Xét bao hàm thức vi phân (2.1) Trong suốt phần này chúng ta giả sử rằng F thỏa mãn các điều kiện sau:
1. Các tập F(x) là đóng và lồi ∀x ∈ Rn,
2. Ánh xạ đa trị F là Lipschitzian với một hằng số l > 0 Thì bao hàm thức vi phân được gọi là Lipschitzian.
Các ví dụ về bao hàm thức vi phân Lipschitzian được cung cấp bởi lý thuyết điều khiển. Cho một bao phương trình vi phân phụ thuộc một tham số u ∈ U ⊂Rk,
˙
x = f (x, u) (2.10)
Với f :Rn×U →Rn. (2.10)gọi là hệ điều khiển, u được gọi là điều khiển. Điều khiển u được coi là một hàm của t. Chúng ta giả sử rằng f là một hàm liên tục thỏa mãn điều kiện Lipschitzian trong x và như vậy tập f(x, u) là lồi đóng ∀x ∈ Rn. Bởi một điều khiển chấp nhận được (admissible control) có nghĩa là bất kỳ hàm đo được u : [0, T] → Rn thỏa mãn bao hàm thức u(t) ∈ U hầu khắp nơi và như vậy hàm t → f(x, u(t)) là khả tích Lebesgue với mọi x ∈ Rn. Hơn nữa, ví dụ như, mọi hàm đo được bị chặn u(.) thỏa mãn u(t) ∈ U hầu khắp nơi là điều khiển chấp nhận được ( admissible control).Nếu u(.) là một điều khiển chấp nhận được thì bài toán Cauchy
˙
x ∈ f (x, u(t)), x(0) = x0
u(.).
Xét sự liên kết giữa hệ điều khiển và bao hàm thức vi phân. Chúng ta có thể kết hợp bao hàm thức vi phân
˙
x ∈ [
u∈U
f (x, u) (2.11)
với hệ điều khiển (2.10). Hiển nhiên mọi quỹ đạo của (2.10) là một nghiệm của (2.11). Theo Định lý 1.3.3 điều khẳng định ngược là luôn đúng. Do đó hệ (2.10) là tương đương bao hàm thức vi phân (2.11) 2.3.2. Bao hàm thức vi phân nửa liên tục trên
Trong phần này chúng ta nghiên cứu bao hàm thức vi phân ˙
x(t) ∈ F (x) (2.12)
với F : Rn →Rn là một ánh xạ nửa liên tục trên với tập giá trị lồi đóng. Chúng ta giả sử rằng tồn tại một hằng sốb > 0sao choF(x) ⊂bBn,∀x ∈ Rn. Để thiết lập tính chất của (2.12) chúng ta thiết lập gần đúng vế phải của nó với với các ánh xạ tập giá trị Lipschitzian Fk, k = 0,1, ... và áp dụng Định lý 2.2.1 cho bao hàm thức vi phân
˙
x ∈ Fk(x), k = 0,1... (2.13) Định lý sau chứng tỏ rằng tập nghiệm của (2.13) xấp xỉ tập nghiệm của (2.12).
