BÀI TẬP VỀ ỨNG DỤNG MỘT SỐ NGUYÊN LÝ CƠ BẢN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI ************ NGUYỄN QUỐC PHƢƠNG BÀI TẬP VỀ ỨNG DỤNG MỘT SỐ NGUYÊN LÝ CƠ BẢN Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số : 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS - TS Dƣơng Quốc Việt HÀ NỘI - 2011 MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU CHƢƠNG I: NGUYÊN LÝ DIRICHLET 1.1 Nguyên lý Dirichlet: 1.2 Một số ví dụ: 1.2.1 Những toán giải phải nhận “lồng”: 1.2.2 Những toán giải phải nhận thỏ lồng: 1.3 Một số tập 1.3.1 Đề 1.3.2 Lời giải 11 CHƢƠNG II: NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CHO CÁC BÀI TOÁN ĐẾM 16 2.1 Nguyên lý đếm: 16 2.1.1 Nguyên lý cộng: 16 2.1.2 Nguyên lý nhân: 16 2.1.3 Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp: 16 2.1.4 Nguyên lý bù trừ: 17 2.2 Một số ví dụ: 18 2.2.1 Các toán sử dụng nguyên lý cộng nhân để giải: 18 2.2.2 Các toán sử dụng hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp để giải: 20 2.2.3 Các toán sử dụng nguyên lý bù trừ để giải: 21 2.2.4 Sử dụng phép song ánh: 21 2.3 Một số tập 23 2.3.1 Đề 23 2.3.2 Lời giải 28 CHƢƠNG III: NGUYÊN LÝ CỰC TRỊ RỜI RẠC 53 3.1 Nguyên lý cực trị rời rạc: 53 3.2 Một số ví dụ: 53 3.2.1 Áp dụng nguyên lý để giải toán hình học: 53 3.2.2 3.2.3 3.2.4 Áp dụng nguyên lý để giải toán số học đại số: 57 Tìm cực trị rời rạc: 59 Thiết lập thứ tự yếu tố bình đẳng 60 3.3 Một số tập: 63 3.3.1 Đề 63 3.3.2 Lời giải 64 CHƢƠNG IV: NGUYÊN LÝ XUỐNG THANG 68 4.1 Nguyên lý xuống thang: 68 4.2 Một số ví dụ: 68 4.2.1 Nguyên lý xuống thang với phƣơng trình nghiệm nguyên 68 4.2.2 Nguyên lý xuống thang hình học 69 4.3 Một số tập 70 4.3.1 Đề 70 4.3.2 Lời giải 71 CHƢƠNG V: PHƢƠNG PHÁP HÀM SINH 78 5.1 Phƣơng pháp hàm sinh 78 5.2 Một số ví dụ: 78 5.2.1 Xác định số hạng tổng quát dãy số truy hồi 78 5.2.2 Phƣơng pháp hàm sinh cho toán chứng minh, rút gọn 80 5.2.3 Phƣơng pháp hàm sinh cho toán đếm số nghiệm 81 5.3 Một số tập 84 5.3.1 Đề 84 5.3.2 Lời giải 85 KẾT LUẬN 91 TÀI LIỆU THAM KHẢO 92 LỜI MỞ ĐẦU Các nguyên lý đơn giản, nhƣng việc vận dụng nhƣ tình cụ thể thật không đơn giản chút Luận văn tập trung sƣu tầm, phân loại, hệ thống, sáng tác, giải toán nguyên lý bản, là: Nguyên lý Dirichlet; Nguyên lý cực trị rời rạc; Nguyên lý xuống thang; Nguyên lý cho toán đếm; Phƣơng pháp hàm sinh đƣa hệ thống tập phù hợp Luận văn đƣợc chia làm chƣơng sau đây:  Chương I: Nguyên lý Dirichlet Chương gồm phần chính: Phát biểu nguyên lý Dirichlet, ví dụ điển hình chia làm loại (những toán giải phải nhận thỏ toán giải phải nhận lồng thỏ) Cuối hệ thống tập chọn lọc có lời giải  Chương II: Nguyên lý cho toán đếm Trước hết nhắc lại nguyên lý cộng, nguyên lý nhân nguyên lý bù trừ, định nghĩa hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Sau ví dụ điển hình cho dạng toán trình bày lời giải cách chi tiết theo cách khác Cuối hệ thống tập với lời giải chi tiết  Chương III: Nguyên lý cực trị rời rạc Chương gồm vấn đề: Phát biểu nguyên lý cực trị rời