Bao hàm thức vi phân và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————————————— TRẦN THỊ THANH HUYỀN BAO HÀM THỨC VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Hà Nội-2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————————————— TRẦN THỊ THANH HUYỀN BAO HÀM THỨC VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm Hà Nội-2013 Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn về phương hướng, nội dung và phương pháp nghiên cứu trong quá trình thực hiện luận văn. Nhân dịp này tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, Đoàn 871- Bộ Quốc Phòng, Trường sĩ quan Tăng thiết giáp- Bộ tư lệnh Tăng thiết giáp, đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng năm 2013 Tác giả Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng năm 2013 Tác giả Bảng kí hiệu R tập hợp số thực R n không gian thực n - chiều C tập hợp số phức Z tập hợp số nguyên Z n Không gian nguyên n - chiều v Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Bao hàm thức vi phân là một khái niệm tổng quát của phương trình vi phân thường. Mọi vấn đề được xét trong phương trình vi phân như: Sự tồn tại nghiệm, tính liên tục của tập nghiệm, sự phụ thuộc vào điều kiện ban đầu và các tham số Đều được nghiên cứu trong lý thuyết của bao hàm thức vi phân. Vì bao hàm thức vi phân luôn có nhiều nghiệm xuất phát từ một điểm đã cho nên xuất hiện các vấn đề như: Việc nghiên cứu tính chất tô pô của tập nghiệm, sự lựa chọn nghiệm thỏa mãn các tính chất đã cho, đánh giá tập các khả năng đạt được Để giải quyết các vấn đề trên ta cần đến các kỹ thuật toán học đặc biệt. Do đó bao hàm thức vi phân không những là mô hình cho quá trình động lực mà chúng còn cung cấp những công cụ mạnh cho các nhánh khác nhau của toán giải tích. (Xem [5] và những tài liệu dẫn trong đó). Bao hàm thức vi phân được ứng dụng vào chứng minh sự tồn tại của những định lý trong lý thuyết điều khiển tối ưu. Chúng được dùng để dẫn ra điều kiện đủ tối ưu, đóng vai trò cốt yếu trong lý thuyết điều khiển với những điều kiện bất định và lý thuyết trò chơi vi phân. Bao hàm thức vi phân có rất nhiều ứng dụng trong lý thuyết cũng như trong thực tế. Nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu những khía cạnh khác nhau của bao hàm thức vi phân (xem [5]). vi Sau khi được học những kiến thức về Toán giải tích, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan hệ của chúng với những kiến thức chưa biết và ứng dụng của chúng, được sự động viên của các thầy cô giáo, đặc biệt là sự động viên giúp đỡ của thầy Nguyễn Năng Tâm, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu: “Bao hàm thức vi phân và ứng dụng”. 2. Mục đích nghiên cứu • Tìm hiểu về một số kết quả liên quan đến bao hàm thức vi phân, sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức vi phân. • Tìm hiểu về một số bao hàm thức vi phân đặc biệt và tính ổn định. • Tìm hiểu về ứng dụng của bao hàm thức vi phân vào điều khiển tối ưu. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu • Trình bày khái niệm bao hàm thức vi phân. • Chỉ ra và chứng minh một số kết quả về sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức vi phân, và một số bao hàm thức vi phân đặc biệt. • Trình bày về tính ổn định của bao hàm thức vi phân. • Ứng dụng của bao hàm thức vi phân vào điều khiển tối ưu. vii 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Bao hàm thức vi phân và ứng dụng. • Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn tại và tính ổn định nghiệm của bao hàm thức vi phân, một số bao hàm thức vi phân đặc biệt và ứng dụng của bao hàm thức vi phân. 5. Phương pháp nghiên cứu • Sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích hàm, lý thuyết tối ưu. • Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quan đến đề tài. 6. Dự kiến các đóng góp của luận văn • Nghiên cứu và làm rõ được sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức vi phân, một số bao hàm thức vi phân đặc biệt. • Trình bày về tính ổn định của bao hàm thức vi phân. • Trình bày một số ứng dụng của bao hàm thức vi phân. viii Mục lục Bảng kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi Nội dung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1. Giải tích lồi . . . . . . . 1 1.2. Giải tích không trơn . . . . . . 6 1.3. Giải tích đa trị . . . . . . 10 1.4. Một số kiến thức về đạo hàm suy rộng 18 Chương 2. Bao hàm thức vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1. Khái niệm . . . . . . 21 2.2. Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . 23 2.3. Một số bao hàm thức vi phân đặc biệt . . . . . . 30 2.3.1. Bao hàm thức vi phân Lipschitzian. 30 2.3.2. Bao hàm thức vi phân nửa liên tục trên 31 2.4. Tính ổn định . . . . . . . . . . . . . 41 2.4.1. Phương pháp Lyapunov trực tiếp . . . . . . . 41 2.4.2. Bao hàm thức vi phân chọn tuyến tính . . . . . 49 2.4.3. Ổn định tiệm cận yếu của quá trình lồi 61 ix Chương 3. Ứng dụng của bao hàm thức vi phân vào điều khiển tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.1. Sự tồn tại nghiệm tối ưu . . 69 3.2. Nghiên cứu các bài toán điều khiển tối ưu dạng đặc biệt . . 74 3.2.1. Bài toán điều khiển tối ưu Mayer. 74 3.2.2. Bài toán tối ưu thời gian . . . 75 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 x [...]... tích không trơn và một số kiến thức về đạo hàm suy rộng sẽ dùng cho các chương sau 20 Chương 2 Bao hàm thức vi phân Trong chương này ta giới thiệu khái niệm nghiệm của bao hàm thức vi phân x (t) ∈ F (x (t)) và chứng minh của định lý tồn tại ˙ Bên cạnh đó, ta cũng nghiên cứu một số bao hàm thức vi phân đặc biệt như: bao hàm thức vi phân Lipschitzian và bao hàm thức vi phân nửa liên tục trên Và nghiên cứu... ổn định của bao hàm thức vi phân Các kiến thức trong chương này được lấy từ tài liệu [2],[5] 2.1 Khái niệm Định nghĩa 2.1.1 Cho F : Rn → Rn là ánh xạ đa trị Bao hàm thức có dạng x(t) ∈ F (x(t)), t ∈ [0, T ] ˙ (2.1) được gọi là bao hàm thức vi phân Định nghĩa 2.1.2 Tập các hàm x(.) ∈ AC ([τ, T ] , Rn ) với x(τ ) = x0 thỏa mãn (2.1) hầu khắp nơi được gọi là tập nghiệm của bao hàm thức vi phân (2.1) với... Nếu C = Rn thì ta vi t S(F ) = S(F, Rn ) 21 Nếu nghiên cứu với phương trình vi phân thường x (t) = F (x (t)) với ˙ vế phải liên tục thì hiển nhiên là phải xác định các nghiệm là các hàm khả vi liên tục thỏa mãn phương trình trên tại mọi điểm của khoảng thời gian nào đó Trong một số bài toán ứng dụng ta phải xét bao hàm thức vi phân với vế phải nửa liên tục trên, nhưng lớp hàm khả vi liên tục không...    −1, x>0 x (0) = x0 không có nghiệm khả vi liên tục nếu x0 = 0 và T > |x0 | Để chứng minh sự tồn tại của bài toán như bài toán trên, chúng ta định nghĩa nghiệm trong lớp các hàm liên tục tuyệt đối, cụ thể là, trên lớp các hàm có đạo hàm khả tích Lebesgue thỏa mãn t1 x (t1 ) − x (t0 ) = x (t) dt ˙ t0 Định nghĩa 2.1.3 Tập đạt được của bao hàm thức vi phân 2.1 là tập R[0,T ] (F, x0 ) = x (T ) x (.)... một họ các hàm lồi là một hàm lồi Thật vậy, epigraph của f là giao của các epigraph của các hàm lồi fi là một tập lồi Từ (1.1) ta thấy rằng tổng của hữu hạn các hàm lồi cũng là một hàm lồi Bây giờ ta xét ví dụ của hàm lồi Cho A ⊂ Rn là một tập lồi Hàm S(x∗ , A) = sup{ x, x∗ |x ∈ A} được gọi là giá của hàm A Vì giá của hàm là một cận trên đúng của các hàm tuyến tính, nên nó là hàm lồi 4 Định lí 1.1.2... i↓0 14 Cho U ⊂ Rk , và cho f : Rn × U → Rm là một hàm Giả sử rằng f là khả vi trong x và tập f (x, U ) là lồi với mọi x ∈ Rn Cho (ˆ, u) ∈ Rn × U x ˆ kí hiệu v = f (ˆ, u) và tập ˆ x ˆ v= ˆ x ˆ x f (ˆ, u), K = cone(f (ˆ, U ) − v ) x ˆ Kết quả sau chứa một ước lượng của nón tiếp tuyến tới đồ thị của ánh xạ đa trị x → f (x, U ) Mệnh đề 1.3.5 ([5], mệnh đề 2.8, trang 39) Bao hàm thức vi phân sau luôn đúng... thị của f hoàn toàn xác định hàm đó Thật vậy f (x) = inf {α|(x, α) ∈ epif } Do đó các hàm định nghĩa trên Rn đều quan hệ đến các tập trong Rn+1 , và sự tương ứng này làm cho nó có thể nghiên cứu các hàm thông qua (via) các tập 3 Định nghĩa 1.1.9 ([1],[5]) Cho X ⊂ Rn nếu epif là một tập lồi và f : X → R là một hàm số Hàm f được gọi là lồi trên X nếu với mọi x1 , x2 ∈ X và với mọi t ∈ [0, 1] ta có f...Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này giới thiệu và trình bày các kiến thức cơ bản về giải tích lồi, giải tích không trơn, giải tích đa trị và một số kiến thức về đạo hàm suy rộng, được áp dụng cho chương sau Các kết quả trong chương này được lấy từ tài liệu [1],[3],[4], [5] 1.1 Giải tích lồi Dưới đây trình bày một vài kết quả của giải tích lồi như: tập lồi, hàm lồi, cùng một số tính chất... ∈ N ((x, f (x)), epif )} Nếu f là một hàm lồi thì dưới vi phân Mordukhovich trùng với dưới vi phân thường của giải tích lồi Dưới vi phân kỳ dị của f tại x được định nghĩa bởi ∂ s f (x) = {x∗ |(x∗ , 0) ∈ N ((x, f (x)), epif )} Định lí 1.4.1 ([5], định lý 3.11, trang 76) Cho f : Rn → R ∪ {±∞} là nửa liên tục dưới, và cho |f (x)| < ∞ Thì có đẳng thức sau ∂f (x) = lim sup ∂f (x ) x →x f (x )→f (x) 18 Cho... tục tuyệt đối Một hàm x : [0, T ] → Rn liên tục tuyệt đối thì khả vi hầu khắp nơi và đạo hàm của nó x (.) là ˙ hàm khả tích Lebesgue Hơn nữa công thức Newton- Leibniz luôn đúng Tức là t x t −x t = x (t) dt ˙ t Với mọi t , t ∈ [0, T ] , t < t Do đó mọi hàm liên tục tuyệt đối x : [0, T ] −→ Rn có thể biểu diễn dưới dạng t x (t) = x (0) + x (s) ds ˙ 0 Chúng ta kí hiệu không gian các hàm liên tục tuyệt . đến bao hàm thức vi phân, sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức vi phân. • Tìm hiểu về một số bao hàm thức vi phân đặc biệt và tính ổn định. • Tìm hiểu về ứng dụng của bao hàm thức vi phân vào điều. hàm thức vi phân. • Ứng dụng của bao hàm thức vi phân vào điều khiển tối ưu. vii 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Bao hàm thức vi phân và ứng dụng. • Phạm vi nghiên. niệm bao hàm thức vi phân. • Chỉ ra và chứng minh một số kết quả về sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức vi phân, và một số bao hàm thức vi phân đặc biệt. • Trình bày về tính ổn định của bao hàm thức