BÀI TẬP VỀ ỨNG DỤNG MỘT SỐ NGUYÊN LÝ CƠ BẢN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

  TẠO BỘ GIÁO DỤC DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI ĐẠI HỌC HỌC SƢ PHẠM PHẠM HÀ NỘ NỘI ************   NGUYỄ N QUỐC PHƢƠNG  BÀI TẬP VỀ Ứ NG NG DỤNG MỘT SỐ NGUYÊN LÝ CƠ BẢN Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số  Mã số số : 60.46.05 HỌC TOÁN HỌ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC LUẬN HỌC Ngƣời hƣớ ng ng dẫ dẫn khoa họ học: PGS - TS Dƣơng Quốc Quốc Việ Việt HÀ NỘ NỘI - 2011   MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU 4  6  CHƢƠNG I: NGUYÊN LÝ DIRICHLET 1.1   Nguyên lý Dirichlet:  6  1.2  Một số ví dụ:  6  1.2.1   Những toán giải phải nhận “lồng”:  6  1.2.2   Những toán giải phải nhận cả thỏ và lồng: 8  1.3  Một số bài tậ p  9  1.3.1  Đề bài 9  1.3.2  Lờ i giải 11  CHƢƠNG II: NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CHO CÁC BÀI TOÁN ĐẾM  16  2.1   Nguyên lý đếm:  16  2.1.1   Nguyên lý cộng: 16  2.1.2   Nguyên lý nhân: 16  2.1.3  Hoán vị - Chỉnh hợ  p - Tổ hợ  p: 16  2.1.4   Nguyên lý bù tr ừ: 17  2.2  Một số ví dụ:  18  2.2.1  Các toán sử dụng nguyên lý cộng nhân để giải: 18  2.2.2  Các toán sử dụng hoán vị - chỉnh hợ  p - tổ hợp để giải: 20  2.2.3  Các toán sử dụng nguyên lý bù tr ừ  để giải: 21  2.2.4  Sử dụng phép song ánh: 21   2.3  Một số bài tậ p  23  2.3.1  Đề bài 23  2.3.2  Lờ i giải 28  CHƢƠNG III: NGUYÊN LÝ CỰ C TR Ị R ỜI R ẠC  53  3.1   Nguyên lý cực tr ị r ờờ i  r ạc:  53  3.2  Một số ví dụ:  53  3.2.1  Áp dụng nguyên lý để giải toán hình học: 53    3.2.2  3.2.3  3.2.4  3.3  Áp dụng nguyên lý để giải toán số học đại số: 57  Tìm cực tr ị r ờờ i  r ạc: 59  Thiết lậ p thứ tự trên yếu tố bình  bình đẳng 60  Một số bài tậ p:   3.3.1 3.3.2  63      63 Đề Lờ i giải 64  CHƢƠNG IV: NGUYÊN LÝ XUỐ NG THANG  68  4.1   Nguyên lý xuống thang:  68  4.2  Một số ví dụ:  68  4.2.1   Nguyên lý xuống thang với phƣơng trình nghiệm nguyên 68   4.2.2   Nguyên lý xuống thang hình h ọc 69  4.3  70  Một số bài tậ p    4.3.1 4.3.2    Đề Lờ i bài giải 70 71  CHƢƠNG V: PHƢƠNG PHÁP HÀM SINH  78  5.1  Phƣơng pháp hàm sinh  78  5.2  Một số ví dụ:  78  5.2.1  Xác định số hạng tổng quát dãy số truy hồi 78   5.2.2  Phƣơng pháp hàm sinh cho toán chứng minh, rút gọn 80  5.2.3  Phƣơng pháp hàm sinh cho toán đếm số nghiệm 81    84  5.35.3.1 M số bài ột Đề ậ p     bài t 84  5.3.2  Lờ i giải 85  K ẾT LUẬ N 91  TÀI LIỆU THAM KHẢO 92     LỜ I MỞ  MỞ  ĐẦ ĐẦU U Các nguyên lý r ất ất đơn giản, nhƣng việc vận dụng nhƣ thế  tình cụ thể thật khơng đơn giản chút Luận văn tậ p tr ung ung sƣu tầm, phân loại, hệ thống, sáng tác, giải toán về  nguyên lý bản, là: Nguyên lý Dirichlet; Nguyên lý cự c tr ị r ờ  ời  r ạc;  Nguyên lý xuống thang; Nguyên lý cho toán đếm; Phƣơng  pháp hàm sinh đƣa hệ thống tậ p phù hợ  p Luận văn đƣợ c chia làm chƣơng  sau đây:    Chương