Xét bài toán tối ưu thời gian
T → inf, (3.12)
˙
x(t) ∈ F(x(t)), t ∈ [0, T], (3.13)
trong đó F : Rn → Rn là một ánh xạ đa trị Lipschitzian với các giá trị lồi đóng chứa trong quả cầu bán kính b > 0, và Ck, k = 1,2 là các tập đóng. Cho T >ˆ 0 là một thời gian tối ưu và cho xˆ(.) là một quỹ đạo tối ưu. Bài toán tối ưu thời gian tương đương với bài toán Mayer sau:
t( ˆT) → inf d
dτ(y(τ), t(τ)) ∈ F(y(τ), t(τ))
= {α(v,1) ∈ Rn×R|α ∈ [1/2,3/2], v ∈ F(y(τ))}, τ ∈ h0,Tˆi,
(y(0), t(0)) ∈ C0 × {0},(y( hatT), t( ˆT)) ∈ C1 ×R
Thật vậy, từ dt(τ)/dτ ∈ [1/2,3/2], bất kỳ quỹ đạo (y(τ), t(τ)) của bài toán Mayer là liên kết với một và chỉ một quỹ đạo x(t) = y(τ(τ−1(t))) của bài toán tối ưu thời gian. Quỹ đạo (ˆy(τ),ˆt(τ)) = (ˆx(τ), τ), t ∈ h0,Tˆ
i
hiển nhiên là một nghiệm tối ưu của bài toán Mayer. Theo Định lý 7.2 tồn tại một số λ ≥ 0 và một hàm (py, pt)(.) ∈ AC( h 0,Tˆ i ,Rn ×R) sao cho 1. (py, pt)(0) ∈ N((ˆy(0),tˆ(0)), C0 × {0}), (py, pt)( ˆT) ∈ −λ∂(y,t)t( ˆT)−N((ˆy( ˆT),tˆ( ˆT)), C1 ×R), 2. (py, pt)(τ) ∈ coF(ˆy(τ),t˙ˆ(τ),t˙ˆ(τ))(−(py, pt)(τ)), τ ∈ h 0,Tˆ i 3. |(py, pt)( ˆT)|+λ >0. Sử dụng Định lý 1.2.7và bài toán 3. 4 ta có 1. (py, pt)(0) ∈ N(ˆx(0), C0)×R, (py, pt)( ˆT) ∈ −λ(0,1)−N(ˆx( ˆT), C1)× {0}, 2. p˙y(τ) ∈ coF∗(ˆx(τ),x˙ˆ(τ))(−py(τ)), ˙ pt(τ) = 0,hpy(τ),x˙ˆ(τ)i+pt(τ) = 0, τ ∈ h0,Tˆ i , 3. |(py, pt)( ˆT)|+λ >0 . Đặt p= py, ta được
1. p(0) ∈ N(ˆx(0), C0), p( ˆT) ∈ −N(ˆx( ˆT), C1) , 2. p˙ ∈ coF∗(ˆx(τ),x˙ˆ(τ))(−p),
0 ≤λ = −pt(τ) = hp(τ),x˙ˆ(τ)i, τ ∈ h0,Tˆ
i
3.|(py, pt)( ˆT)|+λ > 0. Theo Định lý 1.2.8hp(τ),x˙ˆ(τ)i = S(p(τ), F(ˆx(τ))). Thấy rằng p( ˆT) 6= 0. Thật vậy, nếu p( ˆT) = 0, thì qua giới hạn bất đẳng thức
λ = −pt(τ) =hp(τ),x˙ˆ(τ)i = S(p(τ), F(ˆx(τ)))
khi t ↑ Tˆ, ta có λ = pt( ˆT) =S(0, F(ˆx(τ))) = 0, mâu thuẫn. Do đó ta có kết quả sau
Định lí 3.2.2. Cho Tˆ là một thời gian tối ưu và cho xˆ(.) là một quỹ đạo tối ưu. Thì tồn tại một hàm liên tục tuyệt đối p(.) sao cho
1. p(0) ∈ N(ˆx(0), C0), p( ˆT) ∈ −N(ˆx( ˆT), C1) ,
2. p˙ ∈ coF∗(ˆx(t),x˙ˆ(t))(−p),hp(t),x˙ˆ(t)i = S(p(t), F(ˆx(t))) ≡ (const) ≥ 0, t ∈ h0,Tˆ
i
3. p( ˆT) 6= 0
Ví dụ 3.2.1. Xét một ví dụ. Chuyển động thẳng của một thủy phi cơ có thể được mô tả bởi hệ điều khiển
