Xét một bao hàm thức vi phân ˙
x(t) ∈ F (x(t)), t ∈ [0, T] (3.1) trong đó F : Rn → Rn là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với giá trị lồi, đóng chứa trong một quả cầu bán kính b > 0. Cho C0 ∈ Rn và C1 ∈ Rn là các tập đóng.
Chúng ta sẽ giải quyết hai bài toán. Đầu tiên là bài toán Mayer, là cực tiểu hóa trên một nghiệm của bao hàm thức vi phân (3.1) đã được định nghĩa trên một khoảng thời gian cố định và thỏa mãn điều kiện biên, một hàm phụ thuộc trên vị trí cuối cùng x(T). Bài toán thứ hai,
được biết như bài toán tối ưu thời gian, là đi tìm một nghiệm của (3.1) sao cho thời gian của sự di chuyển từ tập đầu tiên tới tập cuối cùng là tối thiểu. Sau đó chúng ta cho thấy rằng bài toán tối ưu thời gian có thể thu gọn tới bài toán Mayer.
Bài toán Mayer
. Cho ϕ : Rn → R là một hàm liên tục. Bài toán này là đi tìm một nghiệm xˆ(.) của (3.1) thỏa mãn các điều kiện biên
ˆ
x(0) ∈ C0,xˆ(T) ∈ C1
sao cho
ϕ(ˆx(T)) 6= ϕ(x(T))
với bất kỳ quỹ đạo x(.) của (3.1) thỏa mãn x(0) ∈ C0, x(T) ∈ C1
Định lí 3.1.1. Cho tập C0 compact. Giả sử rằng tồn tại một quỹ đạo
x(.) của bao hàm thức vi phân (3.1) thỏa mãn các điều kiện biên x(0) ∈
C0, x(T) ∈ C1. Thì tồn tại một qũy đạo tối ưu.
Chứng minh. Thật vậy, tập R[0,T](F, C0) ∩ C1 khác rỗng. Bởi Hệ quả 2.3.2 nó là compact. Áp dụng định lý Weierstrass ta có kết quả.
Bài toán tối ưu thời gian
Cho T∗ là một số dương. Bài toán này là đi tìm một thời gian 0 ≤ ˆ
T ≤ T∗ và một nghiệm xˆ(.) của bao hàm thức vi phân (3.1) thỏa mãn các điều kiện biên
ˆ
sao cho
x(t) ∈/ C1
với bất kỳ nghiệm x(.) ∈ S[0,T∗](F, C0) và bất kỳ t∈ h0,Tˆ
h
Định lí 3.1.2. Cho tập C0 compact. Giả sử rằng tồn tại T > 0 và quỹ đạo x(.) của bao hàm thức vi phân (3.1) thỏa mãn các điều kiện biên
x(0) ∈ C0 và x(T) ∈ C1. Thì tồn tại một qũy đạo tối ưu thời gian
Chứng minh. Xét các tập S = (x, T)x ∈ R[0,T](F, C0), T ∈ [0, T∗] và
S1 = {(x, T)|x ∈ C1, T ∈ [0, T∗]}. GiaoS∩S1 khác rỗng. Thấy rằng, tập
S là compact. Thật vậy, cho xk(.) ∈ R[0,T∗](F, C0) và Tk ∈ [0, T∗], k = 1,2, ... là các dãy sao cho lim
k→∞(xk(Tk), Tk) = ˆ x,Tˆ . Không mất tính tổng quát dãy xk(.) hội tụ đều tới một nghiệmxˆ(.) ∈ S[0,T∗](F, C0), theo Hệ quả 2.3.2 Vì xˆ ˆ T −Tˆ ≤ xˆ ˆ T −xk ˆ T + xˆ ˆ T −xk(Tk) +|xk(Tk)−xˆ| ≤ xˆTˆ−xkTˆ + b ˆ T −Tk +|xk(Tk)−xˆ| → 0, k → ∞ ta nhận được xˆ ˆ T = ˆx. Do đó ˆ x,Tˆ ∈ S. Theo Định lý Weierstrass hàm liên tục φ : S ∩S1 → R được định nghĩa bởi φ(x, T) =T đạt được mức tối thiểu của nó.
