BÀI TOÁN CÔSI VỚI BAO HÀM THỨC TIẾN HÓA BẬC CAO LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

  B GIÁO DC VÀ ĐÀO TO TRƯNG ĐI HC SƯ PHM HÀ NI ——————————————– NGUYN VĂN ĐIN BÀI TỐN CƠ-SI VIBC BAO HÀM THC TIN HĨA CAO LUN VĂN THC SĨ TOÁN HC HÀ NI, 2012   B GIÁO DC VÀ ĐÀO TO TRƯNG ĐI HC SƯ PHM HÀ NI ——————– * ——————— NGUYN VĂN ĐIN BÀI TỐN CƠ-SI VI BAO HÀM THC TIN HĨA BC CAO Chun ngành: Tốn Gii tích Mã s: 60 46 01 LUN VĂN THC SĨ TOÁN HC Ngưi hưng dn khoa hc: TS Trn Đình K Hà Ni, 2012   Li cm ơn Tôi xin đưc gi li cm ơn chân thành sâu sc ti TS Trn Đình K đã tn tình hưng dn, giúp đ, ch bo tơi sut q trình làm lun văn Cũng qua lun văn này, xin đưc gi li cm ơn đn thy cô giáo t Gii tích - khoa Tốn - trưng Đi hc Sư phm Hà ni 2, gia đình, bn bè bn hc viên lp K14 Tốn gii tích đt 2, nhng ngưi đng viên, giúp đ sut trình hc tp làm lun văn Hà Ni, tháng năm 2012 Tác gi Nguyn Văn Đin   Li cam đoan Tôi xin cam đoan lun văn t làm dưi s hưng dn giúp đ tn tình ca TS Trn Đình K Tôi xin cam đoan s liu kt qu nghiên cu lun văn trung thc không trùng lp vi đ tài khác Các thông tin trích dn, tài liu tham kho lun văn đưc ch rõ ngun gc Lun văn chưa đưc cơng b bt kì tp chí, phương tin thơng tin Hà Ni, tháng năm 2012 Tác gi Nguyn Văn Đin   Mc lc Kin thc chun b 1.1 H gii thc 1.2 Không gian pha 13 1.3 Đ đo khôn khôngg co comp mpaact ánh x đa tr né nénn 14 Bài toán tng quát 19 ng dng dng gii thc thc suy rng rng cho cho phương phương trình trình tin tin hóa cp hai dng đy đ 29   Các kí hiu tp hp s t nhiên tp hp s t nhiên khác    tp hp s thc R R+   tp hp s thc không âm C   tp hp s phc i   đơn v o tron trongg tp s phc ∆   toán t Laplace M N C    đ đo không comp compact act (u.s.c)   na li liên ên tc N N∗     M ĐU Lý chn đ tài Lý thuyt na nhóm mt cơng c mnh cho vic nghiên cu tính đt ca lp toán liên quan đn phương trình vi tích phân C th, tính đt ca tốn Cơ-si đi vi phương trình vi phân cp mt (C P 1)  u (t) =   Au(t), t >  0 u(0) =  ξ  liên quan cht ch vi vic  A  sinh mt na nhóm liên tc mnh,  hàm trng thái  u ly giá tr mt khơng gian Banach  X   Đ nghiên cu tính đt ca tốn vi phương trình vi phân bc cao, ví d (C P 2)  u (t) + Au (t) + B  Bu u(t) = 0, t >  0 u(0) =   ξ, u (0) =  η , ngưi ta tìm cách đưa v h phương trình bc nht đ có th áp dng kt qu ca lý thuyt na nhóm Tuy nhiên cơng vic khơng phi bao gi thc hin đưc bi sau chuyn v h bc nht, tốn t ma trn khơng có tính cht đ tt đ sinh na nhóm Do vy ngưi ta đt vn đ xây dng mt gii thc suy rng cho phương trình bc cao, tương t na nhóm đi vi phương trình bc nht đ nghiên cu tính gii đưc ca toán liên quan Các kt qu đi vi tốn tuyn tính tng qt có th tìm thy tài liu [38] Cho đn nay, lý k thut, kt qu đi vi toán na tuyn tính cịn đưc bit đn, nht đi vi tốn Cơ-si vi bao hàm thc vi phân bc cao Vi kỳ vng tip cn mt vn đ nghiên cu ca tốn hc hin đi, tơi chn đ tài: "Bài tốn Cơ-si