Xét bao hàm thức vi phân
˙
x(t) ∈ F(x(t)) (2.20) trong đó F : Rn → Rn là ánh xạ đa trị thỏa mãn 0 ∈ F(0), tức là gốc là một vị trí cân bằng của bao hàm thức vi phân (2.20).
Định nghĩa 2.4.1. Vị trí cân bằng x = 0 của bao hàm thức vi phân (2.20) được gọi là ổn định (tương ứng ổn định yếu), nếu với mỗi ε > 0 cho trước , tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x0 ∈ δBn, mỗi (tương ứng ít nhất một) nghiệm x(.) của (2.20) với x(0) = x0 thỏa mãn |x(t)| < ε với mọi t≥ 0.
Lưu ý rằng, điều đó đòi hỏi các nghiệm bắt đầu gần với gốc tồn tại với mọi t ≥0. Vị trí cân bằng x = 0 được gọi là ổn định một cách tiệm cận (tương ứng ổn định một cạch tiệm cận yếu), nếu trong phép cộng nó ổn định (tương ứng ổn định yếu)
Khi vị trí cân bằng x = 0 không ổn định yếu ta nói rằng nó không ổn định.
Những khái niệm ổn định có động cơ từ những bài toán kỹ thuật. Tính ổn định có ý nghĩa Heuristic sau. Xem phương trình vi phân là một mô hình của hệ và coi gốc như là vị trí trạng thái dừng mong muốn của một phương trình vi phân
˙
x(t) = f(x(t))
Bởi vì không thể dự đoán được sự nhiễu loạn động lực nên được mô tả bởi một bao hàm thức vi phân
˙
x(t) ∈ F(x(t))
Tính ổn định bảo đảm rằng mọi giá trị trạng thái gần không (close- to- zero- state) mà hệ nhận trong sự tiến hóa của nó không quá xa những yêu cầu mong muốn. Ổn định tiệm cận kéo theo biên độ của sự nhiễu loạn ban đầu giảm và cuối cùng triệt tiêu.
Khái niệm ổn định yếu và ổn định tiệm cận yếu là động cơ của một bài toán khác. Ta có một hệ điều khiển
˙
x = f(x, u), u ∈ U
và f(0, u0) = 0, với u0 ∈ U. Mục đích của chúng ta là trả lời câu hỏi: Nó có thể giữ hệ thống trong lân cận của vị trí cân bằng 0 hoặc điều khiển nó tới vị trí cân bằng từ bất kỳ vị trí ban đầu nào trong lân cận của gốc hay không? Bài toán này là gần với bài toán điều khiển được. Vì lý do này ổn định tiệm cận yếu thường được gọi là điều khiển được tiệm cận .
Để đặc trưng một dáng điệu tiệm cận của một nghiệm cho trước của (2.20), ta dùng lũy thừa Lyapunov. Cho f : R→ R là một hàm liên tục, lũy thừa Lyapunov của f được định nghĩa bởi
χ[f(.)] = − lim
t→∞sup1
tln|f(t)|
Dễ dàng kiểm tra được rằng lũy thừa Lyapunov có các tính chất sau: 1. χ[(f +φ)(.)] ≥min{χ[f(.)], χ[φ(.)]},
2. χ[(f φ)(.)] ≥χ[f(.)] +χ[φ(.)],
3. χ[(f φ)(.)] = χ[f(.)], với 0 < a ≤ φ(t) < b < ∞
Nếu f : R → Rn là một hàm véc tơ, thì lũy thừa Lyapunov được định nghĩa như giá trị cực tiểu của lũy thừa Lyapunov của các thành phần:
χ[f(.)] = minχf1(.), ..., χ[fn(.)]
Xét một hàm liên tục V : Rn → Rsao cho V(0) = 0. Ta nói rằng V là xác định dương (tương ứng âm) nếu V(x) > 0 ( V(x) < 0) ∀x 6= 0. Hàm
v gọi là nửa xác định dương (tương ứng âm) nếu V(x) ≥ 0 ( V(x) ≤ 0) ∀x 6= 0.