Định lí 2.3.1. Cho F : Rn → Rn và Fk : Rn → Rn, k = 0,1... là những ánh xạ đa trị với giá trị lồi, đóng. Giả sử rằng
2. F (x) ⊂ ... ⊂Fk(x) ⊂ Fk−1(x)...⊂ F0(x) ⊂ bBn,∀x ∈ Rn
3. Với mọi ε > 0 và với mọi x ∈ Rn luôn tồn tại một số nguyên dương
k(ε, x) sao cho Fk(x) ⊂F (x) +εBn mỗi khi k > k(ε, x)
Nếu một dãy của các nghiệm xk(.) ∈ S[0,T](Fk), k = 0,1, ... đều hội tụ tới một hàm x(.) thì x(.) ∈ S[0,T](F)
Chứng minh. Vì x˙k(t) ∈ bBn, k = 1,2, ... theo Bổ đề 2.2.3 hàm x(.) là liên tục tuyệt đối. Cho t0 ∈ [0, T] sao cho tồn tại đạo hàm x˙ (t0). Cố định ε > 0. Tồn tại một số nguyên dương k0 thỏa mãn Fk0(x(t0)) ⊂
F (x(t0)) +εBn. Ánh xạ Fk0 nửa liên tục trên. Do đó tồn tại η > 0 sao cho
Fk0(x) ⊂ Fk0(x(t0)) +εBn
với x ∈ x(t0) + 2ηBn. Vì xk(.) hội tụ đều đến x(.), tồn tại một số nguyên dương k1 > k0 một số dương γ < η sao cho
|xk(t)−x(t)| < η
và
|x(t)−x(t0)| < η
với mọi k > k1 và t ∈ ]t0 −γ, t0 +γ[∩ [0, T]. Hơn nữa, nếu k > k1 và
t∈ ]t0 −γ, t0 +γ[∩[0, T], thì chúng ta có ˙ x(t) ∈ Fk(xk(t)) ⊂ Fk0(xk(t)) ⊂ Fk0(x(t0)) +εBn ⊂ F (x(t0)) + 2εBn Từ Bổ đề 2.2.3 ta có ˙ x(t) ∈ F (x(t0)) + 2εBn
với hầu như mọi t∈ ]t0 −γ, t0 +γ[∩[0, T]. Đặc biệt x˙ (t0) ∈ F (x(t0)) + 2εBn. Từ ε > 0 là tùy ý và tập F (x(t0)) đóng, ta có
˙
x(t0) ∈ F (x(t0)) Định lý được chứng minh.
Hệ quả sau là định lý tồn tại nghiệm của bao hàm thức vi phân (2.12) Hệ quả 2.3.1. Với mọi x0 ∈ Rn luôn tồn tại một nghiệm x(.) của bao hàm thức vi phân (2.12) với x(0) = x0.
Chứng minh. Bởi Định lý 1.3.5 luôn tồn tại một dãy các ánh xạ đa trị Lipschitzian địa phươngFk : Rn → Rn, k = 0,1, ...,xấp xỉF và thỏa mãn
Fk(x) ⊂ bBn. Từ Định lý 2.2.2, tồn tại nghiệmxk(.) ∈ S[0,T](Fk, x0). Từ ˙
xk(t) ∈ bBn và xk(t) ∈ x0+ T bBn,∀t ∈ [0, T] và k = 0,1, ... Từ Định lý Arzela- Ascoli chúng ta thấy rằng dãy {xk(.)}∞k=1 chứa một dãy con hội tụ đều. Bởi Định lý 2.3.1 giới hạn hàm x(.) là một nghiệm của bao hàm thức (2.11). Ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả tiếp theo nói lên tính compact của tập nghiệm
Hệ quả 2.3.2. Cho C ⊂ Rn là một tập compact. Xét một dãy của các nghiệm xk(.) ∈ S[0,T](F, C). Luôn tồn tại một dãy con xkp(.) mà hội tụ đều tới một nghiệm x(.) ∈ S[0,T](F, C).
Chứng minh. Đó là một hệ quả tầm thường của định lý Arzela- Ascoli và Định lý 2.3.1
F : R → R định nghĩa bởi F(x) = {±1}. Hiển nhiên hàm " saw- toothed" xk(t) = t− 2i k, khi2ki ≤t < 2ik+1 2i+2 k−t, khi2ik+1 ≤ t < 2ik+2. i = 1, k/2, k = 2,4, ...
là các nghiệm của bao hàm thức vi phân x˙ ∈ {±1}, và chúng hội tụ đều tới x0(t) ≡ 0, t ∈ [0,1]. Vì thế mà hàm x0(.) không là nghiệm của bao hàm thức vi phân đó.
Hệ quả 2.3.3 (sự liên thông của tập nghiệm).Tập nghiệm S = S[0,T](F, x0) ⊂
C([0, T],Rn) là liên thông, nghĩa là, nó không thể biểu diễn được dưới dạng hợp của hai tập đóng rời nhau.