đi vi bao hàm thc tin hóa bc cao"  Mc tiêu ca lun văn nghiên cu mt lp tốn Cơ-si tng qt vi baothc hàmsuy thcrng vi phân bc thit cao cólptrcho vơ phương hn datrình tuyn kttính qu v gii đưc   Mc đích nghiên cu Áp dng lý thuyt gii thc suy rng đ tìm điu kin tn ti nghim cho tốn Cơ-si vi bao hàm thc vi phân bc cao Trong trng đn lp toán (CP2) Nhim v nghiên cu Nghiên cu lý thuyt thuyt gii thc suy rng cho phương trình vi phân tuyn tính bc cao Nghiên cu lý thuyt đim bt đng cho ánh x đa tr Tìm điu kin gii đưc cho tốn Cơ-si na tuyn tính Đi tưng phm vi nghiên cu •  Đi tưng nghiên cu: Phương trình bao hàm thc vi phân bc cao •  Phm vi nghiên cu: Tính gii đưc, cu trúc tp hp nghim ca tốn Cơ-si đi vi phương trình bao hàm thc vi phân bc cao Phương pháp nghiên cu S dng công c kt qu ca gii tích đa tr, lý thuyt na nhóm, gii thc suy rng đ đo khơng compact (MNC) D kin đóng góp mi hưng nghiên cu tip theo Xác lp điu kin đ cho tính gii đưc ca mt lp toán đi vi bao hàm thc vi phân bc cao Mt s vn đ đt cho nhng nghiên cu tip theo: S tn nghim tun hoàn ca tốn: nghim có tính cht u(0) =   u(T ); S tn ti nghim ràng buc ca tốn: nghim có tính cht u t   K, t , T    K  ( ) ∈ gian pha;   ∀   ∈   [0 ],  là mt tp đóng khơng   Dáng điu tim cn ca nghim khi  t →  +∞   Chương Kin thc chun b Bài toán tng quát Xét toán Cơ-si vi phương trình vi phân bc cao: N −1 Ai u(i) (t)  ∈  F (t, u(t), ut ), t  ∈  [0 , T ], N )) u(N  (t) +    (1.1) i=0   u(i) (0) =  u i , i  = 1, ,N   − 1, u(s) =   ϕ(s), s  ∈  ( −∞, 0],   (1.2) (1.3)   N    1, Ai, i=0, ,N-1, tốn t tuyn tính không gian Banach ( X, .) và F  là mt ánh x đa tr, s đưc mô t chi tit  phn sau  đây  ut mô t trng thái lch s ca hàm  u tính đn thi đim   t, nghĩa   ut(s) =  u (t + s)  vi   s ∈  (−∞, 0] Có th thy phương trình vi phân bc cao dng (1.1) xut hin nhiu mơ hình thc t ca hc, vt lý, công ngh như    Ai  là toán t vi phân đo hàm riêng Mt điu khin, cách tip cn ph bin đưa phương trình (1.1) v h phương trình bc nht khơng gian hàm thích hp nghiên cu h bng cơng c lý thuyt na nhóm Tuy nhiên, ch tài liu [13, 34, 38], phương pháp khó thc hin mà khơng gian nghim không th xây dng đưc mt cách tưng minh hoc khơng gian nghim đưc xây dng rt khó ng dng thc t Ngoài ra, đ cp cơng trình [13, 39], vic nghiên cu trc tip phương trình bc cao có th nhn đưc kt qu tng qt Bài tốn Cơ-si trưng hp   N   =  đã đưc nghiên cu rng rãi bng cách tip cn na nhóm Phương pháp đưc trình bày chi tit tài liu [12, 25, 34, 37] Tip theo, ngưi tng   Vi   v   ∈ Dρ     z   ∈ G (v) =  w  + S   ◦◦ P F F  (v[ϕ]), ta có ưc lưng    t z (t)X    wC (([0,T  [0,T ]; ];X  X )  + E (t − s)F 0(s, v (s), v [ϕ]s )X ds T   wC (([0,T  [0,T ]; ];X  X )  +  C E   t   ωρ (s)ds  ρ, 0   (2.19) vi mi   t  ∈  [0, τ ]  ta s dng   (F 2),  và ưc lưng v (s)X   + |v [ϕ]s |B    v C (([0,τ  [0,s]; ];X  X )  +  M (s)|ϕ|B  [0,τ ]; ];X  X )  + K (s)v