Chú ý rằng tính lồi của F là cốt yếu cho sự tồn tại của nghiệm tối ưu. Không có tính lồi tập R[0,T](F, C0) ∩ C1 không đóng trong trường hợp tổng quát, ta có thể xem từ ví dụ sau. Xét bao hàm thức vi phân
˙
trong đó vế phải F :R2 → R2 được cho bởi F x1, x2 = n v1, v2 v1 = v22 − x22, v2 ∈ [−1,1] o
Xét tập nghiệm với điều kiện ban đầu x1, x2(0) = (0,0). Nếux2(t) ≡0 thì x1(t) ≡ 0. x2(t) 6= 0, thì x˙1(t) < 1 trên các khoảng với x2(t) 6= 0. Vì x˙1(t) ≤1 với mọi t, ta thấy rằng x1(1) < 1 với mọi nghiệm và điểm (1,0) không thuộc về tập đạt được R[0,1](F,(0,0)).
Xét các nghiệm [ x1k, x2k ∈ S[0,1](F,(0,0)), k = 1,2... sao cho x˙2(t) = 1, t ∈ 2i k,2ik+1 và x˙2(t) =−1, t ∈ 2i+1 k ,2ik+2, i = 0,1... thì chúng ta có x2k(t) ∈ 0, 1 k ,x˙1k(t) ≥ 1− 1 k2, x1k(1) ≥ 1− 1 k2
Do đó điểm(1,0)thuộc về bao đóng của tập đạt được. Do vậyR[0,1](F,(0,0)) không đóng.
Bài toán điều khiển tối ưu
Mọi hệ thống Vật Lý và kỹ thuật có thể mô tả bởi những phương trình vi phân phụ thuộc vào một vài tham số. Thông thường những tham số này là điều khiển theo sự sắp xếp của chúng ta. Xét một hệ điều khiển
˙
x = f (x, u), u ∈ U ⊂ Rm, t ∈ [0, T] (3.3) vớiu là một tham số điều khiển biến thiên trong tập U cho trước. Chúng ta giả sử rằng f : Rn × Rk → Rn là một hàm liên tục. Ta có thể xét bài toán tối ưu hóa cho bao hàm thức vi phân đã được tạo ra bởi (3.3). Những bài toán này được hiểu như những bài toán điều khiển tối ưu.
Cho T∗ > 0. Xét bài toán điều khiển tối ưu sau ϕ(T, x(T)) → inf (3.4) ˙ x(t) = f (x(t), u(t)), t ∈ [0, T] (3.5) u(t) ∈ U (3.6) x(0) ∈ C0, x(T) ∈ C1, T ∈ [0, T∗] (3.7) Bộ ba (T, u(.), x(.)), với T ∈ [0, T∗], u(.) là một điều khiển, và x(.) là một quỹ đạo liên kết tới điều khiển u(.) và thỏa mãn (3.7), được gọi là quá trình điều khiển (control process). Một quá trình điều khiển (control process)
ˆ
T ,uˆ(.),xˆ(.)
gọi là quá trình điều khiển tối ưu cho bài toán(optimal control process) (3.4)- (3.7) nếu
ϕT ,ˆ xˆTˆ ≤ ϕ(T, x(T))
với mọi quá trình điều khiển. Nếu ϕ không phụ thuộc vào T và tham số T là cố định, ta có bài toán Mayer; và nếu ϕ(T, X(t)) = T ta có bài toán tối ưu thời gian.
Sự tương đương giữa một hệ điều khiển và bao hàm thức vi phân tương ứng (Định lý 1.3.3) cho phép chúng ta chứng minh (sau chứng minh của định lý trước) sự tồn tại các nghiệm của bài toán điều khiển tối ưu.
Định lí 3.1.3. Cho các tập U và C0 compact, và cho tập C1 là đóng. Giả sử rằng hàm φ liên tục và tập f(x, U)là lồi ∀x ∈ Rn. Nếu tồn tại một phương pháp điều khiển cho bài toán (3.4)- (3.7) thì tồn tại một quá trình điều khiển tối ưu.