Chứng minh. Giả sử rằng S = S1 ∪ S2, với S1 ⊂ C([0, T],Rn) và S2 ⊂
C([0, T],Rn) là các tập đóng thỏa mãn S1 ∩ S2 = ∅. Từ Hệ quả 2.3.2 chúng ta thấy rằng cả S1 và S2 đều compact. Vì vậy ta có
inf{|x1(.)−x2(.)|C|x1(.) ∈ S1, x2(.) ∈ S2}= δ >0
Xét hàmθ : C([0, T],Rn) →Rđược định nghĩa bởiθ(x(.)) =d(x(.), S1)−
δ
/2. Chúng ta thấy rằngθ(x1(.)) = −δ/2, với mọix1(.) ∈ S1và θ(x2(.)) ≥
δ/2, với mọi x2(.) ∈ S2. Cố định với mọi x1(.) ∈ S1 và x2(.) ∈ S2. Theo Định lý 1.3.5 luôn tồn tại một dãy của các ánh xạ đa trị Lips- chitzian địa phương Fk : Rn → Rn, k = 0,1, .... xấp xỉ F và thỏa mãn
Fk(x) ⊂bBn. Hệ quả 2.2.1 chỉ ra rằng, luôn tồn tại các ánh xạ liên tục
φk : [0,1] → S[0,T](Fk, x0) sao cho φk(0) = x1(.) và φk(1) = x2(.). Từ hàm θ ◦φk : [0,1] → R là liên tục, θ◦φk(0) < 0 và θ ◦φk(1) > 0, tồn tại λk ∈ [0,1] sao cho θ ◦φk(λk) = 0, k = 0,1, .... Theo định lý Arzela-
Ascoli dãy các nghiệm φk(λk) (.) ∈ S[0,T](Fk, x0) chứa một dãy con hội tụ đều. Bởi Định lý 2.3.1 giới hạn hàm x(.) là nghiệm của bao hàm thức vi phân (2.11). Mặt khác, vì hàm θ liên tục, ta có θ(x(.)) = 0; do đó,
x(.) ∈/ S1 ∪S2 = S, mâu thuẫn. Suy ra điều phải chứng minh.
Nhận xét 2.3.1. Nếu F(x) ={f(x)}, với f : Rn → Rn là một hàm liên tục thì Hệ quả 2.3.3 tương đương định lý Kneser.
Hệ quả 2.3.4 (tính chất biên). Nếu x∗ ∈ bdR[0,T](F, x0), thì tồn tại
x(.) ∈ S[0,T](F, x0) sao cho x(T) = x∗ và x(t) ∈ bdR[0,T](F, x0),∀t ∈ [0, T].
Chứng minh. Theo Định lý 1.3.5 luôn tồn tại một dãy của các ánh xạ đa trị Lipschitzian địa phương Fk : Rn → Rn, k = 0,1, .... xấp xỉ F và thỏa mãn Fk(x) ⊂ bBn.. Xét một dãy xk∗ ∈ bdR[0,T](Fk, x0) thỏa mãn
d x∗, bdR[0,T](Fk, x0)= |x∗ −x∗k|. Bởi Hệ quả 2.3.2 các tập đạt được là đóng và x∗k ∈ R[0,T](Fk, x0). Xét dãy các nghiệm xk(.) ∈ S[0,T](Fk, x0) sao cho xk(T) = x∗k. Theo Định lý Arzela- Ascoli dãy {xk(.)}∞k=1 chứa một dãy con hội tụ đều. Mà không mất tính tổng quát xk(.) hội tụ đều tới x(.). Bởi Định lý 2.3.1 chúng ta có x(.) ∈ S[0,T](F, x0). Thấy rằng x(T) = x∗. Giả sử rằng |x(T) = x∗| > 0. Thì tồn tại δ > 0 sao cho x∗ + δBn ∈ R[0,T](Fk, x0), k = 0,1, ... Cho y ∈ x∗ + δBn. Tồn tại các yk(.) ∈ S[0,T](Fk, x0), k = 0,1, ... thỏa mãn yk(T) = y. Bởi định lý Arzela- Ascoli dãy {yk(.)}∞k=1 chứa một dãy con hội tụ đều. Mà không mất tính tổng quát yk(.) hội tụ đều tới hàm y(.). Bởi định lý 2.3.1 chúng ta có y(.) ∈ S[0,T](F, x0). Vì thế ta có x∗ + δBn ∈ R[0,T](F, x0), mâu
tồn tại t ∈ [0, T[ và ε > 0 sao cho x(t) +εBn ∈ R[0,T](F, x0), thì với k đủ lớn ta có xk(t) + ε 2Bn ⊂ x(t) +εBn ⊂ R[0,t](F, x0) ⊂ R[0,t](Fk, x0) Mâu thuẫn với Bổ đề 2.2.3
Nhận xét 2.3.2. Nếu F(x) = {f(x)} với f : Rn →Rn là một hàm liên tục, thì hệ quả cho ta định lý Hukuhara. Trong lý thuyết phương trình vi phân thường định lý Hukuhara được suy ra từ định lý Kneser. Ở đây chúng ta đã có một chứng minh trực tiếp.
