Trong mục này ta sẽ nghiên cứu sự phục thuộc liên tục của tập nghiệm ΣF của bài toán (2.1)-(2.3) vào dữ kiện ban đầu (ϕ, U) ∈ B ×EN. Để làm được điều này ta cần thêm giả thiết cho không gian pha B.
Giả sử rằng
(B4) tồn tại l > 0 sao cho kψ(0)k ≤ lkψkB với mọi ψ ∈ B;
(B5) tồn tại m, 0 ≤ m ≤ +∞, sao cho với mọi dãy {ψn} ⊂ Bvới kψn −ψ0kB → 0 dãy {ψn(θ)} là compact tương đối trong E với mỗi θ ∈ [−m,0].
Dễ dàng kiểm tra được rằng cả hai không gian pha trong ví dụ trong chương trước đều thỏa mãn các tính chất này. Cụ thể, l = 1 trong cả hai trường hợp, và m = +∞ trong trường hợp (1) và m = r trong trường hợp (2).
Ngoài ra, ta giả thiết rằng ánh xạ F : [0, T]× B ×EN → Kv(E)
thỏa mãn các điều kiện (F1), (F20), và tính chất sau đây (χ-chính quy):
(F30) tồn tại hàm k ∈ Lp(0, T) sao cho với mọi tập bị chặn Q ⊂ B và
Ωj ⊂E, j = 0, ..., N −1, ta có χ F(t,Q, N−1 Y j=0 Ωj) ! 6 k(t) sup −m6θ60 χ(Q(θ)) + N−1 X j=0 χ(Ωj) ! .
Bây giờ, ta xét trong không gian tích B ×EN×CN−1([0, T];E) tập hợp
∆ = {(ψ;eu0, ...,ueN−1;v) : ψ(0) = eu0 = v(0),eu1 = v0(0), ...,ueN−1 = v(N−1)(0)} là tập đóng do giả thiết (B4). Ta định nghĩa họ các toán tử
Ψ : ∆→ P(CN−1([0, T];E)) bởi Ψ(ψ;eu0, ...,ueN−1;v) = eu∗ +S ◦ PF(v[ψ]), trong đó e u∗(t) = N−1 X k=0 tk k!uek, 06 t 6T. Rõ ràng v ∈ Ψ(ψ;ue0, ...,euN−1;v) suy ra v[ψ] ∈ CE(−∞, T) thuộc tập nghiệm ΣF(ψ, U), với U = (ue0, ...,euN−1).
Bổ đề 2.6. Toán tử đa trịΨ là đóng, có nghĩa với mọi dãy{(ψn, Un, vn)} ⊂
∆ và wn ∈ Ψ(ψn, Un, vn), điều kiện kψn−ψ0kB → 0, kUn−U0kEN →0, kvn−v0kCN−1 → 0, và kwn −w0kCN−1 → 0 suy ra w0 ∈ Ψ(ψ0, U0, v0).
Chứng minh. Xét dãy {fn} ⊂ Lp(0, T;E) sao cho fn ∈ PF(vn[ψn]) và wn = ue∗n +S(fn). (2.19) Ở đây, e u∗n(t) = N−1 X k=0 tk k!(uek)n, 06 t6 T, và (euk)n, k = 0, ..., N −1 là các thành phần của Un.
Từ giả thiết(B3), ta suy ra dãy{vn[ψn]t}bị chặn đều theot∈ [0, T]. Do đó (F20) suy ra dãy{fn} là Lp-bị chặn.
Hơn nữa, từ điều kiện (F30) ta có với hầu khắp t∈ [0, T]: χ({fn(t)}) 6 χ(F (t,{vn[ψn]t},{Un})) 6 k(t) sup −m6θ60 χ({vn[ψn]t(θ)}) + N−1 X j=0 χ({(uej)n}) ! = k(t) sup −m6θ60 χ({vn[ψn]t(θ)}) = k(t) maxn sup 06τ6t χ({vn(τ)}), sup t−m6τ060 χ({ψn(τ0)})o nếu0 6 t < m, k(t) sup t−m6τ6t χ({vn(τ)}) nếum 6 t. Sử dụng giả thiết (B5), ta kết luận rằng cả hai giá trị triệt tiêu và do đó dãy {fn} là nửa compact. Áp dụng Mệnh đề 2.4 và Bổ đề 2.1, ta có thể giả thiết rằng fn * f0, ở đó f0 ∈ PF(v0[ψ0]). Áp dụng Mệnh đề 2.4 một lần nữa, và qua giới hạn trong (2.19), ta có
và định lý được chứng minh.
Ta sẽ chứng minh kết quả chính của mục này. Ký hiệu Ξ là không gian con đóng của B ×EN xác định bởi
Ξ := {(ψ, U) = (ψ;eu0, ...,ueN−1) : ψ(0) = ue0}.