Một công cụ rất mạnh trong giải tích ổn định được cho bởi phương pháp Lyapunov trực tiếp. Ý tưởng của phương pháp này là đi tìm một
hàm Lyapunov, đó là, một hàm xác định gần gốc sao cho nó cao hơn hoặc thấp hơn đạo hàm Dini theo (2.20) là xác định hoặc nửa xác định. Thì nó có thể trả lời câu hỏi liệu vị trí cân bằng có ổn định hay không. Tiếp theo ta xét tính ổn định và ổn định tiệm cận. Ta giả sử rằng ánh xạ đa trị F : Rn → Rn với các giá trị lồi, compact là bị chặn và nửa liên tục trên. Nhắc lại rằng đạo hàm trên Dini của một hàm
f : Rn →R∪ {∞} được xác định bởi D+f(x)(v) = lim sup α↓0,v,→v f (x+αv,)−f (x) α . Ta sẽ dùng kết quả bổ trợ sau. Bổ đề 2.4.1. Cho w : [0, T] →R và h : [0, T] → R là các hàm liên tục. Giả sử rằng D+w(t)(1) ≤ h(t), t ∈ [0, T]. Thì w (t)−w (0) ≤ Z T o h(t)dt
Chứng minh. Đặt t0 = 0. Cho ε > 0. Vì D+w(t0)(1) ≤ h(t), thì tồn tại
δ0 > 0 sao cho
w(t0 +δ0) ≤ w(t0) +δ0h(t0) +δ0ε
Bằng quy nạp ta định nghĩa ti+1 = ti + δi, i = 0,1, ... Với bất kỳ i tồn tại δi sao cho
w(ti +δi) ≤ w(ti) +δih(ti) +δiε (2.22) Đặt ˆt = sup{ti|i = 0,1, ...}. Ta thấy rằng tˆ= T. Giả sử rằng ˆt < T. Suy ra với bất kỳ δ > 0 ta có
w(ti +δ) ≤ w(ti) +δh(ti) +δε
Khi i đủ lớn. Qua giới hạn ta có
w(ˆt+δ) ≤w(ˆt) +δh(t) +δε,∀δ >0
Do đó D+w(ˆt)(1) ≤h(ˆt), mâu thuẫn. Vì vậy ˆt = T. Từ (2.22) ta có w (T)−w (0) ≤
∞
X
i=1
Nếu δi > 0 đủ nhỏ, thì chúng ta có ∞ X i=1 δih(ti) ≤ Z T 0 h(t)dt+ε Do đó w (T)−w (0) ≤ Z T 0 h(t)dt+ (T + 1)ε Vì ε > 0 là tùy ý, ta có kết quả. Định lí 2.4.1. Giả sử rằng tồn tại một số η > 0, một hàm xác định dương V :Rn →R, và một hàm nửa xác định âm W : Rn → R sao cho
D+V(x)(v) ≤ W(x),
với mọi v ∈ F(x),|x| ≤ η. Thì vị trí cân bằng x = 0 của bao hàm thức vi phân (2.20) là ổn định.
Chứng minh. Cho ε ∈ ]0, η[. Xét tập Ω = {x||x| = ε}. Kí hiệu cực tiểu của V trong Ω là w. Vì V là xác định dương, ta có ε > 0. Cho α > 0 sao cho V(x) < w, với mọi |x| < α. Xét một nghiệm x(.) của (2.20) với |x(0)| < α. Nghiệm đó hiển nhiên tồn tại trong một vài khoảng [0, T[.
Chúng ta ước lượng đạo hàm
D+V (x(t)) (1) = lim sup τ↓0,θ→0
V (x(t+ τ (1 +θ)))−V (x(t))
τ
Cho τi ↓ 0 và θi →0 là các dãy sao cho
D+V (x(t)) (1) = lim sup
i→∞
V x(t) +τiτi−1(x(t+τi(1 +θi))−x(t))−V (x(t))
Cho ε > 0. Vì F là nửa liên tục trên, từ Bổ đề 2.2.3 ta có τi−1(x(t+τi(1 +θi))−x(t)) =τi−1 Z t+τi(1+θi) t ˙ x(s)ds ⊂ F (x(t)) +εBn
Khiiđủ lớn. Không mất tính tổng quát dãyτi−1(x(t+τi(1 +θi)) −x(t)) hội tụ tới một véc tơ v. Tập F(x(t)) là đóng và số ε > 0 là tùy ý. Do đó
v ∈ F(x(t)). Từ điều này ta được
D+ V (x(t)) (1) ≤D+V (x(t)) (v) ≤W (x(t)) Theo Bổ đề 2.4.1 ta có V (x(t))−V (x(0)) ≤ Z t 0 W (x(s))ds ≤ 0, với mọi t∈ [0, T[. Do đó V (x(t)) ≤V (x(0)) < ε
Từ đó ta thấy rằng |x(t)| < ε với mọi t ∈ [0, T[. Điều này kéo theo rằng
x(.) tồn tại với mọi t ≥0 và vị trí cân bằng 0 là ổn định
Định lí 2.4.2. Giả sử rằng tồn tại một số η > 0, một hàm xác định dương V :Rn →R, và một hàm xác định âm W : Rn ×R →R sao cho
D+V(x)(v) ≤ W(x)
với mọi v ∈ F(x),|x| ≤ η. Thì vị trí cân bằng x = 0 của bao hàm thức vi phân (2.20) là ổn định tiệm cận