rạc; Các ví dụ điển hình, phân dạng áp dụng nguyên lý để giải toán hình học, giải toán đại số số học, tìm cực trị rời rạc, thiết lập thứ tự yếu tố bình đẳng Sau số tập chọn lọc với lời giải chi tiết  Chương IV: Nguyên lý xuống thang Chương gồm ba phần chính: Sơ lược nguyên lý xuống thang; Các ví dụ điển hình nguyên lý xuống thang cho phương trình nghiệm nguyên cho toán hình học Cuối hệ thống tập chọn lọc có lời giải chi tiết  Chƣơng V: Phƣơng pháp hàm sinh Chƣơng bao gồm phần: Phần đầu nêu khái niệm hàm sinh kiến thức hỗ trợ Phần gồm ví dụ điển hình sử dụng phƣơng pháp hàm sinh để tìm số hạng tổng quát dãy số cho dƣới dạng truy hồi, sử dụng phƣơng pháp hàm sinh cho toán chứng minh, rút gọn sử dụng phƣơng pháp hàm sinh cho toán đếm số nghiệm Phần hệ thống tập có lời giải Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Dƣơng Quốc Việt, ngƣời thầy tận tình hƣớng dẫn tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận văn Hà nội, ngày 15 tháng năm 2011 Tác giả CHƢƠNG I: NGUYÊN LÝ DIRICHLET 1.1 Nguyên lý Dirichlet: Khi giải số toán số học hình học đƣợc làm quen với nguyên lí tiếng tồn tại, nguyên lí Dirichlet hay gọi “Nguyên lí Lồng Thỏ” Nguyên lí đƣợc phát biểu nhƣ sau: Phát biểu 1: Không thể nhốt thỏ vào lồng, cho lồng không Phát biểu 2: Có 10 lồng, nhốt đƣợc nhiều 10 có 101 thỏ có thỏ lồng Phát biểu 3: Nếu k lồng chứa kn+1 thỏ, tồn lồng chứa n+1 thỏ .… Tuy đƣợc phát biểu dƣới nhiều dạng khác nhƣng cốt nguyên lí tồn Nguyên lí không xác định đƣợc xác đối tƣợng nhƣng việc tồn mang lại nhiều ý nghĩa sống nhƣ toán học Cái khó nguyên lý phải nhận biết đƣợc tự sáng tạo “lồng” “thỏ” Các yếu tố “thỏ” “lồng” thƣờng bị che khuất, chúng đòi hỏi ngƣời giải phải tự phát 1.2 Một số ví dụ: 1.2.1 Những toán giải phải nhận “lồng”: Ví dụ 1: Chứng minh n + số nguyên dƣơng phân biệt không vƣợt 2n, có số nguyên tố Lời giải: Chia số từ đến 2n thành n tập hợp * +;{3;4};…;{2n-1;2n} Vì ta có n+1 số nên theo nguyên lý Dirichlet có số tập hợp Rõ ràng hai số nguyên tố Trong lời giải ta sáng tạo n lồng,đó n tập hợp Ví dụ 2: Cho hình vuông 13 đƣờng thẳng phân biệt cho đƣờng thẳng chia hình vuông thành tứ giác có tỉ số diện tích 2:3 Chứng minh có đƣờng thẳng số 13 đƣờng thẳng cho đồng quy Lời giải: Nếu đƣờng thẳng chia hình vuông thành tứ giác có tỉ số diện tích 2:3 phải qua điểm nằm đƣờng nối trung điểm hai cạnh đối diện hình vuông chia đoạn theo tỉ số 2:3 Trong hình vuông có tất điểm nhƣ 13 đƣờng thẳng cho qua điểm Theo nguyên lý Dirichlet, đƣờng thẳng số 13 đƣờng thẳng cho đồng quy ⟹ điều phải chứng minh Ví dụ 3: Cho a, b, c, d, e, f, g, h, k số thực khác 0, x, y biến, đặt A = ax + by + c, B = dx + ey + f, C = gx + hy + k Chứng minh hệ sau có hệ vô nghiệm: { ,{ ,{ , { , { ,{ , { ,{ Lời giải: Mỗi miền nghiệm hệ tƣơng ứng với miền mở mặt phẳng, bị giới hạn ba đƣờng thẳng có phƣơng trình A = 0; B = 0; C = Vì đƣờng thẳng phân mặt phẳng thành tối đa miền nên hệ cho có hệ vô nghiệm Ví dụ 4: Ngƣời ta tung ngẫu nhiên nhiều 200 viên sỏi vào mảnh đất