Tính ổn định trong tối ưu Vectơ nửa vô hạn tuyến tính

LèI CÁM ƠN Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói thay giáo nhà trưòng thay giáo day cao hoc chun ngành Tốn giái tích giúp đõ tác giá suot q trình hoc t¾p Tác giá xin chân thành cám ơn Ban giám hi¾u trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc tao đieu ki¾n thu¾n loi q trình tác giá hoc t¾p nghiên cúu Tác giá xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân đ®ng viên tao đieu ki¾n đe tác giá hồn thành lu¾n văn Hà N®i, ngày 25 tháng năm 2010 Tác giá Đong Đai Nghĩa i LèI CAM ĐOAN Lu¾n văn trình bày nhung hieu biet ban đau cna tác giá ve ve lý thuyet toi ưu vectơ núa vô han tuyen tính, chưa tùng đưoc cơng bo bat kỳ cơng trình khoa hoc cna khác Hà N®i, ngày 25 tháng năm 2010 Tác giá Đong Đai Nghĩa ii BÁNG KÝ HIfiU Rn C[T, R] L[Rn, Rm] F :X ⇒Y domF không gian Euclid n-chieu không gian hàm liên tuc T không gian tốn tú tuyen tính tù Rn vào Rm ánh xa đa tr% tù X vào Y t¾p xác đ%nh cna F gphF đo th% cna F "A"L chuan cna tốn tú tuyen tính A L[Rn, Rm] "b"∞ chuan supremum cna b C[T, R] "x"n chuan Euclid cna véc tơ x Rn B hình cau đơn v% đóng Bρ(x), B(x, ρ) hình cau đóng tâm x, bán kính ρ co Ω bao loi cna t¾p Ω cl Ω bao đóng cna t¾p Ω cone Ω nón sinh bói t¾p Ω |T | lnc lưong cna T ✷ ket thúc chúng minh iii Mnc lnc Má đau 1 Tớnh liờn tnc cỳa ỏnh xa rng buđc 1.1 Mđt so khỏi niắm c bỏn v ket bo tro 1.2 Tính núa liên tuc núa liờn tuc dúi cna ỏnh xa rng buđc .11 Tính Lipschitz kieu Aubin cúa ánh xa nghi¾m 15 2.1 Phát bieu đ%nh lý ket bo tro 15 2.2 Chúng minh đ%nh lý tính Lipschitz kieu Aubin cna ánh xa nghi¾m 18 2.3 Ví du 21 Ket lu¾n 25 Tài li¾u tham kháo 25 iv Mé ĐAU Lý chon đe tài Ve m¾t lý thuyet, tốn toi ưu xuat hi¾n tù rat lâu Tù the ký 17-19, toán toi ưu thu hút sn quan tâm cna nhieu nhà toán hoc noi tieng có ánh hưóng rat lón tói sn phát trien cna Giái tích tốn hoc Đen nhung năm cna th¾p kí thú tói th¾p kí thú cna the kí 20 Lý thuyet toi ưu mói đưoc hình thành vói tư cách m®t lý thuyet tốn hoc đc lắp, vúi nhieu húng nghiờn cỳu khỏc Hiắn nay, m®t nhung van đe cna Lý thuyet toi ưu thu hút đưoc nhieu sn quan tâm cna nhà tốn hoc tốn toi ưu vectơ núa vơ han Đe có thêm thơng tin ve toi ưu núa vơ han, đoc giá có the tham kháo cuon sách cna Goberna López [15] Trong tính chat thú v% cna ánh xa điem chap nh¾n đưoc, ánh xa nghi¾m, hàm giá tr% toi ưu, tính núa liên tuc trên, núa liên tuc dưói, tính Lipshitz, tính Lipschitz kieu Aubin, tính quy metric đưoc quan tâm nhieu cá (xem, chang han, [2-14, 16]) Vói tốn toi ưu vơ hưóng núa vơ han tuyen tính, Brosowski [4] đưa đieu ki¾n đn cho tính núa liên tuc trên, núa liên tuc dưói cna hàm giá tr% toi