I: Nguyên lý Dirichlet  Chương gồm phần chính: Phát biểu về  nguyên lý Dirichlet, ví dụ  điển hình chia làm loại (những tốn gi ải phải nhận thỏ và toán giải phải nhận cả l ồng thỏ) Cuối hệ th ống t ập chọn lọc có lời giải.   m Trước hết   Chương II: Nguyên lý cho tốn đế m chúng tơi nhắc lại nguyên lý cộng, nguyên lý nhân nguyên lý bù tr ừ, định nghĩa hoán vị, chỉnh hợp, t ổ hợp Sau ví dụ điển hình cho dạng tốn trình bày lời giải cách chi tiết theo cách khác Cuối hệ thống t ập với lời giải chi tiết    Chương III: Nguyên lý cực trị  rời rạc Chương gồm vấn đề: Phát biểu nguyên lý cực trị  rời rạc; Các ví dụ  điển hình, phân dạng v ề  áp dụng ngun lý để giải tốn hình học, giải tốn đại số  số học, tìm cực trị rời rạc, thiết lập thứ t ự trên yếu t ố bình đẳng Sau số bài t ập chọn lọc với lời giải chi tiết.     Chương IV: Nguyên lý xuống thang Chương gồm ba phần chính: Sơ lược về  nguyên lý xuống thang; Các ví dụ  điển hình về  ngun lý xuống thang cho phương trình nghiệm nguyên cho tốn hình học Cuối hệ thống t ập chọn lọc có lời giải chi tiết    sinh   Chƣơng V: Phƣơng pháp hàm sinh Chƣơng bao gồm phần: Phần đầu nêu khái niệm hàm sinh ki ến th ức h ỗ tr ợ  ợ  Ph ần gồm ví dụ điển hình sử dụng phƣơng pháp hàm sinh để tìm số hạng tổng quát dãy số cho dƣớ i dạng truy hồi, sử dụng phƣơng pháp hàm sinh cho toán chứng minh, rút gọn sử  dụng phƣơng pháp hàm sinh cho toán đếm số nghiệm Phần hệ thống tậ p có lờ i giải.  Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Dƣơng Quốc Việt, ngƣờ i th ầy tận tình hƣớ ng ng dẫn tạo điều kiện thuận l ợ i giúp tác giả  hoàn thành luận văn này.  Hà nội, ngày 15 tháng năm 2011  Tác giả    CHƢƠNG I: I: NGUYÊN LÝ DIRICHLET  1.1  Nguyên lý Dirichlet: Khi giải s ố bài tốn số h ọc hình học đƣợ c làm quen vớ i nguyên lí r ất tiếng về sự tồn tại, ngun lí Dirichlet hay gọi “Nguyên lí Lồng Thỏ” Nguyên lí đƣợ c phát biểu nhƣ sau: Phát biểu 1: Không thể  nhốt thỏ  vào lồng, cho lồng khơng q Phát biểu 2: Có 10 lồng, chỉ nhốt đƣợ c nhiều 10 có 101 thỏ thì có thỏ ở  ngoài  ngoài lồng.  Phát biểu : N ếu k lồng chứa kn+1 thỏ, tồn t ại lồng chứa n+1 thỏ .…  Tuy đƣợ c phát biểu dƣớ i nhiều dạng khác nhƣng cốt nguyên lí chỉ   sự   t ồn t ại Ngun lí khơng xác định đƣợc xác đối tƣợ ng ng nhƣng việc chỉ ra tồn mang lại nhiều ý nghĩa sống nhƣ toán học Cái khó nguyên lý ph ải nh ận bi ết đƣợ c ho ặc t ự sáng tạo “lồng” “thỏ”.  Các yếu tố  “thỏ” “lồng” thƣờ ng ng bị  che khuất, chúng đòi hỏi i gi i ph i t  phát hi n ngƣờ  ả ả ự 1.2  Một số số ví dụ dụ: ệ 1.2.1  Nh Nhữ  ữ ng ng toán giả giải phả phải nhận nhận “lồng”:  “lồng”:  Ví dụ dụ 1: Chứng minh r ằng n + số nguyên dƣơng phân biệt không vƣợ t 2n, bao giờ  cũng có số nguyên tố cùng số t ừ  đế n 2n thành n tậ p h ợ  p *+ ;;{3;4};…;{2n {3;4};…;{2n-1;2n} Vì ta có n+1 số nên theo nguyên lý Dirichlet có s ố trong tậ p h ợ  p  Lờ i gi ải:  Chia