Nếu vế phải của một bao hàm thức vi phân là nửa liên tục trên thì không phải tất cả các nghiệm với x(T) ∈ R[0,T](F, x0) thỏa mãn x(t) ∈
R[0,t](F, x0)như trong trường hợp của bao hàm thức vi phân Lipschitzian (xem Hệ quả 2.2.2). Thật vậy, xét bao hàm thức vi phân sau:
˙ x1,x˙2 ∈ F x1, x2 với F x1, x2= B2, khix2 < 0 6B2, khix2 = 0 {0}, khix2 > 0
Hiển nhiên điểm (3,0)là một điểm biên của tập R[0,5](F,(0,−4)), từ tập này là chứa trong nửa mặt phẳng x2 ≤0. Qũy đạo
x1, x2(t) = 0,(8t)/9, khit ∈ h0,9/2i 6 t−9/2,0 , khit ∈ h9/2,5 i
thỏa mãn x1(5), x2(5) = (3,0)và x1(t), x2(t) ∈/ bdR[0,t](F,(0,−4)) khi t∈ 0, 9 2
Tiếp theo chúng ta sẽ giới thiệu về bao hàm thức vi phân phụ thuộc thời gian.
Xét bao hàm thức vi phân phụ thuộc thời gian ˙
x = F (t, x), t ∈ [0, T]
Chúng ta thiết lập một tính chất hội tụ của chúng.
Bổ đề 2.3.1. Giả sử rằng ánh xạ đa trị F : [0, T]×Rn×Rn →Rn có tập giá trị lồi, đóng. Cho ánh xạ đa trị (x, y) → F(t, x, y) là nửa liên tục trên với hầu như mọi t∈ [0, T], và cho F(t, x, y) ⊂ b(t)Bn,∀(t, x, y) ∈ [0, T], với b(.) ∈ L1([0, T],R). Giả sử rằng hàm xk(.) ∈ AC([0, T],Rn), k = 0,1, ... thỏa mãn ˙ xk(t) ∈ coF (t, xk(t), ηk(t)Bm) +ηk(t)Bn (2.14) với ηk(t) ≥ 0, lim k→∞ηk(t) = 0 hầu khắp nơi, và |ηk(t)| ≤ η(t), k = 1,2..., η(.) ∈ L1([0, T],R). Thì hàmxk(.) là liên tục đồng bậc trên [0, T]; và nếu dãy con xkp(.) hội tụ đều đến một hàm x(.) thì x(.) là nghiệm của bao hàm thức vi phân
˙
x(t) ∈ F (t, x(t),0) (2.15)
Chứng minh. Từ (2.14) ta có
|x˙k(t)| ≤ b(t) + ηk(t) (2.16) Cho > 0, và cho 0 ≤ α1 ≤ β1 ≤ α2 ≤ ... ≤ αI ≤ βI ≤ T. Thì tồn tại
theo I X i=1 Z βi αi b(t)dt < ε 2 và Z T 0 ηk(t) < ε 2 hoặc do (2.15) I X i=1 |xk(βi)−xk(αi)| = I X i=1 Z βi αi ˙ xk(t)dt < ε (2.17) với mọi k = 0,1, .... Như vậy hàm x(.) là liên tục đồng bậc.
Giả sử rằng dãy con xkp (.) hội tụ đều tới hàm x(.). Từ 2.16 ta thấy rằng x(.) là liên tục tuyệt đối.