¨
x= −F ( ˙x) +u, u ∈ [−1,1], (3.15) với u là hệ số lực ứng dụng và F(v) là sức cản. Sức cản F(v) có thể mô hình giống như một hàm tuyến tính từng mảnh
F (v) = αv, khi v ∈ [0, v1] −βv+ (α+β)v1, khi v ∈ [v1, v2] αv−(α+β) (v −v ), khi v ∈ [v ,∞[ (3.16)
với α và β là các hằng số dương thỏa mãn v2max{α, β} < 1. Ta đặt
F(v) = −F(−v) nếu v < 0. Làm quen với vận tốc v = ˙x, ta có thể viết hệ điều khiển dưới dạng
˙
x = v
˙
v = −F(v) +u, u ∈ [−1,1]
Xét bài toán bao gồm việc chọn u(.) để thời gian nhỏ nhất cần để lái thủy phi cơ từ vị trí ban đầu cho trước (x0, v0) tới vị trí (0,0). Bài toán tối ưu thời gian này có thể hình thức hóa như sau
T →inf
( ˙x,v˙) ∈ (v,−F(v) + [−1,1]),
(x, v)(0) = (x0, v0), (x, v)(T) = (0,0).
Cho (ˆx,vˆ)(.) là một quỹ đạo tối ưu. Theo Định lý 3.2.2 tồn tại một hàm liên tục tuyệt đối khác không (p, q)(t) ∈ R×R thỏa mãn
( ˙p,q˙)(t) ∈ (0,−p(t) + Γ(ˆv(t))q(t)), t ∈ h0,Tˆ i (3.17) với Γ (v) = α, khi v ∈ ]−∞,−v2[∪]−v1, v1[∪]v2,+∞[, −β, khi v ∈ ]−v2,−v1[∪]v1, v2[, [−β, α], khi v ∈ {±v1,±v2}, và q(t) ˆu(t) = max u∈[−1,1] (q(t)u) =|q(t)|, t ∈ h0,Tˆi (3.18) Từ (??) ta có p(t) ≡ p = (const). Nếu vˆ(t) ∈ {±/ v1,±v2}, t ∈ [t0, t1] ⊂ h 0,Tˆ i , thì Γ(ˆv(t)) ∈ {α,−β} và hàm q(t), t ∈ [t0, t1], thỏa mãn phương
trình vi phân q˙(t) = −p+ Γq(t), t ∈ [t0, t1]. Do đó
q(t) =eΓtq(t0) + p
Γ(1−eΓt), t ∈ [t0, t1]
Từ điều này ta thấy rằng q(t), t ∈ [t0, t1] là đơn điệu. Do đó (??) suy ra rằng điều khiển tối ưu trong khoảng này là một trong hai
ˆ u(t) = −1, t∈ [t0, τ[, 1, t ∈ ]τ, t1], hoặc uˆ(t) = 1, t∈ [t0, τ[, −1, t ∈ ]τ, t1],
với τ ∈ [t0, t1] là điểm thỏa mãn q(τ) = 0 (một điểm có thể không tồn tại). Thấy rằng quỹ đạo tối ưu không thể chuyển động theo các đường v = ±v1 và v = ±v2. Thật vậy, nếu vˆ(t) ∈ {±v1,±v2}, thì 0 = ˆv(t) = −F(ˆv(t)) + ˆu(t), t ∈ [t0, t1]. Mặt khác do (??) ta có q˙(t) ∈ −p + Γ(ˆv(t))q(t), t ∈ [t0, t1]. Điều này kéo theo (p, q(t)) ≡ (0,0), t ∈ [t0, t1]. Do đó (p, q(t)) ≡ (0,0), t ∈ h0,Tˆ
i
, mâu thuẫn. Vì vậy ta thấy rằng hàm q(t), t ∈ h0,Tˆi là đơn điệu và tồn tại nhiều nhất một điểm
τ ∈ h0,Tˆ
i
sao cho q(τ) = 0.