Rõ ràng hai số đó nguyên tố cùng   Trong lờ i giải ta sáng tạo n lồng,đó n tậ p hợ  p Ví dụ  2: Cho hình vng 13 đƣờ ng ng thẳng phân biệt cho đƣờ ng ng thẳng chia hình vng thành tứ giác có tỉ số diện tích 2:3 Ch ứng minh r ằng có đƣờ ng ng thẳng số 13 đƣờ ng ng thẳng cho đồng quy  Lờ i giải:  Nếu đƣờ ng ng thẳng chia hình vng thành t ứ giác có tỉ  số  diện tích 2:3 phải qua điểm nằm đƣờ ng ng nối trung điểm hai cạnh đối diện hình vng chia đoạn theo tỉ  số là 2:3 Trong hình vng có tất cả  điểm nhƣ 13 đƣờ ng ng thẳng cho qua ng thẳng số 13 điểm Theo ngun lý Dirichlet, đƣờ ng đƣờ ng ng thẳng cho đồng quy  điều phải chứng minh Ví dụ dụ 3: Cho a, b, c, d, e, f, g, h, k h ằng số thực khác 0, x, y ⟹  biến, đặt A = ax + by + c, B = dx + ey + f, C = gx + hy + k Ch ứng minh r ằng hệ sau có hệ vô nghiệm:                                                  , , , ,  , , ,    Lờ i giải: Mỗi miền nghiệm hệ tƣơng ứng vớ i miền mở  trong  trong mặt  phẳng, bị giớ i hạn ba đƣờ ng ng thẳng có phƣơng trình A = 0; B = 0; C = ng thẳng chỉ phân mặt ph p hẳng thành tối đa miền nên hệ  Vì đƣờ ng cho có hệ vơ nghiệm Ví dụ d ụ 4  4::  Ngƣờ i ta tung ngẫu nhiên nhiều 200 viên sỏi vào mảnh đất hình vng có diện tích 100m2 Chứng minh r ằng tồn viên thẳng hàng lập thành đỉnh tam giác có diện tích khơng vƣợ t q 0,5m2  Lờ i gi ải:  Ta chia đám đất thành 100 ô vuông đƣờ ng ng thẳng song song vớ i cạnh c hình vng Vì số viên sỏi l ớn 200 nên có  ba viên v iên A; B; C thuộc ô vuông Nếu A, B, C khơng th ẳng hàng chúng lậ p thành tam giác nằm hình vng có độ dài 1m Do đó diện tích khơng vƣợ t 0,5m   Trong lờ i giải toán ta phải sáng tạo 100 lồng, 100 vng Ví dụ dụ 5: Vớ i n số nguyên dƣơng cho trƣớ c, c, chứng minh r ằng n + số nguyên dƣơng tùy ý, tồn số có hiệu chia hết cho n  Lờ i giải: Nhận xét r ằng số dƣ có đƣợ c mang chia n + s ố nguyên cho n ch ỉ có thể  0,1,2,…,n –  1  1 Vì ph ải có hai số khi chia cho n có số dƣ Do hiệu hai số này phải chia hết cho n Số lồng mà ta cần nhận tốn n 1.2.2  Nh Nhữ  ữ ng ng toán giả giải phả phải nhậ nhận cả th  thỏỏ và lồ lồng: Ví dụ  1: Chứng minh r ằng ln tồn số  nguyên dƣơng n, không vƣợ t  –  1  1 chia hết cho 2011 2010, để 2n –  i  Lờ i giải: Xét dãy ai  = , i = 1,2,3,…,2011 Nhận thấy số  dãy khơng chia hết cho 2011 Vì vậy, mang số này chia cho 2011 số  dƣ chỉ n ằm tậ p 2010 số  { 1,2,3,…,2010} Do có 2011 số  nên phải có số a t > a h khi chia cho 2011có số dƣ Đặt n = t –  h, n < 2011 at  –  –   ah  = ah(2n  –  –  1)   1) chia hết cho 2011, nên 2n –  1   chia hết cho 2011 Mấu chốt ta phải tạo 2011 thỏ  ai  = 2i, i =1,2,3,…,2011 2010 lồng {1,2,3, ,2010} Ví dụ d ụ  2: Chứng minh r ằng n + s ố  nguyên dƣơng không vƣợ t 2n,  bao giờ   tồn hai số  cho số  bội số  kia(Bài toán Erdos)  Lờ i gi ải: Gọi số đã cho a1,a2,…,an+1 Bây giờ  ta   ta phân tích số này ở   dạng tiêu chuẩn: a i =   bi v ớ i b i là số