Chứng minh rằng x(.) là một nghiệm của bao hàm thức vi phân 2.15. Vì hàm ηkp(.) hội tụ tới 0 trong chuẩn của L1([0, T],R), tồn tại một dãy con hội tụ hầu khắp nơi. Ta kí hiệu ngắn gọn dãy con này là {ηi(.)} và kí hiệu dãy con tương ứng của xkp(.) là {xi(.)}. Vì ánh xạ đa trị (x, y) → F(t, x, y) là nửa liên tục trên, và xi(t) → x(t), ηi(t) → 0 hầu khắp nơi, ta có
F (t, xi(t), ηi(t)Bm) ⊂ F (t, x(t),0) +vi(t)Bn
trong đó vi(t) →0. Kết hợp bao hàm thức này với (2.14), ta có ˙
xi(t) ∈ F (t, x(t),0) + (vi(t) +ηi(t))Bn
Theo ngôn ngữ giá của hàm bao hàm thức này có thể được viết thành hx˙k(t), pi ≤ S(p, F (t, x(t),0) + (vi(t) + ηi(t))Bn)
(Xem Định lý 1.1.2). Từ đó ta có S(t) = lim i→∞suphx˙k(t), pi ≤S(p, F (t, x(t),0)) (2.18) Cho α, β ∈ [0, T] thỏa mãn α < β. Thì ta có hxi(β)−xi(α), pi = Z β α hx˙i(t), pidt ≤ Z β α sup j≥i hx˙j(t), pidt
(tích phân cuối cùng hiển nhiên tồn tại). Từ sup j≥i
hx˙j (t), pi không tăng với i tăng và tiến tới vế trái của (2.18), với i → ∞, áp dụng định lý Lebesgue, ta có hx(β)−x(α), pi ≤ lim i→∞ Z β α sup j≥i hx˙j (t), pidt ≤ Z β α S(t)dt Vì ]α, β[ tùy ý, ta có hx˙k(t), pi ≤ S(t) ≤ S(p, F (t, x(t),0))
với hầu như mọi t ∈ [0, T]. Điều này cũng đúng cho một tập vectors p
đếm được, trù mật hầu khắp nơi. Từ Định lý 1.1.2 và Mệnh đề 1.1.1 ta có (2.15)
Bổ đề 2.3.1 có thể áp dụng để chứng minh định lý tồn tại cho bao hàm thức vi phân phụ thuộc thời gian
˙
Định lí 2.3.2. Cho F : [0, T]×Rn là một ánh xạ đa trị với giá trị lồi, đóng. Giả sử rằng
1. Ánh xạ đa trị x 7→ F (t, x) là nửa liên tục trên với hầu như mọi
t∈ [0, T];
2. Với bất kỳ x ∈ Rn tồn tại một hàm đo được t → f(t, x) thỏa mãn
f(t, x) ∈ F(t, x);
3. Tồn tại một hàm b(.) ∈ L1([0, T],Rn) sao cho |f (t, x)| ≤b(t), t ∈ [0, T]
Thì với bất kỳ x0 ∈ Rn tồn tại một nghiệm x(.) của bao hàm thức vi phân (2.19) với x(0) = x0
Chứng minh. Đặt
hk = T
k, tk,i = ihk, i = 0, k
trong đó k = 1,2, .... Ta đi định nghĩa một hàm xk(.). Đặt xk(tk,0) = x0. Nếu xk(tk,i) = xk,i ≥ 0 đã xác định, thì đặt
xk(t) = xk,i+
Z t
tk,i
f (s, xk,i)ds, t ∈ [tk,i, tk,i+1] Hàm xk(.) là liên tục tuyệt đối và thỏa mãn
˙ xk(t) ∈ F (t, xk,i)∩b(t)Bn Hiển nhiên |xk(t)−xk,i| ≤max i Z tk,i+1 tk,i b(t)dt
và tích phân trong vế phải dần tới 0 khi k → ∞. Từ Bổ đề 2.3.1 và Định lý Arzela- Ascoli thấy rằng dãy {xk(.)} chứa một dãy con hội tụ đều và hàm giới hạn là nghiệm của bao hàm thức vi phân (2.19)
2.4. Tính ổn định
Trong phần này trình bày một số khái niệm về tính ổn định của bao hàm thức vi phân. Cụ thể là hai phương pháp chính cho việc nghiên cứu tính ổn định là: phương pháp Lyapunov trực tiếp và phương pháp cơ sở trong nghiên cứu xấp xỉ đầu tiên. Ta xét xấp xỉ đầu tiên dưới hai dạng là: bao hàm thức vi phân chọn tuyến tính và bao hàm thức vi phân với vế phải là một quá trình lồi.
2.4.1. Phương pháp Lyapunov trực tiếpXét bao hàm thức vi phân Xét bao hàm thức vi phân
˙
x(t) ∈ F(x(t)) (2.20) trong đó F : Rn → Rn là ánh xạ đa trị thỏa mãn 0 ∈ F(0), tức là gốc là một vị trí cân bằng của bao hàm thức vi phân (2.20).
