Cho A : Rn → Rn là một quá trình lồi, đóng chặt. Xét bao hàm thức vi phân
˙
x(t) ∈ A(x(t)) (2.47) Ta nói rằng quá trình lồi A là ổn định tiệm cận yếu nếu với bất kỳ
x ∈ Rn tồn tại một nghiệm x(.) ∈ S[0,∞[(A, x) thỏa mãn lim
t→∞x(t) = 0
Nếu quá trình A là ổn định tiệm cận yếu, thì dễ dàng thấy rằng vị trí cân bằng 0 của bao hàm thức vi phân (2.47) là ổn định tiệm cận yếu.
Nhắc lại rằng theo Định lý 1.3.6 hạn chế của A∗ lên không gian con
domA∗ ∩ −domA∗ là một toán tử tuyến tính. Ký hiệu J ⊂ domA∗ ∩ −domA∗ là không gian con bất biến lớn nhất của A∗. Đặt I = J⊥. Xét các nón lồi
Lk(λ) = (A−λE)−k(0), k = 1,2, ...
Ký hiệu λ0(A∗) là giá trị riêng lớn nhất của quá trình A∗. Nếu A∗ không
Bổ đề 2.4.3. Cho x ∈ Lk(λ) và λ < 0. Thì tồn tại một nghiệm x(.) ∈
S[0,∞[(A, x) thỏa mãn
lim
t→∞x(t) = 0
Chứng minh. Đặt xk = x. Từ x ∈ Lk(λ), thì tồn tại một tập hợp của các véc tơ x0, x1, ..., xk−1 sao cho
xk ∈ (A−λE)−1(xk−1), ..., x1 ∈ (A−λE)−1(x0), x0 = 0 Thấy rằng hàm x(t) = eλt tk−1 (k−1)!x1 +...+ t 1!xk−1 +xk
là một nghiệm phải tìm. Thật vậy ˙ x(t) = eλt tk−1 (k−1)!λx1 + tk−2 (k−2)!(x1 +λx2) +...+ (xk−1 +λxk) ∈ eλt tk−1 (k−1)!A(x1) + tk−2 (k −2)!A(x2)...+ A(xk) ⊂A eλt tk−1 (k−1)!x1 + tk−2 (k−2)!x2...+xk = A(x(t))
Hiển nhiên x(t) →0 khi t→ ∞.
Định lí 2.4.9. Cho J = {{0} và λ0(A∗) < 0. Thì quá trình lồi A là ổn định tiệm cận yếu.
Để suy ra điều kiện cần và đủ của ổn định tiệm cận yếu, ta cần kết quả bổ trợ sau.
Bổ đề 2.4.4. Giả sử rằng một quá trình lồi A : Rn → Rn là ổn định tiệm cận yếu. Thì tồn tại một số γ > 0 và a > 0 sao cho với bất kỳ
x0 ∈ Rn có một nghiệm x(.) ∈ S[0,∞[(A, x0) thỏa mãn
|x(t)| ≥ a|x0|e−γt, t≥ 0 (2.48)
Chứng minh. Xét một đơn hình P
⊂ Rn chứa một hình cầu tâm tại 0. Cho xk, k = 1, n+ 1, là các đỉnh của đơn hình. Từ A là ổn định tiệm cận yếu, tồn tại một quỹ đạo xk(.) thỏa mãn các điều kiện
xk(0) = xk, lim
t→∞xk(t) = 0, k = 1, n+ 1.
Tồn tại một số τ ≥ 0 sao cho |xk(t)| ≤ 1/e với mọi k = 1, n+ 1. Cho
y ∈ bdBn. Thì tồn tại các sốλk ≥ 0, k = 1, n+ 1, sao choPn+1
k=1 λk = 1, và
y = Pn+1
k=1 λkxk. Hiển nhiên hàm x(., y) = Pn+1
k=1λkxk(.) là một quỹ đạo của bao hàm thức vi phân (2.47) và thỏa mãn bất đẳng thức |x(τ, y)| ≤ 1/e. Do đó, cho bất kỳ y ∈ Rn hàm xy(.) = |y|x(., y/|y|) là một nghiệm của (2.47) và thỏa mãn bất đẳng thức |xy(τ)| ≤ |y|/e. Đặt
γ = 1/τ, a = emax{|xk(t)||t ∈ [0, τ], k = 1, n+ 1}.
Với mọi x0 ∈ Rn ta định nghĩa một nghiệm x(.) của (2.47) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(0) = x0 như sau:
x(t) =xx(mτ)(t−mτ), t∈ [mτ,(m+ 1)τ], m = 0,1, ...
Dễ dàng kiểm tra rằng qũy đạo x(.) thỏa mãn điều kiện (2.48).
Theo bổ đề trên và theo cấu trúc của quá trình lồi, nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận của các nghiệm của một quá trình óc thể rút gọn việc nghiên cứu các tính chất tiệm cận của một quá trình thỏa mãn định lý 2.4.9 và ổn định tiệm cận của một toán tử tuyến tính. Định lý sau là
Định lí 2.4.10. Cho A : Rn → Rn là một qua trình lồi đóng chặt. Thì các điều kiện sau là tương đương.