tự nhiên lẻ, i = 1,2,3,…,n+1 Nhƣ ta đƣợ c n + số t ự nhiên lẻ b1, b   2,…,bn+1  không vƣợt 2n Nhƣ vậy, 2n số nguyên dƣơng đầu tiên, chỉ có n số lẻ, số b1,b2,…,bn+1      b và am = phải có hai số  nhƣ nhau, chẳng hạn b j  = bm  = b Khi a j  =  b  b sẽ có số là bội số kia Đây toán mà giải ta phải nhận n lồng, n số  lẻ     nằm số không vƣợ t 2n, sáng t ạo n + thỏ b1, b ,…,bn+1 Ví dụ dụ 3: Ngƣời ta sơn tất cả các cạnh đƣờ ng ng chéo hình lục giác lồi  bở i hai màu khác nhau, cạnh đƣờ ng ng chéo chỉ  đƣợ c sơn màu Chứng minh r ằng ằng tồn tam giác có ba cạnh màu  Lờ i giải:  Giả sử lục giác ABCDEF hai màu sơn xanh đỏ Trong đoạn AB,AC,AD,AE,AF phải có ba đoạn đƣợc sơn màu Chẳng hạn đoạn AB,AC,AD, đƣợc sơn  màu đỏ Ta xét tiếp đoạn BC,CD,DB  Nếu ba đoạn có đoạn đƣợc sơn màu đỏ , ch ẳng hạn BC, ba cạnh tam giác ABC đƣợc sơn màu đỏ Nếu ba đoạn BC,CD,DB khơng có đoạn sơn màu đỏ thì phải đƣợc sơn tồn màu xanh   tam giác BCD có ba cạnh đƣợc sơn màu xanh 1.3  Một số số bài tậ tập 1.3.1  Đề bài Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ cho đa giác lồi có số cạnh khơng nhỏ hơn tất cả  đỉnh có tọa độ  nguyên(ta gọi chúng điểm nguyên) Chứng minh r ằng bên cạnh đa giác có nh ất điểm nguyên khác Bài 2: Trong mặt phẳng cho 25 điểm cho từ 3 điểm bất k ỳ trong số chúng tìm đƣợc hai điểm có khoảng cách nhỏ  Chứng minh r ằng tồn hình trịn có bán kính chứa khơng 13 điểm Bài 3: Giả sử a,b,x0 là số tự nhiên khác Chứng minh r ằng, dãy x0, x1= ax0+b, x2 = ax1+b,…,xn= axn-1+b,…có vơ hạn số là hợ  p số Bài 4: Chứng minh r ằng x1,x2,…,x12 là nghiệm hệ bất phƣơng trình:                                         có số âm Bài 5: Chứng minh r ằng hình trịn có bán kính b ằng 1, khơng thể  có nhiều điểm cho khoảng cách điểm bất k ỳ trong chúng lớn 1.  Bài 6: Cho 40 số nguyên dƣơng a1,a2,….,a19 và b1,b2,…,b21 thỏa mãn:   Chứng minh r ằng tồn số ai, a j,bk ,,bbl sao cho   Bài 7: Tại vịng chung k ết cờ  vua  vua có bạn thí sinh thi đấu theo thể thức vịng trịn( bất k ể hai thí sinh phải thi đấu vớ i ván) Chứng minh r ằng t ại th ời điểm b ất k ỳ c cu ộc thi bao giờ   có thí sinh có số ván đấu nhƣ nhau.  Bài 8: Một cửa hàng đồ điện ngày bán đƣợ c quạt tu ần bán đƣợ c không 12 Chứng minh r ằng số ngày liên tiếp cửa hàng bán đƣợ c tổng số 20 quạt Bài 9: Cho dãy số u1,u2,…,un trong ui bằng thỏa mãn điều kiện sau: Bất k ỳ  bộ  số liên tiế p từ  dãy số  cho không trùng Chứng minh r ằng ằng n ≤ 36.  Bài 10: Cho dãy gồm 4n số  dƣơng có tính chất: số khác bất k ỳ  dãy lậ p thành cấ p số nhân Chứng minh r ằng dãy số đó phải có n số bằng 10 77   Chƣơng V: PHƢƠNG PHÁP HÀM SINH  SINH  Hàm sinh sáng tạo có nhiều ứng dụng tốn r ờ  ời  r ạc Dùng hàm sinh ta có th ể chuyển số bài tốn về dãy số thành toán về hàm số Điều r ất tuyệt vời có tay  một cỗ  máy lớn để làm việc vớ i hàm số Nhờ  vào   vào hàm sinh, có th ể  áp dụng c ỗ máy vào toán dãy s ố