C (([0,s  + 1)v C (([0,τ   (K  + [0,τ ]; ];X  X )  + M |ϕ|B   =   ρ0 , vi  s ∈  (0, τ ] Vy, (2.19) suy z C (([0,τ  [0,τ ]; ];X  X )    ρ   G  bin   bin   Dρ  vào Áp dng Đnh lý 1.4, ta kt lun rng  G  có mt đim bt đng   v∗   ∈ Dρ, t ta có nghim  u∗   =  v∗ [ϕ] ca toán Đ chng minh tính gii đưc tồn cc ca tốn, ta s thay th điu kin   (F 2) bng mt điu kin mnh C th (F 2 )  Tn ti hàm   κ  ∈   L1 ([0, T ])  sao cho F 0(t , η , ζ )    := sup{f X   :  f   ∈  F 0 (t , η , ζ )  }  κ(t)(η X   + |ζ |B ), vi mi   η   ∈   X     ζ   ∈ B  Hơn na, ta s s dng bt đng thc Gronwall-Bellman sau (xem [35]) B đ 2.4  Gi s   f (·), g(·)   và   y(·)  là hàm kh tích khơng âm  trên   [0, T ], tha mãn bt đng thc tích phân     t y (t)  g (t) + f (s)y (s)ds, t  ∈  [0 , T ] Khi đó   t y (t)  g (t) +  t exp f (θ )dθ f (s)g (s)ds, t  ∈  [0 , T ]       s 26   Đnh lý 2.2   Cho   ui   ∈   Di, i   = 0, ,N   −   vi   u0   =   ϕ(0) Gi s  −1 tp toán t   (Ai )N  i=0   Nu điu kin  tn ti   E 0-h gii thc cho (F 1),   (F 2)  và   (F 3)  tha mãn, tp nghim ca tốn  (1.1)   (1.1)-(1.3) khác rng compact Chng minh   Áp dng Đnh lý 1.5 và B đ 2.1, 2.2 2.3, ta phi chng minh nu   v   ∈   C ([0 ([0, T ]; X )  tha mãn v   ∈  λ G (v ) =   λw +  λS  ◦  ◦ P F  F  (v [ϕ]) vi  λ ∈  (0, 1] thì phi thuc mt tp b chn S dng điu kin  (F 2 ), ta có    t v (t)X    λw(t)X   + λ   sup E (t)L(X ) t∈[0 [0,T  ,T ]]  t T  [0,T ]; ];X  X )  +  C E   wC (([0,T  F 0 (s, v (s), v [ϕ]s )X ds   κ(s)(v (s)X   + |v [ϕ]s |B )ds,   (2.20) vi  C E T  = supt∈[0[0,T  ,T ]] E (t)L(X ) Do   (B 3), ta có ưc lưng sau v (s)X   + |v [ϕ]s |B    (K  +  + 1)v (s)X   + M |ϕ|B ,   (2.21)   = supt∈[0 vi  s ∈  [0, t],  < t  T ,   K  =   = maxt∈[0 [0,T  ,T ]] K (t), M  = [0,T  ,T ]] M (t) T (2.20)-(2.21) suy v (t)X      T  T  wC (([0,T  [0,T ]; ];X  X )  +  C E M |ϕ|B  κ(s)ds        t T  (K  +  + 1) + C E  vi mi   t  ∈  [0, T ] Áp dng B đ 2.4 vi g (t) =  g   :=  wC (([0,T  [0,T ]; ];X  X )  + T  M |ϕ|B  C E  T  κ(t), y (t) =   v (t)X , f (t) =  C E    t  ∈  [0, T ], ta đưc [0,T ]; ];X  X )    R0 , v C (([0,T  27 κ(s)v (s)X ds,   T  κ(s)ds,    T  R0   =   g0 + C E   exp        T  C E    T    T  κ(t)dt κ(t)dt 0 ([0, T ]; X )  vi   R > R0 , xét toán Cui cùng, chn  U   =  B (0, R) trong   C ([0 t   G  đi   t   U D   =    ∅   vàoo   K v(D0 ),    D0  đưc xác đnh (2.4) vi  τ   =  T  Nó tha mãn gi thit ca Đnh lý 1.5 đó Fix(G ) tp khác rng, compact Ta có điu phi chng minh 28   Chương ng dng gii thc suy rng cho phương trình tin hóa cp hai dng đy đ  α Nm , α , ,α Cho  = ( m )  ∈ m |α|  =  m  là mt đa ch s Ký hiu   ∂  αm   ∂  α α αi , D =       ∂ x1 i=1 ∂ xm Vi đa thc vi h s phc bc   k  trong   Rm P (x) =   aα (ix)α , (3.1) |α|k ta đnh nghĩa aα D α P (D) = |α|k Trong chương này, vi  X   =  L p(Rm),   < p <  ∞ ,  và D(P (D)) =  { f   ∈  L p (Rm) :  P (D )f   ∈  L p (Rm)}, xét tốn Cơ-si   