Chứng minh. Theo Định lý 2.4.1 ta biết rằng tồn tại một vài số α > 0 sao cho với bất kỳ nghiệm x(.) của (2.20) với |x(0)| < α tồn tại trong [0,∞[ và |x(t)| < η với mọi t ≥ 0. Ta thấy rằng x(t) → 0 khi t → ∞. Giả sử rằng V(x(t)) ≥ l > 0 với mọi t ≥ 0. Tồn tại một số δ > 0 sao cho V(x) < l với mọi |x| < δ. Ta kết luận rằng nghiệm x(.) thỏa mãn |x(t)| > δ với mọi t ≥ 0. Đặt µ = −max{W(x)|δ ≤ |x| ≤ η}. Thì ta có
W(x(t)) ≤ −µ với mọi t ≥0
Lý luận giống như chứng minh của Định lý 2.4.1 và áp dụng Bổ đề 2.4.1 ta có
V(x(t)) ≤ V(x(0))−µt
Suy ra V(x(t)) < 0 với mọi t đủ lớn, mâu thuẫn. Ta thấy rằng hàm
V(x(t)) lấy giá trị dương nhỏ tùy ý với t đủ lớn. Từ V(x(t)) là không tăng, ta có V(x(t)) → 0 với t → ∞. Do đó ta cũng có |x(t)| → 0 với
t→ ∞
Định lí 2.4.3. Cho V : Rn → R là một hàm liên tục với V(0) = 0, và cho W : Rn → R là một hàm xác định âm sao cho
D+V(x)(v) ≤ W(x)
Với mọi v ∈ F(x),|x| ≤ η, η > 0. Giả sử rằng với mỗi δ > 0 tồn tại ít nhất một x với |x| < δ sao cho V(x) < 0. Thì vị trí cân bằng x = 0 của bao hàm thức vi phân (2.20) là không ổn định
Chứng minh. Cho x(.) là một nghiệm của bao hàm thức vi phân (2.20) với |x(0)| < η và V(x(0)) < 0. Thì tồn tại δ > 0 sao cho V(x) > V(x(0)),∀|x| < δ. Lý luận giống như chứng minh của Định lý 2.4.1 và
áp dụng Bổ đề 2.4.1 ta có V (x(t)) ≤ V (x(0)) + Z t 0 W (x(s))ds ≤ V (x(0))
Do đó ta không thể có|x(t)| < δ. Đặt µ= −max{W(x)|deg ≤ |x| ≤ η}. Thì ta có
V (x(t)) ≤ V (x(0))−tµ
với mọi t ≥ 0. Vì biểu thức trên tiến dần tới −∞ khi t → ∞, tồn tại
T > 0 sao cho |x(T)| = η. Do đó dễ dàng lấy α > 0 nhỏ tùy ý sao cho, nghiệm x(.) của (2.20) với |x(0)| < α sẽ thỏa mãn quan hệ |x(T)| = η
tại một vài T > 0. Ta kết luận rằng vị trí cân bằng x = 0 của (2.20) là không ổn định.
Định lý sau nói về tính ổn định yếu và ổn định tiệm cận yếu.
Định lí 2.4.4. Giả sử rằng tồn tại một số η > 0, một hàm xác định dương V : Rn →R, và một hàm nửa xác định âm (tương ứng xác định)
W : Rn → R sao cho với bất kỳ x ∈ ηBn có một véc tơ v ∈ F(x) thỏa mãn
D−V(x)(v) ≤ W(x)
Thì vị trí cân bằng x = 0 của bao hàm thức vi phân (2.20) là ổn định yếu (tương ứng ổn định tiệm cận).
Chứng minh. Cho ε ∈ ]0, η[. Xét tập Ω = {x||x| = ε}. Ký hiệu cực tiểu của V trong Ω là w. Từ V là xác định dương, ta có w > 0. Đặt
Áp dụng định lý 1.4.2, ta thấy rằng với bất kỳ x0 ∈ αBn thì tồn tại một nghiệm x(.) ∈ S[0,∞](F, x0) thỏa mãn V (x(t))−V (x(0)) ≤ Z t 0 W (x(s))ds
Lý luận giống như định lý 2.4.1 và 2.4.2 ta có kết quả. 2.4.2. Bao hàm thức vi phân chọn tuyến tính
Trong phần này ta xét bao hàm thức vi phân ˙
x(t) ∈ A(x(t)) (2.23) trong đó ánh xạ đa trị A : Rn → Rn có dạng
A(x) = {v|v = Cx, C ∈ C}
Với C là tập lồi compact trong không gian các ma trận thực cấp n×n C = ||cij||. Như vậy ánh xạ đa trị A được gọi là chọn tuyến tính, với vế phải là hợp của các ánh xạ tuyến tính. Hiển nhiên A(0) = {0}. Ta nói rằng một ánh xạ đa trị chọn tuyến tính là ổn định tiệm cận nếu vị trí cân bằng 0 của bao hàm thức vi phân (2.23) là ổn định tiệm cận.