Bằng cách này, có th ể s ử  dụng hàm sinh vi ệc giải dạng toán về phép  phép đếm hàm sinh 5.1  Phƣơng pháp hàm Cho dãy số hữu hạn hay vô hạn g0, g1, g2, g3, … chuỗi luỹ thừa G(x) = g0 + g1x + g2x2 + g3x3 …đƣợ c gọi hàm sinh dãy cho Khái niệm quan tr ọng   cho việc nghiên cứu phát triển phƣơng pháp chuỗ i ọng làm sở  cho lũy thừa hình thức Phép màu hàm sinh nằm ở   chỗ ta có thể chuyển  phép tốn thực dãy số thành phép toán thực hàm sinh tƣơng ứng chúng Sau số kiến thức hỗ tr ợ  ợ:  a)  Quy tắc xoắn: Gọi A(x) hàm sinh cho cách chọn phần tử từ tậ p hợ  p A B(x) hàm sinh cho cách chọn phần tử t ừ tậ p h ợ  p B Nếu A B r ờ  ời  hàm sinh cho cách ch ọn phần tử  từ  A  B A(x)B(x) Quy tắc xoắn cịn có cách phát biểu khác: Nếu dãy a0, a1, a2, … có hàm sinh f(x) dãy b0, b1, b2, … có hàm sinh g(x) xoắ n chúng, ∪ dãy c0, c1, c2, … vớ i cn = a0 bn +a1 bn-1 +…+an b0 có hàm sinh f(x)g(x)  b) Chuỗi Mac Laurin hàm số f(x):                                            5.2  Một số số ví dụ dụ: 5.2.1  Xác định định số số hạ  hạng tổ tổng quát củ dãy số số truy hồ hồi Ví dụ dụ 1: Tìm số hạng tổng quát dãy số nguyên {an} cho bở i             78    Lờ i giải: Hàm sinh dãy: {an} f(x) = Ta có f(x) = a1x + a2x2 + … +  ∑    (1)           = a1x + a1x2 + (a2 + a1)x3 + … + ( = x + x f(x) + x2f(x) + … + xnf(x) + …  xn + …  = x + (x + x2 + x3 + …+ xn +…)f(x)  =x+ Từ đó  /                                       Ta có   Do đó    Đồng hệ số của xn trong (1) (2) suy an = 2n-2, n ≥ 2.  Ví dụ  2: Tìm số  hạng tổng quát dãy số Fibonacci {f n}n≥0  xác định bở i: i: f 0= 1; f 1 = 1; f n+2 n+2 = f n + f n+1 n+1 vớ i n ≥ 0.   Lờ i giải: Hàm sinh dãy:        Do điều kiện dãy ta có x + xF(x) + x2F(x) = F(x) Từ đó ta có:     √             √        ớ{ ớ {  √     79      ⟹    √  ,                -    √    √√    √    √    Từ đó suy ra:    5.2.2  Phƣơng pháp hàm sinh cho tốn chứ ng ng minh, rút gọ gọn Ví dụ dụ 1: Chứng minh r ằng:          t              l hmsinhủ dãy       , -            , -       ∑     L ờ i gi ải :       Hệ số của xn trong khai triển (1)   Ta có       Hệ số của xn trong khai triển (2)       Vì hệ số c x n trong khai triển (1) (2) nhƣ nên ta nhận đƣợc điều  phải chứng minh Ví dụ dụ 2: Rút gọn:  Lờ i giải: t         80               l hmsinhủ dãy                    Ta có Thay x = vào (1) ta ta nhận đƣợ c   5.2.3  Phƣơng pháp hàm sinh cho tốn đếm đếm số số nghi  nghiệệm Ví dụ dụ 1: Tìm s  nghi m ngun khơng âm c ố ệ x1 +x2 +x3 + … + xd = n  Lờ i giải: (1)   phƣơng trình: Ký hiệu Un  số nghiệm ngun khơng âm c phƣơng trình (1) Khi ta có hàm sinh dãy vớ i số hạng dạng {Un}                             Vậy   Từ ví dụ trên ta đến tốn tổng qt sau: Ví dụ dụ 2: Tìm số nghiệm nguyên dƣơng phƣơng ph ƣơng trình sau:  a1x1 + a2x2 + a3x3 + … + adxd = n (1)  Lờ i giải: Ký hiệu Un số nghiệm nguyên dƣơng củ a phƣơng trình (1) Khi ta có hàm sinh dãy là:                  Khi Un là hệ số của xn trong khai triển (2) Vậy toán đƣợ c giải 81   Ví dụ dụ 3: Có cách khác để  phân phối bánh giống cho ba em bé khác nhau, cho em nhỏ  nhận đƣợ c nhiều bánh?  