ưu cna quy hoach núa vơ han có tham so dưói tác đ®ng cna nhieu ó cá hàm muc tiêu t¾p điem chap nh¾n đưoc Nhung tính chat tương tn cna ánh xa nghi¾m hàm giá tr% toi ưu vói tính Lipschitz cna hàm giá tr% toi ưu đưoc kháo sát [7] Hơn nua, Cánovas đong tác giá [5, 8] đánh giá đưoc hang so Lipschitz cna ánh xa nghi¾m hàm giá tr% toi ưu lân c¾n cna điem đưoc kháo sát dưói tác đ®ng cna nhieu ó hàm muc tiêu chí ve phái cna t¾p điem chap nh¾n đưoc Vói tốn toi ưu vơ hưóng núa vơ han loi dưói nhieu tuyen tính ó hàm muc tiêu nhieu ve phái cna t¾p điem chap nh¾n đưoc, Cánovas đong tác giá [6] đưa đieu ki¾n đn cho tính quy metric cna ánh xa ngưoc cna ánh xa nghi¾m (đieu có nghĩa ánh xa nghi¾m Lipschitz kieu Aubin) Vói tốn toi ưu vectơ có huu han ràng bu®c, Naccache [25] đưa đieu ki¾n đn cho tính núa liên tuc dưói, núa liên tuc cna ánh xa nghi¾m dưói nhieu liên tuc ó ve phái cna t¾p điem chap nh¾n đưoc mà khơng có nhieu ó hàm muc tiêu Trong trưòng hop hàm muc tiêu hàm đong nhat, Davidson [13] thiet l¾p đưoc đieu ki¾n đn cho tính liên tuc Lipschitz cna ánh xa nghi¾m điem cnc biên (là giao cna t¾p nghi¾m t¾p điem cnc biên cna t¾p điem chap nh¾n đưoc) dưói nhieu tuyen tính cna t¾p điem chap nh¾n đưoc Gan đây, đieu ki¾n can đn cho tính núa liên tuc núa liên tuc dưói cna ánh xa nghi¾m toi ưu vectơ núa vơ han tong quát dưói nhieu ó cá hàm muc tiêu t¾p điem chap nh¾n đưoc đưoc đưa [10] M®t câu hói tn nhiên náy sinh rang li¾u có the thiet l¾p đưoc đieu ki¾n can ho¾c đú cho tính chat Lipschitz kieu Aubin cúa ánh xa nghi¾m toi ưu vectơ núa vơ han tuyen tính dưói nhieu đong thòi hàm mnc tiêu t¾p điem chap nh¾n đưoc hay khơng? Đe tài “Tính on đ%nh toi ưu vectơ núa vơ han tuyen tính” nham muc đích tìm hieu ve toi ưu vectơ, toi ưu núa vơ han tìm câu trá lòi cho câu hói vùa nêu ó Đong thòi nghiên cúu tính on đ%nh cna ánh xa t¾p điem chap nh¾n đưoc, cu the tính núa liên tuc trên, núa liên tuc dưói tính Lipschitz kieu Aubin Mnc đích nghiên cNu Muc đích cna đe tài trien khai nghiên cúu đieu ki¾n can ho¾c đieu ki¾n đn cho tính chat Lipschitz kieu Aubin cna cna ánh xa nghi¾m toi ưu vectơ núa vơ han tuyen tính dưói nhieu đong thòi hàm muc tiêu t¾p điem chap nh¾n đưoc; tính tính núa liên tuc trên, núa liên tuc dưói tính Lipschitz kieu Aubin cna ánh xa t¾p điem chap nh¾n đưoc Nhi¾m nghiên cNu Nghiên cúu ket đat đưoc ve tính on đ%nh lý thuyet toi ưu v¾n dung vào vi¾c nghiên cúu thiet l¾p đieu ki¾n can ho¾c đieu ki¾n đn cho tính on đ%nh cna ánh xa t¾p điem chap nh¾n đưoc ánh xa nghi¾m toi ưu vectơ núa vơ han có tham so Cu the nghiên cúu tính chat on đ%nh tính núa liên tuc trên, núa liên tuc dưói tính Lipschitz kieu Aubin Đoi tưang pham vi nghiên cNu