L p(Rm) ∂ u(t, x) ∂ 2 u(t, x) P  D   + Q(D)u(t, x)   + ( ) ∂t ∂ t2      t = −∞ K(x, y )ξ (s − t, y )f (t, u(t, y), u(s − t, y))dyds,   (3.2) Rm x  ∈   u(0, x) =   u0 (x), ut (0, x) =  u (x),   u(s, x) =   ϕ(s, x), s  ∈  ( −∞, 0], 29 m R , t  ∈  [0 , T ], (3.3) (3.4)     P (x)     Q(x)  là đa thc xác đnh (3.1) vi bc tương ng   k      Gi s  K  : m R × Rm → R, hàm trơn ξ   : (−∞, 0] × Rm → R, hàm liên tc tha mãn |ξ (θ, y )|  C ξ ξ eh θ vi mi ( θ, y )  ∈  ( −∞, 0] × Rm,   (3.5)   C ξ ξ     h0  là hng s dương Hơn na, gi thit rng hàm s f   : [0, T ] × R2 → R có tính cht f (·, u , v ) đo đưc và f (t, ·, ·) tha mãn điu kin Lipschitz: |f (t, u1, v1 ) − f (t, u2 , v2)|  ζ (t)|u1 − u2 | + µ(t)|v1 − v2|   (3.6) vi mi   t  ∈  [0, T ]  và   u j , v j   ∈ R, j   = 1, 2,  trong   ζ , µ  ∈   L1 (0, T ) Chú ý rng dng thun nht ca toán (3.2)-(3.4) đưc nghiên cu [39] Vi toán nêu trên, ta s dng không gian pha B   =  C L pg  xác đnh bi (1.9) vi  g (θ ) =  e hθ ,   h  ∈  (0 , h0] Rõ ràng  g  tha mãn điu kin (1.10)-(1.11) Trưc tiên ta chng minh rng, vi gi thit phù hp, tn ti h gii thc cho cp toán t   ((P (D), Q(D)) Đ thc hin điu này,, ta cn khái nim kt qu có [39] Gi s   C   ∈   L(X )  là mt đơn ánh,   A0     A1  là tốn t đóng   X  Đnh nghĩa 3.1   H   {S 0(t), S 1(t)}t0  các toán t b chn, liên tc  mnh trên   X  đưc gi h   C -lan -lan truyn đi vi   (A0 , A1 )   nu  (i)   C  giao hoán vi   S 0 (t), S 1 (t)  vi mi   t  0; (ii) vi mi   xx  ∈   X , S 1(·)x  ∈  C 1 ([0, ∞); X ), S 1 (t)X   ⊂ D(A1), (t  0)   và   A1S 1(·)x  ∈  C ([0, ∞); X ); 30   (iii) vi mi   x  ∈   X   và   t  0,    t A0     t   S  s xds  ∈ 1( ) D(A0 )  và  S 1 (s)xds  =  C x − S 1 (t)x − A1 S 1 (t)x, đó  S 1 (t)x  = S 1 (0) = 0,  d S 1 (t)x; dt   M,ω >  0  sao cho (iv) tn ti hng s  M,ω S 0 (t), A1S 1(t), S 1 (t)  M eωt , t  0; (v) mi nghim   u(·)  ca toán      u + A1 u + A0 u  = 0, u(0) =   u0 , u (0) =   u1 , (3.7) (3.8) vi d kin ban đu   u0 , u1   ∈ R(C )  có th biu din dưi dng  u(t) =  S 0 (t)C −1 u0  + S 1 (t)C −1 u1 , t  Bài tốn Cơ-si (3.7)-(3.8) đưc gi   C -đt -đt nu tn ti h C -lan -lan truyn cho   (A0 , A1 ) Mnh đ 3.1  ([39, Mnh đ 1.6])  Nu tốn Cơ-si   (3.7)-(3.8)   là  C -đt -đt thì  λRλ Cx, A1 Rλ C x  ∈   LT w  − L(X ), x  ∈  X  X Áplàdng lý 1.2tn ti Mnh đgii 3.1,thc ta thy nu (A toán (3.7) C -đtĐnh  C -h (3.8) đúng, cho cp 0, A ) Khng đnh sau cung cp điu kin đ đm bo tính  C -đt -đt cho toán (3.7)-(3.8) Đnh lý 3.1  ([39])   Cho   P (x),   Q(x)  là đa thc phc vi bc ln  lưt là   k,  Gi s   sup Re  − P (x) + Rm x∈    P 2 (x) − 4Q(x)  <  ∞   (3.9) Vi   A1   =   P (D),   A0   =   Q(D), toán Cô-si   (3.7)-(3.8)   là   (I   − ∆)−γ đt vi  γ      (n p + 1) dM    (3.10) 31   đó   n p   =   n| 12   −   p1 |   và   dM   = max{2k, } Thêm na, nu tn ti  r  ∈  (0 , dM ]  sao cho   |P 2(x) − 4Q(x)|  C 0|x|r ,   |x|  L0 (3.11) vi   C 