Dưới vi phân của hàm giá trị tối ưu trong quy hoạch của nửa vô hạn

LèI CÁM ƠN Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói thay giáo nhà trưòng thay giáo day cao hoc chun ngành Tốn giái tích giúp đõ tác giá suot q trình hoc t¾p Tác giá xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói TS Nguyen Quang Huy, ngũi ó luụn quan tõm, đng viờn v tắn tỡnh hưóng dan tác giá q trình thnc hi¾n lu¾n văn Tác giá xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân đ®ng viên tao đieu ki¾n đe tác giá hồn thành lu¾n văn Hà N®i, ngày tháng năm 2010 Tác giá Nguyen Đình Giang i LèI CAM ĐOAN Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Quang Huy Mđt so ket quỏ ó at oc luắn mói chưa tùng đưoc cơng bo bat kỳ cơng trình khoa hoc cna khác Hà N®i, ngày tháng năm 2010 Tác giá Nguyen Đình Giang ii Mnc lnc Mé ĐAU Chương ieu kiắn chớnh quy rng buđc 1.1 Cỏc khỏi ni¾m bán 1.2 Các đieu ki¾n quy Chương Dưái vi phân cúa hàm giá tr% toi ưu 21 2.1 Đánh giá dưói vi phân cna hàm giá tr% toi ưu .21 2.2 Áp dung 25 KET LU¾N 27 TÀI LIfiU THAM KHÁO 27 PHU LUC 30 BÁNG KÍ HIfiU R đưòng thang thnc Rn khơng gian Euclid n-chieu F : X ⇒ Y ánh xa đa tr% tù X vào Y domF mien huu hi¾u cna F gphF đo th% cna F "x" chuan cna véc tơ x B hình cau đơn v% đóng cone Ω nón sinh bói Ω Limsup giói han theo nghĩa Painlevé - Kuratowski N (x¯, Ω) nón pháp tuyen giói han/Mordukhovich cna Ω tai x¯ Nˆ (x¯, Ω) nón pháp tuyen Fréchet cna Ω tai x¯ ∂f (x) dưói vi phân giói han/Mordukhovich cna f tai x ∂ ∞ f (x) ∂ˆf (x) dưói vi phân suy bien cna f tai x dưói vi phân Fréchet cna f tai x D∗ F (x¯, y¯) đoi đao hàm Mordukhovich cna F tai (x¯, y¯) Dˆ ∗ F (x¯, y¯) đoi đao hàm Fréchet cna F tai (x¯, y¯) Ω x −→ x¯ f x −→ x¯ α ↓ α¯ Q x → x¯, x ∈ Ω x → x¯, f (x) → f (x¯) α → α¯, α “ α¯ ket thúc chúng minh Mé ĐAU Lý chon đe tài Lý thuyet toi ưu m®t ngành tốn hoc phát trien manh vói nhieu hưóng nghiên cúu khác nhau: Quy hoach tốn hoc, Giái tích bien phân, Vi phân suy r®ng, ngày có nhieu úng dung quan trong moi lĩnh vnc khoa hoc, kĩ thu¾t, cơng ngh¾ Các hàm giá tr% toi ưu đóng vai trò quan trong giái tích bien phân, toi ưu, lý thuyet đieu khien, nhieu úng dung khác cna lý thuyet Trong trưòng hop hàm giá tr% toi ưu không trơn, đe có đưoc thơng tin cot yeu ve đ® nhay tính on đ%nh cna tốn toi ưu đieu khien có nhieu, ve đieu ki¾n cnc tr%, ve tính đieu khien đưoc đ%a phương, ta can nghiên cúu tính chat vi phân theo nghĩa suy r®ng cna hàm giá tr% toi ưu, ngưòi ta ngày tìm đưoc nhieu úng dung mói cna giái tích bien phân vi phân tong quát Đoi đao hàm cna ánh xa đa tr% đưoc đe xuat vào khống năm 1976 bói Mordukhovich đưoc