hình vuông có diện tích 100m2 Chứng minh tồn viên thẳng hàng lập thành đỉnh tam giác có diện tích không vƣợt 0,5m2 Lời giải: Ta chia đám đất thành 100 ô vuông đƣờng thẳng song song với cạnh hình vuông Vì số viên sỏi lớn 200 nên có ba viên A; B; C thuộc ô vuông Nếu A, B, C không thẳng hàng chúng lập thành tam giác nằm hình vuông có độ dài 1m Do diện tích không vƣợt 0,5m2 Trong lời giải toán ta phải sáng tạo 100 lồng, 100 ô vuông Ví dụ 5: Với n số nguyên dƣơng cho trƣớc, chứng minh n + số nguyên dƣơng tùy ý, tồn số có hiệu chia hết cho n Lời giải: Nhận xét số dƣ có đƣợc mang chia n + số nguyên cho n 0,1,2,…,n – Vì phải có hai số chia cho n có số dƣ Do hiệu hai số phải chia hết cho n Số lồng mà ta cần nhận toán n 1.2.2 Những toán giải phải nhận thỏ lồng: Ví dụ 1: Chứng minh tồn số nguyên dƣơng n, không vƣợt 2010, để 2n – chia hết cho 2011 Lời giải: Xét dãy = 2i, i = 1,2,3,…,2011 Nhận thấy số dãy không chia hết cho 2011 Vì vậy, mang số chia cho 2011 số dƣ nằm tập 2010 số { 1,2,3,…,2010} Do có 2011 số nên phải có số at > ah chia cho 2011có số dƣ Đặt n = t – h, n < 2011 at – ah = ah(2n – 1) chia hết cho 2011, nên 2n – chia hết cho 2011 Mấu chốt ta phải tạo 2011 thỏ = 2i, i =1,2,3,…,2011 2010 lồng {1,2,3, ,2010} Ví dụ 2: Chứng minh n + số nguyên dƣơng không vƣợt 2n, tồn hai số cho số bội số kia(Bài toán Erdos) Lời giải: Gọi số cho a1,a2,…,an+1 Bây ta phân tích số dạng tiêu chuẩn: = bi với bi số tự nhiên lẻ, i = 1,2,3,…,n+1 Nhƣ ta đƣợc n + số tự nhiên lẻ b1, b2,…,bn+1 không vƣợt 2n Nhƣ vậy, 2n số nguyên dƣơng đầu tiên, có n số lẻ, số b1,b2,…,bn+1 phải có hai số nhƣ nhau, chẳng hạn bj = bm = b Khi aj = b am = b có số bội số Đây toán mà giải ta phải nhận n lồng, n số lẻ nằm số không vƣợt 2n, sáng tạo n + thỏ b1, b2,…,bn+1 Ví dụ 3: Ngƣời ta sơn tất cạnh đƣờng chéo hình lục giác lồi hai màu khác nhau, cạnh đƣờng chéo đƣợc sơn màu Chứng minh tồn tam giác có ba cạnh màu Lời giải: Giả sử lục giác ABCDEF hai màu sơn xanh đỏ Trong đoạn AB,AC,AD,AE,AF phải có ba đoạn đƣợc sơn màu Chẳng hạn đoạn AB,AC,AD, đƣợc sơn màu đỏ Ta xét tiếp đoạn BC,CD,DB Nếu ba đoạn có đoạn đƣợc sơn màu đỏ, chẳng hạn BC, ba cạnh tam giác ABC đƣợc sơn màu đỏ Nếu ba đoạn BC,CD,DB đoạn sơn màu đỏ phải đƣợc sơn toàn màu xanh tam giác BCD có ba cạnh đƣợc sơn màu xanh 1.3 Một số tập 1.3.1 Đề Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ cho đa giác lồi có số cạnh không nhỏ tất đỉnh có tọa độ nguyên(ta gọi chúng điểm nguyên) Chứng minh bên cạnh đa giác có điểm nguyên khác Bài 2: Trong mặt phẳng cho 25 điểm cho từ điểm số chúng tìm đƣợc hai điểm có khoảng cách nhỏ Chứng minh tồn hình tròn có bán kính chứa không 13 điểm Bài 3: Giả sử a,b,x0 số tự nhiên khác Chứng minh rằng, dãy x0, x1= ax0+b, x2 = ax1+b,…,xn= axn-1+b,…có vô hạn số hợp số Bài 4: Chứng minh x1,x2,…,x12 nghiệm hệ bất phƣơng trình: { ( ( ) ) ( ) có số âm Bài 5: Chứng minh hình tròn có bán kính 1, có nhiều điểm cho khoảng cách điểm chúng lớn Bài 6: Cho 40 số nguyên dƣơng a1,a2,….,a19 b1,b2,…,b21 thỏa mãn: { Chứng minh tồn số ai, aj,bk,bl cho { Bài 7: Tại vòng chung kết cờ vua có bạn thí sinh thi đấu theo thể thức vòng tròn( hai thí sinh phải thi đấu với ván) Chứng minh thời điểm thi có thí sinh có số ván đấu nhƣ Bài 8: Một cửa hàng đồ điện ngày bán đƣợc quạt tuần bán đƣợc không 12 Chứng minh số ngày liên tiếp cửa hàng bán đƣợc tổng số 20 quạt Bài 9: Cho dãy số u1,u2,…,un ui thỏa mãn điều kiện sau: Bất kỳ số liên tiếp từ dãy số cho không trùng Chứng minh n ≤ 36 Bài 10: Cho dãy gồm 4n số dƣơng có tính chất: số khác dãy lập thành cấp số nhân Chứng minh dãy số phải có n số 10 Chƣơng V: PHƢƠNG PHÁP HÀM SINH Hàm sinh sáng tạo có nhiều ứng dụng toán rời rạc Dùng hàm sinh ta chuyển số toán dãy số thành toán hàm số Điều tuyệt vời có tay cỗ máy lớn để làm việc với hàm số Nhờ vào hàm sinh, áp dụng cỗ máy vào toán dãy số Bằng cách này, sử dụng hàm sinh việc giải dạng toán phép đếm 5.1 Phƣơng pháp hàm sinh Cho dãy số hữu hạn hay vô hạn g0, g1, g2, g3, … chuỗi luỹ thừa G(x) = g0 + g1x + g2x2 + g3x3 …đƣợc gọi hàm sinh dãy cho Khái niệm quan trọng làm sở cho việc nghiên cứu phát triển phƣơng pháp chuỗi lũy thừa hình thức Phép màu hàm sinh nằm chỗ ta chuyển phép toán thực dãy số thành phép toán thực hàm sinh tƣơng ứng chúng Sau số kiến thức hỗ trợ: a) Quy tắc xoắn: Gọi A(x) hàm sinh cho cách chọn phần tử từ tập hợp A B(x) hàm sinh cho cách chọn phần tử từ tập hợp B Nếu A B rời hàm sinh cho cách chọn phần tử từ A ∪ B A(x)B(x) Quy tắc xoắn có cách phát biểu khác: Nếu dãy a0, a1, a2, … có hàm sinh f(x) dãy b0, b1, b2, … có hàm sinh g(x) xoắn chúng, dãy c0, c1, c2, … với cn = a0bn +a1bn-1 +…+anb0 có hàm sinh f(x)g(x) b) Chuỗi Mac Laurin hàm số f(x): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5.2 Một số ví dụ: 5.2.1 Xác định số hạng tổng quát dãy số truy hồi Ví dụ 1: Tìm số hạng tổng quát dãy số nguyên {an} cho { 78 Lời giải: Hàm sinh dãy: {an} f(x) = ∑ (1) Ta có f(x) = a1x + a2x2 + … + )xn + … = a1x + a1x2 + (a2 + a1)x3 + … + ( = x + x f(x) + x2f(x) + … + xnf(x) + … = x + (x + x2 + x3 + …+ xn +…)f(x) =x+ / ( ) Từ ( ) ( ) Ta có ( ) ( ) ∑ Do ( ) ( )∑ ( ) ∑ Đồng hệ số xn (1) (2) suy an = 2n-2, n ≥ Ví dụ 2: Tìm số hạng tổng quát dãy số Fibonacci {fn}n≥0 xác định bởi: f0= 1; f1 = 1; fn+2 = fn + fn+1 với n ≥ Lời giải: Hàm sinh dãy: ( ) ∑ Do điều kiện dãy ta có x + xF(x) + x2F(x) = F(x) Từ ta có: √ ( ) √ ) ( √ { 79 ⟹ ( ) √ ,( ) ( )- Từ suy ra: √ √ √ [( ) √ ( ) ] 5.2.2 Phƣơng pháp hàm sinh cho toán chứng minh, rút gọn Ví dụ 1: Chứng minh rằng: ∑( Lời giải: ) t ( ) ( ∑ l h m sinh ủ dãy , ( )- ( ) Ta có ) ( ) ∑ Hệ số xn khai triển (1) , ( )- ( ) ( ) (∑ Hệ số xn khai triển (2) ∑ ( ) (∑ ) ( ) ) Vì hệ số xn khai triển (1) (2) nhƣ nên ta nhận đƣợc điều phải chứng minh Ví dụ 2: Rút gọn: ∑ Lời giải: t 80 ( ) ( ∑ l h m sinh ủ dãy ) Ta có ( ) ( ) ( ) ∑ Thay x = vào (1) ta nhận đƣợc ∑ 5.2.3 Phƣơng pháp hàm sinh cho toán đếm số nghiệm Ví dụ 1: Tìm số nghiệm nguyên không âm phƣơng trình: x1 +x2 +x3 + … + xd = n (1) Lời giải: Ký hiệu Un số nghiệm nguyên