0 , L0   >  0   thì   γ  có th chn   1 γ    (n pdM   + dM   − r )   (3.12) Xét không gian Sobolev  W κ,p(Rm), ta có kt qu v tính gii đưc ca toán (3.2)-(3.4) sau Đnh lý 3.2  Gi s điu kin ca Đnh lý 3.1 đưc tha mãn Nu ta có   (I  −  − ∆x )γ K(x, y )  ∈  L p (Rm; L p (Rm)),  p s mũ liên hp ca   p, điu kin  (3.5) vi  bài -(3.6)phân  đưcng thc   (3.5)tích tốn   (3.2)-(3.4)  có nht mt nghim vihin, giá  tr ban đu  +max{k, },p u0   ∈  W 2γ +,p (Rm ), u1   ∈   W 2γ +max (Rm) Chng minh  Áp dng Đnh lý 3.1, ta thy cp tốn t  ( ( P (D), Q(D)) có   (I   − ∆)−γ -h gii thc   L p(Rm) Đi vi toán (3.2)-(3.4), ta đt  t K(x, y )ξ (s − t, y )f (t, u(t), u(s − t, y))dyds F (t,u,ut )(x) = Rm             −∞ Khi   F  là ánh x tha mãn F   : [0, T ] × L p (Rm ) × B →  L p (Rm ),  0 F (t , η , φ)(x) = −∞ Vy, K(x, y )ξ (θ, y )f (t, η (y ), φ(θ, y ))dydθ Rm  0 F 0 (t , η , φ)(x) = −∞ K0 (x, y)ξ (θ, y )f (t, η (y), φ(θ, y ))dydθ Rm 32   vi K0 (x, y ) = (I − ∆x)γ K(x, y ) Ta có ưc lưng sau nh vào (3.5), (3.6) v bt ng thc Hăolder: older: |F0 (t, 1, φ1)(x) − F 0(t, η2 , φ2)(x)|  0 C ξ ξ |K |K0 (x, y )|eh                 Rm −∞  0 eh θ dθ  C ξξ  ζ (t) eh + C ξ ξ µ(t) θ |K0(x, y )||φ1(θ, y) − φ2(θ, y )|dydθ Rm −∞ h0 C ξξ  ζ (t)η1 − η2  p   p |K0(x, y )| dy Rm  0 + C ξ ξ µ(t)   p |K0 (x, y)| p dy eh θ φ1 (θ) − φ2 (θ ) p dθ     p    m F 0 (t, η1, φ1) − F 0(t, η2 , φ2 ) p  1 ζ (t)η1 − η2  p  + µ(t)  C ξξ  C K h0    0 h0 θ e  −∞ (3.13)                  p |K0(x, y )| dy Rm  φ1 (θ ) − φ2 (θ ) p dθ ,  C K   = , Rm    ·  p   :=  · L (R ) Vy vi  p  −∞   Rm  0  ζ (t)|η1 (y ) − η2 (y )| + µ(t)|φ1 (θ, y ) − φ2 (θ, y )| dydθ |K0 (x, y )||η1 (y ) − η2(y)|dy −∞  1 θ  p/p dx  p Rm Chỳ ý rng, nh bt ng thc Hăolder, older, ta nhn đưc    0  p−1 eh θ φ1 (θ) − φ2 (θ) p dθ   ph0 − h −∞  p−1   ph0 − h  p−1  p  0 −∞  p−1  p ehθ φ1 (θ) − φ2 (θ ) p  p  |φ1 − φ2 |B , vi   < h  h0 Cùng vi (3.13), ta có F 0 (t, η1, φ1)(x) − F 0(t, η2 , φ2 ) p    ζ 0(t)η1 − η2  p + µ0(t)|φ1 − φ2 |B , (3.14)  p−1 ζ 0 (t) =   C ξ ξ C K ζ (t), µ0 (t) =  C ξξ  C K   p −  ph0 − h h0 33    p µ(t)  p   Có th kim tra t (3.14), điu kin (F 1), (F 2) và (F 3) đưc tha mãn Cui cùng, ta có R((I   − ∆)−γ ) =   W 2γ,p (Rm), 2γ +,p (Rm), D0   =   W  2γ +max +max{k, },p (Rm) D1   =   W  có (1.5) Đnh lý đưc chng minh Ta xét mt s ví d c th tha mãn gi thit Đnh lý 3.1 Vi P (D) = 0, Q(D ) =  − ∆, (3.2) chuyn thành phương trình truyn sóng na tuyn tính Khi ta có   Q(x) = | x|2 −P (x) +   P 2 (x) − 4Q(x) = 2i|x| Do vy điu kin (3.9) rõ ràng đưc tha mãn Ngoài ra, (3.11) đưc tha mãn vi   r   = 2, theo (3.12) ta có th chn   γ      21 n p Nu   p   =  thì ta có th chn   γ   =  và ta có   I -h -h gii thc cho cp tốn t   (P (D), Q(D)) Ví d tip theo, ta chn P (D) =   i∆, Q(D ) =  I   − ∆, −P (x) +   P 2 (x) − 4Q(x) = 2i(|x|2 + 1) Rõ ràng (3.9) đưc tha mãn Hơn na, (3.11) đưc tha mãn vi   