nh¾n biet nh l mđt cụng cu huu hiắu e nghiờn cỳu nhieu van đe quan trong giái tích bien phân toi ưu (xem [2], [11] tài li¾u tham kháo trích dan đó) Gan đây, Mordukhovich, Nam Yen [12] tìm cơng thúc đánh giá dưói vi phân Fréchet dưói vi phân Mordukhovich cna hàm giá tr% toi ưu không gian Asplund thnc cho lóp tốn toi ưu có tham so vói huu han ràng bu®c bat thúc dưói du ki¾n trơn khơng trơn Dinh, Mordukhovich Nghia [6, 7] đưa m®t vài ưóc lưong cho dưói vi phân Fréchet dưói vi phân Mordukhovich cna hàm giá tr% toi ưu quy hoach núa vơ han có tham so vói ràng bu®c cho bói vơ han bat thúc loi dưói đieu ki¾n quy hop lý Gan hơn, Chuong, Huy Yao [4] kháo sát lóp tốn toi ưu núa vô han không loi đe xuat hai ieu kiắn chớnh quy rng buđc múi m nú huu ích cho vi¾c đong nhat nghiên cúu đieu kiắn chớnh quy rng buđc tự cỏ hai quan iem cna giái tích loi giái tích khơng trơn Các ieu kiắn chớnh quy rng buđc oc e xuat [4] bao hàm cá sn ton tai cna đieu kiắn chớnh quy quen thuđc nh MangasarianFromovitz hoắc Farkas-Minkowski Trong [4] tác giá đưa m®t so đieu ki¾n đn cho tính hi¾u lnc cna đieu ki¾n quy đưoc đe xuat khơng gian huu han chieu dúi giỏ thiet so rng buđc phỏi l compact tha (scattered compact) Mđt cõu húi mú đưoc nêu [4] rang có the loai bó giá thiet ve tính compact thưa cúa t¾p chs so rng buđc hay khụng? Mắt khỏc, mđt nhung lý mà ket ve đieu ki¾n đn cho tớnh chớnh quy húa rng buđc [4] phỏi giói han khơng gian huu han chieu ky thu¾t chúng minh sú dung đ%nh lý tách loi v tớnh chat bao loi cna mđt compact l mđt compact Nh ta ó biet rang đieu khơng vói t¾p compact khơng gian vơ han chieu M®t câu hói tn nhiên náy sinh rang liắu cú the mú rđng oc cỏc ket q ve đieu ki¾n đú cho tính quy hóa rng buđc [4] sang cỏc khụng gian vụ han chieu đưoc hay không? Đe tài "Dưái vi phân cúa hàm giá tr% toi ưu quy hoach nNa vơ han"nham muc đích tìm hieu ve lý thuyet toi ưu, toi ưu núa vơ han tìm hieu câu trá lòi cho hai câu hói vùa nêu Mnc đích nghiên cNu Nghiên cúu ve vi¾c loai bó giá thiet ve tính compact thưa cna t¾p chí so ràng bu®c quy hoach núa vơ han; đong thòi tìm hieu ve mó r®ng ket q sang khơng gian vơ han chieu Đưa cơng thúc cho vi¾c đánh giá dưói vi phân (Mordukhovich suy bien) cna hàm giá tr% toi ưu quy hoach núa vơ han dưói đieu ki¾n quy húa rng buđc khụng gian Banach tong quỏt Nhi¾m nghiên cNu Nghiên cúu ket bán đat đưoc lý thuyet toi ưu, toi ưu núa vơ han, giái tích bien phân hi¾n đai vi phân suy r®ng Áp dung ket q đe nghiên cúu đieu ki¾n đn cho tính hi¾u lnc cna đieu ki¾n quy hóa t¾p ràng bu®c đưa cơng thúc đánh giá dưói vi phân (Mordukhovich suy bien) cna hàm giá tr% toi ưu