không âm phƣơng trình (1) Khi ta có hàm sinh dãy với số hạng dạng {Un} ( ) ∑ ( ) ( ) ∑ Vậy Từ ví dụ ta đến toán tổng quát sau: Ví dụ 2: Tìm số nghiệm nguyên dƣơng phƣơng trình sau: a1x1 + a2x2 + a3x3 + … + adxd = n (1) Lời giải: Ký hiệu Un số nghiệm nguyên dƣơng phƣơng trình (1) Khi ta có hàm sinh dãy là: ∑ ( ) ( ) Khi Un hệ số xn khai triển (2) Vậy toán đƣợc giải 81 Ví dụ 3: Có cách khác để phân phối bánh giống cho ba em bé khác nhau, cho em nhỏ nhận đƣợc nhiều bánh? Lời giải: Nếu cách phân phối bất kỳ, em thứ i nhận đƣợc xi bánh ta có x1 + x2 + x3 = với xi ϵ {2;3;4} Vì em nhỏ nhận đƣợc nhiều bánh nên coi em nhỏ ứng với thừa số x2 + x3 + x4 Vì cần phân phối bánh cho em nhỏ nên số cách phân phối hệ số x8 khai triển (x2 + x3 + x4)3 Dễ tính đƣợc hệ số với x8 Vậy có cách phân phối bánh thỏa mãn toán Ví dụ 4: Có cách khác để phân phối bánh giống cho ba em bé có nữ nam, cho em nhỏ nhận đƣợc nhiều bánh em nữ có số bánh nhƣ nhau? Lời giải: Số cách phân phối số nghiệm nguyên dƣơng phƣơng trình x + 2y = với x, y ϵ {2,3,4} Nếu ta coi x ứng với thừa số x2 + x3 + x4 2y ứng với thừa số x4 + x6 + x8 Khi số cách phân phối bánh hệ số x8 khai triển (x2 + x3 + x4)( x4 + x6 + x8) Dễ dàng tính đƣợc hệ số x8 Vậy có cách phân phối bánh thỏa mãn toán Ví dụ 5: Tìm số nghiệm nguyên không âm phƣơng trình x1 + x2 + x3 = 23 (1) thỏa mãn điều kiện ≤ x1 ≤ 7; ≤ x2 ≤ 8; ≤ x3 ≤ Lời giải: Số nghiệm với ràng buộc hệ số x23 khai triển T=(x4 + x5 + x6 + x7)(x5 + x6 + x7 + x8)(x6 + x7 + x8 + x9) Thật vậy, nhận đƣợc số hạng tổng thứ nhất, số hạng tổng thứ hai, số hạng tổng thứ 3, với x1, x2, x3 thỏa mãn phƣơng trình (1) ràng buộc cho Ta cần tìm hệ số x23 khai triển Ta có: 82 T = x4.x5.x6.(1 + x + x2 + x3)3 = x15[(1+x)(1+x2)]3 Hệ số x23 khai triển nghiệm Do toán có Ví dụ 6: Dùng hàm sinh để chọn r vật thuộc n loại khác nhau(n ≤ r), ta cần chọn vật thuộc loại Lời giải: Bài toán trở thành tìm số nghiệm nguyên dƣơng phƣơng trình: x1 + x2 + … + xn = r với xi ≥ với i = 1,2,…,n Coi loại ứng với nhân tử x + x2 + … hàm sinhG(x) dãy (ar), với ar số cách chọn r vật thuộc n loại khác Khi ta có: G(x) = (x + x2 + …)n = xn(1 + x + x2 +…)n ( ∑ ) ∑ Đặt i = k + n, đó: ( ) Hệ số với xr ∑ Vậy số cách chọn r vật Ví dụ 7: Có cách giỏ trái gồm n thỏa mãn đồng thời điều kiện sau:  Số táo phải chẵn,  Số chuối phải chia hết cho 5,  Chỉ có nhiều cam,  Chỉ có nhiều đào Lời giải: Trƣớc hết, ta tìm hàm sinh cho số cách chọn táo Có cách chọn táo, có cách chọn táo, có cách chọn táo, có cách chọn táo, có cách chọn táo, Nhƣ ta có hàm sinh cho số cách chọn táo là: 83 ( ) Tƣơng tự, hàm sinh cho số cách chọn chuối là: ( ) )quả cam cho lần, nhƣng ta không chọn nhiều Ta chọn i (i= cam Vì vậy, hàm sinh số cách chọn cam là: ( ) Tƣơng tự, hàm sinh cho số cách chọn đào là: ( ) Theo quy tắc xoắn, hàm sinh cho số cách chọn loại là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Vậy số cách giỏ trái n+1 5.3 Một số tập 5.3.1 Đề Bài 1: Tìm công thức tổng quát dãy số (an) đƣợc cho bởi: { ế Bài 2: Tìm