r   =  và cp tốn t   (P (D), Q(D))  có mt   (I   − ∆)−γ -h gii thc vi   γ    n p 34   KT LUN Lun văn nghiên cu tính đt mt lp tốn Cơ-si tng qt vi bao hàm thc vi phân bc cao có tr vô hn da kt qu v gii thc suy rng đưc thit lp cho phương trình tuyn tính Do cịn nhiu hn ch v kin thc thi gian, lun văn khơng tránh khi nhng thiu sót Em mong nhn đưc s ch bo, góp ý ca quý thy cô bn đc đ bn lun văn đưc hoàn thin Em xin chân thành cm ơn ! 35   Tài liu tham kho [1] T.D.Ke, V Obukhovskii, N.-C Wong, J.-C Yao,   An abstract  Cauchy problem for higher order differential inclusions with in finite delay , Discussiones Mathematicae: Differential Inclusions, Control and Optimization 31:2 (2011 ) 199–229 [2] W Arendt, (1987). Vector-valued Laplace transforms and Cauchy  problems  Israel J Math., 59  (3), 327-352 [3] W Arendt, C.J.K Batty, M Hieber, and F Neubrander, (2001) Vector-valued Laplace Transforms and Cauchy Problems  Monographs in Mathematics, 96 Birkhauser Verlag, Basel [4] J.-P Aubin, H Frankowska, (2009). Set-Valued Analysis  Reprint of the 19 1990 90 editio edition n Mode Modern rn Bir Birkha khause userr Cla Classi ssics cs Birkha Birkhause userr Boston, Inc., Boston, MA, 2009 [5] [5] Yu G Bo Bori riso sovi vicch, B B.D D Ge Gelm lman an,, A A.D D My Mysh shki kis, s, and and V.V V.V Obukhovskii, (2011)  Introduction to the Theory of Multivalued  Maps and Differ Differential ential Inclusions , 2nd edition, Librokom, Moscow, (in Russian) [6] G Da Prato, Prato, E Sinestrari, ((1987) 1987).Differential operators with nondense domain  Ann Scuola Norm Sup Pisa Cl Sci (4) 14  (2), 285–344 [7 [7]] K K De Deim imliling ng,, (1 (199 992) 2)   Multivalue Multivaluedd Diff Differ erenti ential al Equat Equations  ions  de Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, Walter de Gruyter, Berlin [8] R deLaubenfels, (1990)   Integrate Integratedd semigr semigroups, oups,   C -semigroups  -semigroups  and the abstract Cauchy problem  Semigroup Forum 41  (1), 83– 95 36   [9] R deLaubenfels, (1991)  Entire solutions of the abstract Cauchy  problem. Semigroup Forum 42  (1), 83–105 [10] R deLaubenfels, (1991)  Existence and uniqueness families for  the abstract Cauchy problem  J London Math Soc (2)   44  (2), 310–338 [11]] R deLaube [11 deLaubenfe nfels, ls, (1 (199 994) 4)   Existenc Existencee fam families ilies,, funct functiona ionall calculi  and evolution equations  Lecture Notes in Mathematics, 1570 Springer-Verlag, Berlin [12] K-J Engel, R Nagel,(2000) One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations  Graduate Texts in Mathematics, 194 Springer-Verlag, New York [13] H.O Fattorini, H O (1985)  Second Order Linear Differential  Equations in Banach Spaces  North-Holland Studies, 108 Notas de Matematica [MathematicalMathematics Notes], 99 NorthHolland Publishing