dưói đieu ki¾n quy Đoi tưang pham vi nghiên cNu Quy hoach toán hoc, lý thuyet toi ưu, giái tích bien phân hi¾n đai vi phân suy r®ng Phương pháp nghiên cNu Sú dung phương pháp nghiên cúu cna giái tích loi, giái tích khơng trơn, giái tích đa tr%, giái tích bien phân hi¾n đai vi phân suy r®ng Đóng góp mái Các ket q đat đưoc lu¾n văn giái đáp tron ven cho hai câu hói nêu Muc 1, giúp ta có nhung hieu biet mói ve toi ưu núa vơ han Ket đưoc trình bày báo chung cna tác giá vói ngưòi hưóng dan Giáo sư Jen-Chih Yao "Subdifferentials of optimal value function in nonlinear infinite programming" [9] Chương Đieu ki¾n quy rng buđc 1.1 Cỏc khỏi niắm c bỏn Trong lu¾n văn se sú dung khái ni¾m, kí hi¾u cna giái tích bien phân, vi phân suy r®ng Chi tiet đoc giá có the tham kháo b® sách cna Mordukhovich [11] Neu khơng nói thêm, tat cá không gian đưoc xét không gian Banach vói chuan ký hi¾u " · ", ta xét khơng gian đoi ngau cna X∗ vói tơpơ yeu∗ đưoc kí hi¾u bói w∗ Như thưòng l¾, BX BX∗ kí hi¾u tương úng hình cau đơn v% đóng khơng gian Banach X khơng gian đoi ngau cna Kí hi¾u A∗ tốn tú liên hop cna tốn tú tuyen tính liên tuc A Hình cau đóng tâm x bán kính ρ đưoc kí hi¾u bói Bρ(x) ho¾c B(x, ρ) cl M ho¾c M ký hi¾u bao đóng cna M Vói moi t¾p Ω ⊂ X, cl Ω, int Ω, co Ω cone Ω kí hi¾u tương úng bao đóng, phan trong, bao loi nón sinh cna Ω Ta nhac lai rang Ω ∈ X đóng đ%a phương x¯ ∈ neu cú mđt lõn cắn U cna tai x¯ cho Ω ∩ clU t¾p đóng Cho F : X ⇒ X ∗ ánh xa đa tr% giua không gian Banach X không gian đoi ngau X∗ cna Kí hi¾u ∗ ∗ ω ∗ Lim sup F (x) := {x ∈ X : ∃xk →k −→ x∗ , x x¯, x∗ ∗ k ∈ F (xk), ∀k ∈ N}, x→x¯ đưoc dùng đe chí giói han theo dãy theo nghĩa PainlevéKuratowski đoi vói tơpơ chuan cna X tôpô yeu* cna X ∗ , N:={1,2,3, } Đ%nh nghĩa 1.1.1 (Nón pháp tuyen) Cho Ω ⊂ X ε “ (i) T¾p véctơ ε- pháp tuyen cúa Ω tai đưoc xác đ%nh bói x¯ x∗ , x − ∗ ∗ x ∈ X : lim x¯) Nˆε (x¯; ™ε , ( Ω) := sup →x¯ " x − x¯ " (1.1) x Ω Nˆ (x¯; Ω) := Nˆ0 (x¯; Ω) đưoc goi nón pháp tuyen t¾p cúa Ω tai Fréchet Khi ε = 0, điem x¯ (ii) Nón pháp tuyen Mordukhovich N (x¯; Ω) thu đưoc Nˆ (x¯; Ω) bang ε tù vi¾c lay giói han theo nghĩa Painlevé-Kuratowski tô pô yeu∗ cúa X∗ : N (x¯; Ω) := Lim sup Nˆε (x; Ω), (1.2) →x¯ xε↓0 Ω ó có the đ¾t ε = Ω t¾p đóng lân c¾n cúa X x¯ không gian Asplund Cho Ω ⊂ Rn l úng mđt lõn cắn cna iem x¯ ∈ Ω Khi đó, ta có N (x¯; Ω) = Lim sup [cone (x − Π (x; Ω))] , (1.3) x→x¯ ó Π(x; Ω) hình chieu Euclid cna x Ω Đ%nh nghĩa 1.1.2 (Đoi đao hàm) Cho F : X ⇒ Y ánh xa đa tr% giua không gian Banach (i) Đoi đao hàm Mordukhovich D∗ F (x¯, y¯) : Y ∗ ⇒ X ∗ cúa F tai (x¯, y¯) ∈ gphF đưoc xác đ%nh bói D∗ F (x¯, y¯)(y ∗ ) := {x∗ ∈ X ∗ |(x∗ , −y ∗ ) ∈ N ((x¯, y¯); gphF )} , ∀y ∗ ∈ Y ∗ (1.4) (ii) Đoi đao hàm Fréchet cúa F tai (x¯, y¯) ∈ gphF đưoc xác đ%nh bói Dˆ ∗ F (x¯, y¯)(y ∗ ) := ,x∗ ∈ X ∗ |(x∗ , −y ∗ ) ∈ Nˆ ((x¯, y¯); gphF ), , ∀y ∗ ∈ Y ∗ (1.5) Neu F ánh xa đơn tr% ta có the viet ngan gon D∗ F (x¯)(y ∗ ) (tương úng, Dˆ ∗ F (x¯)(y ∗ )) thay cho D∗ F (x¯, F (x¯))(y ∗ ) (tương úng, Dˆ ∗ F (x¯, F (x¯))(y ∗ )) Chương Dưái vi phân cúa hàm giá tr% toi ưu 2.1 Đánh giá dưái vi phân cúa hàm giá tr% toi ưu Trong phan này, không gian P , X giá thiet Asplund Xét ánh xa nghi¾m M (·) đưoc đ%nh nghĩa (1.12) p¯ ∈ Lay P x¯ ∈ M (p¯) Ta nhac lai tù [12, Sect 5] rang M (·) đưoc goi µnúa µ liên tnc n®i b® tai (p¯, x¯) neu vói moi dãy pk → p¯ k → ∞ ton tai dãy xk ∈ M (pk ), k ∈ N, cho dãy {xk } chúa m®t dãy h®i tu tói x¯ é µ pk → p¯ nghĩa pk → p¯ µ(pk ) → µ(p¯) Đ%nh nghĩa 2.1.1 Cho h : Ω ⊂ X → Y m®t ánh xa đơn tr% x¯ ∈ Ω h đưoc goi Lipschitz (đ%a phương) tai neu ∃η > A ≥ x¯ cho "h(x) − h(x¯)" ≤ A"x − x¯", ∀x ∈ Ω ∩ B(x¯, η) Đ%nh nghĩa 2.1.2 Ta nói rang m®t ánh xa đa tr% L : Ω ⊂ X ⇒ Y có lát cat Lipschitz lân c¾n (p¯, y¯) ∈ gph L neu ton tai mđt lõn cắn U cỳa x¯ cho m®t ánh xa đơn tr% h : Ω ∩ U → Y Lipschitz tai x¯ h(x¯) = y¯, h(x) ∈ L(x) vói ∀x ∈ Ω ∩ U Bo đe sau chìa khóa đe chúng minh ket q phan Bo đe 2.1.1 [12, Theorem 7] Cho M (·) ánh xa nghiắm %nh ngha (1.12) v à(ã) l hm giá tr% toi ưu đ%nh nghĩa (1.11), p¯ ∈ 22 dom M Giá sú rang M (·) µ- núa liên tnc n®i b® tai (p¯, x¯) ∈ gph M, f SNEC tai (p¯, x¯) ho¾c G SNC tai (p¯, x¯) đieu ki¾n ∂ ∞ f (p¯, x¯) ∩ (−N ((p¯, x¯); gph G)) = {0} (2.1) đưoc thóa mãn Khi [ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∂µ(p¯) ⊂ ,p + D G(p¯, x¯)(x ) | (p , x ) ∈ ∂f (p¯, x¯),, ∞ ∂ µ(p¯) ⊂ (2.2) [ ∗ ,p + D∗ G(p¯, x¯)(x∗ ) | (p∗ , x∗ ) ∈ ∂ ∞ f (p¯, x¯), (2.3) Neu thêm giá thiet rang f vi ch¾t tai (p¯, x¯), M : dom M ⇒ X có lát cat Lipschitz lân c¾n (p¯, x¯), G quy pháp tuyen tai (p¯, x¯) hàm giá tr% toi ưu µ(·) quy dưói tai p¯ bao hàm thúc (2.2) tró thành thúc ∂µ(p¯) = ∇p f (p¯, x¯) + D∗ G(p¯, x¯)(∇xf (p¯, x¯)) (2.4) Vói đieu ki¾n quy RCQ LCQ đưoc xem xét chương trưóc, có the thiet l¾p đưoc cơng thúc cho ưóc lưong ho¾c tính tốn xác dưói vi phân Mordukhovich dưói vi phân suy bien cna hàm giá tr% toi ưu (1.11) quy hoach núa vơ han Ket q sau đưoc trình bày [4] Đ%nh lý 2.1.1 Cho M (·) ánh xa nghi¾m đ%nh nghĩa (1.12) vói ánh xa rng buđc G xỏc %nh búi (1.10), v à(ã) l hàm giá tr% toi ưu đ%nh nghĩa (1.11) Giá sỳ rang M (ã) l à- nỳa liờn tnc nđi b® tai (p¯, x¯) ∈ gph M, f gt (∀t ∈ T ) hàm liên tnc Lipschitz lân c¾n (p¯, x¯), đieu ki¾n quy LCQ đưoc thóa mãn