Định nghĩa 2.4.1. Vị trí cân bằng x = 0 của bao hàm thức vi phân (2.20) được gọi là ổn định (tương ứng ổn định yếu), nếu với mỗi ε > 0 cho trước , tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x0 ∈ δBn, mỗi (tương ứng ít nhất một) nghiệm x(.) của (2.20) với x(0) = x0 thỏa mãn |x(t)| < ε với mọi t≥ 0.
Lưu ý rằng, điều đó đòi hỏi các nghiệm bắt đầu gần với gốc tồn tại với mọi t ≥0. Vị trí cân bằng x = 0 được gọi là ổn định một cách tiệm cận (tương ứng ổn định một cạch tiệm cận yếu), nếu trong phép cộng nó ổn định (tương ứng ổn định yếu)
Khi vị trí cân bằng x = 0 không ổn định yếu ta nói rằng nó không ổn định.
Những khái niệm ổn định có động cơ từ những bài toán kỹ thuật. Tính ổn định có ý nghĩa Heuristic sau. Xem phương trình vi phân là một mô hình của hệ và coi gốc như là vị trí trạng thái dừng mong muốn của một phương trình vi phân
˙
x(t) = f(x(t))
Bởi vì không thể dự đoán được sự nhiễu loạn động lực nên được mô tả bởi một bao hàm thức vi phân
˙
x(t) ∈ F(x(t))
Tính ổn định bảo đảm rằng mọi giá trị trạng thái gần không (close- to- zero- state) mà hệ nhận trong sự tiến hóa của nó không quá xa những yêu cầu mong muốn. Ổn định tiệm cận kéo theo biên độ của sự nhiễu loạn ban đầu giảm và cuối cùng triệt tiêu.
Khái niệm ổn định yếu và ổn định tiệm cận yếu là động cơ của một bài toán khác. Ta có một hệ điều khiển
˙
x = f(x, u), u ∈ U
và f(0, u0) = 0, với u0 ∈ U. Mục đích của chúng ta là trả lời câu hỏi: Nó có thể giữ hệ thống trong lân cận của vị trí cân bằng 0 hoặc điều khiển nó tới vị trí cân bằng từ bất kỳ vị trí ban đầu nào trong lân cận của gốc hay không? Bài toán này là gần với bài toán điều khiển được. Vì lý do này ổn định tiệm cận yếu thường được gọi là điều khiển được tiệm cận .
Để đặc trưng một dáng điệu tiệm cận của một nghiệm cho trước của (2.20), ta dùng lũy thừa Lyapunov. Cho f : R→ R là một hàm liên tục, lũy thừa Lyapunov của f được định nghĩa bởi
χ[f(.)] = − lim
t→∞sup1
tln|f(t)|
Dễ dàng kiểm tra được rằng lũy thừa Lyapunov có các tính chất sau: 1. χ[(f +φ)(.)] ≥min{χ[f(.)], χ[φ(.)]},
2. χ[(f φ)(.)] ≥χ[f(.)] +χ[φ(.)],
3. χ[(f φ)(.)] = χ[f(.)], với 0 < a ≤ φ(t) < b < ∞
Nếu f : R → Rn là một hàm véc tơ, thì lũy thừa Lyapunov được định nghĩa như giá trị cực tiểu của lũy thừa Lyapunov của các thành phần:
χ[f(.)] = minχf1(.), ..., χ[fn(.)]
Xét một hàm liên tục V : Rn → Rsao cho V(0) = 0. Ta nói rằng V là xác định dương (tương ứng âm) nếu V(x) > 0 ( V(x) < 0) ∀x 6= 0. Hàm
v gọi là nửa xác định dương (tương ứng âm) nếu V(x) ≥ 0 ( V(x) ≤ 0) ∀x 6= 0.
Một công cụ rất mạnh trong giải tích ổn định được cho bởi phương pháp Lyapunov trực tiếp. Ý tưởng của phương pháp này là đi tìm một
hàm Lyapunov, đó là, một hàm xác định gần gốc sao cho nó cao hơn hoặc thấp hơn đạo hàm Dini theo (2.20) là xác định hoặc nửa xác định. Thì nó có thể trả lời câu hỏi liệu vị trí cân bằng có ổn định hay không. Tiếp theo ta xét tính ổn định và ổn định tiệm cận. Ta giả sử rằng