Co., Amsterdam [14] E P Gatsori, L Gorniewicz, S K Ntouyas, G Y Sficas, (2005) Existence results for semilinear functional differential inclusions  with infinite delay  Fixed Point Theory, 6  (1) , 47-58 [15] C.Gori, V Obukhovskii, M Ragni, P Rubbioni, (2002) Existence  and continuous dependence results for semilinear functional dif ferential  fer ential inclusions with infinite delay   Nonlinear Anal   51  (5), Ser A: Theory Methods, 765–782 [16] L Górniewicz,(2006). Topological Fixed Point Theory of Multivalued Mappings  2nd edition Topological Fixed Point Theory and Its Applications, Springer, Dordrecht [17] J.K.Hale, J.Kato, (1978)  Phase space for retarded equations with  infinite delay  Funkcial Ekvac bf 21 (1), 11-41 [18] M Hieber, (1991)  Integrated semigroups and differential operators on   L p spaces. Math Ann. 291  (1), 1–16 [19] Y Hino, S Murakami, T Naito, (1991)   Functional Differential  Equations with Infinite Delay  Lecture Notes in YMathematics, Vol 1473, Springer-V Springer-Verlag, erlag, Berlin-Heidel Berlin-Heidelberg-New berg-New ork 37   [20] S Hu, N.S P Papageorgi apageorgiou, ou, (1997). Handbook of multivalued analysis  Vol I Theory Mathematics and its Applications, 419 Kluwer Academic Academ ic Publishers, Dordrec Dordrecht ht [21] C Kaiser, (2004). Integr  Integrate atedd semigr semigroups oups and line linear ar partial differential equations with delay  J Math Anal Appl   292  (2), 328– 339 [22] M Kamenskii, V Obukhovskii, P.Zecca, (2001)   Condensing  Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces  de Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, Walter de Gruyter, Berlin - New York [23] H Kellerman, M Hieber, (1989). Integrate  Integratedd semigroups. J Funct Anal. 84  (1), 160–180 Inclusions Optimal Con[24] M (1991) Mathematics and  Differential its Applications (East and European Series), trol Kisielewicz, 44 Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht; PWN—Polish Scientific Publishers, Warsaw [25] S.G Krein, (1971)   Linear Linear Diff Differ erentia entiall Equat Equations ions in Bana Banach  ch  Space  Translations of Mathematical Monographs, Vol 29 American Mathematical Society, Providence, R.I [26] V Lakshmikantham, L.Z Wen, B.G Zhang, (1994)   Theory of  Differential Equations With Unbounded Delay  Mathematics and its Applications, 298 Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht [27] J Liang and T J Xiao, Xiao, (1998) (1998). Wellposedness results for certain  classes of higher order abstract Cauchy problems connected with  integrated semigroups  Semigroup Forum 56  (1), 84–103 [28] Y.C.Liou, V Obukhovskii, and J.C Yao, (2008). Controllability   for a class of degener degenerate ate functional differ differential ential inclusions in a  Banach space,  Taiwanese Journal of Math. 12  (8), 