Với (ϕ, U) ∈ Ξ, ký hiệuΣF(ϕ, U) ⊂ CE(−∞, T) là tập các nghiệm của bài toán (2.1)-(2.3).
Định lý 2.4. Với các giả thiết (B1)− (B5), (F1), (F20), và (F30), ánh xạ đa trị
ΣF : Ξ→ P(CE(−∞, T))
là nửa liên tục trên.
Chứng minh. Trước tiên, ta chứng minh tính nửa liên tục trên của ánh xạ Υ : Ξ →K(CN−1([0, T];E)) xác định bởi
Υ(ϕ, U) = {v ∈ Ψ(ϕ, U, v)}.
Giả sử ngược lại, tồn tại ε0, và các dãy {(ϕn, Un)} ⊂ Ξ, với kϕn − ϕ0kB → 0, kUn −U0kEN → 0, {vn} ⊂ CN−1([0, T];E), vn ∈ Υ(ϕn, Un) sao cho vn ∈/ Wε0(Υ(ϕ0, U0)), n≥ 1, (2.20) ở đó Wε0 là ε0-lân cận của tập hợp W. Ta có vn ∈ Ψ(ϕn, Un, vn), n ≥ 1, (2.21) nghĩa là, vn = eu∗n+S(fn),
ở đó e u∗n(t) = N−1 X k=0 tk k!(uek)n, 06 t6 T, và fn ∈ PF(vn[ϕn]).
Sử dụng chứng minh của Định lý 2.3, ta kết luận rằng dãy {vn} bị chặn. Bây giờ sử dụng giả thiết (F30) và (B5) ta có ước lượng sau với hầu khắp s ∈ [0, t] : χ({fn(s)}) 6 χ(F(s,{vn[ϕn]s},{Un}) 6 k(s) sup −m6θ60 χ({vn[ϕn]s(θ)}) =k(s) sup 06τ6s χ({vn(τ)}). Từ đó ta có, như trong chứng minh Bổ đề 2.4, γ({vn}) = 0, và tập {fn(t)} là compact tương đối với hầu khắp t∈ [0, T].
Từ tính bị chặn của các dãy {ϕn}, {Un}, và {vn}, nhờ giả thiết
(F20), ta dễ dàng suy ra dãy {fn} là Lp-bị chặn và do đó, là nửa compact. Do Mệnh đề 2.4, ta có dãy {vn} là compact tương đối và ta có thể giả thiết rằng vn → v0 ∈ CN−1([0, T];E). Nhưng từ Bổ đề 2.6 và (2.21) ta lại có
v0 ∈ Ψ(ϕ0, U0, v0),
điều này mâu thuẫn với (2.20).
Chú ý rằng ΣF có thể biểu diễn dưới dạng tích các ánh xạ Π : Ξ → P(∆),
Π(ϕ, U) = {ϕ} × {U} ×Υ(ϕ, U),
và hàm liên tục κ : ∆ → CE(−∞, T), κ(ϕ, U, v) = v[ϕ]. Từ Định lý 2.3 ta biết rằng mỗi giá trị Υ(ϕ, U) là compact. Sử dụng tính chất liên
tục của các ánh xạ đa trị (xem [20]), ta kết luận rằng ΣF là ánh xạ nửa liên tục trên.
KẾT LUẬN
Luận văn nghiên cứu một lớp bài toán Cô-si nửa tuyến tính đối với bao hàm thức bậc phân số với trễ vô hạn. Tìm những điều kiện điều kiện thích hợp đảm bảo giải được của bài toán Cô-si đối với bao hàm thức vi phân bậc phân số tổng quát. Chứng minh tính ổn định của tập hợp nghiệm theo nghĩa ánh xạ nghiệm là nửa liên tục trên theo tập giá trị ban đầu.
Do còn nhiều hạn chế về kiến thức và thời gian, luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Em mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của quý thầy cô và các bạn đọc để bản luận văn được hoàn thiện hơn.
[1] R. P. Agarwal, M. Benchohra, S.Hamani, A Survey on Existence Results for Boundary Value Problems of Nonlinear Fractional Dif- ferential Equations and Inclusions. Acta Appl. Math. 109 (2010) 3, 973-1033.
[2] R. R. Akhmerov, M. I. Kamenskii, A. S. Potapov, A. E. Rodkina, B. N. Sadovskii, Measures of Noncompactness and Condensing Operators, Birkh¨auser, Boston-Basel-Berlin, 1992.
[3] J.-P. Aubin, H. Frankowska, Set-Valued Analysis.Systems & Con- trol: Foundations & Applications, 2. Birkh¨auser Boston, Inc., Boston, MA, 1990.
[4] Z. Bai, H. Lu, Positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractional differential equations. J. Math. Anal. Appl. 311 (2005), no. 2, 495-505.