Sau đây ta giới thiệu về hệ tuyến tính. Đầu tiên ta xét bao hàm thức chọn tuyến tính đơn giản nhất, cụ thể là, một hệ tuyến tính
˙
x = Cx (2.24)
với C là một ma trận cấp n×n. Các nghiệm λ1, ..., λn của đa thức đặc trưng det(C −λE) = 0 được gọi chung là phổ của C. Vì bất kỳ nghiệm nào của (2.24) có thể biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính của các hàm
vị trí cân bằng x = 0 của (2.24) là ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu tất cả các giá trị riêng của C có phần thực âm.
Ta thấy rằng từ tính ổn định tiệm cận của vị trí cân bằng 0 của (2.24) theo sự tồn tại của hàm Lyapunov bậc hai thỏa mãn các điều kiện của định lý 2.4.2. Sau đó ta thiết lập sự tồn tại của một hàm Lyapunov với một bao hàm thức vi phân chọn tuyến tính ổn định tiệm cận tổng quát, nhưng phép chứng minh này không thể xây dựng đối với trường hợp của một hệ tuyến tính.
Trước tiên ta xét bài toán sau. Cho W(x) là một dạng toàn phương. Mục đích của chúng ta là tìm một dạng toàn phương V(x) thỏa mãn
h5V(x), Cxi = λV(x) +W(x) (2.25) với mọi x ∈ Rn. Ta liên kết các ma trận đối xứng V = ||vi,j|| và W = ||wi,j|| với các dạng V(x) và W(x), nghĩa là, V(x) = hx, V xi và W(x) = hx, W xi. Thì (2.25) có thể được viết thành
V C +C∗V = λV +W (2.26)
Phương trình (2.26) là một phương trình đại số với n(n+ 1)
2 ẩn vi,j, i= 1, n, j = 1, n, i ≥ j. Phương trình này có thể giải được với bất kỳ ma trận đối xứng W nếu và chỉ nếu hệ đại số
V C +C∗V = λV (2.27)
có định thức khác 0, nghĩa là, λ không là một nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ đại số
Kết quả sau cho phép chúng ta tính toán tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng với hệ (2.28)
Định lí 2.4.5. Tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng với hệ (2.28) được cho bởi công thức
λ = m1λ1 +...+mnλn (2.29)
với λi, i= 1, n là các giá trị riêng của C và mi, i= 1, n là các số nguyên không âm thỏa mãn
m1 +...+mn = 2 (2.30)
Chứng minh. Cho ci, i = 1, n là các véc tơ riêng của C∗ tương ứng với các giá trị riêng λi, i = 1, n. Xét dạng toàn phương
V(x) = hc1, xim1...hcn, ximn,
trong đó mi, i = 1, n là các số nguyên không âm thỏa mãn (2.39). Ta có h5V(x), Cxi = m1hc1, xim1−1hc2, xim2...hcn, ximnhc1, Cxi
+m2hc1, xim1hc2, xim2−1...hcn, ximnhc2, Cxi+...
+mnhc1, xim1hc2, xim2...hcn, ximn−1hcn, Cxi = (m1λ1 +...+mnλn)V(x)
Do đó, ma trận V tương ứng với dạng V(x) là một nghiệm không tầm thường của (2.27) với λ thỏa mãn (2.29). Đó là, bất kỳ λ = m1λ1+...+
mnλn với mi, i = 1, n là các số nguyên không âm thỏa mãn (2.39) là một nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ (2.28).