số nghiệm nguyên dƣơng phƣơng trình : a+ b + c+ d = 12 với a ≤ 5; b ≤ Bài 3: Tìm số hạng tổng quát dãy số sau: { 84 Bài 4: Chứng minh với số m, n, p nguyên dƣơng cho p m, ta có: n p Bài 5: Tìm số nghiệm nguyên không âm bất phƣơng trình: Thoả mãn x1 Bài 6: Tìm công thức tổng quát dãy số (an) đƣợc cho : { ế ( ) Bài 7: Tìm số nghiệm nguyên không âm phƣơng trình x1 + x2 + x3 = 23 Thoả mãn điều kiện: Bài 8: Rút gọn biểu thức: Bài 9: Cho n số tự nhiên khác Tìm đa thức P(x) với hệ số thuộc {0;1;2;3} cho P(2) = n Bài 10: Tìm số hạng tổng quát dãy số sau: { 5.3.2 Lời giải Bài 1: Xét A(x) hàm sinh dãy (an) cho, tức A(x) = a0 + a1x + a2x2 +…+ anxn+… Khi đó: 5x.A(x) = 5a0x + 5a1x2 +5 a2x3 +…+ 5anxn+1 +… 6x2.A(x) = 6a0x2 + 6a1x3 +6 a2x4 +…+ 6anxn+2 +… 85 Do đó: ) ( ) ( ( ) ∑( ) Từ ta có: (1 - 5x +6x2)A(x) = -1 +8x, suy ra: ( ) Mặt khác ( ) ( ) Nên A(x) = -1 +3x +…+(5.3n – 6.2n)xn + … Vậy an = 5.3n – 6.2n với số tự nhiên n ≥ Bài 2: Số nghiệm nguyên dƣơng phƣơng trình cho hệ số x12 khai triển: ∑ ( )( ( )( ) ( ( ) ) )∑ Vậy U12 = Bài 3: Gọi A(x) hàm sinh dãy số cho ( ) Từ giả thiết ta có: 86 ∑ ∑ ⇒ ∑ ∑ ( ) ( ) ∑ Do đó: ( ) ( (∑ ( ( ) ) ∑( ( ) ) ) ) Đồng hệ số xn ta đƣợc: ( ) ( ) Mặt khác ta có: √ ( ) √ ( ) Vậy ( √ ) Bài 4: Với x, ta có: ( ( ) ( ) ) ∑ ∑ ∑ ( ) ∑ [(∑ 87 ) ] ( ) Đồng hệ số xp (1) (2) ta có điều phải chứng minh Bài 5: Gọi Uk số nghiệm nguyên, không âm thỏa mãn x1 trình phƣơng x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = k Khi Uk hệ số xk khai triển ( ) ( )( ) ( ) Ta có: ( ) ( ∑ ) ∑ Do Uk hệ số xk suy Uk = Vậy số nghiệm nguyên không âm ∑ bất phƣơng trình cho thoả mãn x1 ≥ n Bài 6: Xét A(x) = a0 + a1x + a2x + …+ anx + …,ta có: ( ) ( ) ( ) Do ( ) ( ( ) ) Vậy ( ) Bài 7: Số nghiệm với ràng buộc hệ số x23 khai triển: ( )( )( ) Thật vậy, ta nhận đƣợc số hạng tổng thứ nhất, tổng thứ hai, tổng thứ ba, với x1, x2, x3 thoả mãn phƣơng trình x1+ x2 +x3 = 23 ràng buộc cho Ta có: 88 ( ) ,( )( )- = Vậy toán có Hệ số x khai triển nghiệm Bài 8: Xét hàm số ( ) ⇒ ( ( ) ) ∑ ( ) ∑ ⇒ ( ) ( ) ⇒, ( )- ( ) ( ∑ ) ( ) ∑ Thay x = ta suy điều phải chứng minh Bài 9: Xét đa thức : ( ) Ta tìm số nghiệm thuộc {0;1;2;3} phƣơng trình: Số nghiệm phƣơng trình hệ số xn khai triển sau: ( ) ( )( )( ) ∏( 89 ∏ ) ( )( ) ( ( ) ( ∑( Vậy hệ số xn ( ) ) ) ) Đây số đa thức P(x) thoả mãn đề Bài 10: Xét hàm sinh dãy: f(x) = ∑ ta có ( ) ∑( (∑ ) ) Do điều kiện đề nên ∑( ) , ( ) - , ( ) - ( ) Suy ra: ( ) ∑ ∑ ∑( ∑ ) Đồng hệ số suy số hạng tổng quát dãy un =1 – 2n + 2.3n 90 KẾT LUẬN Luận văn tập trung sƣu tầm, phân loại, hệ thống, sáng tác, giải toán nguyên lý bản, đƣa hệ thống tập phù hợp Trong luận văn tác giả tập trung vào vấn đề sau: Nguyên lý Dirichlet: Những toán giải phải nhận thỏ toán giải phải nhận lồng thỏ Nguyên lý cho toán đếm: Những toán giải sử dụng: Nguyên lý cộng, nguyên lý nhân, nguyên lý bù trừ phép song ánh Nguyên lý cực trị rời rạc: Phân dạng, áp dụng nguyên lý để giải toán hình học, giải toán đại số số học, tìm cực trị rời rạc, thiết lập thứ tự yếu