[5] J. Banas and K. Goebel, Measures of Noncompactness in Banach Spaces, Marcel Dekker, New York, 1980.
[6] A. Bashir, O-E. Victoria, Existence of Solutions for Fractional Differential Inclusions with Antiperiodic Boundary Conditions. Boundary Value Problems, 2009, Article ID 625347.
[7] M. Belmekki, M. Benchohra, L. Górniewicz, Functional differen- tial equations with fractional order and infinite delay. Fixed Point Theory 9(2008), no. 2, 423-439.
[8] M. Benchohra, F. Berhoun, Impulsive fractional differential equa- tions with variable times. Compu. Math. Appl. 59 (2010) 1245- 1252.
[9] M. Benchohra, S. Hamani, The method of upper and lower so- lutions and impulsive fractional differential inclusions. Nonlinear Analysis: Hybrid Systems 3 (2009) 433-440.
[10] M. Benchohra, S. Hamani, S.K. Ntouyas, Boundary value prob- lems for differential equations with fractional order and nonlocal conditions. Nonlinear Anal. 71 (2009) 2391-2396.
[11] Yu. G. Borisovich, B. D. Gelman, A. D. Myshkis, V. V. Obukhovskii, Introduction to Theory of Multivalued Maps and Differential Inclusions. Second edition, Librokom, Moscow, 2011 (in Russian).
[12] Y-K.Chang, J. J. Nieto, Some new existence results for fractional differential inclusions with boundary conditions. Math. Comp. Model. 49 (2009) 605-609.
[13] K. Deimling, Multivalued Differential Equations. de Gruyter Se- ries in Nonlinear Analysis and Applications, 1. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1992.
[14] J. Diestel, W. M. Ruess, W. Schachermayer, Weak compactness in L1(µ, X), Proc. Amer. Math. Soc. 118 (1993), 447-453.
[15] M. N. Gaston, A Cauchy problem for some fractional abstract differential equation with non local conditions. Nonlinear Anal. 70 (2009) 1873-1876.
[16] C. Gori, V. Obukhovskii, M. Ragni, P. Rubbioni, Existence and continuous dependence results for semilinear functional differen- tial inclusions with infinite delay. Nonlinear Anal. 51 (2002) 765 - 782.
[17] D. Guo, A Class of nth-Order Impulsive Integrodifferential Equa- tions in Banach Spaces.Compu. Math. Appl. 44 (2002) 1339-1356. [18] J. Henderson A. Ouahab, Impulsive differential inclusions with
fractional order. Compu. Math. Appl. 59 (2010) 1191-1226. [19] Y. Hino, S. Murakami, T. Naito, Functional Differential Equa-
tions with Infinite Delay. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 1473, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1991.
[20] M. Kamenskii, V. Obukhovskii, P.Zecca, Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces. de
Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, 7. Walter de Gruyter & Co., Berlin - New York, 2001.
[21] A. A. Kilbas, H. M. Srivastava, J. J. Trujillo, Theory and Applica- tions of Fractional Differential Equations. North-Holland Mathe- matics Studies, 204, Elsevier Science B.V., Amsterdam, 2006. [22] V. Kiryakova, Generalized Fractional Calculus and Applications.
Pitman Research Notes in Math. Series, 301. Longman Sci. Tech., Harlow; copublished in the U.S. with John Wiley, New York, 1994. [23] V. Lakshmikantham, Theory of fractional functional differential
equations. Nonlinear Anal. 69 (2008), no.10, 3337-3343.
[24] V. Lakshmikantham, A.S. Vatsala, Basic theory of fractional dif- ferential equations. Nonlinear Anal. 69 (2008), no.8, 2677-2682. [25] V. Lakshmikantham, A.S. Vatsala,General uniqueness and mono-
tone iterative technique for fractional differential equations. Appl. Math. Lett. 21 (2008), no.8, 828-834.
[26] K. S. Miller, B. Ross, An Introduction to the Fractional Calcu- lus and Fractional Differential Equations. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1993.
[27] V. Obukhovskii, J.-C. Yao, Some existence results for fractional functional differential equations. Fixed Point Theory 11 (2010), no.1, 85-96.
[28] A. Ouahab, Some results for fractional boundary value problem of differential inclusions. Nonlinear Anal. 69 (2008), no.11, 3877- 3896.
[29] I. Podlubny, Fractional Differential Equations. An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, to Methods of Their Solution and Some of Their Applications. Math- ematics in Science and Engineering, 198. Academic Press, Inc., San Diego, CA, 1999.
[30] Y. Qin, Nonlinear Parabolic-Hyperbolic Coupled Systems and Their Attractors. Operator Theory: Advances and Applica- tions, 184. Advances in Partial Differential Equations (Basel). Birkh¨auser Verlag, Basel, 2008.