Dễ dàng thử lại rằng chỉ một nghiệm (x+, v+)(t), t ∈ ]−∞,0], của phương trình vi phân ˙ x = v ˙ v = −F(v) + 1, thỏa mãn (x+, v+)(0) = (0,0), và chỉ có một nghiệm (x−, v−)(t), t ∈ ]−∞,0] của phương trình vi phân
˙
x = v
˙
thỏa mãn (x−, v−)(0) = (0,0). Các hàm x±(t) và x±(t) là đơn điệu và thỏa mãn bất đẳng thức x+(t) ≥ 0, v+(t) ≤ 0, x−(t) ≤ 0 và v−(t) ≤ 0 với t ∈ ]−∞,0]. Hơn nữa limt→−∞x+(t) = +∞,limt→−∞v+(t) = −∞,limt→−∞x−(t) = −∞ và limt→−∞v−(t) = +∞. Do đó ta thấy rằng điều khiển tối ưu có dạng sau. Nếu điểm gốc (x0, v0) nằm trên đường cong C = {(x+, v+)(t)|t ∈ ]−∞,0]} ∪ {(x−, v−)(t)|t ∈ ]−∞,0], thì ˆ u(t) = −1, t ∈ [0, τ[, 1, t ∈ iτ,Tˆ i ,
với τ thỏa mãn (ˆx,vˆ)(τ) ∈ C và (ˆx,vˆ)(t) ∈ C/ , t ∈ [0, τ[. Nếu điểm gốc (x0, v0) nằm dưới đường cong C = {(x+, v+)(t)|t ∈ ]−∞,0]} ∪ {(x−, v−)(t)|t ∈ ]−∞,0], thì ˆ u(t) = 1, t ∈ [0, τ[, −1, t ∈ iτ,Tˆ i , với τ thỏa mãn (ˆx,vˆ)(τ) ∈ C và (ˆx,vˆ)(τ) ∈ C/ , t ∈ [0, τ[.
Kết luận: Chương này trình bày các ứng dụng của bao hàm thức vi phân vào điều khiển tối ưu, nghiên cứu hai bài toán điều khiển tối ưu dạng đặc biệt là bài toán điều khiển tối ưu Mayer và bài toán tối ưu thời gian.
Kết luận
Luận văn đã trình bày về một số kiến thức liên quan đến bao hàm thức vi phân, một số ứng dụng của bao hàm thức vi phân vào điều khiển tối ưu
• Chương 1 đã đưa ra một cách hệ thống các khái niệm và tính chất về giải tích lồi, giải tích đa trị, giải tích không trơn và một số kiến thức về đạo hàm suy rộng.
• Chương 2 trình bày về các định nghĩa và sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức vi phân, một số bao hàm thức vi phân đặc biệt và tính ổn định của bao hàm thức vi phân.
• Chương 3 trình bày về một số ứng dụng của bao hàm thức vi phân vào điều khiển tối ưu.
Những kiến thức này chứa đựng một số khái niệm cơ bản của bao hàm thức vi phân, sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức vi phân. Luận văn đã trình bày một số bao hàm thức vi phân đặc biệt và tính ổn định của bao hàm thức vi phân. Bên cạnh đó nêu lên được một số ứng dụng của bao hàm thức vi phân.
Việc nghiên cứu về bao hàm thức vi phân và ứng dụng chắc chắn còn đòi hỏi nhiều công sức. Với năng lực còn hạn chế và thời gian có hạn, chắc chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót. Kính mong quý thầy cô và các bạn cùng học góp ý để luận văn được hoàn thiện hơn.
Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu tiếng Việt
[1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB khoa học và kỹ thuật Hà Nội.
[2] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển, Giáo trình cao học, Viện Toán học.
[3] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[4] Nguyễn Đông Yên (2007), Giải tích đa trị, Nhà xuất bản Khoa học tự nhiên và Công nghệ.
[B] Tài liệu tiếng Anh
[5] Geogri V. Sminov (2002), Introduction to the theory of differential inclusions, American Mathematical Society Providence, Rhode Is- land.