Lờ i giải:  Nếu cách phân phối bất k ỳ, em thứ  i nhận đƣợ c xi   bánh ta ln có x 1 + x2 + x3 = v ớ i xi ϵ {2;3;4} Vì em nhỏ ch ỉ nh ận đƣợ c nhiều nh ất bánh nên coi em nhỏ  ứng v ớ i thừa số x2 + x3 + x4 Vì cần phân phối bánh cho em nhỏ nên số cách  phân ph p hối hệ  số  x 8 trong khai triển (x2 + x 3  + x 4)3 Dễ  tính đƣợ c hệ số đi vớ i x8 là Vậy có cách phân phối bánh thỏa mãn tốn Ví dụ dụ 4: Có cách khác để  phân phối bánh giống cho ba em bé có nữ  nam, cho em nhỏ  nhận đƣợ c nhiều bánh em nữ có số bánh  bánh nhƣ nhau?  Lờ i gi ải: Số cách phân phối b ằng s ố nghiệm nguyên dƣơng của phƣơng trình x + 2y = v ớ i x, y ϵ {2,3,4} Nếu ta coi x ứng v ớ i thừa số x 2 + x 3 + x 4 thì 2y ứng vớ i thừa số x4 + x6 + x8 Khi số cách phân phối bánh sẽ là hệ số của x8  khai triển (x2 + x3 + x4)( x4 + x6 + x8) Dễ dàng tính đƣợ c hệ số của x8 là Vậy có cách phân ph ối bánh thỏa mãn tốn Ví dụ dụ 5: Tìm số nghiệm ngun khơng âm c phƣơng trình x1 + x2 + x3 = 23 (1) thỏa mãn điều kiện ≤ x1 ≤ 7; ≤ x 2 ≤ 8; ≤ x3 ≤ 9.   Lờ i giải: Số các nghiệm v ớ i ràng buộc h ệ s ố  x 23 trong khai triển T=(x4 + x5 + x6 + x7)(x5 + x6 + x7 + x8)(x6 + x7 + x8 + x9)       Thật vậy, nhận đƣợ c số  hạng  trong tổng thứ  nhất, số  hạng    trong tổng thứ  3, vớ i x1, x2, x3  thỏa mãn tổng thứ  hai, số  hạng  phƣơng trình (1) ràng buộc cho Ta cần tìm hệ  số  x23 trong khai triển Ta có: 82   T = x4.x5.x6.(1 + x + x 2 + x3)3 = x15[(1+x)(1+x2)]3 Hệ số của x23 trong khai triển nghiệm    Do tốn có Ví dụ  6: Dùng hàm sinh để ch ọn r vật thuộc n loại khác nhau(n ≤ r), ta cần chọn vật thuộc loại  Lờ i giải: Bài tốn tr ởở  thành   thành tìm số nghiệm ngun dƣơng phƣơng trình: x1 + x2 + … + xn = r vớ i xi ≥ 1 vớ i i = 1,2,…,n Coi mỗ i loại ứng vớ i nhân tử x + x2 + … hàm sinhG(x) dãy (ar ), vớ i ar  là số cách chọn r vật thuộc n loại khác Khi ta có:  G(x) = (x + x 2 + …)n = xn(1 + x + x2 +…)n                         Đặt i = k + n, đó:    Hệ số đi vớ i xr  Vậy số cách chọn r vật  V   Ví dụ  7: Có cách sắ p giỏ trái gồm n quả  thỏa mãn đồng thời điều kiện sau:    Số táo phải chẵn,    Số chuối phải chia hết cho 5,    Chỉ có thể có nhiều quả cam,    Chỉ có thể có nhiều quả đào Trƣớ c hết, ta tìm hàm sinh cho số cách chọn táo Có cách chọn quả táo, có cách ch ọn quả táo, có cách ch ọn quả táo, có cách ch ọn quả táo, có cách chọn quả  táo, Nhƣ ta có hàm sinh cho s ố  cách  Lờ i gi ải: chọn táo là: 83                                          Tƣơng tự, hàm sinh cho s ố cách chọn chuối là:   Ta có thể ch ọn i (i= )quả cam cho lần, nhƣng ta không thế chọn nhiều quả cam Vì vậy, hàm sinh số cách chọn cam là:   Tƣơng tự, hàm sinh cho s ố cách chọn đào là:           