Quy hoach toán hoc, lý thuyet toi ưu, toi ưu có tham so, toi ưu vectơ, toi ưu núa vơ han tính on đ%nh toi ưu có tham so Phương pháp nghiên cNu Sú dung phương pháp nghiên cúu cna lý thuyet toi ưu, toi ưu vectơ, toi ưu núa vơ han giái tích đa tr% Giá thuyet khoa hoc ho¾c đóng góp mái Neu giái đáp đưoc câu hói nêu Muc se đóng góp giúp ta có hieu biet mói ve toi ưu đa muc tiêu núa vô han Chương Tính liên tnc cúa ánh xa t¾p ràng buđc Trong chng ny chỳng ta giúi thiắu bi toỏn toi ưu vectơ núa vơ han tuyen tính có tham so v trỡnh by mđt so ieu kiắn n cho tính núa liên tuc trên, núa liên tuc dưói cna ỏnh xa rng buđc m se oc sỳ dung đe thiet l¾p tính Lipschitz kieu Aubin cho ánh xa nghiắm ú Chng 1.1 Mđt so khỏi niắm c bán ket bo tra Cho Ω m®t Rn Ta nhac lai mđt so ký hiắu quy ưóc sau Bao đóng cna Ω ký hi¾u cl (Ω), int (Ω) có nghĩa phan cna Ω Ta ký hi¾u co (Ω) cone (Ω) tương úng bao loi hình nón loi sinh bói Ω Quy ưóc co (∅) = ∅ cone (∅) = {0k}, ó 0k vectơ khơng cna Rk Cho T m®t khơng gian metric compact không rong L[Rn, Rm] (tương úng, C[T, R]) khơng gian tat cá tốn tú tuyen tính A : Rn → Rm (tương úng, không gian tat cá ánh xa liên tuc b : T → R) vói chuan đưoc xác đ%nh bói ||A||L := max ||Ax||m (tương úng, ||b||∞ := max |b(t)|), t∈T ||x||n=1 k ó || · ||k chuan Euclid R vúi k N Nđi dung cna luắn ny chn yeu kháo sát toán toi ưu vectơ núa vơ han tuyen tính (LSVO) dưói tác đ®ng cna nhieu liờn tuc ú ve phỏi cna rng buđc v nhieu tuyen tính ó hàm muc tiêu khơng gian tham so P := L[Rn, Rm] × C[T, R], ó P đưoc trang b% chuan || · || = || · ||L + || · ||∞, mà vói moi tham so p := (A, b) ∈ L[Rn, Rm] × C[T, R], ta có tốn toi ưu vectơ núa vơ han tuyen tính (LSVO)p : minR+m Ax vói x ∈ C(p), (1.1) ó C(p) = {x ∈ Rn | (B(t), x) ≤ b(t), t ∈ T} t¾p tat cá điem chap nh¾n đưoc cna (1.1), B : T → Rn m®t ánh xa liên tuc, R+m = {x = (x1, , xm) ∈ Rm | xk ≥ ∀k = 1, , m} nón khơng âm cna Rm, ký hi¾u (·, ·) tích vơ hưóng Rn Trưòng hop đ¾c bi¾t, T có so phan tú huu han (chang han, |T | = q) (LSVO)p tró thành tốn toi ưu vectơ tuyen tính (LVO)p : minRm Ax vói ràng bu®c Gx ≤ h, x ∈ Rn , (1.2) + ó G ∈ Rq×n h ∈ Rq Lay p = (A, b) ∈ P Ta ký ∈ S(p) v núi rang hiắu x x l mđt nghiắm Pareto cna LSVOp neu không ton tai x ∈ C(p) thóa mãn Ax − Ax¯ ∈ −Rm \{0m } n + Ánh xa đa tr% S : P ⇒ R , gán moi p t¾p tat cá nghi¾m Pareto S(p), đưoc goi ánh xa nghi¾m Pareto cna LSVO Ta nói rang C(p) thóa mãn đieu ki¾n Slater neu ton tai ∈ Rn xˆ cho (B(t), xˆ) < b(t) vói moi t ∈ T Trong trưòng hop này, xˆ đưoc goi điem Slater cna C(p) Bo đe 1.1 Cho p := (A, b) ∈ P Khi đó, C(p) thóa mãn đieu ki¾n Slater chs vói moi 0n ∈/ co {B(t) | t ∈ Tp (x¯)} x¯ ∈ C(p) mà Tp (x¯) ƒ= ∅ ChNng