tai (p¯, x¯) Khi ta có bao hàm thúc sau : ∂µ(p¯) ⊂ 23 ∗ ,p λ∈A(p¯,x¯) ∈ P∗ | t∈supp λ ∗ (p , 0) ∈ λt∂gt(p¯, ,, x¯) ∂f (p¯, x¯) + [ ∂ ∞ µ(p¯) ⊂ ,p ∗ ∗ ∗ ∈ P | (p , 0) ∈ [ λ∈A(p¯,x¯) t∈supp λ λt∂gt(p¯, , x¯) (2.5) (2.6) Giá thiet thêm rang f gt (∀t ∈ T ) hàm vi ch¾t tai (p¯, x¯), ánh xa nghi¾m M : dom G ⇒ X có lát cat Lipschitz lân c¾n (p¯, x¯) đieu ki¾n quy LCQ đưoc thay bói RCQ Khi hàm giá tr% toi ưu µ(·) quy dưói tai p¯ (2.5) đưoc thố mãn dưói dang thúc ∂µ(p¯) = ∇p f (p¯, x¯) λt∇p gt(p¯, x¯) , (2.7) t∈supp [ λ + λ∈Λ(p¯,x¯) ó Λ(p¯, x¯) := λ ∈ f (p¯, x¯) λ ∇ g (p¯, x¯) = 0, λ g (p¯, (T ) x¯) = 0, R |∇ + + x t t∈supp λ x t t t ∀t ∈ supp λ Chúng minh Trưóc tiên ta chúng minh bao hàm thúc (2.5) (2.6) bang vi¾c sú dung bao hàm thúc (2.2) (2.3) Bo đe 2.1.1 vói G đưoc xác đ%nh (1.10) Lưu ý rang đieu ki¾n (2.1) tính chat SNEC cna f đưoc thóa mãn f Lipschitz đ%a phương tai p¯, x¯) Lay tuỳ ý p∗ ∈ ∂µ(p¯) Tù (2.2) ta suy rang ton tai (u∗ , x∗ ) ∈ ∂f (p¯, x¯) cho p∗ − u∗ ∈ D∗ G(p¯, x¯)(x∗ ) M¾t khác, tù đ%nh nghĩa cna đoi đao hàm ta có p∗ − u∗ ∈ D∗ G(p¯, x¯)(x∗ ) ⇐⇒ (p∗ − u∗ , −x∗ ) ∈ N ((p¯, x¯); gph G) (2.8) Vì LCQ thóa mãn tai p¯, x¯) nên suy λt ∂gt(p¯, x¯) N (p¯, x¯); gph G ⊂ [ t∈supp λ λ∈A(p¯,x¯) Ket hop (2.8) (2.9) ta có the ket lu¾n rang (2.9) (p∗ − u∗, −x∗) ∈ [ λ∈A(p¯,x¯) t∈supp λ λt∂gt(p¯, x¯) Đieu tương đương vói (p∗, 0) ∈ (u∗, x∗) + [ t∈supp λt∂gt(p¯, x¯) λ λt∂gt(p¯, x¯)., λ∈A(p¯,x¯) ⊂ ∂f (p¯, x¯) [ + λ∈A(p¯,x¯) t∈supp λ ta có bao hàm thúc (2.5) Bao hàm thúc (2.6) đưoc chúng minh tương tn vói lưu ý rang ∂ ∞ f (p¯, x¯) = {0} Hơn the nua, neu giá thiet thêm rang đieu ki¾n quy RCQ thóa mãn tai p¯, x¯) G quy pháp tuyen tai p¯, x¯) Suy µ(·) quy p¯ bói dưói tai Bo đe 2.1.1, thúc (2.7) đưoc suy trnc tiep tù (2.4) Đ%nh lý đưoc chúng minh H¾ 2.1.1 Cho M (·) ánh xa nghi¾m đưoc đ%nh nghĩa (1.12) vói ánh xa ràng buđc G xỏc %nh búi (1.10), v à(ã) l hm giá tr % toi ưu đưoc đ%nh nghĩa (1.11) Giỏ sỳ rang M (ã) l à-nỳa liờn tnc nđi b® tai (p¯, x¯) ∈ gph M, f gt (∀t ∈ T ) hàm vi ch¾t tai (p¯, x¯) Neu đieu ki¾n quy LCQ thóa mãn tai (p¯, x¯), ta có bao hàm thúc: ∂µ(p¯) ⊂∇p f (p¯, x¯) + [ ∞ ∂ µ(p¯) ⊂ [ λ∈Λ∞ (p¯, ó x¯) λ∈Λ(p¯,x¯) t∈supp λ t∈supp λ λt∇p gt(p¯, x¯) , λt∇p gt(p¯, x¯) (T Λ(p¯, x¯) = {λ ∈ ) R+ (p¯, x¯) + | ∇x f λt ∇xgt(p¯, x¯) = 0, λtgt(p¯, x¯) = 0, ∀t ∈ supp t∈supp λ ∞ Λ (p¯, x¯) = {λ (T ∈ ) λ}, λt∇xgt(p¯, x¯) = 0, R+ | t∈supp λ λt gt(p¯, x¯) = 0, ∀t ∈ supp λ} Chúng minh Các ket lu¾n cna h¾ suy trnc tiep tù đ%nh lý 2.1.1 vói lưu ý rang ∂φ(x¯) = {∇φ(x¯)} vói moi hàm φ vi ch¾t tai x¯ 2.2 Áp dnng Ví du sau đưoc trình bày đe minh hoa rang ket đat đưoc có the áp dung cho