Theo quy tắc xoắn, hàm sinh cho số cách chọn cả 4 loại là: Vậy số cách sắ p giỏ trái n+1 5.3  Một số số bài tậ tập 5.3.1  Đề bài Bài 1: Tìm cơng thức tổng qt dãy số (an) đƣợ c cho bở i: i:      ế      Bài 2: Tìm số nghiệm nguyên dƣơng phƣơng trình :   a+ b + c+ d = 12 vớ i a ≤ 5; b ≤ Bài 3: Tìm số hạng tổng quát dãy số sau:             ớ        84     Bài 4: Chứng minh r ằng  vớ i số m, n, p nguyên dƣơng cho p  n p  m, ta có:                  Bài 5: Tìm số nghiệm ngun khơng âm bất phƣơng trình:                 ế                   Thoả mãn x1   1 Bài 6: Tìm cơng thức tổng qt dãy số (an) đƣợ c cho bở i :   Bài 7: Tìm số nghiệm ngun khơng âm phƣơ ng ng trình x1 + x2 + x3 = 23 Thoả mãn điều kiện:   Bài 8: Rút gọn biểu thức:   Bài 9:  Cho n số  tự  nhiên khác Tìm đa thức P(x) vớ i hệ  số  thuộc {0;1;2;3} cho P(2) = n Bài 10: Tìm số hạng tổng quát dãy số sau:     ớ      5.3.2  Lời giải Bài 1: Xét A(x) hàm sinh dãy (an) cho, tức A(x) = a0 + a1x + a2x2 +…+ anxn+…  Khi đó:  5x.A(x) = 5a0x + 5a1x2 +5 a2x3 +…+ 5anxn+1 +…  6x2.A(x) = 6a0x2 + 6a1x3 +6 a2x4 +…+ 6anxn+2 +…  85   Do đó:                                     Từ đó ta có: (1 - 5x +6x2)A(x) = -1 +8x, suy ra:   Mặt khác      Nên       A(x) = -1 +3x +…+(5.3n –   –  6.2  6.2n)xn + …  Vậy an = 5.3n –   –  6.2  6.2n vớ i số tự nhiên n ≥ 2.  Bài 2: Số  nghiệm nguyên dƣơng phƣơng trình cho hệ   số  x12 khai triển:                                            ∑      Vậy U12 =   Bài 3: Gọi A(x) hàm sinh c dãy số đã cho Từ giả thiết ta có:     86                      ⇒                Do đó:                                         √ √        √ √         (√ )                n Đồng hệ số của x  ta đƣợ cc::   Mặt khác ta có:     Vậy   Bài 4: Vớ i x, ta có:                               87   Đồng hệ số của x p ở  (1) (2) ta có điều phải chứng minh  Bài 5: G ọi U k  là  là số nghiệm nguyên, không âm thỏa mãn x1     phƣơng trình x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = k Khi Uk  là hệ số của xk  trong khai triển                                             ∑                                                                  Ta có:   k  Do Uk  là hệ số của x  suy Uk  = Vậy số nghiệm ngun khơng âm c    bất phƣơng trình cho thoả  mãn x1  ≥ Bài 6: Xét A(x) = a0 + a1x  + a2x2 + …+ anxn + …,ta có: Do   Vậy   Bài 7: Số  nghiệm vớ i ràng buộc hệ  số  x23 trong khai triển:   Thật vậy, ta nhận đƣợ c số  hạng tổng thứ  nhất, trong tổng thứ  trong tổng thứ ba, vớ i x1, x 2, x3  thoả  mãn phƣơng trình x1+ x2  +x3  = hai, 23 ràng buộc cho Ta có:      88        ,    -                ⇒          ⇒           ⇒ ,-                 Hệ  số  x khai tri ển nghiệm  = Vậy tốn có Bài 8: Xét hàm số        Thay x = ta suy điều phải chứng minh Bài 9: Xét đa thức :                                         ∏      ∏    Ta sẽ đi tìm số nghiệm thuộc {0;1;2;3} phƣơng trình:    Số nghiệm phƣơng