(2.39). Nếu tất cả các số (2.29) với mi là các số nguyên không âm thỏa mãn (2.39) là khác nhau, thì chúng ta có n(n+ 1)/2 nghiệm khác nhau của phương trình đặc trưng với hệ (2.28). Do đó ta có kết quả. Trong trường hợp tổng quát kết quả có thể thu được từ việc lấy giới hạn. Điều phải chứng minh
Định lí 2.4.6. Giả sử rằng tất cả các giá trị riêng λi, i= 1, n của C có phần thực âm. Thì tồn tại một dạng toàn phương xác định dương V(x)
thỏa mãn
h5V(x), Cxi = λV(x)− hx, xi (2.31)
với mọi x ∈ Rn, trong đó
0≥ λ >2max{Reλi|i = 1, n} (2.32)
Chứng minh. Từ tất cả các giá trị riêng λi, i = 1, n của ma trận C có phần thực âm. Theo Định lý 2.4.5 thìλ thỏa mãn (2.32) tồn tại và không thể là một nghiệm của đa thức đặc trưng với hệ (2.28). Vậy thì tồn tại một dạng toàn phương đơn trị V(x) thỏa mãn (2.31)
Ta thấy rằng dạng đó xác định dương. Cho V là một ma trận đối xứng thỏa mãn V(x) =hx, V xi. Thì (2.31) tương đương với
V C +C∗V = λV −E
V(C − λ
2E) + (C
∗ − λ
2E)V = −E (2.33)
Xét phương trình vi phân tuyến tính ˙
x = (C − λ
Tất cả các giá trị riêng của ma trận C−λ
2E có phần thực âm. Từ (2.33) ta thấy rằng với bất kỳ quỹ đạo nào của (2.34)
d
dtV(x(t)) = −hx(t), x(t)i (2.35) Nếu dạng V(x) lấy giá trị âm, thì theo Định lý 2.4.3 vị trí cân bằng
x = 0 của (2.34) là không ổn định, mâu thuẫn. Nếu V(x) nửa xác định dương và tồn tại một điểm x sao cho V(x) = 0, thì từ (2.5) ta có h5V(x),(C − λ
2E)xi < 0. Do đó tồn tại một điểm z sao cho V(z) < 0, mâu thuẫn. Vì vậy V(x) là một dạng toàn phương xác định dương.
Tiếp theo ta xét tính ổn định tiệm cận của bao hàm thức vi phân chọn tuyến tính. ChoA : Rn → Rn là một ánh xạ đa trị chọn tuyến tính. Kí hiệu |A| là max{|C||C ∈ C}.
Bổ đề 2.4.2. Nếu A : Rn → Rn là một ánh xạ đa trị chọn tuyến tính ổn định tiệm cận, thì tồn tại một hằng số a > 0 và γ > 0 sao cho
|x(t)| ≤ a|x(0)|e−γt, t ≥0
Với bất kỳ nghiệm x(.) của bao hàm thức vi phân (2.23).
Chứng minh. Thấy rằng có δ > 0 và τ > 0 sao cho tất cả nghiệm x(.) của (2.23) với |x(0)| ≤ δ ta có |x(t)| ≤ δ/e với t ≥ τ. Nếu ta giả sử ngược lại, thì với bất kỳ δ > 0 tồn tại nghiệm xk(.), k = 1,2, ..., và một dãy tk → ∞ sao cho |xk(0)| ≤ δ và |xk(tk)| > δ/e. Vì x = 0 là một vị trí cân bằng ổn định tiệm cận, δ > 0 có thể lấy quá nhỏ mà tất cả các nghiệm với |x(0)| ≤ δ ta có |x(t)| ≤ 1, t ≥ 0 và x(t) → 0 khi t → ∞.
có |x(t)| ≤ δ/e, t ≥ 0. Thì µ ≤ |xk(t)| ≤ 1, t ∈ [0, tk], k = 1,2, .... Thật vậy, nếu |xk(t∗)| < µ với một vài t∗ ∈ [0, tk] thì nghiệm z(t) =xk(t+t∗) thỏa mãn |z(0)| < µ và |z(tk −t∗)| > δ/e. Mâu thuẫn với cách chọn µ. Xét sự hạn chế của các nghiệm xk(.) trên khoảng [0, t1]. Theo Định lý Arzela- Ascoli ta có thể chọn một dãy con hội tụ đều. Từ dãy con này ta có thể chọn một dãy con mới hội tụ trên [0, t2], ..Giới hạn hàm x(.) là một nghiệm thỏa mãn |x(0)| ≤ δ và µ ≤ |x(t)| ≤ 1, t ≥ 0 (xem định lý 2.3.1). Vì thế x(.) không tiến đến 0, mâu thuẫn. Vì vậy có δ > 0 và
τ > 0 sao cho tất cả nghiệm với |x(0)| ≤ δ ta có |x(t)| ≤δ/e với t≥ τ. Đặt b = sup{|x(.)|C|x(.) ∈ S[0,τ](A, Bn)}. Bởi hệ quả 2.3.2 b là hữu hạn. Cho x(.) ∈ S[0,∞](A) ( từ bất đẳng thức Gronwall ta biết rằng