a) Góc nhỏ nhất, lớn nhất:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng 4 đƣờng tròn có đƣờng kính là 4 cạnh của tứ giác
lồi thì phủ kín tứ giác đã cho.
Lời giải: Lấy M là một điểm tùy ý của tứ giác lồi ABCD. Có 2 khả năng xảy
ra:
M ϵ biên của tứ giác, thì suy ra M ϵ hình tròn đƣờng kính là cạnh chứa M suy ra M bị phủ bởi đƣờng tròn này.
Mϵ miền trong tứ giác ABCD. Khi đó ta có:
̂ + ̂ + ̂ ̂ = 3600
.
Theo nguyên lý cực trị ∃ max{ ̂ ; ̂ ; ̂ ̂}. Không mất tính
tổng quát, giả sử ̂ là góc lớn nhất, thì ̂ ≥ 900
do đó M ϵ (O, ). Do M là bất kỳ thuộc tứ giác suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 2: Một nƣớc có n sân bay(n ≥ 6). Khoảng cách giữa hai sân bay nào cũng khác nhau. Mỗi máy bay phải cất cánh từ một sân bay và bay đến sân bay gần nhất. Mỗi sân bay chỉ có thể tiếp nhận số máy bay tối đa đến cùng một lúc là 5 chiếc. Liệu có sân bay nào bị quá tải không?
54
Lời giải:
Nếu các máy bay bay từ sân bay M và N đến sân bay O thì OMN có cạnh MN là lớn nhất suy ra ̂ ≥ 600.
Giả sử các máy bay từ các sân bay M1,M2,…,Mk đến sân bay O thì ∃j, j sao cho:
̂ <
, ( k = ). Vậy
> 600 suy ra k < 6 nên không có sây bay nào quá tải.
Ví dụ 3: Cho đa giác lồi A1,A2,…,An. Chứng minh rằng tồn tại ba đỉnh sao cho hình tròn qua 3 đỉnh này chứa toàn bộ đa giác đã cho.
Lời giải:
Đa giác A1A2…An có số cạnh hữu hạn. Theo nguyên lý cực trị rời rạc ∃ cạnh của đa giác AiAi+1 sao cho:
min
(quy ƣớc AnAn+1 = AnA1). Khi đó với ∀ j ≠ i, j ≠ i+1 thì ̂ ≤ 900. Tập hợp bộ ba đỉnh, trong đó 2 đỉnh kề nhau, đoạn thẳng nối 2 đỉnh kề nhau đƣợc nhìn từ đỉnh thứ 3 dƣới một góc không quá 900
là tập ≠ và hữu hạn. do đó gọi Am là đỉnh nhìn Ai, Ai+1 dƣới góc nhỏ nhất thì đƣờng tròn qua Ai, Ai+1, Am chứa toàn bộ đa giác đã cho.
b) Khoảng cách nhỏ nhất, lớn nhất:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng ít nhất một trong những đƣờng vuông góc hạ từ một điểm bất kỳ trong một đa giác lồi xuống các cạnh của nó, nằm trên cạnh mà không nằm trên đƣờng kéo dài của cạnh.
Lời giải: Cho điểm O bất kỳ thuộc vào đa giác. Tập khoảng cách từ O tới các cạnh của đa giác này là hữu hạn. Theo nguyên lý cực trị rời rạc tồn tại cạnh
55 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
AB của đa giác sao cho d(O/AB) đạt giá trị nhỏ nhất trong tập trên. Ta chứng minh đƣợc rằng chân đƣờng vuông góc kẻ từ O xuống AB là điểm P nằm trong cạnh này. Thật vậy: Giả sử chân đƣờng vuông góc hạ từ O xuống AB là điểm P nằm ngoài cạnh AB ⇒ OP cắt một cạnh nào đó của đa giác(do O thuộc miền trong đa giác). Giả sử OP cắt BC tại Q ⇒ OQ < OP. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên BC, ta có OQ > OH ⇒ OH < OQ < OP ⇒ O nằm gần BC hơn AB mâu thuẫn ⇒ P ϵ cạnh AB. Do đó ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 2(Bài toán Sylvester): Trên mặt phẳng cho n điểm. Biết rằng mỗi đƣờng thẳng đi qua hai điểm bất kỳ đều đi qua một điểm khác nữa trong n – 2 điểm còn lại. Chứng minh rằng n điểm đã cho thẳng hàng.
Lời giải:
Giả sử n điểm thỏa mãn đề bài không thẳng hàng. Xét S = {h/ h > 0, h là khoảng cách từ một điểm đã cho đến một đƣờng thẳng nối hai điểm của hệ}. Do số điểm của hệ là hữu hạn nên theo nguyên lý cực trị rời rạc tồn tại a ϵ S mà: min ∈ A C Q O H B B P
56
Theo giả thiết, tồn tại D là một điểm thuộc hệ n điểm đã cho mà D ϵ d. Kẻ MH vuông góc với d ⇒ MH = a.
Trong 4 điểm B, C, D có ít nhất hai điểm nằm cùng phía so với H. Giả sử C, D nằm về cùng phía so với H. Kẻ HE và CF vuông góc với MD. Ta có: CF < HE < MH ⇒ CF < MH. (1)
Lại có MD là đƣờng thẳng đi qua 2 trong n điểm đã cho ⇒ mâu thuẫn với việc chọn a. vậy n điểm đã cho thẳng hàng.
c) Diện tích, chu vi, thể tích nhỏ nhất, lớn nhất:
Ví dụ : Trên mặt phẳng cho n (n ≥ 3) điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Biết rằng diện tích của một tam giác bất kỳ với các đỉnh là những điểm đã cho là không vƣợt quá 1. Chứng minh rằng toàn bộ n điểm đã cho có thể phủ bởi một tam giác mà diện tích của nó không vƣợt quá 4.
Lời giải: Xét tập hợp diện tích các tam giác AiAjAk ( 1 ≤ i, j, k ≤ n) có các đỉnh là 3 trong hệ n điểm đã cho. Tập này hữu hạn và khác rỗng. Theo nguyên lý cực trị rời rạc tồn tại tam giác có diện tích lớn nhất. Không mất tính tổng quát giả sử đó là tam giác A1A2A3. Qua A1, A2, A3 dựng các đƣờng thẳng tƣơng ứng song song với A2A3, A1A2, A1A3 ta đƣợc tam giác ABC. Ta có:
57
Ta sẽ chứng minh đƣợc toàn bộ n điểm đã cho nằm trong ABC. Thật vậy, giả sử ∃ (3 < j ≤ n)thuộc hệ n điểm đã cho nhƣng không thuộc miền trong ∆ ABC. Phần ngoài của ∆ ABC đƣợc chia làm 6 phần nhƣ hình vẽ. Không mất tính tổng quát, ta chỉ cần xét 2 trƣờng hợp:
Nếu Aj ϵ miền 1 thì d(Aj,A2A3) > d(A,A2A3) = d(A1,A2A3) khi đó
( )
Nếu Aj ϵ miềm 4, khi đó d(Aj,A2A3) > d(A1 ,A2A3) nên
( )
Từ (1) và (2) dẫn đến mâu thuẫn với
m
3.2.2 Áp dụng nguyên lý để giải các bài toán số học và đại số: Ví dụ 1: Chứng minh rằng có vô số số nguyên tố dạng 4n + 3.