trình hệ số của xn trong khai triển sau:   89                                                                            01     ∑     ,  -  ,   -                                  Vậy hệ số của xn Đây số đa thức P(x) thoả mãn đề bài Bài 10: Xét hàm sinh dãy: f(x) = ta có Do điều kiện đề bài nên   Suy ra:                  2n + 2.3n Đồng hệ số suy số hạng tổng quát dãy un =1 –  2 90   K ẾT LUẬ LUẬN Luận văn tậ p tr ung ung sƣu tầm, phân loại, hệ thống, sáng tác, giải toán về  nguyên lý bản, đƣa hệ  thống tậ p phù hợ  p Trong luận văn tác giả tậ p trung vào vấn đề sau: 1.  Nguyên lý Dirichlet: Những toán gi ải phải nhận thỏ  toán gi ải phải nhận cả lồng thỏ 2.  Nguyên lý cho toán đếm: Những toán giải sử  dụng: Nguyên lý cộng, nguyên lý nhân, nguyên lý bù trừ  phép song ánh 3.  Nguyên lý cực trị rời rạc: Phân dạng, áp dụng nguyên lý để giải tốn hình học, giải tốn đại số và số h ọc, tìm cực tr ị rời rạc, thiết lập thứ t ự trên yếu t ố bình đẳng 4.  Nguyên lý xuống thang: Sử  dụng nguyên lý xuống thang cho phương t rình rình nghiệm ngun cho tốn hình học 5.  Phương pháp hàm sinh: Sử dụng phương pháp hàm sinh để tìm số  hạng t ổng quát dãy số cho dạng truy hồi, cho toán chứng minh, rút gọn, cho tốn đếm số nghiệm Các phần có số  ví dụ  điển hình đƣợ c phân dạng số   bài tập tƣơng ứng vớ i lờ i giải chi tiết Thơng qua trình bày luận văn, tác giả đã có điều ki ện h ọc h ỏi thêm nhiều kiến thức cậ p nhật, từ đó giúp tác giả trƣở ng ng thành về nhiều mặt 91   TÀI LIỆ LIỆU THAM KHẢ KHẢO 1.  Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển(2003), S ố  ố h  h ọc thuật toán  toán  Nhà xu ấ t Đại Học Qu ốc Gia Hà Nội.  2.  Phan Huy Khải , Trần Hữu Nam (2009), Bất đẳng thứ c ứ ng ng d ụng,  Nhà xu ấ t Đại Học Qu ốc Gia Hà Nội 3.  Ngô Đắc Tâm(2003), Lý thuy   ế t t  ổ   hợp đồ  thị , Nhà xu ấ t Đại Học Qu ốc Gia Hà Nội ết đại số  sơ 4.  Dương Quốc Việt (chủ  biên), Đàm Văn Nhỉ (2008), Lý thuy ết cấ  p,  p, Nhà xuất Đại Học Sư Phạm Hà Nội 5.  Dương Quốc Việt (chủ biên), Đàm Văn Nhỉ (2008), C ơ sở  lý  lý thuy ếế t  số  và  và đa thứ c, Nhà xuất Đại Học Sư Phạm Hà Nội 6.  Rosen, K.H (dịch Phạm Văn Thiều Đặng Hữu Thịnh năm 2007), Toán học r ờ  ờ i r ạc Ứ ng ng d ụng tin học, Nhà xu ấ t Giáo dục.  ... ⟹ 15   Chƣơng II: NGUYÊN LÝ CƠ BẢN BẢN CHO CÁC BÀI TOÁN ĐẾM ĐẾM 2.1  Nguyên lý đếm: đếm: Bài toán đếm s ố  phần tử  tậ p hợ  p xuất hi ện phổ  biến khoa học nhƣ đờ i sống Nếu số? ?phần tử không... thể đếm số? ?  phần tử  cách liệt kê Tuy nhiên n ếu số? ? phần tử  lớ n cách đếm tr ực tiế p khơng khả  thi Ba nguyên lý cho toán đếm nguyên lý cộng, nguyên lý nhân nguyên lý bù tr ừ.  2.1.1  Nguyên lý. ..  tập số? ?các số? ?ch ẵn số? ?các số? ?lẻ b ằng (quy ƣớ c  là tậ p cân) Hỏi A chƣa tậ p cân? Bài 28: Có thể lập đƣợ c số? ?tự nhiên có ch ữ? ?số? ?khác sau cho chữ? ?số? ?? ?ứng trƣớ c nhỏ hơn chữ? ?số? ?? ?ứng sau Bài