Lời giải: Giả sử trái lại chỉ có hữu hạn các số nguyên tố dạng 4n + 3 và gọi S
là tập tất cả các số nguyên tố này. Đƣơng nhiên 3 ϵ S, nên S ≠ . Gọi p là số A2 A1 A3 A C B 1 4 2 3 6 5
58
lớn nhất của S và xét số A = 4p! -1. Ta thấy ngay mọi số thuộc S đều không là ƣớc của A, A S. Lại do A là dạng trên nên A phải có ƣớc nguyên tố dạng 4n + 3. Giả sử ƣớc nguyên tố này là q, thì q S. nhƣ vậy q > p ⇒ mâu thuẫn.
Ví dụ 2: Có n đội bóng đấu với nhau theo nguyên lý vòng tròn, tức là mỗi đội phải đấu với tất cả các đội còn lại. biết rằng trong mỗi trận đấu không có hòa. Chứng minh rằng luôn có thể xếp thứ tự tên các đội theo một cột dọc sao cho đội đứng trƣớc luôn thắng đội đứng sau.
Lời giải: Gọi S là tập tất cả cách xếp một số đội trong n đội trên theo cột dọc
sao cho đội đứng trƣớc luôn thắng đội đứng sau. Do S là hữu hạn và khác rỗng, cho nên sẽ tồn tại cách sắp xếp có tên nhiều đội nhất. Ta sẽ chứng minh đƣợc rằng cách sắp xếp này phải có tên nhiều đội nhất. Thật vậy, nếu cách sắp xếp trên chỉ có t < n đội, lần lƣợt là D1, D2, …, Dt . Bây giờ, đƣơng nhiên tồn tại một đội D nằm ngoài danh sách đã chọn. D không thể thắng D1, vì nếu thắng D1 thì danh sách sẽ dài hơn: D; D1, D2, …, Dt. D cũng không thể thắng D2, vì nếu D thắng D2 thì do D thua D1 nên ta có cách sắp xếp dài hơn: D1, D, D2, …, Dt. Tiếp tục quá trình trên ta rút ra đƣợc D phải thua Dt, nhƣng khi đó ta lại đƣợc danh sách dài hơn: D1, D2, …, Dt, D. Trong mọi trƣờng hợp ta đều dẫn đến vô lý. Vậy t = n ⇒ điều phải chứng minh.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng mọi số nguyên n > 1, thì 2n – 1 không chia hết cho n.
Lời giải: Giả sử tồn tại số nguyên n > 1 là sao cho 2n – 1 n . Khi đó n là số lẻ. Gọi p là ƣớc nguyên tố nhỏ nhất của n, thì p lẻ. Theo định lý Fermat nhỏ ta có 2p-1-1 p. Bây giờ, gọi k là số nguyên dƣơng nhỏ nhất sao cho 2k -1 p. Rõ ràng k ≤ p – 1 < p. Ta sẽ chứng minh đƣợc n k . Thật vậy, nếu n = kq + r với 0 < r < k thì ta có ( ) ⇒ 2r – 1 n nên 2r – 1 p . Điều này mâu thuẫn với việc chọn k.
59