2179-2200 [29] B Liu, (2005). Controllability of impulsive neutral functional dif fer  ferential ential inclusions with infinite delay , Nonlinear Anal   60  (8), 1533–1552 38   [30] I.V Mel’nikova, A.I Filinkov, (1994).Integrated semigroups and  C -semigr -semigroups oups Well-po ell-pose sedness dness and regular gularizat ization ion of op oper erator ator-differential problems. (Russian) Uspekhi Mat Nauk 49 (6) (1994), 111–150; English translation in Russian Math Surveys  49  (6) , 115–155 [31] F Neubrander, (1986)   Well-posedness of higher order abstract  Cauchy problems  Trans Amer Math Soc. 295  (1) , 257–290 [32] V Obukhovskii, J.-C Yao, (2010). On impulsive functional dif ferential  fer ential inclusions with Hille-Yo Hille-Yosida sida oper operators ators in Banach spac spaces es Nonlinear Anal. 73  (6) , 1715-1728 [33] V Obukhovskii, P P Zecca, On semilinear differential inclusions in  Banach spaces with nondensely defined operators  J Fixed Point Theory Appl. 9  (1) (2011), 85-100 [34] A Pazy, (1993). Semigroups of Linear Operators and Applications  Mathematicall Sciences, to Partial Differ Differential ential Equations  Applied Mathematica 44 Springer-Verlag, New York [35] Y Qin, (2008)  Nonlinear Parabolic-Hyperbolic Coupled Systems  and Their Attractors Operator Theory: Advances and Applications , 184 Advances in Partial Differential Equations (Basel) Birkhauser Verlag, Basel [36] H.R Thieme, “Integrated semigroups” and integrated solutions to abstract Cauchy problems  J Math Anal Appl. 152  (2) (1990), 416–447 [37] V.V Vasil’ev, S.G Krein, S.I Piskarev, (1991). Operator semigroups, cosine operator functions, and linear differential equations. J Soviet Math. 54  (4), 1042-1129 [38] T.-J Xiao, J Liang, (1998)   The Cauchy Problem for HigherOrder Abstract Differential Equations  Lecture Notes in Mathematics, 1701 Springer-V Springer-Verlag, erlag, Berlin [3 [399] T Xi Xiaao, J Li Lian angg, (19 (1998) 8)   Differ Different ential ial op oper erato ators rs and   C wellposedness of  186 complete order abstract Cauchy problems Pacific J Math  (1), second 167–200 39   [40] T.-J Xiao, J Liang, (2003)  Higher order abstract Cauchy problems: their existence and uniqueness families  J London Math Soc (2) 67  (1), 149–164 40 ... u1 , t  Bài tốn Cơ-si (3.7 )-( 3.8) đưc gi   C? ?-? ?t -? ?t nu tn ti h C -lan -lan truyn cho   (A0 , A1 ) Mnh đ 3.1  ([39, Mnh đ 1.6])  Nu tốn Cơ-si   (3.7 )-( 3.8)   là  C? ?-? ?t -? ?t thì ... đi vi tốn Cơ-si vi bao hàm thc vi phân bc cao Vi kỳ vng tip cn mt vn đ nghiên cu ca tốn hc hin đi, tơi chn đ tài: "Bài tốn Cơ-si đi vi bao hàm thc tin hóa bc cao"   Mc tiêu... PHM HÀ NI ——————– * ——————— NGUYN VĂN ĐIN BÀI TỐN CƠ-SI VI BAO HÀM THC TIN HĨA BC CAO Chun ngành: Tốn Gii tích Mã s: 60 46 01 LUN VĂN THC SĨ TOÁN HC Ngưi hưng dn khoa hc: TS