m®t lóp tốn toi ưu r®ng so vói ket q có trưóc Ví dn 2.2.1 Xét tốn quy hoach núa vơ han có tham so (1.9) vói hàm muc tiêu f : R × R2 → R có dang f (p, x) = (x1 − p)3 + (x2 − p)3 ∀x = (x1, x2) ∈ R2, ∀p ∈ R ánh xa rng buđc G : R R2 (1.10) xác đ%nh bói G(p) := {x ∈ R2 | gt(p, x) ≤ 0, t ∈ T }, ó gt : R × R2 → R,  gt(p, x) = − tx1 − (1 − t)x2 + p, t ∈ T \ {2}   x1 − x2 + x2 − − 4p, t = 2, T = { | n = 1, 2, }∪{0, 2} Vì T vơ han, suy đieu ki¾n n quy Mangasarian-Fromovitz không kiem tra đưoc [12, Corollary 4] Tương tn, không kiem tra đưoc đieu ki¾n quy Farkas-Minkowski [7, Corollary 3.6] bói g2 khơng hàm loi Tù [8, Theorem 12.29] ta suy rang C(T ) m®t khơng gian Asplund Lay p¯ = Ta có G(p¯) = {(x1 , x2 ) ∈ R2 | x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x11 − x2 + x2 − ≤ 0} M (p¯) = {(0, 0)} Lay x¯ = (0, 0) ∈ M (p¯) Rõ ràng, n | n = I(p¯, x¯) = { 1, 2, } ∪ {0} Chon u = ( , 1, 1) ∈ R , ta có (∇gt (p¯, x¯), u) < ∀t ∈ I(p¯, x¯) Tù Đ%nh lý 1.2.2 ta suy đieu ki¾n quy LCQ thóa mãn tai (p¯, x¯) De dàng kiem tra đưoc rang vói moi p ∈ R, ta có M (p) = {(p, p)} Suy ra, M (·) µ-núa liên tuc tai (p¯, x¯) ∈ gph M M¾t khác, ta có the tính đưoc rang Λ(p¯, x¯) := λ ∈ f (p¯, x¯) λ ∇ g (p¯, x¯) = 0, (T ) R |∇ + + x t x t t∈supp λ (T ) = λ ∈R | (0, 0) + λtgt(p¯, x¯) = 0, ∀t ∈ supp λ λ (−t, t − 1) = (0, 0), λ g (p¯, x¯) = 0, t + t t t∈supp λ ∀t ∈ supp λ = {0}, λt ∇xgt (p¯, x¯) = 0, λtgt (p¯, x¯) = 0, ∀t ∈ (T Λ∞ (p¯, x¯) : = {λ )∈ R+ suppλ} | = {0} t∈suppλ Áp dung H¾ 2.1.1, ta thu đưoc ∂µ(p¯) ⊂ {0} ∂ ∞ µ(p¯) ⊂ {0} Thnc te, ta có ∈ ∂µ(p¯) ∈ à(p) Vỡ vắy à(p) = à(p) = {0} KET LUắN Luắn trỡnh by mđt cách ngan gon khái ni¾m bán nhat ve đoi đao hàm, dưói vi phân nón pháp tuyen Mordukhovich Kháo sát đieu ki¾n quy đưoc đe xuat [4] Các ket đat đưoc lu¾n văn chúng tó rang đieu ki¾n đn quy ràng bu®c [4] van khơng gian nen không gian tham so không gian Banach Hơn nua, đòi hói ve tính compact thưa cna so rng buđc [4] l khụng can thiet Ví du đưoc trình bày m®t áp dung đe minh hoa rang ket đat đưoc có the áp dung cho m®t lóp tốn toi ưu r®ng so vói ket q có Các van đe can đưoc tiep tuc nghiên cúu : làm the tìm đưoc đánh giá cho dưói vi phân cna hàm giá tr% toi ưu, ho¾c thay đieu ki¾n ánh xa nghi¾m có lát cat Lipschitz trờn bang mđt ieu kiắn khỏc m viắc kiem tra tính hi¾u lnc cna đơn gián M®t so ket q Chương đưoc trình bày báo chung cna tác giá vói ngưòi hưóng dan Giáo sư Jen - Chih Yao "Subd- ifferentials of optimal value function in nonlinear infinite programming" ó phan Phu luc Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Hồng Tuy (2005), Hàm thnc giái tích hàm, Nhà xuat bán Đai hoc