minh Đ%nh nghĩa hàm g : Rn → R bói g(x) := max {(B(t), x) − b(t)} t∈T Hien nhiên, g loi C(p) = {x ∈ Rn | g(x) ≤ 0} Vì T compact khác rong hàm (t, x) ›→ (B(t), x) − b(t) liên tuc nên suy rang g liên tuc Hơn nua, vói moi x¯ ∈ C(p) mà Tp (x¯) ƒ= ∅, ta có g(x¯) = max {(B(t), x¯) − b(t)} = t∈T Khi C(p) thóa mãn đieu ki¾n Slater chí khơng ton tai bat kỳ x¯ ∈ C(p) mà Tp (x¯) ƒ= ∅ cho cnc tieu cna g Đieu tương đương vói 0n ∈/ ∂g(x¯) (1.3) Bói Theorem VI.4.4.2 [20], ta có ∂g(x¯) = co ({B(t) | t ∈ Tp (x¯)}) (1.4) Tù (1.3) (1.4) suy rang 0n ∈/ co ({B(t) | t ∈ Tp (x¯)}) Nón ắc trng cna hắ rng buđc tai p (1.1) đưoc cho bói n n n ∈R ×R|t∈T ∈R ×R Kp := B(t) cone ∪ b(t) ✷ i=1 vói σ, σ¯ ∈ Rm i=1 mà ||σ||m = ||σ¯||m = Tù (2.12) Bo đe 1.2 + ta suy rang x nghi¾m vơ hưóng hóa bói cá σ σ¯ Tù giá thiet (ii) đ%nh lý Carathéodory suy rang λi > 0, λ¯ i > vói moi i = 1, , n cá hai {B(t1 ), , B(tn )} {B(t¯1 ), , B(t¯n )} đeu só cna Rn M∈ Tpk ¾ t kh ác , vó i m oi i ∈ { , ., n } k ≥ k t (xk) i x¯k ∈ S(p¯k ) ⊂ C(p¯k ) nên suy rang (B(tk ), xk ) = bk (tk ), (B(tk ), x¯k ) ≤ ¯bk (tk ) i i i i Đieu (2.10) dan tói bat thúc k k k ¯bk (tk k ) − ib (t ) B(t ), x¯ k i < i ≤ −x ||xk − x¯k ||n ||xk − x¯k ||n k Bang cách lay m®t dãy neu can, ta có the giá sú rang { (2.13) }k x¯k k k −x ||xk −x¯k ||n ≥ h®i tu tói m®t z ∈ Rn mà ||z||n = Cho k → ∞ (2.13), ta đưoc (B(ti), z) ≤ Ket hop đieu vói (2.12) suy rang n (σA0, z) = − λi(B(ti), z) ≥ i=1 Neu (σA0, z) = thì, vói moi i ∈ {1, 2, , n}, (B(ti), z) = 0, đieu mâu thuan vói z ƒ= {B(t1), , B(tn)} m®t só cna Rn Vì v¾y, (σA0, z) > (2.14) L¾p lu¾n trương tn ta de dàng suy rang, vói moi i ∈ {1, , n} k ≥ k0 , (B(t¯k ), x¯k ) = ¯bk (t¯k ), (B(t¯k ), xk ) ≤ bk (t¯k ), i i i i đó, (B(t¯i), z) ≥ Đieu (2.12) suy rang n (σ¯A0 , z) = − λ¯ i(B(t¯i), z) ≤ i=1 Vì {B(t¯1 ), , B(t¯n )} m®t só cna Rn z ƒ= nên ta phái có (σ¯A0 , z) < (2.15) (σA0 , z) · (σ¯A0 , z) < 0, (2.16) Do đó, bói (2.14) (2.15), đieu trái vói giá thiet (ii) cna đ%nh lý Đ%nh lý đưoc chúng minh ✷ 2.3 Ví dn Trong muc ta xét m®t so ví du minh hoa áp dung Đ%nh lý 2.1 Hơn nua, ta chí rang neu m®t giá thiet cna Đ%nh lý 2.1 b% vi pham ánh xa nghi¾m S có the khơng có tính chat Lipschitz kieu Aubin Ví dn 2.1 Cho T = {1, 2} Lay A0 ∈ L[R, R2] m®t tốn tú tuyen tính, b0 ∈ C[T, R] B : T → R hàm liên tuc đưoc xác đ %nh bói A0(x) = (x, x) ∀x ∈ R, b0(t) = ∀t ∈ T,  −1 neu t = B(t) =  neu t = Lay p0 := (A0, b0) ∈ P := L[R, R2] × C[T, R] Ta thay rang C(p0) = [−1, 1] Lay x0 := −1 ∈ S(p0) Rõ ràng xˆ = thóa mãn (B(t), xˆ) rang < b0 (t) vói moi t ∈ T Do đó, giá thiet (i) cna Đ%nh lý 2.1 đưoc thóa mãn Tiep theo, ta kiem tra giá thiet (ii) cna Đ%nh lý 2.1 Vói moi σ0 ∈ R+ mà ||σ0||2 = 1, de thay rang −σ0A0 ƒ= {0}  (σ0A0, z) < neu z = −1  (σ0A0, z) > neu z = Do đó, neu x0 = −1 nghi¾m vơ hưóng hóa bói cá σ σ¯ (σA0 , z) · (σ¯A0 , z) > vói moi z ∈ {−1, 1} giá thiet (ii) đưoc thóa mãn Do tat cá giá thiet cna Đ%nh lý 2.1 đưoc thóa mãn Áp dung Đ%nh lý 2.1, ta có the khang đ%nh rang S giá Lipschitz tai (p0, x0) Nhung ví du sau chí rang giá thiet cna Đ%nh lý 2.1 can thiet Ví dn 2.2 Lay T = [0, 1] ∪ {2}, A0 ∈ L[R, R2], b0, bk ∈ C[T, R], k ≥ B : T → R tương úng tốn tú tuyen tính hàm liên tuc đưoc xác đ%nh sau:  A0(x) = (x, x) ∀x ∈ R, t b0(t)  = neu t ∈ [0, 1] neu t = 2,  −t neu t ∈ [0, 1] B(t) = neu t = 2,  , 1] k+1 neu t ∈ [ t− bk(t) = k  k k+1 k+  n e u t ∈ [ , ] ∪ {2} Đ¾t p0 := (A0, b0), pk := (A0, bk) ∈ P := L[R, R2] × C[T, R] vói moi k ≥ De thay rang pk → p0 Ta có C(p0) = [−1, 0], S(p0) = {−1} C(p k) = S(pk) = {0} vói moi k ≥ Vói moi σ0 ∈ + mà ||σ0||2 = 1, khơng khó đe kiem tra R2 rang −σ0A0 ƒ= {0}  (σ0A0, z) < neu z = −1  (σ0A0, z) > neu z = Lay x = −1 ∈ S(p0 ) Neu x0 nghi¾m vơ hưóng hóa bói cá σ σ¯ (σA0 , z) · (σ¯A0 , z) > vói moi z ∈ {−1, 1} giá thiet (ii) đưoc thóa mãn Rõ ràng rang C(p0) khơng thóa mãn đieu ki¾n Slater Thnc te, S khơng có tính chat Lipschitz kieu Aubin tai (p0, x0) Ví dn 2.3 Lay T = {1, 2, 3, 4}, A0, Ak ∈ L[R2, R], b0, bk ∈ C[T, R] vói k ≥ 1, B : T → R2 tương úng tốn tú tuyen tính hàm liên tuc đưoc xác đ%nh sau:  neu t ∈ {1, 2, 3} neu t = 4, A0(x) = x1 ∀x = (x1, x2) ∈ R , b0(t) =   Ak(x) = x1 − k x ∀x = (x1, ,  0 neu t ∈ {1, 3}  bk(t) =  neu t = − k   x2) ∈ R  (−1, 1)    (−1, 0) B(t) = (−1, −1)    (1, 0) neu t = 4, neu t = neu t = neu t = neu t = Đ¾t p0 := (A0, b0) pk := (Ak, bk) ∈ P := L[R2, R] × C[T, R] vói moi k ≥ Rõ ràng rang pk → p0 Ta de dàng thay rang C(p0) = {(x1, x2) ∈ R2 | ≤ x1 ≤ 2, −x1 ≤ x2 ≤ x1} S(p0 ) = {(0, 0)} Lay x0 := (0, 0) ∈ S(p0 ) Hien nhiên, xˆ = (1, 0) ∈ R2 thóa mãn (B(t), xˆ) < b0 (t) vói moi t ∈ T Do đó, giá thiet (i) cna Đ%nh lý 2.1 đưoc thóa mãn Tuy nhiên, giá thiet (ii) cna Đ%nh lý 2.1 b% vi pham Th¾t v¾y, vói bat kỳ σ0 ∈ R+ σ0 = 1, ta có −σ0A0 = −A0 = (−1, 0) ∈ cone ({B(t) = (−1, 0) | t = )}) ∈ Tp0 (x Ta thay rang S khơng có tính chat Lipschitz kieu Aubin tai (p0, x0) Th¾t v¾y, lay p¯k := (A0 , bk ), ta có p¯k → p0 k → ∞ Rõ ràng rang C(p¯k ) = C(pk ) = {(x1 , x2 ) ∈ ≤ x1 ≤ 2, −x1 ≤ x2 ≤ x1}, k R2 | 1 S (p¯k ) = , x | − ≤x ≤ , k k k 1 vói moi k ≥ S(p k) = , k k Chon x¯ = k( k , 0) ∈ S(p¯k ), ta có d(pk , p¯k ) = ||(Ak , bk ) − (A0 , bk )|| = ||Ak − A0 ||L = Do đó, 1 k , S(pk)) = , k3 d(x¯ k = d(x¯k , S(pk )) > kd(pk , p¯k ) = k k vói moi k > Vì v¾y, S khơng có tính chat Lipschitz kieu Aubin tai (p0, x0) KET LUắN Luắn ny trỡnh by mđt cỏch ngan gon