa C (t ) * ( (t ),C ) y (t ), y(t ) * (w,C ), t 0,T , w H, (2.38) (t ) (2.38) ta từ 0,T (t ), h(t ) c(t ) (2.37) từ Trước hết lưu ý bổ đề 1(c) Lấy w (2.34) hầu hết t (t ) 0,T g(t ) (t ), y(t ) h(t ) c(t ) g(t ) y (t ), y(t ) c(t ) (t ), h(t ) g(t ) h(t ) (2.39) Từ (2.34) cho ta (t ) y (t ) U Hơn nữa, c(t ) h(t ) V (2.37) ta V Vì U V trực giao, thành có g(t ) V (H3) y(t ) C (t ) phần (2.39) 0, nên ta có (t ) y (t ), y(t ) c(t ) y (t ) ( y(t ) c(t ) L( y L ([0,T ];H ) c g(t ) g(t ) L ([0,T ];H ) h h(t ) h(t )) L ([0,T ];H ) với L số hữu hạn, từ suy ), L ([0,T ]; H ) Vậy, tích phân (2.35) hoàn toàn xác định, z liên tục Lipschitz với số L ([0,T ];H ) L Điều hoàn thành việc chứng minh định lý Bổ đề Dưới giả định định lý 5, tập chuyển động t (2.30) liên tục Lipschitz 35 C (t ) Chứng minh: Do g c liên tục Lipschitz, nên ta cần chứng minh C (t ) định w a V C (t ) c(t ) C (V c(t )) liên tục Lipschitz Cố C (s ) (2.36) ta chọn a (phụ thuộc t ) cho c(t ) B (a ) dist(w,C (t )) Vì w g(t ) C Ta có (1 w a )(dist(w,C ) dist(w,V c(t ))) C , nên khoảng cách Hơn nữa, w nên ta có dist(w,C (t )) (1 c(s ) c(t ) V w c(t ) , a )lip(c) t s , với lip(c) số Lipschitz c Từ w, a C C bị giới hạn (H2), suy supw C (s ) dist(w,C (t )) s với vài số K Kt s t hốn đổi, nên ánh xạ t Do vai trò C (t ) liên tục Lipschitz với số Lipschitz K 36 KẾT LUẬN Sau mơ hình tìm hiểu nghiên cứu, luận văn với đề tài “Về bao hàm thức vi phân cho mơ hình Moreau bậc nhất” hồn thành nhằm mục đích làm rõ kết lý thuyết ứng dụng mơ hình Moreau để nghiên cứu toán hệ học gần tĩnh Luận văn trình bày số kiến thức giải tích hàm, giải tích lồi, mơ hình Moreau bậc : - Hệ thống số kết lý thuyết quan trọng : + Định lí hội tụ yếu, tập lồi, nón chuẩn, khoảng cách Hausdorff + Định lí tồn nghiệm mơ hình Moreau bậc + Định lí tồn nghiệm mơ hình Moreau bậc + Định lí phụ thuộc nghiệm mơ hình Moreau bậc - Đưa lưu đồ giải số cho mơ hình Moreau bậc khơng gian Hilbert - Kết ứng dụng cho nghiên cứu hệ học gần tĩnh Những tìm tòi, nghiên cứu học viên tồn thiếu sót, học viên mong nhận góp ý để cơng trình hồn thiện có ý nghĩa thực tiễn Tôi xin chân thành cảm ơn ! 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J.J Moreau (1977) “Evolution problem associated with a moving convex set in a Hilbert spaces,” J Diff Equ., vol 26, pp 347-374 [2] J.J Moreau (1999) “Numerical aspects of the sweeping process,” Comput Methods Appl Mech Engrg., vol 177, pp 329-349 [3] K Yosida (1995) Functional Analysis, Springer [4] K Deimling (1985) Nonlinear Functional Analysis, Springer, [5] M Kunze, M.D.P Monterio Marques, “An introduction to Moreau’s sweeping process,” B Brogliato (Ed.): LNP 551, pp 1-60, 2000 [6] Monteiro Marques M.D.P (1993) Differential Inclusions in Nonsmooth Me-chanical Problems Shocks and Dry Friction Birkhauser, Basel Boston Berlin [7] Yosida K (1995) Functional Analysis Reprint Springer, Berlin Heidelberg New York [8] Rockafellar R.T (1971) Convex Integral Functionals and Duality In: E.H Zarantonello (Ed.) Contributions to Nonlinear Functional Analysis Academic Press, New York, 215-236 38 ... trí u(t) Từ ứng dụng thực tế mơ hình Moreau, hướng dẫn PGS.TSKH.Nguyễn Văn Lợi, chọn đề tài: Về bao hàm thức vi phân cho mơ hình Moreau bậc nhất để thực luận văn với mong muốn làm rõ kết lý... TRỊNH QUỐC NGHĨA VỀ BAO HÀM THỨC VI PHÂN CHO MƠ HÌNH MOREAU BẬC NHẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: PGS TSKH Nguyễn Văn Lợi HÀ NỘI,... biên hình tròn đứng n, biên hình tròn chạm vào bóng thời điểm t1 (xem hình 1) v HÌNH Minh họa mơ hình Moreau bậc [5] Khi đó, bóng chuyển động với véctơ vận tốc hướng vào phía hình tròn Mơ hình Moreau