Quoc Gia Hà N®i [2] Nguyen Đơng n (2007), Giáo trình giái tích đa tr%, Nhà xuat bán Khoa hoc tn nhiên Cơng ngh¾ [B] Tài li¾u tieng Anh [3] J F Bonnans, A Shapiro (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problems Springer, New York [4] T D Chuong, N Q Huy, J -C Yao (2009), "Subdifferentials of marginal functions in semi-infinite programming", SIAM J Optim.20, no 3, 1462-1477 [5] F H Clarke (1983), Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley, New York [6] N Dinh, B S Mordukhovich, T T Nghia (2010), "Sudifferentials of value functions and optimality conditions for some classes of DC and bilevel infinite and semi-infinite programs", Math Program.123, no.1, Ser B, 101-138 [7] N Dinh, B S Mordukhovich, T T Nghia (2009), "Qualification and optimality conditions for DC programs with infinite constraints", Acta Math Vietnam 34 no.1, 125-155 [8] M Fabian, P Habala, P Hájek, V Montesinos Santalucía, J Pelant, 29 V Zizler (2001), Functional Analysis and Infinite-Dimensional Geometry, Springer-Verlag, New York [9] N Q Huy, N D Giang, J.-C Yao (2010), "Subdifferentials of optimal value function in nonlinear infinite programming" [10] B S Mordukhovich (1994), "Gerneralized diferential calculus for nonsmooth and set-valued mapping," Journal of Mathematical Analysis and Application, 183, 250-188 [11] B S Mordukhovich (2006), Variational Analysis and Generalized Differentiation, I: Basic Theory, Springer [12] B S Mordukhovich, N M Nam, N D Yen (2009), "Subgradients of marginal functions in parametric mathematical programming", Math Prog., Ser B 116, 369–396 [13] R R Phelps (1993), Convex Function, Monotone Operators and Differentiability, Second Edition, Springer, Berlin [14] R T Rockafellar (1970), Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey [15] W Rudin (1991), Functional Analysis, 2nd Ed., McGraw-Hill, Inc [16] W Schirotzek (2006), Nonsmooth Analysis, Springer [17] H Tuy (1998), Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer Academic Publishers PHU LUC ... vi phân (Mordukhovich suy bien) cna hàm giá tr% toi ưu dưói đieu ki¾n quy Đoi tưang pham vi nghiên cNu Quy hoach toán hoc, lý thuyet toi ưu, giái tích bien phân hi¾n đai vi phân suy r®ng Phương... quan trong giái tích bien phân toi ưu (xem [2], [11] tài li¾u tham kháo trích dan đó) Gan đây, Mordukhovich, Nam Yen [12] tìm cơng thúc đánh giá dưói vi phân Fréchet dưói vi phân Mordukhovich... cơng ngh¾ Các hàm giá tr% toi ưu đóng vai trò quan trong giái tích bien phân, toi ưu, lý thuyet đieu khien, nhieu úng dung khác cna lý thuyet Trong trưòng hop hàm giá tr% toi ưu khơng trơn,