Dưới vi phân của hàm giá trị tối ưu
2.1. Đánh giá dưới vi phân của hàm giá trị tối ưu
Trong phần này, các không gian P, X luôn giả thiết là Asplund. Xét ánh xạ nghiệm M(·) được định nghĩa như trong (1.12). Lấy p¯∈ P
và x¯ ∈ M(¯p). Ta nhắc lại từ [12, Sect. 5] rằng M(·) được gọi là µ-nửa liên tục nội bộ tại (¯p,x)¯ nếu với mỗi dãy pk →µ p¯khi k → ∞ tồn tại dãy
xk ∈ M(pk), k ∈ N, sao cho dãy {xk} chứa một dãy con hội tụ tới x¯. Ở đây pk →µ p¯nghĩa là pk →p¯và µ(pk) →µ(¯p).
Định nghĩa 2.1.1. Cho h: Ω ⊂X → Y là một ánh xạ đơn trị và x¯ ∈ Ω.
h được gọi là Lipschitz trên (địa phương) tại x¯ nếu ∃η >0 và ` ≥ 0 sao cho
kh(x)−h(¯x)k ≤ `kx−x¯k, ∀x ∈ Ω∩B(¯x, η).
Định nghĩa 2.1.2. Ta nói rằng một ánh xạ đa trị L: Ω ⊂ X ⇒ Y có lát cắt Lipschitz trên trong lân cận (¯p,y)¯ ∈ gphL nếu tồn tại một lân cận U của x¯ và một ánh xạ đơn trị h: Ω ∩U → Y Lipschitz trên tại x¯
sao cho
h(¯x) = ¯y, h(x) ∈ L(x) với ∀x ∈ Ω∩U.
Bổ đề sau là chìa khóa để chứng minh kết quả chính trong phần này.
Bổ đề 2.1.1. [12, Theorem 7] Cho M(·) là ánh xạ nghiệm định nghĩa trong (1.12) và µ(·) là hàm giá trị tối ưu định nghĩa trong (1.11), và p¯∈
22
dom M. Giả sử rằng M(·) là µ- nửa liên tục nội bộ tại (¯p,x)¯ ∈ gphM,
f là SNEC tại (¯p,x)¯ hoặc G là SNC tại (¯p,x)¯ và điều kiện
∂∞f(¯p,x)¯ ∩(−N((¯p,x);¯ gphG)) ={0} (2.1) được thỏa mãn. Khi đó
∂µ(¯p) ⊂[ np∗ +D∗G(¯p,x)(x¯ ∗)|(p∗, x∗) ∈ ∂f(¯p,x)¯ o , (2.2) ∂∞µ(¯p) ⊂[ np∗ +D∗G(¯p,x)(x¯ ∗)|(p∗, x∗) ∈ ∂∞f(¯p,x)¯ o . (2.3) Nếu thêm giả thiết rằng f khả vi chặt tại (¯p,x)¯ , M : dom M ⇒ X có lát cắt Lipschitz trên trong lân cận (¯p,x)¯ , và G là chính quy pháp tuyến tại (¯p,x)¯ thì hàm giá trị tối ưu µ(·) là chính quy dưới tại p¯ và bao hàm thức (2.2) trở thành đẳng thức
∂µ(¯p) = ∇pf(¯p,x) +¯ D∗G(¯p,x)(¯ ∇xf(¯p,x)).¯ (2.4) Với điều kiện chính quy RCQ và LCQ được xem xét trong chương trước, chúng ta có thể thiết lập được công thức cho ước lượng trên hoặc tính toán chính xác dưới vi phân Mordukhovich và dưới vi phân suy biến của hàm giá trị tối ưu (1.11) trong quy hoạch nửa vô hạn. Kết quả sau đây đã được trình bày trong [4].
Định lý 2.1.1. Cho M(·) là ánh xạ nghiệm định nghĩa trong (1.12) với ánh xạ ràng buộc G xác định bởi (1.10), và µ(·) là hàm giá trị tối ưu định nghĩa trong (1.11). Giả sử rằng M(·) là µ- nửa liên tục nội bộ tại
(¯p,x)¯ ∈ gphM, f và gt (∀t ∈ T) là các hàm liên tục Lipschitz trong lân cận (¯p,x)¯ , và điều kiện chính quy LCQ được thỏa mãn tại (¯p,x)¯ . Khi đó ta có các bao hàm thức sau : ∂µ(¯p) ⊂np∗ ∈ P∗|(p∗,0)∈ ∂f(¯p,x) +¯ [ λ∈A(¯p,¯x) h X t∈suppλ λt∂gt(¯p,x)¯ io , (2.5) ∂∞µ(¯p) ⊂np∗ ∈ P∗|(p∗,0)∈ [ λ∈A(¯p,¯x) h X t∈suppλ λt∂gt(¯p,x)¯ io. (2.6)
Giả thiết thêm rằng f và gt (∀t ∈ T) là các hàm khả vi chặt tại (¯p,x)¯ , ánh xạ nghiệm M : dom G ⇒ X có lát cắt Lipschitz trên trong lân cận
(¯p,x)¯ và điều kiện chính quy LCQ được thay bởi RCQ. Khi đó hàm giá trị tối ưu µ(·) là chính quy dưới tại p¯và (2.5) được thoả mãn dưới dạng đẳng thức ∂µ(¯p) = ∇pf(¯p,x) +¯ [ λ∈Λ(¯p,¯x) h X t∈suppλ λt∇pgt(¯p,x)¯ i , (2.7) ở đó Λ(¯p,x) :=¯ λ ∈ R+(T)| ∇xf(¯p,x) +¯ X t∈suppλ λt∇xgt(¯p,x) = 0, λ¯ tgt(¯p,x) = 0,¯ ∀t ∈ supp λ .
Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh các bao hàm thức (2.5) và (2.6) bằng việc sử dụng bao hàm thức (2.2) và (2.3) trong Bổ đề 2.1.1 với G
đã được xác định trong (1.10). Lưu ý rằng điều kiện (2.1) và tính chất SNEC của f được thỏa mãn vì f là Lipschitz địa phương tại p,¯ x)¯ . Lấy tuỳ ý p∗ ∈ ∂µ(¯p). Từ (2.2) ta suy ra rằng tồn tại (u∗, x∗) ∈ ∂f(¯p,x)¯ sao cho
p∗ −u∗ ∈ D∗G(¯p,x)(x¯ ∗).
Mặt khác, từ định nghĩa của đối đạo hàm ta có
p∗ −u∗ ∈ D∗G(¯p,x)(x¯ ∗) ⇐⇒ (p∗ −u∗,−x∗) ∈ N((¯p,x);¯ gphG). (2.8) Vì LCQ thỏa mãn tại p,¯ x)¯ nên suy ra
N (¯p,x);¯ gphG ⊂ [ λ∈A(¯p,¯x) h X t∈suppλ λt∂gt(¯p,x)¯ i . (2.9) Kết hợp (2.8) và (2.9) ta có thể kết luận rằng (p∗ −u∗,−x∗) ∈ [ λ∈A(¯p,¯x) h X t∈suppλ λt∂gt(¯p,x)¯ i