1. Quá trình A là ổn định tiệm cận yếu.
2. Chỉ một nghiệm tầm thường của bao hàm thức
˙
x∗(t) ∈ −A∗(x∗(t)) (2.49)
có lũy thừa Lyapunov không âm.
3. Hạn chế của quá trình lồi A∗ lên J là một toán tử tuyến tính ổn định tiệm cận và λ0(A∗) < 0.
Chứng minh. Giả thiết rằng điều kiện thứ nhất thỏa mãn. Giả sử tồn tại một nghiệm không tầm thường x∗(.) của (2.49) vớiχ[x∗(.)] ≥ 0. Cho
x0 ∈ Rn. Theo Bổ đề 2.4.4 có một nghiệm x(.) của bao hàm thức vi phân (2.47) với χ[x(.)] > 0. Chú ý rằng lũy thừa Lyapunov của hàm hx∗(.), x(.)i là dương. Lấy giới hạn bất đẳng thức
hx∗(t), x(t)i = hx∗(0), x0i+ Z t 0 d dshx∗(s), x(s)ids = hx∗(0), x0i+ Z t 0 (hx˙∗(s), x(s)i +hx∗(s),x˙ (s)i)ds ≥ hx∗(0), x0i
khi t→ ∞, ta có hx∗(0), x0i ≥ 0. Từ x0 là véc tơ tùy ý, ta có x∗(0) = 0. Từ Định lý 1.3.6 và bất đẳng thức Gronwall ta có x∗(t) ≡0, mâu thuẫn. Bây giờ giả thiết rằng điều kiện thứ hai là thỏa mãn. Giả sử A∗|J không là ổn định tiệm cận. Thì ta thấy rằng bao hàm thức vi phân (2.49) có một nghiệm với x∗(0) = x∗ ∈ J và χ[x∗(.)] ≥0, mâu thuẫn.
Giả sử rằng quá trình A∗ có một véc tơ riêng x∗ tương ứng với giá trị riêng λ ≥ 0. Chú ý rằng hàm x∗(t) = e−λtx∗ là một nghiệm của (2.49)
và χ[x∗(.)] ≥ 0, mâu thuẫn. Do dó điều kiện thứ hai kéo theo điều kiện thứ nhất.
Giả sử rằng điều kiện thứ ba thỏa mãn. Cho x0 ∈ Rn. Mục đích của chúng ta bây giờ là đi tìm một nghiệm x(.) ∈ S[0,∞[(A, x0) thỏa mãn
lim
t→∞x(t) = 0. Từ Định lý 2.4.9 và Bổ đề 1.3.2 ta thấy rằng hạn chế của A trên I là một quá trình lồi ổn định tiệm cận yếu. Theo Bổ đề 2.4.4 tồn tại các số γ > 0 và a > 0 sao cho lấy bất kỳ x0 ∈ I luôn có một nghiệm x(.) ∈ S[0,∞[(A, x0) thỏa mãn (2.48). Cho τ > 0 thỏa mãn β = ae−γt < 1. Xét hình chiếu của x0 lên I : y0 = π(x0, I). Cho
y0(.) ∈ S[0,τ](A, y0) là một nghiệm thỏa mãn (2.48). Bởi Định lý 1.3.6 quá trình A là Lipschitzian với hằng số |A|. Áp dụng Định lý 2.2.1 với
M = {y0(.)} và r0(x) ≡ x0, ta thấy rằng tồn tại một nghiệm x0(.) ∈
S[0,τ](A, x0) thỏa mãn |x0(t)−y0(t)| ≤ |x0−y0|e|A|t. Đặt x1 = x0(τ). Bây giờ làm tương tự với x1 và thu được một điểm y1 = π(x1, I), các nghiệm
y1(.) ∈ S[0,τ](A, y1), x1(.) ∈ S[0,τ](A, x1), và điểm x2 = x1(τ), vân vân. Bởi phép quy nạp ta xác định các dãy điểm {xk} và {yk} và các nghiệm
yk(.) ∈ S[0,τ](A, yk), xk(.) ∈ S[0,τ](A, xk)
Định nghĩa một hàm x(.) ∈ S[0,τ](A, x0) như
x(t) =xk(t−kτ), t∈ [kτ,(k + 1)τ], k = 1,2, ...
Thấy rằng lim
t→∞x(t) = 0. Đặt zk = π(xk, J). Bởi điều kiện ba và Bổ đề ?? tất cả các nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính
˙ˆ
x(t) ∈ A(ˆx(t)) (2.50) tiến tới 0 khi t dần tới vô cùng. Hơn thế nữa tồn tại các số λ > 0 và
d > 0 sao cho bất kỳ nghiệm xˆ(.) của (2.50) thỏa mãn |ˆx(t)| ≤b|xˆ(0)|e−λt, t ≥0
Ký hiệu xˆ(t) là lớp Rn/I chứa x(t). Hiển nhiên xˆ(.) là một nghiệm của (2.50). Do đó hàm π(x(t), J) cũng là một nghiệm của (2.50) (ta đồng nhất Rn/I và J). Vậy thì ta có |zk| ≤ b|z0|e−λkt, k = 0,1, ... Do đó ta có |yk| ≤ |yk−1(τ)−yk|+|yk−1(τ)| ≤ |yk−1(τ)−xk|+|yk−1(τ)| ≤ |zk−1|e|A|τ + β|yk−1| ≤ b|z0|e|A|τ−λ(k−1)τ +β|yk−1|
Đặt δ = b|z0|e|A|τ và α = e−λt. Bất đẳng thức trước có thể viết dưới dạng
|yk| ≤ λαk−1 + β|yk−1|, k = 1,2, ...,
với α < 1, β < 1.
