Ví dụ 1: Giải phƣơng trình nghiệm nguyên sau đây:
8x4 + 4y4 + 2z4 = u4.
Lời giải: Trƣớc hết ta thấy ngay phƣơng trình này có một nghiệm (0;0;0;0). Ta sẽ chứng minh đƣợc rằng không có nghiệm nào khác. Thật vậy, giả sử nó có nghiệm khác nghiệm trên thì phải tồn tại nghiệm có dạng (a,b,c,d) với d > 0. Theo tính chất của số tự nhiên, thì trong số tất cả các nghiệm nhƣ vậy ắt phải có nghiệm (m,n,p,q) với q nguyên dƣơng nhỏ nhất. Ta thấy ngay q chẵn và giả sử q = 2s > 0. Khi đó ta có 4m4 + 2n4 +p4 = 8s4. Từ đẳng thức này rút ra p chẵn, p = 2t. Lại thay vào đẳng thức vừa có, ta rút ra 2m4 + n4 + 8t4 = 4s4⇒
n chẵn, giả sử n = 2.v ⇒ m4 + 8v4 + 4t4 = 2s4 ⇒ m chẵn ⇒ m = 2w ⇒ 8w4 + 4v4 + 2t4 = s4. Đẳng thức này chứng tỏ (w,v,t,s) cũng là nghiệm của phƣơng trình đã cho, nhƣng với s < q(mâu thuẫn).
Ví dụ 2: Chứng minh rằng phƣơng trình x4 + y4 = z2 (1) không có nghiệm nguyên (x, y, z) với xyz ≠ 0.
69
Lời giải: Nhận xét rằng nếu (1) có nghiệm nguyên (x, y, z) với xyz ≠ 0 thì nó
sẽ có nghiệm (x, y, z) với x, y, z nguyên dƣơng và từng đôi một nguyên tố cùng nhau, cùng với x lẻ và y chẵn. Để cho thuận tiện, ta chỉ nhắc đến loại nghiệm này của (1). Giả sử (x,y,z) là một nghiệm của (1)với z nhỏ nhất. Khi đó (x2
, y2,z) là một nghiệm của phƣơng trình u2 + v2 = w2 (2). Do đó tồn tại cặp (a, b) với a > b nguyên tố cùng nhau, chẵn lẻ khác nhau sao cho x2 = a2 – b2; y2 = 2ab; z = a2 + b2 (tính chất nghiệm của phƣơng trình (2). Vì x lẻ nên a lẻ. do a và 2b nguyên tố cùng nhau, nên từ y2 =- 2ab ta rút ra a = t2 và 2b = s2. Từ x2 = a2 – b2 ta cũng thấy ngay (x, b, a) là nghiệm của (2). Lại do x lẻ nên x = m2 – n2; b = 2mn; a = m2 + n2 trong đó m, n nguyên tố cùng nhau và chẵn,
lẻ khác nhau. Từ a = t2 và 2b = s2 ta có mn = . / Do m, n nguyên tố cùng nhau, nên m = p2 và n = q2. Cùng với a = m2+ n2 = t2, ta suy ra (p, q, t) là nghiệm của (1). Để ý rằng t = √ √ ⇒ mâu thuẫn.