tố bình đẳng Nguyên lý xuống thang: Sử dụng nguyên lý xuống thang cho phương trình nghiệm nguyên cho toán hình học Phương pháp hàm sinh: Sử dụng phương pháp hàm sinh để tìm số hạng tổng quát dãy số cho dạng truy hồi, cho toán chứng minh, rút gọn, cho toán đếm số nghiệm Các phần có số ví dụ điển hình đƣợc phân dạng số tập tƣơng ứng với lời giải chi tiết Thông qua trình bày luận văn, tác giả có điều kiện học hỏi thêm nhiều kiến thức cập nhật, từ giúp tác giả trƣởng thành nhiều mặt 91 TÀI LIỆU THAM KHẢO Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển(2003), Số học thuật toán Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội Phan Huy Khải , Trần Hữu Nam (2009), Bất đẳng thức ứng dụng, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội Ngô Đắc Tâm(2003), Lý thuyết tổ hợp đồ thị, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội Dương Quốc Việt (chủ biên), Đàm Văn Nhỉ (2008), Lý thuyết đại số sơ cấp, Nhà xuất Đại Học Sư Phạm Hà Nội Dương Quốc Việt (chủ biên), Đàm Văn Nhỉ (2008), Cơ sở lý thuyết số đa thức, Nhà xuất Đại Học Sư Phạm Hà Nội Rosen, K.H (dịch Phạm Văn Thiều Đặng Hữu Thịnh năm 2007), Toán học rời rạc Ứng dụng tin học, Nhà xuất Giáo dục 92 [...]... yêu cầu Bài 6: Gọi A là tập hợp các số tự nhiên không vƣợt quá 100, B là tập các số trong A và là số lẻ, C là tập các số trong A và là bình phƣơng của một số nguyên, D là tập các số trong A và là lập phƣơng của một số nguyên Khi đó số các số cần tìm bằng│B∪C∪D│.Ta có│B│=50;│C│=10;│D│= 4;│B∩ C│= 5;│C∩D│= 3;│B∩D│= 2; │B∩C∩D│=1 nên theo nguyên lý bù trừ │B∪C∪D│ = 56 Vậy số các số cần tìm là 56 30 Bài 7:... chữ số 1, n chữ số 2 và không có một chữ số nào khác Gọi N là tập tất cả các số viết trong hệ thập phân có n chữ số, chỉ chứa các số 1, 2, 3, 4 và số các chữ số 1 bằng số các chữ số 2 Chứng minh rằng │M│ =│N│ Lời giải: Ta sẽ xây dựng một song ánh giữa M và N nhƣ sau: Với mỗi số có n chữ số thuộc N cho tƣơng ứng với một số có 2n chữ số thuộc M theo quy tắc sau: Đầu tiên, viết hai phiên bản của số này... nhất một điểm trùng tâm 15 Chƣơng II: NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CHO CÁC BÀI TOÁN ĐẾM 2.1 Nguyên lý đếm: Bài toán đếm số phần tử của một tập hợp xuất hiện khá phổ biến trong khoa học cũng nhƣ trong đời sống Nếu số phần tử không nhiều thì ta có thể đếm số phần tử của nó bằng cách liệt kê Tuy nhiên nếu số phần tử của nó lớn thì cách đếm trực tiếp là không khả thi Ba nguyên lý cơ bản nhất cho các bài toán đếm là nguyên. .. chữ số 1 và n chữ số 2 thuộc M, ta cắt n chữ số đầu và n chữ số cuối rồi cộng chúng theo cột theo quy tắc: 1 + 1 = 2, 2+ 2 = 1, 1 + 2 = 3, 2 + 1 = 4 ta thu đƣợc một số có n chữ số gồm các chữ số 1, 2, 3, 4 với số các chữ số 1 bằng số các chữ số 2 Vậy ta đã thiết lập đƣợc song ánh giữa M và N và │M│ =│N│ 2.3 Một số bài tập 2.3.1 Đề bài Bài 1: Một tốp có 30 nam và 15 nữ Hỏi có bao nhiêu cách lập ra một. .. hết cho 3 Bài 26: Cho một số hữu tỷ, viết nó dƣới dạng phân số tối giản rồi tính tích của tử số và mẫu số Hỏi