Thấy rằng |yk| dần tới không khi k dần tới vô cùng. Không mất tính tổng quát α 6= β. Thì ta có |yk| ≤ λαk−1 + β|yk−1| ≤δαk−1 +βδαk−2 +β2|yk−2| ≤ ... ≤ δ αk−1 +βαk−2 +...+β2α +βk−1+βk|y0| = δα k −βk α −β +β k|y0|
Từ điều này ta thu được limyk = 0 khi k → ∞.
Chúng ta hãy đánh giá chuẩn |π(x(t), I)|. Cho t ∈ [kτ,(k+ 1)τ]. Thì ta có |π(x(t), I)| ≤ |yk(t−kτ)|+|yk(t−kτ)−π(x(t), I)| ≤ |yk(t−kτ)|+|yk(t−kτ)−x(t)| ≤a|yk|+|zk|e|A|τ Do đó chuẩn |x(t)| = |π(x(t), I)|2 +|π(x(t), J)|21/2 dần tới không khi t dần tới vô cùng. Vì vậy quá trình A là ổn định tiệm cận yếu.
Xét một quá trình lồi có dạng A(x) =Cx+K, với C là một ma trận cấp n×n và K ⊂ Rn là một nón lồi đóng. Ký hiệu J là không gian con lớn nhất chứa trong K∗ ∩ −K∗ bất biến trong C∗. Quá trình liên hợp được cho bởi
A∗(v∗) = C∗v∗, v∗ ∈ K∗ ∅, v∗ ∈ K∗
Do đó ta thu được kết quả sau.
Hệ quả 2.4.1. Các điều kiện sau là tương đương. 1. Quá trình x →Cx+K là ổn định tiệm cận yếu.
2. Hạn chế của C∗ trên Jlà một toán tử tuyến tính ổn định tiệm cận, và tất cả các véc tơ riêng của C∗ chứa trong K∗ tương ứng với các giá trị riêng âm.
Ta nói rằng một quá trình lồi A : Rn → Rn là không ổn định nếu có một điểm x ∈ Rn sao cho tất cả các quỹ đạo x(.) ∈ S(A, x) là không bị
Định lí 2.4.11. Cho A : Rn → Rn là một quá trình lồi. Nếu một trong các hạn chế của quá trình lồi A∗ trên J là một toán tử tuyến tính không ổn định hoặc λ0(A∗) > 0, thì A không ổn định.
Chứng minh. Giả sử rằng lấy bất kỳ x0 ∈ Rn thì tồn tại một nghiệm bị chặn của (2.47) với x(0) +x0. Dễ thấy tồn tại một nghiệm không tầm thường x∗(.) của bao hàm thức vi phân (2.49) với lũy thừa Lyapunov dương. Chú ý rằng lũy thừa Lyapunov của hàm hx∗(.), x(.)i là dương. Lấy giới hạn bất đẳng thức hx∗(t), x(t)i = hx∗(0), x0i+ Z t 0 d dshx∗(s), x(s)ids = hx∗(0), x0i+ Z t 0 (hx˙∗(s), x(s)i +hx∗(s),x˙ (s)i)ds ≥ hx∗(0), x0i
khi t → ∞, ta thu được hx∗(0), x0i ≤ 0. Từ x0 là một véc tơ bất kỳ, ta có x∗(0) = 0. Theo Định lý 1.3.6 và bất đẳng thức Gronwall ta có
x∗(t) ≡ 0, mâu thuẫn.
Kết luận: Chương này trình bày khái niệm của bao hàm thức vi phân, sự tồn tại nghiệm, một số bao hàm thức vi phân đặc biệt: Bao hàm thức vi phân Lipschitzian và bao hàm thức vi phân nửa liên tục trên. Đồng thời xét một vài khái niệm và các kết quả liên quan đến tính ổn định của bao hàm thức vi phân.
Chương 3
Ứng dụng của bao hàm thức vi phân vào điều khiển tối ưu
Chương này giới thiệu các bài toán cực trị của bao hàm thức vi phân. Sự tồn tại của các nghiệm tối ưu đã được xét đến trong chương trước. Trước tiên ta xét sự tồn tại của nghiệm tối ưu của bài toán Mayer, bài toán tối ưu thời gian và bài toán điều khiển tối ưu. Sau đó ta xét bài toán điều khiển tối ưu Mayer và bài toán tối ưu thời gian. Các kiến thức này được lấy từ [2], [5]