mđt so khỏi niắm c bỏn nhat ve quy hoach vectơ tuyen tính núa vơ han Thiet l¾p đieu ki¾n đn cho tính núa liên tuc núa liờn tuc dúi cna ỏnh xa rng buđc Khỏo sát đieu ki¾n đn cho tính Lipschitz kieu Aubin cna ánh xa nghi¾m quy hoach toi ưu vectơ núa vơ han tuyen tính M®t so van đe can đưoc tiep tuc nghiên cúu như: tìm đưoc đieu ki¾n can ho¾c đn cho tính Lipshitz kieu Aubin cna ánh xa nghi¾m trưòng hop nhieu tùy ý ó hm muc tiờu v ú rng buđc, bú tớnh compact cna T hoắc mú rđng cỏc ket quỏ cho tốn toi ưu vectơ núa vơ han tong quát Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Hồng Tuy (2005), Hàm thnc giái tích hàm, Nhà xuat bán Đai hoc Quoc Gia Hà N®i [2] Nguyen Đơng n (2007), Giáo trình giái tích đa tr%, Nhà xuat bán Khoa hoc tn nhiên Công ngh¾ [B] Tài li¾u tieng Anh [3] C D Aliprantis, K C Border (2006), Infinite Dimensional Analysis, A Hitchhiker’s Guide Third Edition Springer-Verlag, Berlin Heidelberg [4] B Brosowski (1984), "Parametric semi-infinite linear programming I Continuity of the feasible set and of the optimal value Sensitivity, stability and parametric analysis", Math Programming Stud No.21, 18–42 [5] M J Cánovas, F J Gómez-Senent and J Parra, "On the Lipschits Modulus of the Argmin Mapping in Linear Semi-Infinite Optimiza- tion", Set-valued Anal, DOI 10.1007/s11228-007-0052x [6] M J Cánovas, D Klatte, M A López, J Parra (2007), "Metric regularity in convex semi-infinite optimization under canonical per- turbations", SIAM J Optim 18 , no.3, 717–732 44 [7] M J Cánovas, M A López, J Parra, M I Todorov (1999), "Stabil- ity and well-posedness in linear semi-infinite programming", SIAM J Optim 10 , no.1, 82–98 [8] M J Cánovas, M A López, J Parra, F J Toledo (2006), "Lipschitz continuity of the optimal value via bounds on the optimal set in linear semi-infinite optimization", Math Oper Res 31, no.3, 478– 489 [9] M J Cánovas, M A López, J Parra, F J Toledo (2007), "Sufficient conditions for total ill-posedness in linear semi-infinite optimization", European J Oper Res 181 , no.3, 1126–1136 [10] T D Chuong, N Q Huy and J.-C Yao (2009), "Stability of semiinfinite vector optimization problems under functional perturbations", J Global Optim 45 , 583–595 [11] T D Chuong, N Q Huy and J.-C Yao (2010), "Pseudo-Lipschitz property of linear semi-infinite vector optimization problems", European J Oper Res 200 , 639–644 [12] R Colgen, K Schnatz (1981), "Continuity properties in semiinfinite parametric linear optimization", Numer Funct Anal Optim , no.4, 451–460 [13] M R Davidson (1996), "Lipschitz continuity of Pareto-optimal ex- treme points", (Russian) Vestnik Moskov Univ Ser XV Vychisl Mat Kibernet no.4, 41–45 [14] T Fischer (1983), "Contributions to semi-infinite linear optimization, in Approximation and optimization in mathematical physics", B Brosowski and E Martensen, (eds.), Peter Lang, Frankfurt-AmMain, Germany, 175–199 [15] M A Goberna, M A López (1998), Linear Semi-Infinite Optimiza- tion, John Wiley & Sons, Chichester, UK [16] M A Goberna (2005), "Linear semi-infinite optimization: recent advances", Continuous optimization, 3–22, Appl Optim., 99, Springer, New York [17] M A Goberna, S Gómez, F Guerra, M I Todorov (2007), "Sensi- tivity analysis in linear semi-infinite programming: perturbing cost and right-hand-side coefficients", European J Oper Res 181 , no.3, 1069–1085 [18] S Helbig and M I Todorov (1998), "Unicity results for general linear semi-infinite optimization problems using a new concept of active constraints", Appl Math Optim., 38 , 21–43 [19] R Hettich, (ed.) (1978), "Semi-infinite programming Proceedings of a Workshop, Bad Honnef", August 30–September 1, Lecture Notes in Control and Information Sciences (1979), 15, SpringerVerlag, Berlin-New York [20] J.-B Hiriart-Urruty and C Lemaréchal (1993), Convex Analysis and Minimization Algorithms I, Springer-Verlag, Berlin [21] N Q Huy and J.-C Yao, "Lipschitz stability in semi-infinite optimization under convex function perturbations", submitted [22] N Q Huy and J.-C Yao, "Necessary condition and stability in nonlinear semi-infinite optimization", submitted [23] J Jahn (2004), Vector Optimization Theory, applications, and extensions, Springer-Verlag, Berlin [24] D T Luc (1989), Theory of Vector Optimization Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, 319, Springer-Verlag, Berlin [25] P H Naccache (1979), "Stability in multicriteria optimization", J Math Anal Appl 68 , 441453 [26] R Reemtsen, J.-J Ruăckmann, (eds.) (1998), Semi-infinite program- ming Nonconvex Optimization and its Applications, 25, Kluwer Academic Publishers, Boston, MA [27] S W Xiang, Y H Zhou (2006), "Continuity properties of solutions of vector optimization", Nonlinear Anal 64 , 2496– 2506 ... tính chat on đ%nh tính núa liên tuc trên, núa liên tuc dưói tính Lipschitz kieu Aubin Đoi tưang pham vi nghiên cNu Quy hoach toán hoc, lý thuyet toi ưu, toi ưu có tham so, toi ưu vectơ, toi ưu. .. đú cho tính chat Lipschitz kieu Aubin cúa ánh xa nghi¾m toi ưu vectơ núa vơ han tuyen tính dưói nhieu đong thòi hàm mnc tiêu t¾p điem chap nh¾n đưoc hay khơng? Đe tài Tính on đ%nh toi ưu vectơ. .. tuyen tính nham muc đích tìm hieu ve toi ưu vectơ, toi ưu núa vô han tìm câu trá lòi cho câu hói vùa nêu ó Đong thòi nghiên cúu tính on đ%nh cna ánh xa t¾p điem chap nh¾n đưoc, cu the tính núa