có bao nhiêu số hữu tỷ nằm giữa 0 và 1 mà kết quả của phép nhân trên là 20! Bài 27: Cho tập A = {1, 2, 3,…., 2n} Một tập con B của A gọi là cân nếu trong tập đó số các số chẵn và số các số lẻ bằng nhau (quy ƣớc là tập cân) Hỏi A chƣa bao nhiêu tập cân? Bài 28: Có thể lập đƣợc bao nhiêu số tự nhiên... thành số có 2n chữ số Sau đó, các chữ số 3 ở n chữ số đầu đƣợc đổi thành chữ số 1, chữ số 3 ở n chữ số sau đƣợc đổi thành chữ số 2 Tƣơng tự, chữ số 4 ở n chữ số đầu đƣợc đổi thành chữ số 2, còn chữ số 4 ở n chữ số sau đƣợc đổi thành chữ số 1 22 Nhƣ thế, ta thu đƣợc một số có đúng n chữ số 1 và n chữ số 2 Rõ ràng đây là đơn ánh từ N vào M Để chứng minh song ánh ta xây dựng ánh xạ ngƣợc nhƣ sau: Với mỗi số. .. đƣợc bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau sau cho chữ số ứng trƣớc luôn lớn hơn chữ số ứng sau Lời giải: Mỗi tập hợp gồm 4 chữ số tự nhiên khác nhau đều lập đƣợc duy nhất một số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán, ngƣợc lại, từ mỗi số tự nhiên thỏa 21 mãn yêu cầu bài toán ta cũng đƣợc lập từ một tập hợp duy nhất gồm 4 chữ số tự nhiên khác nhau Do đó số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là =.. .Bài 11: Số hạng thứ nhất và công sai d ≠ 0 của một cấp số cộng có vô hạn số hạng là các số nguyên Chứng minh rằng tồn tại một số hạng của dãy mà biểu diễn thập phân của nó chứa chữ số 9 Bài 12: Cho dãy số nguyên u1,u2,…,un với n ≥ 2 Chứng minh rằng tồn tại dãy con trong đó 1 ≤ k1 < … < km ≤ n sao cho n Bài 13: Chứng minh rằng không tồn tại một dãy tăng các số tự nhiên u1; u2; u3;... = d6 = d7 Do đó theo nguyên lý bù trừ ta có: | ∪ | | | | | | | Bài 11: Cách 1: Xét bộ số 0, 1, 1, 1, 2, 3,4 mỗi một hoán vị của bộ số trên mà số 0 không ứng đầu cho ta một số đúng Số hoán vị từ 7 chữ số trên là 7! Số hoán vị mà chữ số 0 ứng ở đầu là 6! Trong bộ số có 3 chữ số 1 khi hoán vị các số 1 cho nhau thực chất hoán vị không đổi nên mỗi hoán vị trên đƣợc tính 3! lần Vậy số cách lập thoả mãn... là nguyên lý bù trừ Nó cho phép tính qua các Nm trong trƣờng hợp các số này dễ tính toán hơn Ngoài các nguyên lý trên ta còn có thể sử dụng phép song ánh, phương pháp đếm bằng hệ thức truy hồi,… 2.2 Một số ví dụ: 2.2.1 Các bài toán sử dụng nguyên lý cộng và nhân để giải: Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên a) Lẻ có 4 chữ số, đôi một khác nhau b) Chẵn có bốn chữ số đôi một khác nhau Lời giải: a) Mỗi số ... cách xếp thoả mãn yêu cầu Bài 6: Gọi A tập hợp số tự nhiên không vƣợt 100, B tập số A số lẻ, C tập số A bình phƣơng số nguyên, D tập số A lập phƣơng số nguyên Khi số số cần tìm bằng│B∪C∪D│.Ta... Ucraina 1996) Gọi M tất số nguyên dƣơng viết hệ thập phân có n chữ số 1, n chữ số chữ số khác Gọi N tập tất số viết hệ thập phân có n chữ số, chứa số 1, 2, 3, số chữ số số chữ số Chứng minh │M│ =│N│... chẵn số số lẻ (quy ƣớc tập cân) Hỏi A chƣa tập cân? Bài 28: Có thể lập đƣợc số tự nhiên có chữ số khác sau cho chữ số ứng trƣớc nhỏ chữ số ứng sau Bài 29: Có thể lập đƣợc số tự nhiên có chữ số